一般的な大学のカリキュラム
多くの大学では、1年次に次の二つの科目を学びます。
- 微分積分学
- 線形代数学
その後、
- 実数論
- 位相空間論
- 関数解析
- 微分方程式
などのより理論的な科目へ進みます。
イメージとしては、
微分積分学
＋
線形代数学
↓
実数論
↓
位相空間論
↓
各専門分野
という流れです。
なぜ大学は微分積分学から始めるのか
これは必ずしも数学の論理構造に従った順番ではありません。
大きな理由は二つあります。
理由1：高校数学との接続が容易
高校生はすでに
- 微分
- 積分
- 関数
を学んでいます。そのため大学側としては、高校数学の延長として微分積分学を教えやすいという事情があります。
理由2：理工系学部で早期に必要になる
工学や物理学では、
入学直後から
- 力学
- 電磁気学
- 熱力学
などを学びます。
これらには微分積分学が不可欠です。
そのため理論的な基礎よりも先に、微分積分学の計算技術を習得させる必要があります。
数学の論理構造から見ると少し不自然
数学の内容だけを見ると、実は微分積分学は多くの概念を前提にしています。
例えば、
- 数列の極限
- 関数の極限
- 連続性
などです。
微分の定義そのものも、極限の概念を用いています。
微分を理解するためには極限を理解する必要があります。
WIISのカリキュラム
WIISでは、
論理学
↓
集合論
↓
実数論
↓
微分積分学
↓
微分方程式
という流れを採用しています。
実数論で何を学ぶのか
実数論というと、
- デデキント切断
- 完備性公理
だけを扱う分野だと思われることがあります。
しかしWIISの実数論では、
- 数列
- 関数
- 級数
- 関数列
- 実数直線の位相
- 極限
- 連続性
まで扱います。
つまり、解析学の基礎理論を先に学ぶ構成になっています。
微分積分学で「なぜそうなるのか」が分かる
一般的な教科書では、連続性や微分可能性の議論がやや直感的に進むことがあります。
一方でWIISでは、微分積分学に入る段階で既に
- 開集合
- 閉集合
- 収束
- 近傍
- 連続性
といった概念を学んでいます。
そのため、「なぜその定理が成り立つのか」を理解しながら微分積分学を学ぶことができます。
位相空間論や凸解析へ自然につながる
WIISのカリキュラムの最大の特徴はここにあります。
例えば位相空間論では、
- 開集合
- 閉集合
- 収束
- 連続写像
などが中心になります。
しかしWIISの学習者は、これらの概念に実数論の段階で既に触れています。
そのため、位相空間論に進んだときに「初めて聞く概念」としてではなく、「見慣れた概念の一般化」として理解できます。
遠回りのようで近道
WIISのカリキュラムは、一見すると遠回りに見えるかもしれません。
実際、多くの大学では微分積分学から学び始めます。
しかし、
論理学
↓
集合論
↓
実数論
↓
微分積分学
という順番には、数学の論理構造に沿って学べるという大きな利点があります。
計算方法だけでなく、その背後にある理論を理解しながら学びたい人にとって、この順序は非常に自然な学習ルートです。
まとめ
一般的な大学では、
微分積分学
＋
線形代数学
↓
実数論
↓
位相空間論
という順序で学ぶことが多くあります。
これは教育上・制度上の理由によるものです。
一方、WIISでは、
論理学
↓
集合論
↓
実数論
↓
微分積分学
という流れを採用しています。
この順序によって、
- 極限
- 連続性
- 収束
などの基礎概念を先に理解できるため、微分積分学やその後の位相空間論、凸解析をより深く学ぶことができます。
数学を単なる計算技術ではなく、一つの体系として理解したい人にとって、WIISのカリキュラムは理論的なつながりを重視した学習ルートとなっています。
