実部と虚部を用いた複素関数の収束判定
複素関数が収束することをイプシロン・デルタ論法を用いて証明する手続きは面倒です。複素関数が収束する・収束しないことを複素関数の実部および虚部である2変数の実数値関数の収束可能性へ帰着させる方法を解説します。
複素数列を用いた複素関数の収束判定
複素関数が収束することをイプシロン・デルタ論法を用いて証明する手続きは面倒です。複素関数が収束する・収束しないことを複素数列を用いて判定する方法を解説します。
複素数集合の集積点・導集合
複素平面Cの部分集合Aが与えられたとき、点a∈Cを中心とする任意の近傍がaとは異なるAの点を要素として持つ場合、このような点aをAの集積点と呼びます。また、Aのすべての集積点からなる集合をAの導集合と呼びます。
複素数集合の触点・閉包
複素平面Cの部分集合Aが与えられたとき、点a∈Cの任意の近傍がAと交わるならば、aをAの触点と呼びます。また、Aのすべての触点からなる集合をAの閉包と呼びます。
複素数集合の境界点・境界
複素平面Cの部分集合Aが与えられたとき、点a∈Cの任意の近傍がAとAの補集合の双方と交わるならば、aをAの境界点と呼びます。また、Aのすべての境界点からなる集合をAの境界と呼びます。
複素数集合の外点・外部
複素平面Cの部分集合Aが与えられたとき、点a∈Cの近傍の中にAの補集合の部分集合であるようなものが存在するならば、aをAの外点と呼びます。また、Aのすべての外点からなる集合をAの外部と呼びます。
複素数集合の内点・内部
複素平面Cの部分集合Aが与えられたとき、点a∈Cの近傍の中にAの部分集合であるようなものが存在するならば、aをAの内点と呼びます。また、Aのすべての内点からなる集合をAの内部と呼びます。
複素関数による像と複素関数の値域
複素関数が始集合のそれぞれの要素に対して定める複素数を、その要素の像と呼びます。複素関数がとり得るすべての値からなる集合を複素関数の値域と呼びます。
複素指数関数の定義と具体例
指数関数の始集合と終集合を複素空間へ拡張することにより得られる関数を複素指数関数と呼びます。複素指数関数を定義した上で、その基本的な性質について解説します。
複素関数の定義と具体例
複素平面もしくはその部分集合を始集合とし、複素平面を終集合とする写像を複素関数と呼びます。つまり、複素関数とはそれぞれの複素数に対して複素数を1つずつ定める規則です。
複素数列を用いた開集合・閉集合の判定
複素平面の部分集合が閉集合であることの意味を複素数列を用いて表現することもでき、こちらの定義を採用した方が閉集合であることを容易に判定できる場合があります。
複素平面上の開集合・開集合系
複素平面の部分集合Aが与えられたとき、Aのそれぞれの点に対して、その点を中心とする近傍の中にAの部分集合であるようなものが存在するならば、Aを複素平面上の開集合と呼びます。
正項級数に関する積分判定法（p-級数の収束判定）
正項級数が収束ないし発散するかを判定する際に積分を用いる手法について解説します。同時に、p-級数の収束判定方法について解説します。
絶対収束複素級数（絶対値級数を用いた複素級数の収束判定）
複素級数が与えられたとき、その絶対値級数が収束する場合、もとの複素級数を絶対収束複素級数と呼びます。絶対収束複素級数は収束します。また、収束する一方で絶対収束しない複素級数を条件収束複素級数と呼びます。
級数どうしの差の収束可能性（差の法則）
収束級数どうしの差として定義される級数は収束します。収束級数と発散級数の差として定義される級数は発散します。発散級数どうしの差として定義される級数は収束する場合と発散する場合の両方のパターンがあります。
等比複素数列とその部分和および極限
隣り合う項が共通の比を持つ複素数列を等比複素数列と呼びます。等比複素数列を定義するとともに、その部分和を明らかにした上で、等比複素数列が収束する・収束しない条件を明らかにします。
等差複素数列とその部分和および極限
隣り合う項が共通の差を持つ複素数列を等差複素数列と呼びます。等差複素数列を定義するとともに、その部分和を明らかにした上で、等差複素数列が収束する・収束しない条件を明らかにします。
複素級数の収束可能性と複素数列の有界性の関係
複素級数が収束する場合には、その級数のもととなる複素数列や部分和の列はいずれも有界になります。対偶より、複素数列または部分和の列の少なくとも一方が非有界ならば複素級数は発散します。
複素級数の収束可能性と複素数列の収束可能性の関係
複素級数が収束する場合には、もととなる複素数列はゼロへ収束します。対偶より、複素数列がゼロへ収束しない場合、その複素数列の項の複素級数は発散します。
実級数を用いた複素級数の収束判定
複素級数が複素数へ収束することと、実部の実級数と虚部の実級数がともに実数へ収束することは必要十分であるため、実級数の知識を駆使して複素級数の収束可能性を検討できます。
複素数の指数表現（複素指数関数とオイラーの公式）
自然指数関数の定義域を数直線から複素平面へ拡張することにより得られる関数を複素指数関数と呼びます。複素指数関数を用いて複素数を表現する方法を解説します。
複素数列に関するボルツァーノ＝ワイエルシュトラスの定理
複素数列に関してもボルツァーノ＝ワイエルシュトラスの定理が成り立ちます。つまり、複素数列が有界である場合には、それ自身が収束するかどうかを問わず、収束する部分列が必ず存在します。
部分列を用いた複素数列の収束判定
複素数列が収束することと、その任意の部分列がもとの複素数列の極限と同じ極限へ収束することは必要十分です。以上の事実は、収束する複素数列の極限を特定したり、複素数列が収束しないことを示す上で有用です。
