拡大実数値確率変数
確率変数どうしの商は確率変数
確率変数どうしの商が定義可能であるならば、それもまた確率変数になります。また、拡大実数値確率変数どうしの商が定義可能である場合には、それもまた拡大実数値確率変数になります。
拡大実数値確率変数
確率変数どうしの積は確率変数
確率変数どうしの積として定義される写像もまた確率変数になることが保証されます。また、拡大実数値確率変数どうしの積が定義可能である場合には、それもまた拡大実数値確率変数になります。
拡大実数値確率変数
確率変数どうしの差は確率変数
確率変数どうしの差として定義される写像もまた確率変数になることが保証されます。また、拡大実数値確率変数どうしの差が定義可能である場合には、それもまた拡大実数値確率変数になります。
拡大実数値確率変数
確率変数どうしの和は確率変数
確率変数どうしの和として定義される写像もまた確率変数になることが保証されます。また、拡大実数値確率変数どうしの和が定義可能である場合には、それもまた拡大実数値確率変数になります。
条件収束級数
絶対収束級数（絶対値級数を利用した級数の収束判定）
与えられた級数の絶対値級数が収束する場合、もとの級数は絶対収束すると言います。絶対収束する級数は必ず収束する一方で、収束する級数は絶対収束するとは限りません。
σ-代数
コルモゴロフの0-1の法則（事象族の末尾事象の確率）
可算事象族の要素である無限個の事象の影響を受ける一方で、有限個の事象の影響を受けない事象を末尾事象と呼びます。可算事象族が独立である場合、その任意の末尾事象の確率は0または1のどちらか一方に定まります。これをコルモゴロフの0-1の法則と呼びます。
σ-代数
有限個の事象族の独立性（有限個の事象族が生成するσ-代数どうしの独立性）
有限個の事象族から選ばれた事象どうしが独立になることが保証される場合、それらの事象族は独立であると言います。有限個の事象族が独立であり、各々が積事象について閉じているとともに全体事象を要素として持つ場合、それらから生成されるσ-代数もまた独立になることが保証されます。
σ-代数
2つの事象族の独立性（2つの事象族が生成するσ-代数どうしの独立性）
2つの事象族から選ばれた事象どうしが独立になることが保証される場合、それらの事象族は独立であると言います。2つの事象族が独立であり、なおかつ各々が積事象について閉じている場合、それらから生成されるσ-代数もまた独立になることが保証されます。
コルモゴロフの収束定理
ヒンチン=コルモゴロフの収束定理（コルモゴロフの二級数定理）
確率変数列が独立であるとともに個々の確率変数の期待値がゼロであり、なおかつ分散の総和が有限である場合、その確率変数列のもとでの実現値に関する無限級数はほとんど確実に収束します。これをヒンチン=コルモゴロフの収束定理と呼びます。
コルモゴロフの不等式
コルモゴロフの不等式（コルモゴロフの最大不等式）
有限かつ独立な確率変数列を構成する個々の確率変数の期待値がゼロであるとともに分散が有限である場合、その確率変数列の部分和として定義される確率変数がある値以上の値をとる確率の上限を特定できます。コルモゴロフの不等式はチェビシェフの不等式の一般化です。
分布収束
確率変数列の分布収束（法則収束）と確率収束の関係
確率収束する確率変数列は分布収束する一方で、分布収束する確率変数列は確率収束するとは限りません。ただし、分布収束する確率変数列の確率極限が定数関数である場合、その確率変数列は分布収束します。
分布収束
分布収束（法則収束）する確率変数列
関数変数列を構成する確率変数の分布関数の形状が何らかの確率変数の分布関数の形状へ限りなく近づく場合、その確率変数列はその確率変数へ分布収束（法則収束）すると言います。
ダランベールの判定法
隣り合う項の比を用いた正項数列の収束・発散判定
数列のすべての項が正の実数である場合、隣り合う2つの項の比を項として持つ新たな数列を定義し、その数列の極限を観察することにより、もとの数列の収束・発散を判定できます。
