円座標系（平面における極座標系）のもとでの曲線の性質

円座標系のもとでの単位ベクトル

平面\(\mathbb{R} ^{2}\)上に存在する点\(P\)の直交座標が\(\boldsymbol{p}\in \mathbb{R} ^{2}\)であり、極座標が\(\left(r,\theta \right) \in \lbrack 0,+\infty )\times \lbrack 0,2\pi )\)である場合、両者の間には以下の関係\begin{equation*}\boldsymbol{p}=\left(
\begin{array}{c}
r\cos \left( \theta \right) \\
r\sin \left( \theta \right)
\end{array}\right)
\end{equation*}が成り立ちます（下図）。

ただし、\begin{eqnarray*}
\left\Vert \boldsymbol{p}\right\Vert &=&\sqrt{r^{2}\cos ^{2}\left( \theta
\right) +r^{2}\sin \left( \theta \right) } \\
&=&\sqrt{r^{2}} \\
&=&r\quad \because r\geq 0
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\left\Vert \boldsymbol{p}\right\Vert =r
\end{equation*}であることに注意してください。つまり、点\(P\)の位置ベクトル\(\boldsymbol{p}\)の大きさは動径\(r\)と一致します。

点\(P\)の位置ベクトル\(\boldsymbol{p}\)と同一方向にある単位ベクトルを、\begin{equation*}\boldsymbol{e}_{r}\left( \theta \right) =\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( \theta \right) \\
\sin \left( \theta \right)
\end{array}\right)
\end{equation*}で表記し、これを動径方向の単位ベクトル（radial unit vector）と呼びます。これを用いると、\begin{eqnarray*}
\boldsymbol{p} &=&\left(
\begin{array}{c}
r\cos \left( \theta \right) \\
r\sin \left( \theta \right)
\end{array}\right) \\
&=&r\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( \theta \right) \\
\sin \left( \theta \right)
\end{array}\right) \\
&=&r\boldsymbol{e}_{r}\left( \theta \right)
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\boldsymbol{p}=r\boldsymbol{e}_{r}\left( \theta \right)
\end{equation*}と表せます。つまり、原点から点\(P\)へ至るためには\(\boldsymbol{e}_{r}\left( \theta \right) \)方向に動径\(r\)分だけ進む必要があります。\(\boldsymbol{e}_{r}\left( \theta \right) \)は点\(P\)が原点から遠ざかる方向を表します。

\(\boldsymbol{e}_{r}\left( \theta \right) \)はいわば原点から点\(P\)への視線の向きです。\(\boldsymbol{e}_{r}\left(\theta \right) \)は\(\theta \)の関数であるため、方位\(\theta \)を変えれば視線の向き\(\boldsymbol{e}_{r}\left( \theta \right) \)もまた変わります。そこで、方位\(\theta \)をわずかに変化させたとき、視線の先がどちらに動くかを考えます。具体的には、\begin{eqnarray*}\frac{d\boldsymbol{e}_{r}\left( \theta \right) }{d\theta } &=&\frac{d}{d\theta }\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( \theta \right) \\
\sin \left( \theta \right)
\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
-\sin \left( \theta \right) \\
\cos \left( \theta \right)
\end{array}\right)
\end{eqnarray*}となります。このベクトルの大きさは、\begin{eqnarray*}
\left\Vert \frac{d\boldsymbol{e}_{r}\left( \theta \right) }{d\theta }\right\Vert &=&\left\Vert \left(
\begin{array}{c}
-\sin \left( \theta \right) \\
\cos \left( \theta \right)
\end{array}\right) \right\Vert \\
&=&\sqrt{\sin ^{2}\left( \theta \right) +\cos ^{2}\left( \theta \right) } \\
&=&1
\end{eqnarray*}であるため、これは単位ベクトルです。そこで、これを方位角方向の単位ベクトル（transverse unit vector）と呼び、\begin{equation*}
\boldsymbol{e}_{\theta }\left( \theta \right) =\left(
\begin{array}{c}
-\sin \left( \theta \right) \\
\cos \left( \theta \right)
\end{array}\right)
\end{equation*}で表記します。

\(\boldsymbol{e}_{r}\left( \theta \right) \)は点\(P\)が中心から離れる方向であり、\(\boldsymbol{e}_{\theta }\left( \theta \right) \)は中心からの距離は変えずに円上を動く方向です。円の半径と接線は垂直であるため\(\boldsymbol{e}_{r}\left( \theta \right) \)と\(\boldsymbol{e}_{\theta }\left( \theta \right) \)は直交します。実際、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{e}_{r}\left( \theta \right) \cdot \boldsymbol{e}_{\theta }\left(
\theta \right) &=&\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( \theta \right) \\
\sin \left( \theta \right)
\end{array}\right) \cdot \left(
\begin{array}{c}
-\sin \left( \theta \right) \\
\cos \left( \theta \right)
\end{array}\right) \\
&=&-\cos \left( \theta \right) \sin \left( \theta \right) +\sin \left(
\theta \right) \cos \left( \theta \right) \\
&=&0
\end{eqnarray*}が成り立ちます。

