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数列を用いた関数の片側収束判定

関数が片側から収束することを示すためにイプシロン・デルタ論法を用いるのは面倒です。数列を用いて片側収束可能性を判定する方法について解説します。

数列を用いた関数の収束判定

関数が収束することをイプシロン・デルタ論法を用いて証明するのは困難です。関数が収束する・収束しないことを数列を用いて判定する方法を解説します。

数列を用いた点列の収束判定

ユークリッド空間上の点列が収束することは、その点列のすべての座標数列が有限な実数へ収束することと必要十分です。したがって、点列が収束することを示すためには、そのすべての座標数列が収束することを示せばよいということになります。

スカラー場のための片側極限の拡張

スカラー場がある点の周辺の任意の点において定義されていない場合でも、変数がその点に限りなく近づく経路が存在する場合には、スカラー場の極限を定義することができます。

スカラー場の連続性

スカラー場が定義域上の点において有限な極限を持つとともに、それがその点におけるスカラー場の値と一致する場合、スカラー場はその点において連続であると言います。

数列を用いた開集合・閉集合の判定

実数空間 R の部分集合 A が閉集合であることの意味を数列を用いて表現することもでき、こちらの定義を採用した方が閉集合であることを容易に判定できる場合があります。

多項式関数の極限

多変数の多項式関数が収束することを示すとともに、その事実を利用してより広範なスカラー場(多変数関数)の極限を求める方法を解説します。

スカラー場の商の極限

収束するスカラー場どうしの商として定義されるスカラー場もまた収束します。また、この事実と連続関数の性質を利用し、より広範なスカラー場の極限を求める方法を解説します。

ベルジュの最大値定理

目的関数が連続であるとともに制約対応が非空値かつコンパクト値をとる連続対応である場合、価値関数は連続な実数値関数になるとともに、最適選択対応は非空値かつコンパクト値をとる上半連続対応になります。これをベルジュの最大値定理と呼びます。

連続関数を利用したスカラー場の収束判定

スカラー場と連続関数の合成関数として表現されるようなスカラー場に関しては、連続関数の性質を利用することにより比較的簡単にその極限を求めることができます。

スカラー場の積の極限

収束するスカラー場どうしの積として定義されるスカラー場もまた収束します。また、この事実と連続関数の性質を利用し、より広範なスカラー場の極限を求める方法を解説します。

スカラー場の差の極限

収束するスカラー場どうしの差として定義されるスカラー場もまた収束することを示します。また、その事実と連続関数の性質を利用して、より広範なスカラー場の極限を求める方法を解説します。

スカラー場の和の極限

収束する2つのスカラー場の和として定義されるスカラー場もまた収束します。また、この事実と連続関数の性質を利用して、より広範なスカラー場の極限を求める方法を解説します。

特定の変数に関する恒等関数の極限

入力したベクトルに対して、その特定の成分を値として返すスカラー場(多変数関数)が有限な実数へ収束することを示すとともに、その結果を用いて様々なスカラー場の極限を求める方法を解説します。

スカラー場が収束しないことの証明

スカラー場(多変数関数)が収束しないことを証明するためには、変数が点に近づくある経路のもとで関数の値が有限な値へ収束しないことを示したり、複数の経路のもとで異なる有限の値へ収束することを示すことになります。

スカラー場の定数倍の極限

収束するスカラー場の定数倍として定義されるスカラー場もまた収束し、その極限はもとのスカラー場の極限の定数倍と一致します。

定数関数の極限

入力した点に対して常に一定の実数を値として返すスカラー場を定数関数と呼びます。定数関数は有限な実数へ収束します。

スカラー場の極限

スカラー場の変数がある点に限りなく近づくにつれて、スカラー場が定める値が有限な実数に限りなく近づく場合、そのスカラー場はその点において収束すると言います。

スカラー場

ユークリッド空間もしくはその部分集合を定義域とし、値として実数をとるような写像をスカラー場やベクトル変数の実数値関数、多変数関数などと呼びます。

全微分と方向微分の関係

スカラー場(多変数関数)が定義域上の点において全微分可能であるとき、そのスカラー場はその点において任意の方向に関して方向微分可能であるとともに、方向微分係数は勾配ベクトルと方向ベクトルの内積と一致します。

全微分と偏微分の関係

スカラー場(多変数関数)が定義域上の点において全微分可能である場合、その点において偏微分可能であることが保証されるとともに、そこでの全微分係数と勾配ベクトルは一致します。

全微分可能性と連続性

スカラー場(多変数関数)が定義域上の点において全微分可能であるとき、そのスカラー場はその点において連続であることが保証されます。

全微分係数

スカラー場(多変数関数)が偏微分可能もしくは方向微分可能である場合においても連続であるとは限りません。微分可能性から連続性を導くためには新たな微分概念が必要であるため、それを全微分と呼ばれる概念として定式化します。

方向微分可能性と連続性

スカラー場(多変数関数)が定義域上の点において任意の方向に関して方向微分可能である場合においても、そのスカラー場はその点において連続であるとは限りません。

方向導関数

スカラー場(多変数関数)が定義域上の任意の点においてある方向に関して方向微分可能であるならば、定義域上のそれぞれの点に対してそこでのその方向に関する方向微分係数を定めるスカラー場が定義可能です。これを方向導関数と呼びます。

