円筒座標系のもとでの単位ベクトル
空間\(\mathbb{R} ^{3}\)上に存在する点\(P\)の直交座標が\(\boldsymbol{p}\in \mathbb{R} ^{3}\)であり、円筒座標が\(\left( r,\theta ,z\right) \in \lbrack 0,+\infty )\times \lbrack 0,2\pi)\times \left( -\infty ,+\infty \right) \)である場合、両者の間には以下の関係\begin{equation*}\boldsymbol{p}=\left(
\begin{array}{c}
r\cos \left( \theta \right) \\
r\sin \left( \theta \right) \\
z\end{array}\right)
\end{equation*}が成り立ちます（下図）。
点\(P\)を\(xy\)平面に下した垂線の足\(Q\)の位置ベクトルは、\begin{equation*}\boldsymbol{q}=\left(
\begin{array}{c}
r\cos \left( \theta \right) \\
r\sin \left( \theta \right) \\
0\end{array}\right)
\end{equation*}です。その上で、\(\boldsymbol{q}\)と同一方向にある単位ベクトルを、\begin{equation*}\boldsymbol{e}_{r}\left( \theta \right) =\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( \theta \right) \\
\sin \left( \theta \right) \\
0\end{array}\right)
\end{equation*}で表記し、これを動径方向の単位ベクトル（radial unit vector）と呼びます。これを用いると、\begin{eqnarray*}
\boldsymbol{q} &=&\left(
\begin{array}{c}
r\cos \left( \theta \right) \\
r\sin \left( \theta \right) \\
0\end{array}\right) \\
&=&r\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( \theta \right) \\
\sin \left( \theta \right) \\
0\end{array}\right) \\
&=&r\boldsymbol{e}_{r}\left( \theta \right)
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\boldsymbol{q}=r\boldsymbol{e}_{r}\left( \theta \right)
\end{equation*}と表せます。つまり、原点から点\(Q\)へ至るためには\(\boldsymbol{e}_{r}\left( \theta \right) \)方向に動径\(r\)分だけ進む必要があります。\(\boldsymbol{e}_{r}\left( \theta \right) \)は点\(Q\)が原点から遠ざかる方向を表します。
\(\boldsymbol{e}_{r}\left( \theta \right) \)はいわば原点から点\(Q\)への視線の向きです。\(\boldsymbol{e}_{r}\left(\theta \right) \)は\(\theta \)の関数であるため、方位\(\theta \)を変えれば視線の向き\(\boldsymbol{e}_{r}\left( \theta \right) \)もまた変わります。そこで、方位\(\theta \)をわずかに変化させたとき、視線の先がどちらに動くかを考えます。具体的には、\begin{eqnarray*}\frac{d\boldsymbol{e}_{r}\left( \theta \right) }{d\theta } &=&\frac{d}{d\theta }\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( \theta \right) \\
\sin \left( \theta \right) \\
0\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
-\sin \left( \theta \right) \\
\cos \left( \theta \right) \\
0\end{array}\right)
\end{eqnarray*}となります。このベクトルの大きさは、\begin{eqnarray*}
\left\Vert \frac{d\boldsymbol{e}_{r}\left( \theta \right) }{d\theta }\right\Vert &=&\left\Vert \left(
\begin{array}{c}
-\sin \left( \theta \right) \\
\cos \left( \theta \right) \\
0\end{array}\right) \right\Vert \\
&=&\sqrt{\sin ^{2}\left( \theta \right) +\cos ^{2}\left( \theta \right) +0}
\\
&=&1
\end{eqnarray*}であるため、これは単位ベクトルです。そこで、これを方位角方向の単位ベクトル（transverse unit vector）と呼び、\begin{equation*}
\boldsymbol{e}_{\theta }\left( \theta \right) =\left(
\begin{array}{c}
-\sin \left( \theta \right) \\
\cos \left( \theta \right) \\
0\end{array}\right)
\end{equation*}で表記します。
\(\boldsymbol{e}_{r}\left( \theta \right) \)は点\(Q\)が中心から離れる方向であり、\(\boldsymbol{e}_{\theta }\left( \theta \right) \)は中心からの距離は変えずに円上を動く方向です。円の半径と垂線は垂直であるため\(\boldsymbol{e}_{r}\left( \theta \right) \)と\(\boldsymbol{e}_{\theta }\left( \theta \right) \)は直交します。実際、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{e}_{r}\left( \theta \right) \cdot \boldsymbol{e}_{\theta }\left(
\theta \right) &=&\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( \theta \right) \\
\sin \left( \theta \right) \\
0\end{array}\right) \cdot \left(
\begin{array}{c}
-\sin \left( \theta \right) \\
\cos \left( \theta \right) \\
0\end{array}\right) \\
&=&-\cos \left( \theta \right) \sin \left( \theta \right) +\sin \left(
\theta \right) \cos \left( \theta \right) \\
&=&0
\end{eqnarray*}が成り立ちます。
