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数学 | 最新の教材

アーベルの補題

アーベルの補題とクロネッカーの補題

アーベルの補題と呼ばれる式変形テクニックを利用すれば、数列の積として定義される数列の部分和を扱いやすい形に変形できます。アーベルの補題を踏まえた上で、クロネッカーの補題と呼ばれる命題を示します。

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コルモゴロフの収束定理

コルモゴロフの三級数定理

独立な確率変数列の無限級数が収束するという事象はその確率変数列の末尾事象であるため、コルモゴロフの0-1法則より、その事象の確率は0または1のどちらか一方に定まります。その確率が1であるための必要十分条件を与えるのがコルモゴロフの三級数定理です。

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コルモゴロフの0-1法則

コルモゴロフの0-1の法則(確率変数列の末尾事象の確率)

確率変数列の要素である無限個の確率変数の分布の影響を受ける一方で、有限個の確率変数の分布の影響を受けない事象を末尾事象と呼びます。確率変数列が独立である場合、その任意の末尾事象の確率は0または1のどちらか一方に定まります。これをコルモゴロフの0-1の法則と呼びます。

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独立な確率変数

有限個の確率変数の独立性

有限個の確率変数が生成するσ代数どうしが独立である場合、それらの確率変数は独立であると言います。有限個の独立変数が独立であることを様々な形で表現するとともに、独立性を判定する方法について解説します。

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確率ベクトル

確率ベクトルの定義

標本点に対してn次元ベクトルを1つずつ割り当てる写像を確率ベクトルと呼びます。確率論の公理と整合的な形で確率ベクトルの概念を定義します。

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同時確率変数

2つの確率変数の独立性

2つの確率変数が生成するσ代数どうしが独立である場合、それらの確率変数は独立であると言います。2つの独立変数が独立であることを様々な形で表現するとともに、独立性を判定する方法について解説します。

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同時確率変数

同時確率変数の定義

標本点に対して2次元ベクトルを1つずつ割り当てる写像を同時確率変数と呼びます。確率論の公理と整合的な形で同時確率変数の概念を定義します。

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上半連続性

拡大実数値関数の上半連続性・下半連続性

任意の上方位集合が閉集合であるような拡大実数値関数を上半連続関数と呼び、任意の下方位集合が閉集合であるような拡大実数値関数を下半連続関数と呼びます。上半連続かつ下半連続であることと連続であることは必要十分です。

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ボレル測度

ボレル測度の定義

ルベーグ外測度の定義域をボレル集合族に制限することにより得られる写像をボレル測度と呼びます。ルベーグ測度と同様に、ボレル測度もまたσ-加法測度としての性質を満たします。

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拡大実数値関数

拡大実数値関数の連続性

拡大実数系においては正の無限大と負の無限大が体系の中に含まれているため、拡大実数値関数の値が正の無限大や負の無限大であるような点においても、その関数が連続であるか検討できます。

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ボレル集合

拡大実数系上のボレル集合

拡大実数系上の開集合系から生成される最小のσ-代数をボレル集合族と呼びます。ボレル集合族は拡大実数系上の近傍系や特定の近傍系から生成することもできます。

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拡大実数系

拡大実数系における距離

拡大実数系は区間と位相同型であるため、同相写像を利用することにより、区間上の距離を用いて拡大実数系上の距離を定義できます。

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ボレル可測関数

ボレル可測関数の定義

ボレル集合上に定義された関数によるボレル集合の逆像がボレル可測であることが保証される場合、そのような関数はボレル可測であると言います。

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ルベーグ可測関数

ルベーグ可測関数の定義

ルベーグ集合上に定義された関数によるボレル集合の逆像がルベーグ可測であることが保証される場合、そのような関数はルベーグ可測であると言います。

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上限・下限

確率変数どうしの上限と下限は確率変数

確率変数族の実現値の上限や下限を与える写像は拡大実数値確率変数です。特に、すべての確率変数族の要素であるすべての確率変数が有界である場合、それらの実現値の上限や下限を与える写像は確率変数です。

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拡大実数値確率変数

確率変数の絶対値は確率変数

確率変数のもとでの実現値の絶対値を与える写像は確率変数です。また、拡大実数値確率変数のもとでの実現値の絶対値を与える写像は拡大実数値確率変数です。

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拡大実数値確率変数

確率変数どうしの商は確率変数

確率変数どうしの商が定義可能であるならば、それもまた確率変数になります。また、拡大実数値確率変数どうしの商が定義可能である場合には、それもまた拡大実数値確率変数になります。

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拡大実数値確率変数

確率変数どうしの積は確率変数

確率変数どうしの積として定義される写像もまた確率変数になることが保証されます。また、拡大実数値確率変数どうしの積が定義可能である場合には、それもまた拡大実数値確率変数になります。

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拡大実数値確率変数

確率変数どうしの差は確率変数

確率変数どうしの差として定義される写像もまた確率変数になることが保証されます。また、拡大実数値確率変数どうしの差が定義可能である場合には、それもまた拡大実数値確率変数になります。

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拡大実数値確率変数

確率変数どうしの和は確率変数

確率変数どうしの和として定義される写像もまた確率変数になることが保証されます。また、拡大実数値確率変数どうしの和が定義可能である場合には、それもまた拡大実数値確率変数になります。

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ボレル集合

確率変数の定義

標本点に対して実数を1つずつ割り当てる写像を確率変数と呼びます。確率論の公理と整合的な形で確率変数の概念を定義します。

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σ-代数

コルモゴロフの0-1の法則(事象族の末尾事象の確率)

可算事象族の要素である無限個の事象の影響を受ける一方で、有限個の事象の影響を受けない事象を末尾事象と呼びます。可算事象族が独立である場合、その任意の末尾事象の確率は0または1のどちらか一方に定まります。これをコルモゴロフの0-1の法則と呼びます。

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σ-代数

有限個の事象族の独立性(有限個の事象族が生成するσ-代数どうしの独立性)

有限個の事象族から選ばれた事象どうしが独立になることが保証される場合、それらの事象族は独立であると言います。有限個の事象族が独立であり、各々が積事象について閉じているとともに全体事象を要素として持つ場合、それらから生成されるσ-代数もまた独立になることが保証されます。

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コルモゴロフの不等式

コルモゴロフの不等式(コルモゴロフの最大不等式)

有限かつ独立な確率変数列を構成する個々の確率変数の期待値がゼロであるとともに分散が有限である場合、その確率変数列の部分和として定義される確率変数がある値以上の値をとる確率の上限を特定できます。コルモゴロフの不等式はチェビシェフの不等式の一般化です。

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リーマン積分

多変数関数の定積分の加法性

n次元空間上に存在する有界かつ閉な直方体領域上に定義された多変数関数が多重リーマン積分可能であることと、その関数がすべての小直方体領域において多重リーマン積分可能であることは必要十分です。

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