C^0級のベクトル値関数
実数空間\(\mathbb{R} \)もしくはその部分集合\(X\)を定義域とし、ベクトルを値としてとる1変数のベクトル値関数\begin{equation*}\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が与えられているものとします。関数\(\boldsymbol{f}\)が定義域の内点\(a\in X^{i}\)において連続である場合、\(\boldsymbol{f}\)は点\(a\)において\(C^{0}\)級である（class \(C^{0}\) at \(a\)）と言います。
関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が\(C^{0}\)級であるような点からなる集合が\(Y\subset X\)である場合、\(\boldsymbol{f}\)は\(Y\)において\(C^{0}\)級である（class \(C^{0}\) on \(Y\)）と言います。特に、\(Y=X\)である場合、すなわち\(\boldsymbol{f}\)が定義域上の任意の点において\(C^{0}\)級である場合には、\(\boldsymbol{f}\)は\(C^{0}\)級である（class \(C^{0}\)）と言います。
\begin{array}{c}
f_{1}\left( x\right) \\
f_{2}\left( x\right)
\end{array}\right) \\
&=&f_{1}\left( x\right) \boldsymbol{i}+f_{2}\left( x\right) \boldsymbol{j}
\end{eqnarray*}です。ただし、\begin{equation*}
\boldsymbol{i}=\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0\end{array}\right) ,\quad \boldsymbol{j}=\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1\end{array}\right)
\end{equation*}です。\(\boldsymbol{f}\)が連続であることと成分関数\(f_{1},f_{2}\)がともに連続であることは必要十分であるため、\(\boldsymbol{f}\)が\(C^{0}\)級であることと\(f_{1},f_{2}\)がともに\(C^{0}\)級であることは必要十分です。
\begin{array}{c}
f_{1}\left( x\right) \\
f_{2}\left( x\right) \\
f_{3}\left( x\right)
\end{array}\right) \\
&=&f_{1}\left( x\right) \boldsymbol{i}+f_{2}\left( x\right) \boldsymbol{j}+f_{3}^{\prime \prime }\left( x\right) \boldsymbol{k}
\end{eqnarray*}です。ただし、\begin{equation*}
\boldsymbol{i}=\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
0\end{array}\right) ,\quad \boldsymbol{j}=\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1 \\
0\end{array}\right) ,\quad \boldsymbol{k}=\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
1\end{array}\right)
\end{equation*}です。\(\boldsymbol{f}\)が連続であることと成分関数\(f_{1},f_{2},f_{3}\)がすべて連続であることは必要十分であるため、\(\boldsymbol{f}\)が\(C^{0}\)級であることと\(f_{1},f_{2},f_{3}\)がすべて\(C^{0}\)級であることは必要十分です。
\begin{array}{c}
\cos \left( x\right) \\
\sin \left( x\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(\cos \left( x\right) \)と\(\sin \left( x\right) \)は連続すなわち\(C^{0}\)級であるため\(\boldsymbol{f}\)もまた\(C^{0}\)級です。
ベクトル値関数の定義域が有界閉区間\(\left[ a,b\right] \)である場合の端点\(a,b\)など、定義域上に内点ではない点が存在する場合には、片側連続性を用いて\(C^{0}\)級であることを評価します。
\begin{array}{c}
t^{2} \\
e^{t} \\
\sqrt{t}\end{array}\right)
\end{equation*}であるものとします。点\(0\)は\(\boldsymbol{r}\)の定義域\(\mathbb{R} _{+}\)の内点ではないため、右側連続性で対処します。\(\boldsymbol{r}\)は点\(0\)において右側連続であるため、\(\boldsymbol{r}\)は点\(0\)において\(C^{0}\)級です。他の任意の点、すなわち\(\mathbb{R} _{++}\)上の任意の点において\(\boldsymbol{r}\)は連続です。したがって\(\boldsymbol{r}\)は\(C^{0}\)級です。
C^1級のベクトル値関数
ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が定義域の内点\(a\in X^{i}\)および周辺の任意の点において微分可能であるものとします。この場合、導関数\(\boldsymbol{f}^{\prime }\)は点\(a\)を中心とする何らかの近傍上で定義されていることになるため、点\(a\)は導関数\(\boldsymbol{f}^{\prime }\)の定義域の内点です。その上で、導関数\(\boldsymbol{f}^{\prime }\)が点\(a\)において連続である場合には、もとの関数\(\boldsymbol{f}\)は点\(a\)において\(C^{1}\)級である（class \(C^{1}\) at \(a\)）とか点\(a\)において連続微分可能である（continuously differentiableat \(a\)）などと言います。
ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が\(C^{1}\)級であるような点からなる集合が\(Y\subset X\)である場合、\(\boldsymbol{f}\)は\(Y\)において\(C^{1}\)級である（class \(C^{1}\) on \(Y\)）とか\(Y\)において連続微分可能である（continuously differentiable on \(Y\)）などと言います。特に、\(Y=X\)である場合、すなわち\(\boldsymbol{f}\)が定義域上の任意の点において\(C^{1}\)級である場合には、\(\boldsymbol{f}\)は\(C^{1}\)級である（class \(C^{1}\)）とか連続微分可能である（continuously differentiable）と言います。
\begin{array}{c}
f_{1}\left( x\right) \\
f_{2}\left( x\right)
\end{array}\right) \\
&=&f_{1}\left( x\right) \boldsymbol{i}+f_{2}\left( x\right) \boldsymbol{j}
\end{eqnarray*}です。ただし、\begin{equation*}
\boldsymbol{i}=\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0\end{array}\right) ,\quad \boldsymbol{j}=\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1\end{array}\right)
\end{equation*}です。\(\boldsymbol{f}\)が微分可能であるとともに導関数\(\boldsymbol{f}^{\prime }\)が連続であることと、成分関数\(f_{1},f_{2}\)が微分可能であるとともに導関数\(f_{1}^{\prime },f_{2}^{\prime }\)が連続であることは必要十分であるため、\(\boldsymbol{f}\)が\(C^{1}\)級であることと\(f_{1},f_{2}\)がともに\(C^{1}\)級であることは必要十分です。
\begin{array}{c}
f_{1}\left( x\right) \\
f_{2}\left( x\right) \\
f_{3}\left( x\right)
\end{array}\right) \\
&=&f_{1}\left( x\right) \boldsymbol{i}+f_{2}\left( x\right) \boldsymbol{j}+f_{3}^{\prime \prime }\left( x\right) \boldsymbol{k}
\end{eqnarray*}です。ただし、\begin{equation*}
\boldsymbol{i}=\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
0\end{array}\right) ,\quad \boldsymbol{j}=\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1 \\
0\end{array}\right) ,\quad \boldsymbol{k}=\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
1\end{array}\right)
\end{equation*}です。\(\boldsymbol{f}\)が微分可能であるとともに導関数\(\boldsymbol{f}^{\prime }\)が連続であることと、成分関数\(f_{1},f_{2},f_{3}\)が微分可能であるとともに導関数\(f_{1}^{\prime },f_{2}^{\prime },f_{3}^{\prime }\)が連続であることは必要十分であるため、\(\boldsymbol{f}\)が\(C^{1}\)級であることと\(f_{1},f_{2},f_{3}\)がすべて\(C^{1}\)級であることは必要十分です。
\begin{array}{c}
\cos \left( x\right) \\
\sin \left( x\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(\boldsymbol{f}\)は微分可能であり、導関数\(\boldsymbol{f}^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{f}^{\prime }\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
-\sin \left( x\right) \\
\cos \left( x\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}を定めます。\(\boldsymbol{f}^{\prime }\)は連続であるため\(\boldsymbol{f}\)は\(C^{1}\)級です。
ベクトル値関数の定義域が有界閉区間\(\left[ a,b\right] \)である場合の端点\(a,b\)など、定義域上に内点ではない点が存在する場合には、片側微分可能性と片側連続性を用いて\(C^{1}\)級であることを評価します。
\begin{array}{c}
t^{2} \\
e^{t} \\
\sqrt{t}\end{array}\right)
\end{equation*}であるものとします。点\(0\)は\(\boldsymbol{r}\)の定義域\(\mathbb{R} _{+}\)の内点ではないため、右側微分可能性と右側連続性で対処します。\(\sqrt{t}\)は点\(0\)において右側微分可能ではないため\(\boldsymbol{r}\)もまた点\(0\)において右側微分可能ではなく、ゆえに\(C^{1}\)級でもありません。他の任意の点\(x\in \mathbb{R} _{++}\)については、\begin{equation*}\boldsymbol{r}^{\prime }\left( t\right) =\left(
\begin{array}{c}
2t \\
e^{t} \\
\frac{1}{2\sqrt{t}}\end{array}\right)
