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単調列

ユークリッド空間上の点列が単調列(単調増加もしくは単調減少)であることの意味を定義します。これは単調数列を一般化した概念です。

ロルの定理

有界な閉区間上に定義された連続関数が定義域の内部において微分可能であるとともに定義域の端点において等しい値をとる場合、その関数は定義域の内部に停留点を持つことが保証されます。これをロルの定理と呼びます。

関数の和の高階微分

高階微分可能な関数どうしの和として定義される関数もまた高階微分であるとともに、その高階微分係数はもとの関数の高階微分係数の和と一致します。

関数の定数倍の高階微分

高階微分可能な関数の定数倍として定義される関数もまた高階微分であるとともに、その高階微分係数はもとの関数の高階微分係数の定数倍と一致します。

点列のノルムの極限

ユークリッド空間上の収束点列が与えられたとき、その一般項のノルムを一般項とする数列が定義可能ですが、これは有限な実数へ収束します。

点列の内積の極限

ユークリッド空間上の収束点列どうしの内積として定義される数列は有限な実数へ収束します。

点列のベクトル和の極限

ユークリッド空間上の収束点列が2つ任意に与えられたとき、それらの一般項どうしのベクトル和を一般項とする点列もまた収束することが保証されます。同様に、収束する点列のベクトル差として定義される点列もまた収束します。

点列のスカラー倍の極限

点列が収束するならば、その点列の一般項をスカラー倍して得られるベクトルを一般項とする点列もまた収束することが保証されます。同様に、収束する点列のスカラー商として定義される点列も収束します。

収束する点列と有界性

ユークリッド空間上の点列のすべての項からなる集合が有界であるとき、その点列は有界であると言います。点列が有界であることと、その任意の座標数列が有界であることは必要十分です。収束する点列は常に有界である一方で、有界な点列は収束するとは限りません。

可算集合

すべての自然数からなる集合と等しい濃度を持つ集合を可算集合や可付番集合と呼びます。可算集合には無限個の要素が含まれるため、すべての要素を数え尽くすことはできませんが、要素を1番目から順番に数えることはできます。

無限集合

有限集合ではない集合、つまり無限個の要素を持つ集合を無限集合と呼びます。無限集合のすべての要素を数え上げることはできないため、無限集合の濃度を 1 つの自然数として表すことはできません。ただ、2 つの無限集合が与えられたとき、それらが等しい濃度を持つかどうかを調べることはできます。

有限集合

有限個の要素を持つ集合を有限集合と呼びます。有限集合の濃度を有限濃度と呼びます。有限集合どうしの濃度が等しいことと、それらの集合に含まれる要素の個数が等しいことは必要十分です。

集合の濃度

2 つの集合の間に全単射が存在する場合には、それらの集合の濃度は等しいと言います。集合の濃度が等しいことを二項関係と解釈したとき、これは反射律・対称律・推移律を満たす同値関係です。

部分列と実数の連続性

ボルツァーノ=ワイエルシュトラスの定理はカントールの縮小区間定理と必要十分です。したがって、ボルツァーノ=ワイエルシュトラスの定理とアルキメデスの性質が成り立つことは実数の連続性と必要十分です。

商集合

集合 A のそれぞれの要素 a に対して、それを代表元とする同値類 [a] を生成できますが、そのようなすべての同値類からなる A の部分集合族を商集合と呼びます。商集合は A の分割です。つまり、A の任意の要素は何らかの同値類に属するとともに、異なる複数の同値類に属することはありません。

合成関係

2つの関係 R, S が与えられたとき、xRy と ySz がともに成り立つような y が存在するような順序対 (x,z) からなる集合を R と S の合成関係と呼び、これを S∘R で表します。

同値類

集合 A 上の同値関係 R が与えられたとき、A の要素 x を任意に選べば、R のもとで x と同値であるような A のすべての要素からなる集合を構成できます。このような A の部分集合を x を代表元とする同値類と呼びます。

集積点の存在条件と実数の連続性

集積点の存在条件(有界な無限集合は集積点を持つという命題)はボルツァーノ=ワイエルシュトラスの定理と必要十分です。したがって、集積点の存在条件とアルキメデスの性質によって、実数の連続性の定義とすることができます。