さらに、\(z\)方向の単位ベクトル（\(z\) unit vector）を、\begin{equation*}\boldsymbol{e}_{z}=\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
1\end{array}\right)
\end{equation*}と定義します。
\(\boldsymbol{e}_{r}\left( \theta \right) \)は\(xy\)平面上において点\(Q\)が中心から離れる方向であり、\(\boldsymbol{e}_{\theta }\left( \theta \right) \)は\(xy\)平面上において中心からの距離は変えずに円上を動く方向です。その一方で、\(\boldsymbol{e}_{z}\)は\(z\)軸に沿った動きの方向であるため、\(\boldsymbol{e}_{z}\)は他の2つと直交します。実際、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{e}_{r}\left( \theta \right) \cdot \boldsymbol{e}_{z} &=&\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( \theta \right) \\
\sin \left( \theta \right) \\
0\end{array}\right) \cdot \left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
1\end{array}\right) =0 \\
\boldsymbol{e}_{\theta }\left( \theta \right) \cdot \boldsymbol{e}_{z}
&=&\left(
\begin{array}{c}
-\sin \left( \theta \right) \\
\cos \left( \theta \right) \\
0\end{array}\right) \cdot \left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
1\end{array}\right) =0
\end{eqnarray*}が成り立ちます。
円筒座標のもとでの曲線の速度ベクトル（接ベクトル）
平面\(\mathbb{R} ^{3}\)上に存在する点\(P\)の直交座標が\(\boldsymbol{p}\in \mathbb{R} ^{3}\)であり、円筒座標が\(\left( r,\theta ,z\right) \in \lbrack 0,+\infty )\times \lbrack 0,2\pi)\times \left( -\infty ,+\infty \right) \)である場合、両者の間には以下の関係\begin{equation*}\boldsymbol{p}=\left(
\begin{array}{c}
r\cos \left( \theta \right) \\
r\sin \left( \theta \right) \\
z\end{array}\right)
\end{equation*}が成り立ちます。さらに、円筒座標\(\left( r,\theta,z\right) \)の値はパラメータ\(t\in T\subset \mathbb{R} \)の値に依存して変化するものとし、その関係がベクトル値関数\begin{equation*}\left(
\begin{array}{c}
r \\
\theta \\
z\end{array}\right) :\mathbb{R} \supset T\rightarrow \mathbb{R} ^{3}
\end{equation*}として表現されているものとします。つまり、パラメータの値が\(t\in T\)である時点における円筒座標の値は、\begin{equation*}\left(
\begin{array}{c}
r \\
\theta \\
z\end{array}\right) \left( t\right) =\left(
\begin{array}{c}
r\left( t\right) \\
\theta \left( t\right) \\
z\left( t\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}であり、さらにそのときの点\(P\)の直交座標は、\begin{equation*}\boldsymbol{p}\left( t\right) =\left(
\begin{array}{c}
r\left( t\right) \cos \left( \theta \left( t\right) \right) \\
r\left( t\right) \sin \left( \theta \left( t\right) \right) \\
z\left( t\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}です。このような事情を踏まえると、それぞれの\(t\in T\)に対して、そのときの点\(P\)の直交座標\(\boldsymbol{p}\left( t\right) \in \mathbb{R} ^{3}\)を特定するベクトル値関数\begin{equation*}\boldsymbol{p}:\mathbb{R} \supset T\rightarrow \mathbb{R} ^{3}
\end{equation*}が定義可能です。このベクトル値関数から定義される空間\(\mathbb{R} ^{3}\)上の曲線は、\begin{equation*}C\left( \boldsymbol{p}\right) =\left\{ \boldsymbol{p}\left( t\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ t\in T\right\}
\end{equation*}です。
パラメータの値が\(t\in T\)である時点における曲線\(C\left( \boldsymbol{p}\right) \)の速度ベクトル（接ベクトル）は以下のように定まります。
\begin{array}{c}
r\left( t\right) \cos \left( \theta \left( t\right) \right) \\
r\left( t\right) \sin \left( \theta \left( t\right) \right) \\
z\left( t\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるベクトル値関数\(\boldsymbol{p}:\mathbb{R} \supset T\rightarrow \mathbb{R} ^{3}\)を定義する。\(\left( r,\theta,z\right) \)が点\(t\in T\)において微分可能である場合には、曲線\(C\left( \boldsymbol{p}\right) \)の点\(\boldsymbol{p}\left( t\right) \)における速度ベクトル（接ベクトル）は、\begin{equation*}\boldsymbol{p}^{\prime }\left( t\right) =r^{\prime }\left( t\right)
\boldsymbol{e}_{r}\left( t\right) +r\left( t\right) \theta ^{\prime }\left(
t\right) \boldsymbol{e}_{\theta }\left( t\right) +z^{\prime }\left( t\right)
\boldsymbol{e}_{z}
\end{equation*}である。ただし、\begin{eqnarray*}
\boldsymbol{e}_{r}\left( t\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( \theta \left( t\right) \right) \\