\end{equation*}ですが、これは連続であるため\(\boldsymbol{r}\)は\(\mathbb{R} _{++}\)上で\(C^{1}\)級です。
\begin{array}{c}
t^{2} \\
e^{t} \\
t^{\frac{3}{2}}\end{array}\right)
\end{equation*}であるものとします。点\(0\)は\(\boldsymbol{r}\)の定義域\(\mathbb{R} _{+}\)の内点ではないため、右側微分可能性と右側連続性で対処します。\(\boldsymbol{r}\)の右側導関数は、\begin{equation*}\boldsymbol{r}_{+}^{\prime }\left( t\right) =\left(
\begin{array}{c}
2t \\
e^{t} \\
\frac{3}{2}t^{\frac{1}{2}}\end{array}\right)
\end{equation*}であるため、\begin{eqnarray*}
\lim_{t\rightarrow 0+}\boldsymbol{r}_{+}^{\prime }\left( t\right)
&=&\lim_{t\rightarrow 0+}\left(
\begin{array}{c}
2t \\
e^{t} \\
\frac{3}{2}t^{\frac{1}{2}}\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1 \\
0\end{array}\right) \\
&=&\boldsymbol{r}_{+}^{\prime }\left( 0\right)
\end{eqnarray*}が成り立ち、ゆえに\(\boldsymbol{r}^{\prime }\)は点\(0\)において右側連続です。したがって\(\boldsymbol{r}\)は点\(0\)において右側連続です。他の任意の点\(x\in \mathbb{R} _{++}\)については、\begin{equation*}\boldsymbol{r}^{\prime }\left( t\right) =\left(
\begin{array}{c}
2t \\
e^{t} \\
\frac{3}{2}t^{\frac{1}{2}}\end{array}\right)
\end{equation*}ですが、これは連続であるため\(\boldsymbol{r}\)は\(\mathbb{R} _{++}\)上において\(C^{1}\)級です。以上より、\(\boldsymbol{r}\)が\(\mathbb{R} _{+}\)上において\(C^{1}\)級であることが明らかになりました。
C^n級のベクトル値関数
ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域の内点\(a\in X^{i}\)および周辺の任意の点において\(n\)階微分可能であるものとします。この場合、\(n\)階導関数\(\boldsymbol{f}^{\left( n\right) }\)は点\(a\)を中心とする何らかの近傍上で定義されていることになるため、点\(a\)は\(n\)階導関数\(\boldsymbol{f}^{\left( n\right) }\)の定義域の内点です。その上で、\(n\)階導関数\(\boldsymbol{f}^{\left( n\right) }\)が点\(a\)において連続である場合には、もとの関数\(\boldsymbol{f}\)は点\(a\)において\(C^{n}\)級である（class \(C^{n}\) at \(a\)）とか点\(a\)において\(n\)階連続微分可能である（\(n\) th order continuously differentiable at \(a\)）などと言います。
ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が\(C^{n}\)級であるような点からなる集合が\(Y\subset X\)である場合、\(\boldsymbol{f}\)は\(Y\)において\(C^{n}\)級である（class \(C^{n}\) on \(Y\)）とか\(Y\)において\(n\)階連続微分可能である（\(n\) thorder continuously differentiable on \(Y\)）などと言います。特に、\(Y=X\)である場合、すなわち\(\boldsymbol{f}\)が定義域上の任意の点において\(C^{n}\)級である場合には、\(\boldsymbol{f}\)は\(C^{n}\)級である（class \(C^{n}\)）とか\(n\)階連続微分可能である（\(n\) th order continuously differentiable）などと表現します。
ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)が\(C^{n}\)級であるものとします。これは\(n-1\)階導関数\(\boldsymbol{f}^{\left( n-1\right) }\)が微分可能であることを含意します。微分可能な関数は連続であるため\(\boldsymbol{f}^{\left( n-1\right) }\)は連続です。以上より、\(C^{n}\)級の関数は\(C^{n-1}\)級であることが明らかになりました。関数が\(C^{n-1}\)級であるならば、同様の議論を繰り返すことにより\(C^{n-2}\)級であることが示されます。さらに同様の議論を繰り返すことができます。したがって、ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)が\(C^{n}\)級である場合には、\(m<n\)を満たす任意の\(m\in \mathbb{Z} _{+}\)について、\(\boldsymbol{f}\)が\(C^{m}\)級であることが明らかになりました。
\begin{array}{c}
f_{1}\left( x\right) \\
f_{2}\left( x\right)
\end{array}\right) \\
&=&f_{1}\left( x\right) \boldsymbol{i}+f_{2}\left( x\right) \boldsymbol{j}
\end{eqnarray*}です。ただし、\begin{equation*}
\boldsymbol{i}=\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0\end{array}\right) ,\quad \boldsymbol{j}=\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1\end{array}\right)
