非有界集合上に定義された多変数関数の広義逐次積分（第1種の広義逐次積分）
ユークリッド空間上の無限区間上に定義された多変数関数に関しては、逐次積分を拡張した広義逐次積分と呼ばれる積分概念のもとで逐次積分可能性を検討します。
有界ではない多変数関数の広義逐次積分（第2種の広義逐次積分）
ユークリッド空間上の区間上に定義された多変数関数が有界ではない場合には、逐次積分を拡張した広義逐次積分と呼ばれる積分概念のもとで逐次積分可能性を検討します。
非有界集合上に定義された多変数関数の広義多重リーマン積分（第1種の広義多重積分）
有界ではない集合上に定義された変数関数に対しては、多重リーマン積分を拡張した広義多重リーマン積分と呼ばれる多重積分概念のもとで多重積分可能性を検討します。
有界ではない多変数関数の広義多重リーマン積分（第2種の広義多重積分）
有界な基本領域上に定義された多変数関数が有界ではない場合、多重リーマン積分を拡張した広義多重リーマン積分と呼ばれる多重積分概念のもとで多重積分可能性を検討します。
多変数関数のルベーグ積分の加法性（有限加法性・可算加法性）
ユークリッド空間上に存在するルベーグ可測集合上に定義された拡大実数値ルベーグ可測関数がルベーグ可測である状況において定義域を複数の互いに素なルベーグ可測集合へ分割した場合、個々の集合におけるルベーグ積分の和をとればもとの集合上でのルベーグ積分が得られます。
多変数関数に関するルベーグの支配収束定理（優収束定理）
ユークリッド空間上に存在するルベーグ可測集合上に定義された拡大実数値ルベーグ可測関数の列が各点収束するとともに、その間数列を支配するルベーグ積分可能な関数が存在する場合には、関数列の各点極限のルベーグ積分は、関数列の要素である個々の関数のルベーグ積分列の極限と一致します。
多変数関数のルベーグ積分に関する比較判定法
ユークリッド空間上に存在するルベーグ可測集合上に定義された拡大実数値ルベーグ可測関数に対して、その絶対値関数が定める値以上の値をとるルベーグ積分可能な関数が存在する場合、もとの関数もまたルベーグ積分可能です。
多変数関数のルベーグ積分の単調性
ユークリッド空間上に存在するルベーグ可測集合上に定義された2つの拡大実数値ルベーグ可測関数がとり得る値の間に一方的な大小関係が成立する場合、両者のルベーグ積分の値の間にも同様の大小関係が成立します。
多変数のルベーグ可測関数どうしの差のルベーグ積分
ユークリッド空間上に存在するルベーグ可測集合上に定義された2つの拡大実数値ルベーグ可測関数がルベーグ積分可能である場合、それらの差として定義される関数もまたルベーグ積分可能です。
多変数のルベーグ可測関数どうしの和のルベーグ積分
ユークリッド空間上に存在するルベーグ可測集合上に定義された2つの拡大実数値ルベーグ可測関数がルベーグ積分可能である場合、それらの和として定義される関数もまたルベーグ積分可能です。
多変数のルベーグ可測関数の定数倍のルベーグ積分
ユークリッド空間上に存在するルベーグ可測集合上に定義された拡大実数値ルベーグ可測関数がルベーグ積分可能である場合、その定数倍として定義される関数もまたルベーグ積分可能です。
多変数関数に関する単調収束定理
ユークリッド空間上に存在するルベーグ可測集合上に定義された非負値をとる拡大実数値ルベーグ可測関数列が各点収束するとともに単調増加である場合、各点極限のルベーグ積分は、関数列の要素である個々の関数のルベーグ積分からなる列の極限と一致します。
単調収束定理
非負値をとるルベーグ可測関数列が各点収束するとともに単調増加である場合、各点極限のルベーグ積分は、関数列の要素である個々の関数のルベーグ積分からなる列の極限と一致します。
多変数関数に関するファトゥの補題
ユークリッド空間上に存在するルベーグ可測集合上に定義された非負値をとる拡大実数値ルベーグ可測関数列が各点収束する場合、各点極限のルベーグ積分は、関数列の要素である個々の関数のルベーグ積分からなる列の下極限以下になります。
非負値をとる多変数のルベーグ可測関数のルベーグ積分の単調性