\sin \left( \theta \left( t\right) \right) \\
0\end{array}\right) \\
\boldsymbol{e}_{\theta }\left( t\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
-\sin \left( \theta \left( t\right) \right) \\
\cos \left( \theta \left( t\right) \right) \\
0\end{array}\right) \\
\boldsymbol{e}_{z} &=&\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
1\end{array}\right)
\end{eqnarray*}である。
パラメータの値が\(t\)である時点における曲線\(C\left( \boldsymbol{p}\right) \)の速度ベクトルが、\begin{equation*}\boldsymbol{p}^{\prime }\left( t\right) =r^{\prime }\left( t\right)
\boldsymbol{e}_{r}\left( t\right) +r\left( t\right) \theta ^{\prime }\left(
t\right) \boldsymbol{e}_{\theta }\left( t\right) +z\left( t\right)
\boldsymbol{e}_{z}
\end{equation*}として定まることが明らかになりました。そこで、第1項のスカラー\(r^{\prime }\left( t\right) \)を速度ベクトル\(\boldsymbol{p}^{\prime }\left( t\right) \)の動径成分（radial component）と呼び、第2項のスカラー\(r\left( t\right) \theta ^{\prime }\left( t\right) \)を速度ベクトル\(\boldsymbol{p}^{\prime }\left( t\right) \)の方位角成分（transverse component）と呼び、第3項のスカラー\(z\left( t\right) \)を速度ベクトル\(\boldsymbol{p}^{\prime }\left( t\right) \)の\(z\)成分（\(z\)component）と呼びます。
速度ベクトル\(\boldsymbol{p}^{\prime}\left( t\right) \)の動径成分\(r^{\prime }\left(t\right) \)は、時点\(t\)において点\(\boldsymbol{p}\left( t\right) \)が\(z\)軸から遠ざかる勢いを表しています。つまり、\(r^{\prime }\left( t\right) >0\)の場合には点\(\boldsymbol{p}\left( t\right) \)は\(z\)軸から遠ざかり、\(r^{\prime }\left( t\right) \)が大きいほど点\(\boldsymbol{p}\left(t\right) \)は勢いよく遠ざかっていきます。逆に、\(r^{\prime }\left( t\right) <0\)の場合には点\(\boldsymbol{p}\left( t\right) \)は\(z\)軸へ近づき、\(r^{\prime }\left( t\right) \)の値が小さいほど点\(\boldsymbol{p}\left( t\right) \)は勢いよく近づいていきます。
速度ベクトル\(\boldsymbol{p}^{\prime}\left( t\right) \)の方位角成分\(r\left(t\right) \theta ^{\prime }\left( t\right) \)は、時点\(t\)において点\(\boldsymbol{p}\left( t\right) \)が\(z\)軸の周りを回転する勢いを表しています。つまり、\(r\left( t\right) \theta^{\prime }\left( t\right) >0\)の場合には点\(\boldsymbol{p}\left( t\right) \)は\(z\)軸の周りを反時計回りに回転し、\(r\left( t\right) \theta ^{\prime }\left( t\right) \)が大きいほど点\(\boldsymbol{p}\left(t\right) \)は勢いよく回っています。逆に、\(r\left( t\right)\theta ^{\prime }\left( t\right) <0\)の場合には点\(\boldsymbol{p}\left( t\right) \)は\(z\)軸の周りを時計回りに回転し、\(r\left( t\right) \theta ^{\prime }\left( t\right) \)の値が小さいほど点\(\boldsymbol{p}\left( t\right) \)は勢いよく回っています。
速度ベクトル\(\boldsymbol{p}^{\prime}\left( t\right) \)の\(z\)成分\(z^{\prime }\left( t\right) \)は、時点\(t\)において点\(\boldsymbol{p}\left( t\right) \)が\(z\)軸に平行に上下する勢いを表しています。つまり、\(z^{\prime }\left( t\right) >0\)の場合には点\(\boldsymbol{p}\left( t\right) \)は\(z\)軸に平行に上昇し、\(z^{\prime }\left(t\right) \)が大きいほど点\(\boldsymbol{p}\left( t\right) \)は勢いよく上昇します。逆に、\(z^{\prime }\left( t\right) <0\)の場合には点\(\boldsymbol{p}\left( t\right) \)は\(z\)軸に平行に下降し、\(z^{\prime }\left( t\right) \)の値が小さいほど点\(\boldsymbol{p}\left( t\right) \)は勢いよく下降します。
\begin{array}{c}
r\left( t\right) \\
\theta \left( t\right) \\
z\left( t\right)
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
R \\
\omega t \\
vt\end{array}\right)
\end{equation*}であり、そのときの点\(P\)の直交座標は、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{p}\left( t\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
r\left( t\right) \cos \left( \theta \left( t\right) \right) \\
r\left( t\right) \sin \left( \theta \left( t\right) \right) \\
z\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
R\cos \left( \omega t\right) \\
R\sin \left( \omega t\right) \\
vt\end{array}\right)
\end{eqnarray*}です。曲線\(C\left( \boldsymbol{p}\right) \)の点\(\boldsymbol{p}\left( t\right) \)における速度ベクトルは、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{p}^{\prime }\left( t\right) &=&r^{\prime }\left( t\right)