導集合を用いた閉集合の判定

実数空間の部分集合 A が与えられたとき、その任意の集積点が A の要素であることは、その集合 A が閉集合であるための必要十分条件です。

数列を用いた集積点の判定

実数空間 R の部分集合 A および点 a が与えられたとき、A の点を項とするとともに、すべての項が a とは異なり、なおかつ a に収束する数列が存在することは、a が A の集積点であるための必要十分条件です。

閉包を用いた閉集合の判定

実数空間 R の部分集合 A が与えられたとき、A の閉包が A と一致することは、A が閉集合であるための必要十分条件です。したがって、集合 A の閉包 A と等しければ A は閉集合であり、A の閉包が A と等しくなければ A は閉集合ではありません。

数列を用いた触点の判定

実数空間 R の部分集合 A および点 a が与えられたとき、a に収束する A 上の数列が存在することは、a が A の触点であるための必要十分条件です。

境界を用いた閉集合の判定

実数空間 R の部分集合 A が与えられたとき、A の境界が A の部分集合であることは、A が閉集合であるための必要十分条件です。したがって、集合 A の境界が A の部分集合であれば A は閉集合であり、A の境界が A の部分集合でなければ A は閉集合ではありません。

内部を用いた開集合の判定

実数空間 R の部分集合 A がその内部と一致することは、A が開集合であるための必要十分条件です。したがって、集合 A の内部が A と一致すれば A は開集合であり、A の内部が A と一致しなければ A は開集合ではありません。

極大元・極小元

n次元空間上の非空な部分集合に対して、その極大元や極小元を定義します。1次元空間においてこれらは最大元や最小元と等しい概念ですが、多次元空間において両者は異なる概念です。

区間列と実数の連続性

実数空間が全順序体としての公理を満たすことを認める場合、実数の連続性の公理と、カントールの縮小区間定理およびアルキメデスの性質が成り立つことは必要十分になります。

最大元・最小元

n次元空間の非空な部分集合に対して、その最大元や最小元を定義します。最大元や最小元は存在するとは限りませんが、存在する場合にはそれぞれ一意的です。

片側微分を用いた微分可能性の判定

関数が点において右側微分可能かつ左側微分可能であるとともに左右の片側微分係数が一致することは、その関数がその点において微分可能であることと必要十分であるとともに、その場合、微分係数は片側微分係数と一致します。

微分の様々な表現

増分を使わない微分の表現、ライプニッツ流の微分の表現、および微分商などについて解説します。

瞬間変化率としての微分

微分係数は瞬間変化率として解釈可能です。具体例を挙げると、瞬間速度や限界費用などは微分係数として表現されます。

高階の微分

関数の導関数が微分可能である場合には導関数の導関数が得られますがこれを2階の導関数と呼びます。同様に、3階の導関数、4階の導関数なども定義可能です。これらを高階の導関数と呼びます。

無理数の稠密性

2つの異なる実数を任意に選んだとき、それらの間には必ず無理数が存在します。このような性質を無理数の稠密性と呼びます。また、すべての無理数からなる集合は非可算集合です。

狭義凸関数・狭義凹関数

定義域が凸集合であるとともに、そのグラフが谷型の曲線になるような関数を狭義凸関数と呼び、グラフが山型の曲線になるような関数を狭義凹関数と呼びます。狭義凸関数や狭義凹関数の概念はスカラー場(多変数関数)にも容易に拡張されます。

余弦関数の微分

余弦(コサイン)関数は数直線上の任意の点において微分可能であるとともに、その導関数は正弦(サイン)関数に負の記号をつけたものと一致します。したがって、任意の微分可能な関数と余弦関数の合成関数もまた微分可能です。

指数関数の微分

自然指数関数は任意の点において微分可能であることを示すとともに、その導関数はもとの自然指数関数と一致します。また、自然指数関数と微分可能な関数の合成関数について、その導関数を特定します。

