リーマン積分
1変数関数の和の上積分・下積分・定積分（和の法則）
リーマン積分可能な関数の和として定義される関数もまたリーマン積分可能であり、もとの関数の定積分の和をとれば新たな関数の定積分が得られます。
ベクトル値関数の微分
スカラー場の極限
収束する多変数関数と順序
定義域を共有する2つの多変数の収束関数について、一方の関数が定める値が他方の関数が定める値以上であるとき、両者の極限についても同様の大小関係が成り立ちます。また、多変数関数に関するはさみうち定理についても解説します。
上半連続性
閉グラフを用いた対応の連続性の判定
対応が閉グラフを持つことと、その対応が閉じていることは必要十分です。また、閉グラフを持つ対応の終集合がコンパクト集合である場合、その対応は上半連続になることが保証されます。
コンパクト集合
ユークリッド空間における点列コンパクト集合
ユークリッド空間の部分集合 A が与えられたとき、A の要素を項とする任意の点列が A の点に収束する部分列を持つ場合、A を点列コンパクト集合と呼びます。ある集合が点列コンパクト集合であることと、その集合がコンパクト集合であることは必要十分です。
リーマン積分
1変数関数の定数倍の上積分・下積分・定積分（定数倍の法則）
リーマン積分可能な1変数関数の定数倍として定義される関数もまたリーマン積分可能であり、もとの関数の定積分の定数倍をとれば新たな関数の定積分が得られます。
リーマン積分
定積分の加法性
関数が有界閉区間上においてリーマン積分可能であることと、それぞれの小区間においてリーマン積分可能であることが必要十分であるとともに、小区間上の定積分の総和をとれば区間上の定積分が得られます。
一様連続関数
一様連続関数と連続関数の関係
一様連続な1変数関数は連続である一方、連続関数は一様連続であるとは限りません。ただ、連続関数の定義域がコンパクト集合である場合、その関数が一様連続であることが保証されます。
コーシー列
数列を用いた関数の一様連続性の判定
1変数関数が一様連続であること、ないし一様連続ではないことを数列を用いて判定する方法を解説します。また、一様連続関数によるコーシー列の像はコーシー列になることを示します。
導集合
ユークリッド空間における導集合を用いた閉集合の判定
ユークリッド空間の部分集合Aが与えられたとき、Aの導集合がAの部分集合であることは、すなわちAのすべての集積点がAの要素であることは、Aが閉集合であるための必要十分条件です。
リーマン積分
上リーマン和と下リーマン和の差を用いた積分可能性の判定（積分可能性に関するコーシーの判定条件）
有界な閉区間上に定義された有界な1変数関数について、区間の何らかの分割のもとで上リーマン和と下リーマン和の差がいくらでも小さくなることは、関数が定積分可能であるための必要十分条件です。
リーマン積分
1変数関数のリーマン積分可能性とダルブー積分可能性の関係
1変数関数がリーマン積分可能であることを定義にもとづいて確認する作業は煩雑になりがちです。関数の上積分と下積分が一致することは関数が積分可能であるための必要十分条件であり、定積分は上積分および下積分と一致することが保証されます。
ダルブーの定理
1変数関数の上リーマン積分と下リーマン積分（ダルブーの定理）
有界な閉区間上に定義された有界な1変数関数fの上リーマン積分や下リーマン積分などの概念を定義します。加えて、極限を用いて上リーマン積分と下リーマン積分を特定する方法（ダルブーの定理）を解説します。
リーマン積分
1変数関数のリーマン積分可能性と定積分の定義
有界な閉区間上に定義された有界な1変数関数がリーマン積分可能であることの意味を定義するとともに、関連して定積分と呼ばれる概念を定義します。
多変数関数
多変数関数に関する最大値・最小値の定理
コンパクト集合（有界な閉集合）上に定義された連続な多変数関数は定義域上において最大値や最小値をとることが保証されます。これを最大値・最小値の定理と呼びます。
テイラーの定理
多変数関数のテイラー近似多項式
多変数関数を全微分することとは複雑な関数を1次の多項式関数によって近似することを意味します。それとは逆に、多変数関数を高次の多項式関数を用いて近似することで近似の精度を高める考え方もあります。
スカラー場の極限
多変数関数のための片側極限の拡張
多変数関数がある点の周辺の任意の点において定義されていない場合でも、変数がその点に限りなく近づく経路が存在する場合には、多変数関数の極限を定義することができます。
エピグラフ
エピグラフ・ハイポグラフを用いた1変数の狭義凸関数・狭義凹関数の判定
1変数関数が狭義凸であることとそのエピグラフが狭義凸集合であることは必要十分であり、狭義凹であることとそのハイポグラフが狭義凸集合であることは必要十分です。
準凸関数・準凹関数
上方位集合
上位集合・下位集合を用いた1変数の準凸関数・準凹関数の判定
1変数関数が準凸関数ないし準凹関数であることを、上位集合や下位集合などの概念を用いて判定する方法について解説します。
凸関数・凹関数
多変数の準凸関数・準凹関数
多変数関数が準凸関数であること、準凹関数であることの意味を解説します。凸関数は準凸関数ですが、その逆は成り立つとは限りません。また、凹関数は準凹関数ですが、その逆は成り立つとは限りません。
凸関数・凹関数
微分を用いた1変数の狭義凸関数・狭義凹関数の判定
微分可能な関数が狭義凸関数であることは、導関数が狭義単調増加関数であることと必要十分です。また、微分可能な関数が狭義凹関数であることは、導関数が狭義単調減少関数であることと必要十分です。
エピグラフ
エピグラフ・ハイポグラフを用いた1変数の凸関数・凹関数の判定
1変数関数が凸関数であることとその関数のエピグラフが凸集合であることは必要十分であり、1変数関数が凹関数であることとその関数のハイポグラフが凸集合であることは必要十分です。
スカラー場
スカラー場
多変数関数の連続性
多変数関数の変数が定義域上のある点に限りなく近づくにつれて関数の値が有限な極限へ収束するとともに、その点における関数の値が先の極限と一致する場合、関数はその点において連続であると言います。
全微分
全微分
線型近似としての全微分
多変数関数をある点において全微分することとは、その点に限りなく近い周辺の任意の点において、もとの関数を1次の多項式関数で近似する（線型近似）することを意味します。
偏微分
多変数の初等関数の偏微分
多変数の定数関数、座標関数、多項式関数、有理関数および、それらの関数と1変数の微分可能な関数を組合せることで得られる多変数関数はいずれも偏微分可能です。
偏微分
線型近似としての多変数関数の偏微分
多変数関数を特定の変数に関して偏微分することとは、他の変数の値を固定することで得られる1変数関数をシンプルな1次式で近似する（線型近似）ことを意味します。
偏微分
多変数関数の偏微分と1変数関数の微分の関係
多変数関数を偏微分するプロセスは1変数関数を微分するプロセスと実質的に等しいため、偏微分を行う際には1変数関数の微分に関する諸々の公式を活用できます。
ベイズの定理
ベイズの定理
「事象Aが起きたという前提のもと、その後に事象Bが起こる確率」が判明している場合には、ベイズの定理を利用することにより、「事象Bが起きたことが観察された場合、それ以前に、前提として事象Aが起こっていた確率」を特定できます。
全確率の定理
全確率の定理
ある事象の確率を直接求めることが困難である場合、起こり得るすべての状況が排反事象に分割可能であれば、問題としている事象を分割することにより、その確率を容易に求めることができます。