\boldsymbol{e}_{r}\left( t\right) +r\left( t\right) \theta ^{\prime }\left(
t\right) \boldsymbol{e}_{\theta }\left( t\right) +z^{\prime }\left( t\right)
\boldsymbol{e}_{z} \\
&=&R\omega \boldsymbol{e}_{\theta }\left( t\right) +v\boldsymbol{e}_{z}
\end{eqnarray*}です。ただし、\begin{eqnarray*}
\boldsymbol{e}_{\theta }\left( t\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
-\sin \left( \omega t\right) \\
\cos \left( \omega t\right)
\end{array}\right) \\
\boldsymbol{e}_{z} &=&\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
1\end{array}\right)
\end{eqnarray*}です。つまり、速度ベクトルは方位角成分と\(z\)成分のみを持ちます。半径は変化しないため、物体は\(z\)軸から遠ざかることも近づくこともなく、ゆえに動径成分は存在しません。また、方位角成分\(R\omega \)が定数であるのは角速度が一定であるからであり、\(z\)成分\(v\)が定数であるのは上昇速度が一定だからです。
\begin{array}{c}
r\left( t\right) \\
\theta \left( t\right) \\
z\left( t\right)
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
at \\
\omega t \\
vt\end{array}\right)
\end{equation*}と表されるものとします。そのときの点\(P\)の直交座標は、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{p}\left( t\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
r\left( t\right) \cos \left( \theta \left( t\right) \right) \\
r\left( t\right) \sin \left( \theta \left( t\right) \right) \\
z\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
at\cos \left( \omega t\right) \\
at\sin \left( \omega t\right) \\
vt\end{array}\right)
\end{eqnarray*}です。曲線\(C\left( \boldsymbol{p}\right) \)の点\(\boldsymbol{p}\left( t\right) \)における速度ベクトルは、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{p}^{\prime }\left( t\right) &=&r^{\prime }\left( t\right)
\boldsymbol{e}_{r}\left( t\right) +r\left( t\right) \theta ^{\prime }\left(
t\right) \boldsymbol{e}_{\theta }\left( t\right) +z^{\prime }\left( t\right)
\boldsymbol{e}_{z} \\
&=&a\boldsymbol{e}_{r}\left( t\right) +a\omega t\boldsymbol{e}_{\theta
}\left( t\right) +v\boldsymbol{e}_{z}
\end{eqnarray*}です。ただし、\begin{eqnarray*}
\boldsymbol{e}_{r}\left( t\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( \omega t\right) \\
\sin \left( \omega t\right) \\
0\end{array}\right) \\
\boldsymbol{e}_{\theta }\left( t\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
-\sin \left( \omega t\right) \\
\cos \left( \omega t\right) \\
0\end{array}\right) \\
\boldsymbol{e}_{z} &=&\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
1\end{array}\right)
\end{eqnarray*}です。動径成分\(a\)が定数であるのは中心軸から外へ逃げる勢いが一定であるからであり、方位角成分\(a\omega t\)が\(t\)に関する1次関数であるのは回転の速さがどんどん速くなることであり、\(z\)成分\(v\)が定数であるのは上昇速度が一定だからです。
円筒座標のもとでの曲線の速さ
速さは以下のように導かれます。
\begin{array}{c}
r\left( t\right) \cos \left( \theta \left( t\right) \right) \\
r\left( t\right) \sin \left( \theta \left( t\right) \right) \\
z\left( t\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるベクトル値関数\(\boldsymbol{p}:\mathbb{R} \supset T\rightarrow \mathbb{R} ^{3}\)を定義する。\(\left( r,\theta,z\right) \)が点\(t\in T\)において微分可能である場合には、曲線\(C\left( \boldsymbol{p}\right) \)の点\(\boldsymbol{p}\left( t\right) \)における速さは、\begin{equation*}\left\Vert \boldsymbol{p}^{\prime }\left( t\right) \right\Vert =\sqrt{\left[
r^{\prime }\left( t\right) \right] ^{2}+\left[ r\left( t\right) \theta
^{\prime }\left( t\right) \right] ^{2}+\left[ z^{\prime }\left( t\right) \right] ^{2}}
\end{equation*}である。
\begin{array}{c}
r\left( t\right) \\
\theta \left( t\right) \\
z\left( t\right)
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
R \\
\omega t \\
vt\end{array}\right)
\end{equation*}です。先に求めたように、そのときの点\(P\)の直交座標は、\begin{equation*}\boldsymbol{p}\left( t\right) =\left(
\begin{array}{c}
R\cos \left( \omega t\right) \\