円座標系のもとでの曲線の速度ベクトル（接ベクトル）

平面\(\mathbb{R} ^{2}\)上に存在する点\(P\)の直交座標が\(\boldsymbol{p}\in \mathbb{R} ^{2}\)であり、極座標が\(\left(r,\theta \right) \in \lbrack 0,+\infty )\times \lbrack 0,2\pi )\)である場合、両者の間には以下の関係\begin{equation*}\boldsymbol{p}=\left(
\begin{array}{c}
r\cos \left( \theta \right) \\
r\sin \left( \theta \right)
\end{array}\right)
\end{equation*}が成り立ちます。さらに、極座標\(\left( r,\theta \right) \)の値はパラメータ\(t\in T\subset \mathbb{R} \)の値に依存して変化するものとし、その関係がベクトル値関数\begin{equation*}\left(
\begin{array}{c}
r \\
\theta
\end{array}\right) :\mathbb{R} \supset T\rightarrow \mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}として表現されているものとします。つまり、パラメータの値が\(t\in T\)である時点における極座標の値は、\begin{equation*}\left(
\begin{array}{c}
r \\
\theta
\end{array}\right) \left( t\right) =\left(
\begin{array}{c}
r\left( t\right) \\
\theta \left( t\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}であり、さらにそのときの点\(P\)の直交座標は、\begin{equation*}\boldsymbol{p}\left( t\right) =\left(
\begin{array}{c}
r\left( t\right) \cos \left( \theta \left( t\right) \right) \\
r\left( t\right) \sin \left( \theta \left( t\right) \right)
\end{array}\right)
\end{equation*}です。このような事情を踏まえると、それぞれの\(t\in T\)に対して、そのときの点\(P\)の直交座標\(\boldsymbol{p}\left( t\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を特定するベクトル値関数\begin{equation*}\boldsymbol{p}:\mathbb{R} \supset T\rightarrow \mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}が定義可能です。このベクトル値関数から定義される平面\(\mathbb{R} ^{2}\)上の曲線は、\begin{equation*}C\left( \boldsymbol{p}\right) =\left\{ \boldsymbol{p}\left( t\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ t\in T\right\}
\end{equation*}です。

パラメータの値が\(t\in T\)である時点における曲線\(C\left( \boldsymbol{p}\right) \)の速度ベクトル（接ベクトル）は以下のように定まります。

パラメータの値が\(t\)である時点における曲線\(C\left( \boldsymbol{p}\right) \)の速度ベクトルが、\begin{equation*}\boldsymbol{p}^{\prime }\left( t\right) =r^{\prime }\left( t\right)
\boldsymbol{e}_{r}\left( t\right) +r\left( t\right) \theta ^{\prime }\left(
t\right) \boldsymbol{e}_{\theta }\left( t\right)
\end{equation*}として定まることが明らかになりました。そこで、第1項のスカラー\(r^{\prime }\left( t\right) \)を速度ベクトル\(\boldsymbol{p}^{\prime }\left( t\right) \)の動径成分（radial component）と呼び、第2項のスカラー\(r\left( t\right) \theta ^{\prime }\left( t\right) \)を速度ベクトル\(\boldsymbol{p}^{\prime }\left( t\right) \)の方位角成分（transverse component）と呼びます。

動径方向の単位ベクトル\(\boldsymbol{e}_{r}\left( t\right) \)は常に原点から点\(\boldsymbol{p}\left( t\right) \)を結ぶ直線の方向を向いています。したがって、速度ベクトル\(\boldsymbol{p}^{\prime }\left( t\right) \)の動径成分\(r^{\prime }\left( t\right) \)は、時点\(t\)において点\(\boldsymbol{p}\left( t\right) \)が原点から遠ざかる勢いを表しています。つまり、\(r^{\prime }\left( t\right) >0\)の場合には点\(\boldsymbol{p}\left(t\right) \)は原点から遠ざかり、\(r^{\prime }\left( t\right) \)が大きいほど点\(\boldsymbol{p}\left( t\right) \)は勢いよく遠ざかっていきます。逆に、\(r^{\prime }\left(t\right) <0\)の場合には点\(\boldsymbol{p}\left( t\right) \)は原点へ近づき、\(r^{\prime }\left( t\right) \)の値が小さいほど点\(\boldsymbol{p}\left( t\right) \)は勢いよく近づいていきます。

方位角方向の単位ベクトル\(\boldsymbol{e}_{\theta }\left( t\right) \)は常に動径方向の単位ベクトル\(\boldsymbol{e}_{r}\left( t\right) \)に垂直な方向、すなわち曲線\(C\left( \boldsymbol{p}\right) \)の接線方向を向いています。したがって、速度ベクトル\(\boldsymbol{p}^{\prime }\left(t\right) \)の方位角成分\(r\left( t\right)\theta ^{\prime }\left( t\right) \)は、時点\(t\)において点\(\boldsymbol{p}\left( t\right) \)が進む向きが、原点から見た方向から横へ逸れていく勢いを表しています。つまり、\(r\left( t\right) \theta ^{\prime }\left( t\right) >0\)の場合には点\(\boldsymbol{p}\left( t\right) \)は原点から見た方角を基準として反時計回りに逸れていき、\(r\left( t\right) \theta ^{\prime }\left( t\right) \)が大きいほど点\(\boldsymbol{p}\left( t\right) \)は勢いよく逸れていきます。逆に、\(r\left( t\right) \theta^{\prime }\left( t\right) <0\)の場合には点\(\boldsymbol{p}\left( t\right) \)は原点から見た方角を基準として時計回りに逸れていき、\(r\left( t\right) \theta ^{\prime }\left( t\right) \)が小さいほど点\(\boldsymbol{p}\left( t\right) \)は勢いよく逸れていきます。

円座標系のもとでの曲線の速さ

速さは以下のように導かれます。

円座標系のもとでの曲線の加速度ベクトル

加速度ベクトルは以下のように導かれます。

円座標系のもとでの曲線の弧長

曲線の弧長は以下のように導かれます。

円座標系のもとでの曲線の曲率

曲線の曲率は以下のように導かれます。

演習問題