ユークリッド空間上に存在するルベーグ可測集合上に定義された非負値をとる2つの拡大実数値ルベーグ可測関数の値に一方的な大小関係が成立する場合、ルベーグ積分の値の間にも同様の大小関係が成立します。
非負値をとる多変数のルベーグ可測関数のルベーグ積分の加法性
ユークリッド空間上に存在するルベーグ可測集合上に定義された非負値をとる拡大実数値ルベーグ可測関数が与えられた状況において定義域を2つのルベーグ可測集合に分割した場合、個々の集合におけるルベーグ積分の和をとればもとの集合におけるルベーグ積分が得られます。
非負値をとる多変数のルベーグ可測関数どうしの和のルベーグ積分
ユークリッド空間上に存在するルベーグ可測集合上に定義された非負値をとる2つの拡大実数値ルベーグ可測関数が与えられたとき、それらの和のルベーグ積分は、個々の関数のルベーグ積分どうしの和と一致します。
非負値をとる多変数のルベーグ可測関数の定数倍のルベーグ積分
ユークリッド空間上に存在するルベーグ可測集合上に定義された非負値をとる拡大実数値ルベーグ可測関数について、その定数倍のルベーグ積分は、もとの関数のルベーグ積分の定数倍と一致します。
非負値をとる多変数のルベーグ可測関数のルベーグ積分
ユークリッド空間上に存在するルベーグ可測集合上に定義された非負値をとる拡大実数値ルベーグ可測関数について、そのルベーグ積分を定義します。
有界収束定理（多変数の有界なルベーグ可測関数列の極限のルベーグ積分）
ユークリッド空間上に存在する有限測度を持つルベーグ可測集合上に定義された一様有界なルベーグ可測関数列が各点収束する場合、その間数列のルベーグ積分からなる数列の極限は、各点極限のルベーグ積分の値と一致します。
多変数の有界関数のルベーグ積分の単調性
ユークリッド空間上に存在する有限測度を持つルベーグ可測集合上に定義された有界かつルベーグ積分可能な2つの多変数関数がとり得る値の間に一方的な大小関係が成立する場合、両者のルベーグ積分の間にも同様の大小関係が成立します。
多変数の有界関数のルベーグ積分の加法性
ユークリッド空間上に存在する有限測度を持つルベーグ可測集合上に定義されたルベーグ積分可能な有界な多変数関数が与えられた状況において定義域を2つのルベーグ可測集合に分割した場合、個々の集合におけるルベーグ積分の和をとればもとの集合におけるルベーグ積分が得られます。
多変数の有界関数どうしの差のルベーグ積分
ユークリッド空間上に存在する有限測度を持つルベーグ可測集合上に定義された2つの有界な多変数関数がともにルベーグ積分可能である場合、それらの和として定義される関数もまたルベーグ積分可能です。
多変数の有界関数どうしの和のルベーグ積分
ユークリッド空間上に存在する有限測度を持つルベーグ可測集合上に定義された2つの有界な多変数関数がともにルベーグ積分可能である場合、それらの和として定義される関数もまたルベーグ積分可能です。
多変数の有界関数の定数倍のルベーグ積分
ユークリッド空間上に存在する有限測度を持つルベーグ可測集合上に定義された有界な多変数関数がルベーグ積分可能である場合、その定数倍として定義される関数もまたルベーグ積分可能です。
多変数の有界関数のルベーグ積分可能性とルベーグ可測性の関係
ユークリッド空間上に存在する有限測度を持つルベーグ可測集合上に定義された有界な多変数関数に関しては、その関数がルベーグ積分可能であることと、その関数がルベーグ可測関数であることは必要十分です。
多変数の有界関数のルベーグ積分と多重リーマン積分の関係
ユークリッド空間上に存在する有界閉区間上に定義された多変数の有界関数が多重積分可能である場合には、その関数はルベーグ積分可能であるとともに、ルベーグ積分の値は多重積分の値と一致します。
多変数の有界関数のルベーグ積分（上ルベーグ積分・下ルベーグ積分）
ユークリッド空間上に存在する有限測度を持つルベーグ可測集合上に定義された多変数の有界関数を対象に、そのルベーグ積分を定義します。
多変数の単関数のルベーグ積分の加法性
有限測度を持つルベーグ可測集合上に定義された多変数の単関数が与えられた状況において定義域を2つの互いに素なルベーグ可測集合に分割した場合、個々の集合におけるルベーグ積分の和をとればもとの集合におけるルベーグ積分の値が得られます。