R\sin \left( \omega t\right) \\
vt\end{array}\right)
\end{equation*}であり、曲線\(C\left( \boldsymbol{p}\right) \)の点\(\boldsymbol{p}\left( t\right) \)における速度ベクトルは、\begin{equation*}\boldsymbol{p}^{\prime }\left( t\right) =R\omega \boldsymbol{e}_{\theta
}\left( t\right) +v\boldsymbol{e}_{z}
\end{equation*}です。さらに、曲線\(C\left( \boldsymbol{p}\right) \)の点\(\boldsymbol{p}\left(t\right) \)における速さは、\begin{eqnarray*}\left\Vert \boldsymbol{p}^{\prime }\left( t\right) \right\Vert &=&\sqrt{\left[ r^{\prime }\left( t\right) \right] ^{2}+\left[ r\left( t\right)
\theta ^{\prime }\left( t\right) \right] ^{2}+\left[ z^{\prime }\left(
t\right) \right] ^{2}} \\
&=&\sqrt{R^{2}\omega ^{2}+v^{2}}
\end{eqnarray*}です。以上の事実は、\(t\)の値によらず速さが一定であることを意味します。しかも、直角三角形の斜辺の長さを求めるように、速度ベクトル\(\boldsymbol{p}^{\prime }\left( t\right) \)の方位角成分\(R\omega \)と\(z\)成分\(v\)から速さが求められます。
\begin{array}{c}
r\left( t\right) \\
\theta \left( t\right) \\
z\left( t\right)
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
at \\
\omega t \\
vt\end{array}\right)
\end{equation*}と表されるものとします。先に求めたように、そのときの点\(P\)の直交座標は、\begin{equation*}\boldsymbol{p}\left( t\right) =\left(
\begin{array}{c}
at\cos \left( \omega t\right) \\
at\sin \left( \omega t\right) \\
vt\end{array}\right)
\end{equation*}であり、曲線\(C\left( \boldsymbol{p}\right) \)の点\(\boldsymbol{p}\left( t\right) \)における速度ベクトルは、\begin{equation*}\boldsymbol{p}^{\prime }\left( t\right) =a\boldsymbol{e}_{r}\left( t\right)
+a\omega t\boldsymbol{e}_{\theta }\left( t\right) +v\boldsymbol{e}_{z}
\end{equation*}です。さらに、曲線\(C\left( \boldsymbol{p}\right) \)の点\(\boldsymbol{p}\left(t\right) \)における速さは、\begin{eqnarray*}\left\Vert \boldsymbol{p}^{\prime }\left( t\right) \right\Vert &=&\sqrt{\left[ r^{\prime }\left( t\right) \right] ^{2}+\left[ r\left( t\right)
\theta ^{\prime }\left( t\right) \right] ^{2}+\left[ z^{\prime }\left(
t\right) \right] ^{2}} \\
&=&\sqrt{a^{2}+\left( a\omega t\right) ^{2}+v^{2}} \\
&=&\sqrt{a^{2}+v^{2}+a^{2}\omega ^{2}t^{2}}
\end{eqnarray*}です。初期時点\(t=0\)における速さは、\begin{equation*}\left\Vert \boldsymbol{p}^{\prime }\left( 0\right) \right\Vert =\sqrt{a^{2}+v^{2}}
\end{equation*}です。\(t\)が増えるにつれて項\(v^{2}\omega ^{2}t^{2}\)が大きくなるため、速さは時間の経過とともに加速していきます。これは、中心から遠ざかるほど1回転で進む距離が長くなるため、同じ角速度\(\omega \)で回り続けるためには接線方向のスピードを上げ続けなければならないという物理現象を正確に表しています。
円筒座標のもとでの曲線の加速度ベクトル
加速度ベクトルは以下のように導かれます。
\begin{array}{c}
r\left( t\right) \cos \left( \theta \left( t\right) \right) \\
r\left( t\right) \sin \left( \theta \left( t\right) \right) \\
z\left( t\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるベクトル値関数\(\boldsymbol{p}:\mathbb{R} \supset T\rightarrow \mathbb{R} ^{3}\)を定義する。\(\left( r,\theta,z\right) \)が点\(t\in T\)において2階微分可能である場合には、曲線\(C\left( \boldsymbol{p}\right) \)の点\(\boldsymbol{p}\left( t\right) \)における加速度ベクトルは、\begin{equation*}\boldsymbol{p}^{\prime \prime }\left( t\right) =\left\{ r^{\prime \prime
}\left( t\right) -r\left( t\right) \left[ \theta ^{\prime }\left( t\right) \right] ^{2}\right\} \boldsymbol{e}_{r}\left( t\right) +\left[ 2r^{\prime
}\left( t\right) \theta ^{\prime }\left( t\right) +r\left( t\right) \theta
^{\prime \prime }\left( t\right) \right] \boldsymbol{e}_{\theta }\left(
t\right) +z^{\prime \prime }\left( t\right) \boldsymbol{e}_{z}
\end{equation*}である。ただし、\begin{eqnarray*}
\boldsymbol{e}_{r}\left( t\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( \theta \left( t\right) \right) \\
\sin \left( \theta \left( t\right) \right) \\
0\end{array}\right) \\
\boldsymbol{e}_{\theta }\left( t\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
-\sin \left( \theta \left( t\right) \right) \\
