ベクトル値関数の外積の微分
定義域を共有するとともに空間\(\mathbb{R} ^{3}\)上のベクトルを値としてとり得る2つのベクトル値関数\begin{eqnarray*}\boldsymbol{f} &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{3} \\
\boldsymbol{g} &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{3}
\end{eqnarray*}が与えられたとき、それぞれの実数\(x\in X\)に対して以下のベクトル\begin{eqnarray*}\left( \boldsymbol{f}\times \boldsymbol{g}\right) \left( x\right) &=&\boldsymbol{f}\left( x\right) \times \boldsymbol{g}\left( x\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\begin{vmatrix}
f_{2}\left( x\right) & f_{3}\left( x\right) \\
g_{2}\left( x\right) & g_{3}\left( x\right)
\end{vmatrix}
\\
-\begin{vmatrix}
f_{1}\left( x\right) & f_{3}\left( x\right) \\
g_{1}\left( x\right) & g_{3}\left( x\right)
\end{vmatrix}
\\
\begin{vmatrix}
f_{1}\left( x\right) & f_{2}\left( x\right) \\
g_{1}\left( x\right) & g_{2}\left( x\right)
\end{vmatrix}\end{array}\right) \quad \because \text{外積の定義}
\end{eqnarray*}を値として定めるベクトル値関数\begin{equation*}
\boldsymbol{f}\times \boldsymbol{g}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{3}
\end{equation*}が定義可能です。ただし、\begin{eqnarray*}
f_{i} &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \quad \left( i=1,\cdots ,m\right) \\
g_{i} &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \quad \left( i=1,\cdots ,m\right)
\end{eqnarray*}は\(\boldsymbol{f},\boldsymbol{g}\)の成分関数です。
関数\(\boldsymbol{f},\boldsymbol{g}\)の定義域の内点\(a\in X^{i}\)を任意に選んだとき、\(\boldsymbol{f},\boldsymbol{g}\)がともに点\(a\)において微分可能であるならば、\(\boldsymbol{f}\times \boldsymbol{g}\)もまた点\(a\)において微分可能であることが保証されるとともに、これらの関数の微分係数の間には以下の関係\begin{eqnarray*}\left( \boldsymbol{f}\times \boldsymbol{g}\right) ^{\prime }\left( a\right)
&=&\boldsymbol{f}^{\prime }\left( a\right) \times \boldsymbol{g}\left(
a\right) +\boldsymbol{f}\left( a\right) \times \boldsymbol{g}^{\prime
}\left( a\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
f_{1}^{\prime }\left( a\right) \\
f_{2}^{\prime }\left( a\right) \\
f_{3}^{\prime }\left( a\right)
\end{array}\right) \times \left(
\begin{array}{c}
g_{1}\left( a\right) \\
g_{2}\left( a\right) \\
g_{3}\left( a\right)
\end{array}\right) +\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( a\right) \\
f_{2}\left( a\right) \\
f_{3}\left( a\right)
\end{array}\right) \times \left(
\begin{array}{c}
g_{1}^{\prime }\left( a\right) \\
g_{2}^{\prime }\left( a\right) \\
g_{3}^{\prime }\left( a\right)
\end{array}\right)
\end{eqnarray*}が成立します。
したがって、何らかのベクトル値関数\(\boldsymbol{f},\boldsymbol{g}\)の外積の形をしているベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\cdot \boldsymbol{g}\)の微分可能性を検討する際には、微分の定義にさかのぼって考える前に、まずは\(\boldsymbol{f}\)と\(\boldsymbol{g}\)を分けた上で、それぞれが微分可能であることを確認すればよいということになります。
+\boldsymbol{f}\left( a\right) \times \boldsymbol{g}^{\prime }\left(
a\right)
\end{equation*}を満たす。
+\boldsymbol{f}\left( x\right) \times \boldsymbol{g}^{\prime }\left(
x\right)
\end{equation*}を定めます。
\begin{array}{c}
6x+8 \\
4x^{2}+2x-3 \\
5x\end{array}\right) \times \left(
\begin{array}{c}
x^{2}-3 \\
2x+4 \\
x^{3}-3x\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。先の命題より、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{3}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&\frac{d}{dx}\left(
\begin{array}{c}
6x+8 \\
4x^{2}+2x-3 \\
5x\end{array}\right) \times \left(
\begin{array}{c}
x^{2}-3 \\
2x+4 \\
x^{3}-3x\end{array}\right) +\left(
\begin{array}{c}
6x+8 \\
4x^{2}+2x-3 \\
5x\end{array}\right) \times \frac{d}{dx}\left(
\begin{array}{c}
x^{2}-3 \\
2x+4 \\
x^{3}-3x\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
6 \\
8x+2 \\
5\end{array}\right) \times \left(
\begin{array}{c}
x^{2}-3 \\
2x+4 \\
x^{3}-3x\end{array}\right) +\left(
\begin{array}{c}
6x+8 \\
4x^{2}+2x-3 \\
5x\end{array}\right) \times \left(
\begin{array}{c}
2x \\
2 \\
3x^{2}-3\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\begin{vmatrix}
8x+2 & 5 \\
2x+4 & x^{3}-3x\end{vmatrix}
\\
-\begin{vmatrix}
6 & 5 \\
x^{2}-3 & x^{3}-3x\end{vmatrix}
\\
\begin{vmatrix}
6 & 8x+2 \\
