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数学 | 最新の教材

触点

距離空間における触点・閉包

距離空間の部分集合Aが与えられたとき、点aの任意の近傍がAと交わるならば、aをAの触点と呼びます。また、Aのすべての触点からなる集合をAの閉包と呼びます。

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位相同型

同相写像・位相同型(同相)な距離空間

距離空間Xから距離空間Yへの連続な全単射fの逆写像もまた連続である場合、もとの写像fを同相写像と呼びます。2つの距離空間の間に同相写像が存在する場合、それらの距離空間は位相同型(同相)であると言います。

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写像

距離空間上の写像の連続性

距離空間上に定義された写像が定義域上の集積点において連続であることの意味を定義します。また、定義域上の孤立点において写像は連続であるものと定めます。

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写像

点列を用いた写像の収束判定

距離空間上に定義された写像が収束することをイプシロン・デルタ論法を用いて証明するのは困難です。写像が収束する・収束しないことを点列を用いて判定する方法を解説します。

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等長

等長な距離空間

距離空間X上に存在する2つの点を写像fを通じて距離空間Y上の点に変換しても2つの点の間の距離が変わらない場合、fを等長写像と呼びます。また、全単射であるような等長写像が存在する場合、XとYは距離空間として等長であると言います。

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ニュートン法

ニュートン法とその理論的根拠

ニュートン法とは方程式の近似解を求めるためのアルゴリズムです。ニュートン法の手順を解説するとともに、ニュートン法が有効であるための条件およびその根拠について解説します。

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コーシー列

実数空間の完備部分集合

実数空間Rの非空な部分集合Aの要素を項として持つ任意のコーシー列の極限がAの要素になる場合、Aを完備な部分集合と呼びます。実数空間の部分集合が完備であることと、その集合が閉集合であることは必要十分です。

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サイクロイド

区分的に滑らかな曲線の長さ

空間上に存在する曲線が滑らかでない場合でも、それを有限個の滑らかな弧に分割できる場合には、個々の弧の長さの総和をとることにより、もとの曲線の長さを特定できます。

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リーマン積分

滑らかな曲線の長さ

空間上に存在する曲線が滑らかなベクトル値関数によって定義される場合には、そのベクトル値関数の導関数のノルムを積分することにより曲線の長さが得られます。

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全体集合

直積の差集合

直積どうしの差集合は差集合どうしの直積と一致するとは限りません。直積どうしの差集合は、差集合との直積どうしの和集合として表現することはできます。

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全体集合

直積の補集合

集合の直積の補集合は、個々の集合の補集合の直積と一致するとは限りません。集合の直積の補集合は、個々の集合の補集合と全体集合の直積どうしの和集合として表現することはできます。

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タルスキの不動点定理

関数に関するタルスキの不動点定理

有界閉区間上に定義された関数の値域が定義域の部分集合であるとともに、その関数が連続である場合や、単調増加である場合などには、その関数は不動点を持つことが保証されます。

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関数の極限

変数変換を用いた関数の極限の特定

関数の極限をそのままでは特定するのが難しい場合、変数を変換することにより極限を容易に特定できるようになる場合があります。変数を変換した上で関数の極限を特定する方法について解説します。

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合成関数の微分

関連する変化率

2つの変数が関数を用いて関連付けられている場合、合成関数の微分を用いることにより、一方の変数の瞬間変化率が判明すれば、もう一方の変数の瞬間変化率も判明します。これを関連する変化率(related rates)と呼びます。

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リーマン積分

絶対値と定積分

有界閉区間上に定義された有界な関数がリーマン積分可能である場合、その絶対値として定義される関数もまたリーマン積分可能です。

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可算集合

連続体仮説

可算濃度より大きく連続体濃度よりも小さい濃度を持つ無限集合は存在しないという主張を連続体仮説と呼びます。

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全順序

整列原理

自然数集合は整列集合であるという事実を整列原理と呼びます。整列原理は数学的帰納法の原理や完全帰納法の原理と必要十分です。整列原理は背理法を用いた証明において有用です。

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上界・下界

順序部分集合の上限・下限

非空な順序部分集合が上に有界であるとともに、上界からなる集合が最小元を持つ場合、それを上限と呼びます。また、非空な順序部分集合が下に有界であるとともに、下界からなる集合が最大元を持つ場合、それを下限と呼びます。

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累次積分

多変数関数の逐次積分(累次積分)の定義

多変数関数を1変数関数とみなした上でリーマン積分をとり、得られた関数を再び1変数関数とみなした上でリーマン積分をとる、という操作をすべての変数に対して繰り返すことにより得られる値を逐次積分と呼びます。

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媒介変数曲面

楕円面と楕円面パッチ

空間上に存在する楕円面をベクトル方程式および媒介変数表示を用いて定義します。楕円面上に存在するパッチを楕円面パッチと呼びます。

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媒介変数曲面

球面と球面パッチ

空間上に存在する球面をベクトル方程式および媒介変数表示を用いて定義します。球面上に存在するパッチを球面パッチと呼びます。

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反例

反例による反証

変数xの自由な現れを持つ論理式A(x)に関する全称命題が偽であることを示すために、命題A(x)が偽になるような値xを具体的に提示する証明方法を反例による反証と呼びます。

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全称命題

構成的証明

変数xの自由な現れを持つ論理式A(x)に関する存在命題が真であることを示すために、命題A(x)が真になるような値xを具体的に提示する証明方法を構成的証明と呼びます。

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媒介変数曲線

楕円と楕円弧の微分

平面上に存在する楕円が媒介変数表示されている状況において、楕円上に存在する点のx座標とy座標の値の関係を微分を用いて評価する方法を解説します。

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サイクロイド

サイクロイド

平面上に存在するサイクロイドを媒介変数表示を用いて定義します。円が1回点することで生成されるサイクロイド上の弧をサイクロイドの弧と呼びます。

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楕円と楕円弧

平面上に存在する楕円をベクトル方程式および媒介変数表示を用いて定義します。楕円上に存在する弧を楕円弧と呼びます。

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