\cos \left( \theta \left( t\right) \right) \\
0\end{array}\right) \\
\boldsymbol{e}_{z} &=&\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
1\end{array}\right)
\end{eqnarray*}である。
\begin{array}{c}
r\left( t\right) \\
\theta \left( t\right) \\
z\left( t\right)
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
R \\
\omega t \\
vt\end{array}\right)
\end{equation*}です。先に求めたように、そのときの点\(P\)の直交座標は、\begin{equation*}\boldsymbol{p}\left( t\right) =\left(
\begin{array}{c}
R\cos \left( \omega t\right) \\
R\sin \left( \omega t\right) \\
vt\end{array}\right)
\end{equation*}であり、曲線\(C\left( \boldsymbol{p}\right) \)の点\(\boldsymbol{p}\left( t\right) \)における速度ベクトルは、\begin{equation*}\boldsymbol{p}^{\prime }\left( t\right) =R\omega \boldsymbol{e}_{\theta
}\left( t\right) +v\boldsymbol{e}_{z}
\end{equation*}であり、速さは、\begin{equation*}
\left\Vert \boldsymbol{p}^{\prime }\left( t\right) \right\Vert =\sqrt{R^{2}\omega ^{2}+v^{2}}
\end{equation*}です。さらに、曲線\(C\left( \boldsymbol{p}\right) \)の点\(\boldsymbol{p}\left(t\right) \)における加速度ベクトルは、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{p}^{\prime \prime }\left( t\right) &=&\left\{ r^{\prime \prime
}\left( t\right) -r\left( t\right) \left[ \theta ^{\prime }\left( t\right) \right] ^{2}\right\} \boldsymbol{e}_{r}\left( t\right) +\left[ 2r^{\prime
}\left( t\right) \theta ^{\prime }\left( t\right) +r\left( t\right) \theta
^{\prime \prime }\left( t\right) \right] \boldsymbol{e}_{\theta }\left(
t\right) +z^{\prime \prime }\left( t\right) \boldsymbol{e}_{z} \\
&=&-R\omega ^{2}\boldsymbol{e}_{r}\left( t\right)
\end{eqnarray*}です。つまり、加速度は中心に向かう向心加速度だけです。高さ方向や回転方向へ押し出す力は働いていません。
\begin{array}{c}
r\left( t\right) \\
\theta \left( t\right) \\
z\left( t\right)
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
at \\
\omega t \\
vt\end{array}\right)
\end{equation*}と表されるものとします。先に求めたように、そのときの点\(P\)の直交座標は、\begin{equation*}\boldsymbol{p}\left( t\right) =\left(
\begin{array}{c}
at\cos \left( \omega t\right) \\
at\sin \left( \omega t\right) \\
vt\end{array}\right)
\end{equation*}であり、曲線\(C\left( \boldsymbol{p}\right) \)の点\(\boldsymbol{p}\left( t\right) \)における速度ベクトルは、\begin{equation*}\boldsymbol{p}^{\prime }\left( t\right) =a\boldsymbol{e}_{r}\left( t\right)
+a\omega t\boldsymbol{e}_{\theta }\left( t\right) +v\boldsymbol{e}_{z}
\end{equation*}であり、速さは、\begin{equation*}
\left\Vert \boldsymbol{p}^{\prime }\left( t\right) \right\Vert =\sqrt{a^{2}+v^{2}+a^{2}\omega ^{2}t^{2}}
\end{equation*}です。さらに、曲線\(C\left( \boldsymbol{p}\right) \)の点\(\boldsymbol{p}\left(t\right) \)における加速度ベクトルは、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{p}^{\prime \prime }\left( t\right) &=&\left\{ r^{\prime \prime
}\left( t\right) -r\left( t\right) \left[ \theta ^{\prime }\left( t\right) \right] ^{2}\right\} \boldsymbol{e}_{r}\left( t\right) +\left[ 2r^{\prime
}\left( t\right) \theta ^{\prime }\left( t\right) +r\left( t\right) \theta
^{\prime \prime }\left( t\right) \right] \boldsymbol{e}_{\theta }\left(
t\right) +z^{\prime \prime }\left( t\right) \boldsymbol{e}_{z} \\
&=&-a\omega ^{2}t\boldsymbol{e}_{r}\left( t\right) +2a\omega \boldsymbol{e}_{\theta }\left( t\right)
\end{eqnarray*}です。つまり、螺旋が広がるにつれて向心加速度\(-at\omega ^{2}\)が強まり、さらに半径の変化と回転が組み合わさることで一定の加速度\(2a\omega \)が方位角方向に発生しています。
円筒座標のもとでの曲線の弧長
曲線の弧長は以下のように導かれます。
\begin{array}{c}
r\left( t\right) \cos \left( \theta \left( t\right) \right) \\
r\left( t\right) \sin \left( \theta \left( t\right) \right) \\