ボレル・カンテリの補題
ボレル・カンテリの第2補題（独立な事象列の上極限と下極限の確率・無限の猿定理）
可算個の独立な事象の確率の総和が無限大である場合、それらの事象の上極限の確率は1になるとともに、それらの事象の余事象の下極限の確率は0になります。これをボレル・カンテリの第2補題と呼びます。
従属な事象
可算個の事象の独立性（ペア独立性・相互独立性）
可算個の事象が与えられたとき、そこから有限個の事象を任意に選んだ場合にそれらが独立であるならば、もとの可算個の事象は独立であると言います。
ボレル・カンテリの補題
ボレル・カンテリの第1補題（事象列の上極限と下極限の確率）
可算個の事象の確率の総和が有限な実数である場合、それらの事象の上極限の確率は0になるとともに、それらの事象の余事象の下極限の確率は1になります。これをボレル・カンテリの第1補題と呼びます。
リーマン積分
多変数関数の和の上積分・下積分・定積分
n次元空間上に存在する有界かつ閉な直方体領域上に定義された2つの多変数関数が多重リーマン積分可能である場合、それらの和として定義される多変数関数もまた多重リーマン積分可能です。
リーマン積分
多変数関数の定積分の加法性
n次元空間上に存在する有界かつ閉な直方体領域上に定義された多変数関数が多重リーマン積分可能であることと、その関数がすべての小直方体領域において多重リーマン積分可能であることは必要十分です。
リーマン積分
多変数関数の定数倍の上積分・下積分・定積分
n次元空間上に存在する有界かつ閉な直方体領域上に定義された多変数関数が多重リーマン積分可能である場合、その関数の定数倍として定義される多変数関数もまた多重リーマン積分可能です。
リーマン積分
連続な多変数関数の多重リーマン積分可能性
n次元空間上に存在する有界かつ閉な直方体領域上に定義された多変数関数が連続関数である場合、その関数は領域上で多重リーマン積分可能です。
一様連続関数
多変数関数の連続性と一様連続性の関係
一様連続な多変数関数は連続である一方、連続関数は一様連続であるとは限りません。ただ、連続関数の定義域がコンパクト集合である場合、その関数が一様連続であることが保証されます。
リプシッツ関数
多変数のリプシッツ関数と一様連続関数の関係
多変数関数がリプシッツ関数であることの意味を定義します。リプシッツ関数は一様連続ですが、一様連続関数はリプシッツ関数であるとは限りません。
一様連続関数
リーマン積分
多変数の単調関数の多重リーマン積分可能性
n次元空間上に存在する直方体領域上に定義された多変数関数が単調関数である場合、すなわち単調増加または単調減少である場合、その関数は領域上で多重リーマン積分可能です。
リーマン積分
上リーマン積分と下リーマン積分を用いた多重リーマン積分可能性の判定
n次元空間上に存在する直方体領域上に定義された有界な多変数関数の上リーマン積分と下リーマン積分が一致することは、その関数が多重リーマン積分可能であるための必要十分条件です。
ダルブーの定理
多変数関数の上リーマン積分と下リーマン積分（ダルブーの定理）
n次元空間上に存在する直方体領域上に定義された有界な多変数関数の上リーマン積分と下リーマン積分を定義するとともに、極限を用いて上リーマン積分や下リーマン積分を特定する方法を解説します。
標準化
連続型確率変数を変換した場合の確率分布の変化
連続型の確率変数を単調増加変換した場合や単調減少変換した場合、または標準化した場合などについて、変換後の確率分布を求める方法を解説します。
単射
離散型確率変数を変換した場合の確率分布の変化
離散型の確率変数を単調増加変換した場合、単調減少変換した場合、単射との合成関数をとった場合、標準化した場合などについて、変換後の確率分布を求める方法を解説します。
体
有理数の定義