\end{equation*}です。\(\boldsymbol{f}^{\left( n-1\right) }\)が微分可能であるとともに\(\boldsymbol{f}^{\left( n\right) }\)が連続であることと、\(f_{1}^{\left( n-1\right)},f_{2}^{\left( n-1\right) }\)が微分可能であるとともに\(f_{1}^{\left( n\right)},f_{2}^{\left( n\right) }\)が連続であることは必要十分であるため、\(\boldsymbol{f}\)が\(C^{n}\)級であることと\(f_{1},f_{2}\)がともに\(C^{n}\)級であることは必要十分です。
\begin{array}{c}
f_{1}\left( x\right) \\
f_{2}\left( x\right) \\
f_{3}\left( x\right)
\end{array}\right) \\
&=&f_{1}\left( x\right) \boldsymbol{i}+f_{2}\left( x\right) \boldsymbol{j}+f_{3}^{\prime \prime }\left( x\right) \boldsymbol{k}
\end{eqnarray*}です。ただし、\begin{equation*}
\boldsymbol{i}=\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
0\end{array}\right) ,\quad \boldsymbol{j}=\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1 \\
0\end{array}\right) ,\quad \boldsymbol{k}=\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
1\end{array}\right)
\end{equation*}です。\(\boldsymbol{f}^{\left( n-1\right) }\)が微分可能であるとともに\(f^{\left( n\right) }\)が連続であることと、\(f_{1}^{\left( n-1\right)},f_{2}^{\left( n-1\right) },f_{3}^{\left( n-1\right) }\)が微分可能であるとともに\(f_{1}^{\left( n\right) },f_{2}^{\left( n\right) },f_{3}^{\left(n\right) }\)が連続であることは必要十分であるため、\(\boldsymbol{f}\)が\(C^{n}\)級であることと\(f_{1},f_{2},f_{3}\)がすべて\(C^{n}\)級であることは必要十分です。
\begin{array}{c}
\cos \left( x\right) \\
\sin \left( x\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。任意の\(n\in \mathbb{N} \)について\(\boldsymbol{f}\)は\(n\)階微分可能であり、\(n\)階導関数\(\boldsymbol{f}^{\left( n\right) }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{f}^{\prime }\left( x\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
-\sin \left( x\right) \\
\cos \left( x\right)
\end{array}\right) \\
\boldsymbol{f}^{\prime \prime }\left( x\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
-\cos \left( x\right) \\
-\sin \left( x\right)
\end{array}\right) \\
\boldsymbol{f}^{\prime \prime \prime }\left( x\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
\sin \left( x\right) \\
-\cos \left( x\right)
\end{array}\right) \\
\boldsymbol{f}^{\left( n\right) }\left( x\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( x\right) \\
\sin \left( x\right)
\end{array}\right) \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}を定めます。任意の\(n\)について\(\boldsymbol{f}^{\left( n\right) }\left(x\right) \)は連続であるため、\(\boldsymbol{f}\)は任意の\(n\)について\(C^{n}\)級の関数です。
ベクトル値関数の定義域が有界閉区間\(\left[ a,b\right] \)である場合の端点\(a,b\)など、定義域上に内点ではない点が存在する場合には、片側微分可能性と片側連続性を用いて\(C^{n}\)級であることを評価します。
C^∞級のベクトル値関数
ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域の内点\(a\in X^{i}\)において無限階微分可能であるならば、すなわち、任意の\(n\in \mathbb{N} \)について\(\boldsymbol{f}\)は点\(a\)において\(n\)階微分可能であるとともに\(n\)階微分関数\(\boldsymbol{f}^{\left( n\right) }\)が点\(a\)において連続である場合には、\(\boldsymbol{f}\)は点\(a\)において\(C^{\infty }\)級である（class \(C^{\infty }\) at \(a\)）とか点\(a\)において無限階微分可能である（infinitely differentiable at \(a\)）などと言います。
ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が\(C^{\infty }\)級であるような点からなる集合が\(Y\subset X\)である場合、\(\boldsymbol{f}\)は\(Y\)において\(C^{\infty }\)級である（class \(C^{\infty }\) on \(Y\)）とか\(Y\)において無限階連続微分可能である（infinitely differentiable on \(Y\)）などと言います。特に、\(Y=X\)である場合、すなわち\(\boldsymbol{f}\)が定義域上の任意の点において\(C^{\infty }\)級である場合には、\(\boldsymbol{f}\)は\(C^{\infty }\)級である（class \(C^{\infty }\)）とか無限階連続微分可能である（infinitely continuously differentiable）などと言います。
\begin{array}{c}
\cos \left( x\right) \\
\sin \left( x\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。任意の\(n\in \mathbb{N} \)について\(\boldsymbol{f}\)は\(n\)階微分可能であり、\(n\)階導関数\(\boldsymbol{f}^{\left( n\right) }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{f}^{\prime }\left( x\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
-\sin \left( x\right) \\
\cos \left( x\right)
\end{array}\right) \\
\boldsymbol{f}^{\prime \prime }\left( x\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
-\cos \left( x\right) \\
-\sin \left( x\right)
\end{array}\right) \\
\boldsymbol{f}^{\prime \prime \prime }\left( x\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
\sin \left( x\right) \\
-\cos \left( x\right)
\end{array}\right) \\
\boldsymbol{f}^{\left( n\right) }\left( x\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( x\right) \\
\sin \left( x\right)
\end{array}\right) \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}を定めます。任意の\(n\)について\(\boldsymbol{f}^{\left( n\right) }\left(x\right) \)は連続であるため、\(\boldsymbol{f}\)は任意の\(n\)について\(C^{n}\)級の関数です。したがって\(\boldsymbol{f}\)は\(C^{\infty }\)級の関数です。
演習問題
\begin{array}{c}
e^{x} \\
x^{2}\sin \left( x\right) \\
\ln \left( 1+x^{2}\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(\boldsymbol{f}\)が\(C^{\infty }\)級であることを示してください。
\begin{array}{cc}
\left(
\begin{array}{c}
x^{2}\sin \left( \frac{1}{x}\right) \\
x^{3}\cos \left( \frac{1}{x}\right)
\end{array}\right) & \left( if\ x\not=0\right) \\
\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right) & \left( if\ x=0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(\boldsymbol{f}\)が\(C^{1}\)級であるような\(x\)からなる集合を特定してください。
f &:&\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \\
\boldsymbol{g} &:&\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{eqnarray*}から合成関数\begin{equation*}
\boldsymbol{g}\circ f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}を定義します。\(f,\boldsymbol{g}\)がともに\(C^{n}\)級である場合には\(\boldsymbol{g}\circ f\)もまた\(C^{n}\)級であることを証明してください。
&&\left( b\right) \ \forall t\in \mathbb{R} :\boldsymbol{r}^{\prime }\left( t\right) \not=\boldsymbol{0}
\end{eqnarray*}を満たす場合には、それぞれの\(t\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{T}\left( t\right) =\frac{\boldsymbol{r}^{\prime }\left( t\right)
}{\left\Vert \boldsymbol{r}^{\prime }\left( t\right) \right\Vert }
\end{equation*}を定めるベクトル値関数\(\boldsymbol{T}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{3}\)が定義可能であるとともに、\(\boldsymbol{T}\)が\(C^{1}\)級であることを示してください。
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