z\left( t\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるベクトル値関数\(\boldsymbol{p}:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} ^{3}\)を定義する。この場合、曲線\begin{equation*}C\left( \boldsymbol{p}\right) =\left\{ \boldsymbol{p}\left( t\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ t\in \left[ a,b\right] \right\}
\end{equation*}は求長可能であるとともに、\begin{equation*}
\Lambda \left( a,b\right) =\int_{a}^{b}\sqrt{\left[ r^{\prime }\left(
t\right) \right] ^{2}+\left[ r\left( t\right) \theta ^{\prime }\left(
t\right) \right] ^{2}+\left[ z^{\prime }\left( t\right) \right] ^{2}}dt
\end{equation*}が成り立つ。
\begin{array}{c}
r\left( t\right) \\
\theta \left( t\right) \\
z\left( t\right)
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
R \\
\omega t \\
vt\end{array}\right)
\end{equation*}です。先に求めたように、そのときの点\(P\)の直交座標は、\begin{equation*}\boldsymbol{p}\left( t\right) =\left(
\begin{array}{c}
R\cos \left( \omega t\right) \\
R\sin \left( \omega t\right) \\
vt\end{array}\right)
\end{equation*}であり、曲線\(C\left( \boldsymbol{p}\right) \)の点\(\boldsymbol{p}\left( t\right) \)における速度ベクトルは、\begin{equation*}\boldsymbol{p}^{\prime }\left( t\right) =R\omega \boldsymbol{e}_{\theta
}\left( t\right) +v\boldsymbol{e}_{z}
\end{equation*}であり、速さは、\begin{equation*}
\left\Vert \boldsymbol{p}^{\prime }\left( t\right) \right\Vert =\sqrt{R^{2}\omega ^{2}+v^{2}}
\end{equation*}です。パラメータ\(t\)の値が\(0\)から\(T>0\)まで変化する場合の弧長は、\begin{eqnarray*}\Lambda \left( 0,T\right) &=&\int_{0}^{T}\left\Vert \boldsymbol{p}^{\prime
}\left( t\right) \right\Vert dt \\
&=&\int_{0}^{T}\sqrt{R^{2}\omega ^{2}+v^{2}}dt \\
&=&\left[ t\sqrt{R^{2}\omega ^{2}+v^{2}}\right] _{0}^{T} \\
&=&T\sqrt{R^{2}\omega ^{2}+v^{2}}
\end{eqnarray*}ですが、これは直角三角形の斜辺の長さに時間をかけたものと同じです。螺旋を横に広げて展開すると直線になるため、速さと時間の積として道のりが求まります。
\begin{array}{c}
r\left( t\right) \\
\theta \left( t\right) \\
z\left( t\right)
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
at \\
\omega t \\
vt\end{array}\right)
\end{equation*}と表されるものとします。先に求めたように、そのときの点\(P\)の直交座標は、\begin{equation*}\boldsymbol{p}\left( t\right) =\left(
\begin{array}{c}
at\cos \left( \omega t\right) \\
at\sin \left( \omega t\right) \\
vt\end{array}\right)
\end{equation*}であり、曲線\(C\left( \boldsymbol{p}\right) \)の点\(\boldsymbol{p}\left( t\right) \)における速度ベクトルは、\begin{equation*}\boldsymbol{p}^{\prime }\left( t\right) =a\boldsymbol{e}_{r}\left( t\right)
+a\omega t\boldsymbol{e}_{\theta }\left( t\right) +v\boldsymbol{e}_{z}
\end{equation*}であり、速さは、\begin{equation*}
\left\Vert \boldsymbol{p}^{\prime }\left( t\right) \right\Vert =\sqrt{a^{2}+v^{2}+v^{2}\omega ^{2}t^{2}}
\end{equation*}です。パラメータ\(t\)の値が\(0\)から\(T>0\)まで変化する場合の弧長は、\begin{eqnarray*}\Lambda \left( 0,T\right) &=&\int_{0}^{T}\left\Vert \boldsymbol{p}^{\prime
}\left( t\right) \right\Vert dt \\
&=&\int_{0}^{T}\sqrt{a^{2}+v^{2}+v^{2}\omega ^{2}t^{2}}dt
\end{eqnarray*}となります。この先は置換積分を用いて計算します。
円筒座標のもとでの曲線の曲率
曲線の曲率は以下のように導かれます。
\begin{array}{c}
r\left( t\right) \cos \left( \theta \left( t\right) \right) \\
r\left( t\right) \sin \left( \theta \left( t\right) \right) \\
z\left( t\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるベクトル値関数\(\boldsymbol{p}:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} ^{3}\)を定義する。この場合、\(t\in \left[ a,b\right] \)における曲線\begin{equation*}C\left( \boldsymbol{p}\right) =\left\{ \boldsymbol{p}\left( t\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ t\in \left[ a,b\right] \right\}
\end{equation*}の曲率は、\begin{equation*}
\kappa \left( t\right) =\frac{\left\Vert \boldsymbol{p}^{\prime }\left(
t\right) \times \boldsymbol{p}^{\prime \prime }\left( t\right) \right\Vert }{\left\Vert \boldsymbol{p}^{\prime }\left( t\right) \right\Vert ^{3}}
\end{equation*}である。
\begin{array}{c}