整数と非ゼロの整数の比として表現される実数を有理数と呼びます。有理数集合上に加法と乗法と大小関係を定義すると全順序体になります。その一方で、有理数集合は連続性を満たしません。
リーマン積分
多変数関数の多重リーマン積分可能性と定積分の定義
n次元空間上に存在する有界かつ閉な直方体領域上に定義された有界な多変数関数が多重リーマン積分可能であることの意味を定義するとともに、多重リーマン積分可能であること、ないし多重リーマン積分可能ではないことを判定する方法を解説します。
中心極限定理
正規分布（ガウス分布）と標準正規分布
人間の身長の分布や試験の得点の分布など、現実の様々な局面において正規分布は登場します。また、試行を繰り返し行う状況において各回の結果が独立同一分布（i.d.d.）にしたがう場合、試行回数を限りなく増やすと、標本平均の確率分布は正規分布へ限りなく近づきます（中心極限定理）。
一様分布
連続型の一様分布
連続型の確率変数の確率分布を記述する確率密度関数が定数関数である場合、その確率変数は連続型の一様分布にしたがうと言います。連続型一様分布にしたがう確率変数を定義するとともに、その期待値と分散を求めます。
一様分布
離散型の一様分布
離散型の確率変数がすべての値を等しい確率でとる場合、そのような確率変数は離散型の一様分布にしたがうと言います。離散型一様分布にしたがう確率変数を定義するとともに、その期待値と分散を求めます。
i.i.d.
独立同一分布（i.i.d.）にしたがう離散型の確率変数列
離散型の確率変数列が独立であるとともに同一分布にしたがう場合、その確率変数列は独立同一分布にしたがう（i.d.d.）と言います。
全順序
i.i.d.
独立同一分布（i.i.d.）にしたがう有限個の離散型確率変数
有限個（3個以上）の離散型確率変数が独立であるとともに同一分布にしたがう場合、それらの確率変数は独立同一分布にしたがう（i.d.d.）と言います。
同一分布にしたがう
固有ベクトル
固有値の固有空間とその次元
正方行列の固有値に対応するすべての列固有ベクトルとゼロベクトルからなるベクトル集合を、その固有値の固有空間と呼びます。固有空間は実ベクトル空間の部分空間であるとともに、その次元は固有値の重複度以下になります。
固有ベクトル
固有多項式（特性多項式）を用いた固有値の特定方法
正方行列の固有値が明らかになれば、固有値に対応する列固有ベクトルを特定できます。また、固有値は固有多項式と呼ばれる多項式関数の根と一致するため、固有値を特定する作業を多項式関数の根を特定する作業へ帰着させることができます。
固有ベクトル
正方行列の固有値と固有ベクトルの定義
正方行列に関する固有値問題と呼ばれる問題を定義するとともに、その解に相当する固有値および固有ベクトルを定義します。固有値と固有ベクトルは正方行列の対角化と深い関係があります。
対角化
正方行列の対角化可能性とその利点
正方行列が何らかの対角行列と相似である場合、その正方行列は対角化可能であると言います。正方行列を対角化することにより、よりシンプルな構造を持つ行列が得られます。
同値関係
相似な線形変換と相似な正方行列
同一の線形変換を異なる基底のもとで表現した場合、両者は相似であると言います。2つの線形変換が相似であることは、それらを特徴づける正方行列が相似であることを意味します。
基底
実ベクトル空間におけるベクトルの座標
実ベクトル空間における基底が与えられれば、それぞれのベクトルは基底ベクトルの線型結合として一意的に表されます。そこで、ベクトルの線型結合を特徴づけるスカラーの組をそのベクトルの座標と呼びます。
クーン・タッカーの定理
複数の線型不等式制約条件のもとでの多変数関数の最大化問題
多変数関数の変数がとり得る値の範囲が複数の線型不等式によって制限されている場合に、関数の最大点が満たす条件（クーン・タッカー条件）を特定するとともに、最大点を具体的に導出する方法（ラグランジュの未定乗数法）について解説します。
アフィン部分空間
ガウス・ジョルダンの消去法