単関数のルベーグ積分の加法性
有限測度を持つルベーグ可測集合上に定義された単関数が与えられた状況において定義域を2つの互いに素なルベーグ可測集合に分割した場合、個々の集合におけるルベーグ積分の和をとればもとの集合におけるルベーグ積分の値が得られます。
多変数のルベーグ可測関数列の一様極限はルベーグ可測関数
多変数ルベーグ可測関数の列の一様極限はルベーグ可測関数です。また、多変数ボレル可測関数の列の一様極限はボレル可測関数です。
多変数の単関数のルベーグ積分の単調性
有限な測度を持つルベーグ集合上に定義された2つの多変数の単関数がとり得る値の間に一方的な大小関係が成立する場合、両者のルベーグ積分の間にも同様の大小関係が成立します。
多変数のルベーグ可測関数列の各点極限はルベーグ可測関数
多変数ルベーグ可測関数の列の各点極限はルベーグ可測関数です。また、多変数ボレル可測関数の列の各点極限はボレル可測関数です。
多変数のルベーグ可測関数列の上極限関数と下極限関数はルベーグ可測関数
多変数ルベーグ可測関数の列から定義される上極限関数と下極限関数はルベーグ可測です。また、多変数ボレル可測関数の列から定義される上極限関数と下極限関数はボレル可測です。
多変数のルベーグ可測関数列の上限関数と下限関数はルベーグ可測関数
可算個の多変数ルベーグ可測関数から定義される上限関数と下限関数はルベーグ可測です。また、可算個の多変数ボレル可測関数から定義される上限関数と下限関数はボレル可測です。
多変数のルベーグ可測関数の最大値関数と最小値関数はルベーグ可測関数
有限個の多変数ルベーグ可測関数から定義される最大値関数と最小値関数はルベーグ可測です。また、有限個の多変数ボレル可測関数から定義される最大値関数と最小値関数はボレル可測です。
多変数のルベーグ可測関数どうしの商はルベーグ可測関数
多変数のルベーグ可測関数どうしの商として定義される関数はルベーグ可測関数です。また、多変数のボレル可測関数どうしの商として定義される関数はボレル可測関数です。
多変数の単関数の定義と具体例
ユークリッド空間上のルベーグ可測集合上に定義された多変数関数がルベーグ可測であるとともに、その値域が有限集合である場合、そのような関数を単関数と呼びます。
多変数のルベーグ可測関数どうしの積はルベーグ可測関数
多変数のルベーグ可測関数どうしの積として定義される関数はルベーグ可測関数です。また、多変数のボレル可測関数どうしの積として定義される関数はボレル可測関数です。
多変数のルベーグ可測関数どうしの差はルベーグ可測関数
多変数のルベーグ可測関数どうしの差として定義される関数はルベーグ可測関数です。また、多変数のボレル可測関数どうしの差として定義される関数はボレル可測関数です。
多変数のルベーグ可測関数どうしの和はルベーグ可測関数
多変数のルベーグ可測関数どうしの和として定義される関数はルベーグ可測関数です。また、多変数のボレル可測関数どうしの和として定義される関数はボレル可測関数です。
多変数のルベーグ可測関数の定数倍はルベーグ可測関数
多変数のルベーグ可測関数の定数倍として定義される関数はルベーグ可測関数です。また、多変数のボレル可測関数の定数倍として定義される関数はボレル可測関数です。
多変数の特性関数（指示関数）の定義と具体例
ユークリッド空間の部分集合が与えられれば、変数がその集合に属する場合には1を返し、変数がその集合に属さない場合には0を返す多変数関数が定義可能です。これを特性関数と呼びます。特性関数がルベーグ可測関数であることと、特性関数を定義する集合がルベーグ可測集合であることは必要十分です。
多変数のルベーグ可測関数と連続関数の合成関数はルベーグ可測関数
多変数のルベーグ可測関数と1変数のボレル可測関数の合成関数はルベーグ可測です。また、ボレル可測関数どうしの合成関数はボレル可測です。さらに、可測関数と連続関数の合成関数は可測関数です。
多変数の連続関数はルベーグ可測関数
ユークリッド空間上のルベーグ可測集合上に定義された連続な多変数の実数値関数や拡大実数値関数はルベーグ可測です。また、ボレル集合上に定義された連続な多変数の実数値関数や拡大実数値関数はボレル可測です。