方向微分係数

ユークリッド空間の部分集合上に定義されたスカラー場(多変数関数)が定義域上の点において与えられたベクトルの方向に微分可能であることの意味を定義します。

偏微分可能性と連続性

1変数関数が定義域上の点において微分可能である場合にはその点において連続であることが保証される一方、スカラー場(多変数関数)に関しては、偏微分可能な点において連続であるとは限りません。

勾配ベクトル

スカラー場(多変数関数)が定義域上の点においてすべての変数に関して偏微分可能であるならば、そこの点におけるそれぞれの変数に関する偏微分係数からなるベクトルが存在します。これを勾配ベクトルと呼びます。また、スカラー場の定義域上のそれぞれの点に対してそこでの勾配ベクトルを定めるベクトル場を勾配ベクトル場と呼びます。

凸集合

ユークリッド空間の部分集合に属する2つの点を任意に選んだとき、それらの任意の凸結合がその集合の要素であるならば、その集合を凸集合と呼びます。

近傍・近傍系

ユークリッド空間における点の近傍、近傍系、およびユークリッド空間の近傍系という概念を定義します。これは実数の開区間を一般化した概念です。

演習問題:区間列

本節では区間列について学びました。演習問題を通じて理解度を確認してください。

命題の証明:区間列

本節では区間列について学びました。本文中に登場した命題を証明します。次回から部分列について学びます。

含意除去

述語論理においても含意除去(モーダスポネンス)は成り立ちます。つまり、論理式A,Bが与えられたとき、A→Bから得られる命題とAから得られる命題がともに真であるような任意の解釈のもとでBから得られる命題は必ず真になります。

偏導関数

スカラー場(多変数関数)が定義域上の任意の点においてある変数に関して偏微分可能であるならば、定義域上のそれぞれの点に対してそこでのその変数に関する偏微分係数を定めるスカラー場が定義可能です。これを偏導関数と呼びます。

絶対値関数の極限

入力した実数に対してその絶対値を返す関数を絶対値関数と呼びます。絶対値関数は任意の点において有限な極限を持ちます。

偏微分係数

ユークリッド空間の部分集合上に定義されたスカラー場(多変数関数)が定義域上の点においてそれぞれの変数について偏微分可能であることの意味を定義します。

定数関数の連続性

定数関数は定義域上の任意の点において連続および片側連続です。

演習問題:確率の場

本節では標本空間や事象などについて学びました。演習問題を通じて理解度を確認してください。

恒等関数の極限

入力した値をそのまま返す関数を恒等関数と呼びます。恒等関数は点において収束する一方、正の無限大や負の無限大において発散します。

定数関数の極限

変数に入力する値によらず常に一定の値を出力する関数を定数関数と呼びます。定数関数は収束します。

定数数列の極限

すべての項が等しい数列を定数数列(定数列)と呼びます。定数列は有限な実数へ収束します。

関数の不連続点

関数が点において連続ではないとき、その点を不連続点と呼びます。不連続点には第1種の不連続点と第2種の不連続点の2種類があります。また、関数が点において定義されていないとき、その点は連続点と不連続点のどちらでもありません。

関数の上半連続性・下半連続性

関数が上半連続であること、および下半連続の意味を方位集合と呼ばれる概念を用いて定義します。関数が上半連続かつ下半連続であることはその関数が連続であるための必要十分条件です。

関数の片側連続性

関数が閉区間上に定義された場合などには、定義域の端点において通常の意味での極限を考えることができないため、通常の意味での連続性を考えることができません。そこで、そのような場合には片側連続性と呼ばれる概念の下で連続性を考えます。

連続関数と位相

関数が定義域上において連続であることの意味を定義します。その上で、開集合上に定義された関数の連続性は位相(開集合)を用いて表現できることを示します。

関数の連続性

関数が定義域上の点において有限な極限を持つと同時に、その極限がその点における関数の値と一致する場合には、関数はその点において連続であると言います。関数の連続性は収束する数列を用いて表現することもできます。

命題の証明:可算公理

本節では可算公理について学びました。本文中に登場した命題を証明します。次回から関数について学びます。

開基と第2可算公理

実数空間において、開集合系の部分集合族が存在し、任意の開集合がその部分集合族に属する開集合の和集合として表現できることが保証されている場合、その部分集合族を開基と呼びます。また、可算集合であるような開基が存在する場合、第2可算公理が成り立つと言います。

基本近傍系と第1可算公理

実数空間の点に対してその基本近傍系が存在する場合、その点との距離感を知るためには基本近傍系の要素である近傍だけがあれば十分で、その点のすべての近傍を議論の対象にする必要はありません。また、任意の点に対して可算集合であるような基本近傍系が存在する場合には第1可算公理が成り立つと言います。

点列のベクトル和の極限

ユークリッド空間上の収束点列が2つ任意に与えられたとき、それらの一般項どうしのベクトル和を一般項とする点列もまた収束することが保証されます。同様に、収束する点列のベクトル差として定義される点列もまた収束します。

点列のスカラー倍の極限

点列が収束するならば、その点列の一般項をスカラー倍して得られるベクトルを一般項とする点列もまた収束することが保証されます。同様に、収束する点列のスカラー商として定義される点列も収束します。

曲線のノルムの極限

収束する曲線(ベクトル値関数)のノルムとして定義される曲線もまた収束します。

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