指数関数

正の実数であるような底を所与としたとき、指数を変数とし、累乗を値として定めるような関数を指数関数と呼びます。指数関数は正の実数を値としてとる狭義単調関数です。

指数が実数である場合の累乗

指数が実数であるような累乗を定義した上で、これが有理数の指数を持つ累乗の一般化であるとともに、指数法則を満たすことを示します。

指数が有理数である場合の累乗

正の実数が底であり、指数が有理数であるような累乗が常に1つの実数として定まるとともに、これもまた指数法則を満たします。

正弦関数の微分

正弦関数は数直線上の任意の点において微分可能であるとともに、その導関数は余弦関数と一致します。したがって、任意の微分可能な関数と正弦関数の合成関数もまた微分可能です。

無理関数の微分

無理関数は正の実数であるような任意の点において微分可能です。したがって、正の実数を値としてとる関数と無理関数の合成関数は微分可能です。

絶対値関数

入力した実数に対して、その絶対値を値として定める関数を絶対値関数と呼びます。絶対値関数は数直線上に定義可能です。

有理数ベキ関数

指数が有理数であるようなベキ関数を有理数ベキ関数と呼びます。正の有理数を指数とする有理数ベキ関数は非負の実数上に定義され、負の有理数を指数とする有理数ベキ関数は正の実数上に定義されます。

二項関係

始集合と終集合が一致する関係を二項関係と呼びます。二項関係は与えられた集合の直積の部分集合として定義されます。

無理関数

指数が自然数の逆数であるようなベキ関数を無理関数と呼びます。無理関数は非負の実数上に定義可能であり、非負の実数を値としてとる狭義単調増加関数です。

全単射と逆写像

写像が全単射であることと、その写像の逆写像が存在することは必要十分です。また、逆写像が存在するとき、それは左逆写像や右写像と一致します。

全射と右逆写像

写像 f に対して合成写像 f∘g が恒等写像になるような写像 g が存在する場合、このような g を f の右逆写像と呼びます。選択公理を認める場合、写像 f に対してその右逆写像が存在することは、f が全射であるための必要十分条件です。

全射

終集合のそれぞれの要素が定義域の要素の像になるような写像を全射と呼びます。全射どうしの合成写像は全射です。全射の逆写像は存在するとは限りません。

単射と左逆写像

写像 f に対して合成写像 g∘f が恒等写像になるような写像 g が存在する場合、このような g を f の左逆写像と呼びます。写像 f に対してその左逆写像が存在することは、f が単射であるための必要十分条件です。

単射

定義域の異なる要素に対して異なる像を定める写像を単射や1対1の写像などと呼びます。単射どうしの合成写像は単射です。また、単射の終集合を値域に限定すれば逆写像の存在を保証できます。

凸集合の直積

凸集合どうしの直積(カルテシアン積)や、凸集合族の直積などはいずれも凸集合になります。

凸集合の凸結合

集合のスカラー倍およびミンコフスキー和を利用することにより集合どうしの線型結合や凸結合などの概念が定義可能です。凸集合どうしの線型結合は凸集合です。

凸関数・凹関数

定義域が凸集合であるとともに、そのグラフが直線もしくは谷型の曲線になるような関数を凸関数と呼びます。また、定義域が凸集合であるとともに、そのグラフが直線もしくは山型の曲線になるような関数を凹関数と呼びます。凸関数や凹関数の概念はスカラー場(多変数関数)にも容易に拡張されます。

凸集合のミンコフスキー和

ユークリッド空間の部分集合A,Bが与えられたとき、それらの点のベクトル和を集めてできる集合をミンコフスキー和と呼びます。凸集合どうしのミンコフスキー和は凸集合であることが保証されます。

凸集合のスカラー倍

ユークリッド空間の部分集合が与えられたとき、その集合のすべての点をスカラー倍して得られる新たな集合をもとの集合のスカラー倍と呼びます。凸集合のスカラー倍は凸集合であることが保証されます。

狭義凸集合

ユークリッド空間の部分集合に属する異なる2つの点を任意に選んだとき、それらの任意の狭義凸結合がその集合の内点であるならば、その集合を狭義凸集合と呼びます。

境界点・境界

ユークリッド空間の部分集合 A が与えられたとき、点 a の任意の近傍が A と A の補集合の双方と交わるならば、a を A の境界点と呼びます。また、A のすべての境界点からなる集合を A の境界と呼びます。

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