x^{2}-3 & 2x+4\end{vmatrix}\end{array}\right) +\left(
\begin{array}{c}
\begin{vmatrix}
4x^{2}+2x-3 & 5x \\
2 & 3x^{2}-3\end{vmatrix}
\\
-\begin{vmatrix}
6x+8 & 5x \\
2x & 3x^{2}-3\end{vmatrix}
\\
\begin{vmatrix}
4x^{2}+2x-3 & 5x \\
2 & 3x^{2}-3\end{vmatrix}\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
8x^{4}+2x^{3}-24x^{2}-16x-20 \\
-6x^{3}+5x^{2}+18x-15 \\
-8x^{3}-2x^{2}+36x+30\end{array}\right) +\left(
\begin{array}{c}
12x^{4}+6x^{3}-21x^{2}-16x+9 \\
-18x^{3}-14x^{2}+18x+24 \\
12x^{4}+6x^{3}-21x^{2}-16x+9\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
20x^{4}+8x^{3}-45x^{2}-32x-11 \\
-24x^{3}-9x^{2}+36x+9 \\
12x^{4}-2x^{3}-23x^{2}+20x+39\end{array}\right)
\end{eqnarray*}\begin{eqnarray*}
f^{\prime }\left( x\right) &=&\frac{d}{dx}\left(
\begin{array}{c}
x^{2} \\
5x\end{array}\right) \cdot \left(
\begin{array}{c}
\cos \left( x\right) \\
\sin \left( x\right)
\end{array}\right) +\left(
\begin{array}{c}
x^{2} \\
5x\end{array}\right) \cdot \frac{d}{dx}\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( x\right) \\
\sin \left( x\right)
\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
2x \\
5\end{array}\right) \cdot \left(
\begin{array}{c}
\cos \left( x\right) \\
\sin \left( x\right)
\end{array}\right) +\left(
\begin{array}{c}
x^{2} \\
5x\end{array}\right) \cdot \left(
\begin{array}{c}
-\sin \left( x\right) \\
\cos \left( x\right)
\end{array}\right) \\
&=&2x\cos \left( x\right) +5\sin \left( x\right) -x^{2}\sin \left( x\right)
+5x\cos \left( x\right) \\
&=&7x\cos \left( x\right) +5\sin \left( x\right) -x^{2}\sin \left( x\right)
\end{eqnarray*}を定めます。
ベクトル値関数の外積の片側微分
片側微分についても同様の命題が成り立ちます。
- 点\(a\in X\)に対して、\begin{equation*}\exists \varepsilon >0:\left[ a,a+\varepsilon \right] \subset X\end{equation*}が成り立つものとする。\(\boldsymbol{f},\boldsymbol{g}\)がともに点\(a\)において右側微分可能であるならば\(\boldsymbol{f}\times \boldsymbol{g}\)もまた点\(a\)において右側微分可能であり、そこでの右側微分係数は、\begin{equation*}\left( \boldsymbol{f}\times \boldsymbol{g}\right) ^{\prime }\left(
a+0\right) =\boldsymbol{f}^{\prime }\left( a+0\right) \times \boldsymbol{g}\left( a\right) +\boldsymbol{f}\left( a\right) \times \boldsymbol{g}^{\prime
}\left( a+0\right)
\end{equation*}を満たす。 - 点\(a\in X\)に対して、\begin{equation*}\exists \varepsilon >0:\left[ a-\varepsilon ,a\right] \subset X\end{equation*}が成り立つものとする。\(\boldsymbol{f},\boldsymbol{g}\)がともに点\(a\)において左側微分可能であるならば\(\boldsymbol{f}\times \boldsymbol{g}\)もまた点\(a\)において左側微分可能であり、そこでの左側微分係数は、\begin{equation*}\left( \boldsymbol{f}\times \boldsymbol{g}\right) ^{\prime }\left(
a-0\right) =\boldsymbol{f}^{\prime }\left( a-0\right) \times \boldsymbol{g}\left( a\right) +\boldsymbol{f}\left( a\right) \times \boldsymbol{g}^{\prime
}\left( a-0\right)
\end{equation*}を満たす。
x\right) =\boldsymbol{f}_{+}^{\prime }\left( x\right) \times \boldsymbol{g}\left( x\right) +\boldsymbol{f}\left( x\right) \times \boldsymbol{g}_{+}^{\prime }\left( x\right)
\end{equation*}を定めます。また、\(\boldsymbol{f},\boldsymbol{g}\)がともに\(X\)上で左側微分可能である場合、先の命題より、関数\(\boldsymbol{f}\times \boldsymbol{g}\)もまた\(X\)上で左側微分可能であり、左側導関数\(\left( \boldsymbol{f}\times \boldsymbol{g}\right) _{-}^{\prime }:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( \boldsymbol{f}\times \boldsymbol{g}\right) _{-}^{\prime }\left(
x\right) =\boldsymbol{f}_{-}^{\prime }\left( x\right) \times \boldsymbol{g}\left( x\right) +\boldsymbol{f}\left( x\right) \times \boldsymbol{g}_{-}^{\prime }\left( x\right)
\end{equation*}を定めます。
演習問題
\begin{array}{c}
x^{2}-3 \\
2x+4 \\
x^{3}-3x\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\begin{equation*}
\frac{d}{dx}\left[ f\left( x\right) \times f^{\prime }\left( x\right) \right] \end{equation*}を求めてください。
\begin{array}{c}
\cos \left( x\right) \\
\sin \left( x\right) \\
-e^{2x}\end{array}\right) \times \left(
\begin{array}{c}
x \\
\sin \left( x\right) \\
\cos \left( x\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\begin{equation*}
\frac{d}{dx}f\left( x\right)
\end{equation*}を求めてください。
プレミアム会員専用コンテンツです
【ログイン】【会員登録】