r\left( t\right) \\
\theta \left( t\right) \\
z\left( t\right)
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
R \\
\omega t \\
vt\end{array}\right)
\end{equation*}です。先に求めたように、そのときの点\(P\)の直交座標は、\begin{equation*}\boldsymbol{p}\left( t\right) =\left(
\begin{array}{c}
R\cos \left( \omega t\right) \\
R\sin \left( \omega t\right) \\
vt\end{array}\right)
\end{equation*}であり、曲線\(C\left( \boldsymbol{p}\right) \)の点\(\boldsymbol{p}\left( t\right) \)における速度ベクトルは、\begin{equation*}\boldsymbol{p}^{\prime }\left( t\right) =R\omega \boldsymbol{e}_{\theta
}\left( t\right) +v\boldsymbol{e}_{z}
\end{equation*}であり、速さは、\begin{equation*}
\left\Vert \boldsymbol{p}^{\prime }\left( t\right) \right\Vert =\sqrt{R^{2}\omega ^{2}+v^{2}}
\end{equation*}であり、加速度ベクトルは、\begin{equation*}
\boldsymbol{p}^{\prime \prime }\left( t\right) =-R\omega ^{2}\boldsymbol{e}_{r}\left( t\right)
\end{equation*}です。さて、\begin{eqnarray*}
\boldsymbol{p}^{\prime }\left( t\right) \times \boldsymbol{p}^{\prime \prime
}\left( t\right) &=&\begin{vmatrix}
\boldsymbol{e}_{r}\left( t\right) & \boldsymbol{e}_{\theta }\left( t\right)
& \boldsymbol{e}_{z} \\
0 & R\omega & v \\
-R\omega ^{2} & 0 & 0\end{vmatrix}
\\
&=&-vR\omega ^{2}\boldsymbol{e}_{\theta }\left( t\right) +R^{2}\omega ^{3}\boldsymbol{e}_{z}
\end{eqnarray*}であることから、\begin{eqnarray*}
\left\Vert \boldsymbol{p}^{\prime }\left( t\right) \times \boldsymbol{p}^{\prime \prime }\left( t\right) \right\Vert &=&\sqrt{v^{2}R^{2}\omega
^{4}+R^{4}\omega ^{6}} \\
&=&R\omega ^{2}\sqrt{v^{2}+R^{2}\omega ^{2}}
\end{eqnarray*}であり、ゆえに、曲線\(C\left( \boldsymbol{p}\right) \)の点\(\boldsymbol{p}\left( t\right) \)における曲率は、\begin{eqnarray*}\kappa \left( t\right) &=&\frac{\left\Vert \boldsymbol{p}^{\prime }\left(
t\right) \times \boldsymbol{p}^{\prime \prime }\left( t\right) \right\Vert }{\left\Vert \boldsymbol{p}^{\prime }\left( t\right) \right\Vert ^{3}} \\
&=&\frac{R\omega ^{2}\sqrt{v^{2}+R^{2}\omega ^{2}}}{\left( \sqrt{R^{2}\omega
^{2}+v^{2}}\right) ^{3}} \\
&=&\frac{R\omega ^{2}}{R^{2}\omega ^{2}+v^{2}}
\end{eqnarray*}です。つまり、どの地点でも曲率は一定です。
\begin{array}{c}
r\left( t\right) \\
\theta \left( t\right) \\
z\left( t\right)
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
at \\
\omega t \\
vt\end{array}\right)
\end{equation*}と表されるものとします。先に求めたように、そのときの点\(P\)の直交座標は、\begin{equation*}\boldsymbol{p}\left( t\right) =\left(
\begin{array}{c}
at\cos \left( \omega t\right) \\
at\sin \left( \omega t\right) \\
vt\end{array}\right)
\end{equation*}であり、曲線\(C\left( \boldsymbol{p}\right) \)の点\(\boldsymbol{p}\left( t\right) \)における速度ベクトルは、\begin{equation*}\boldsymbol{p}^{\prime }\left( t\right) =a\boldsymbol{e}_{r}\left( t\right)
+a\omega t\boldsymbol{e}_{\theta }\left( t\right) +v\boldsymbol{e}_{z}
\end{equation*}であり、速さは、\begin{equation*}
\left\Vert \boldsymbol{p}^{\prime }\left( t\right) \right\Vert =\sqrt{a^{2}+v^{2}+a^{2}\omega ^{2}t^{2}}
\end{equation*}であり、加速度ベクトルは、\begin{equation*}
\boldsymbol{p}^{\prime \prime }\left( t\right) =-a\omega ^{2}t\boldsymbol{e}_{r}\left( t\right) +2a\omega \boldsymbol{e}_{\theta }\left( t\right)
\end{equation*}です。さて、\begin{eqnarray*}
\boldsymbol{p}^{\prime }\left( t\right) \times \boldsymbol{p}^{\prime \prime
}\left( t\right) &=&\begin{vmatrix}
\boldsymbol{e}_{r}\left( t\right) & \boldsymbol{e}_{\theta }\left( t\right)
& \boldsymbol{e}_{z} \\
a & a\omega t & v \\
-a\omega ^{2}t & 2a\omega & 0\end{vmatrix}
\\
&=&-av\omega ^{2}t\boldsymbol{e}_{\theta }\left( t\right) +2a^{2}\omega
\boldsymbol{e}_{z}-2av\omega \boldsymbol{e}_{r}\left( t\right) +a^{2}\omega
^{3}t^{2}\boldsymbol{e}_{z} \\
&=&-2av\omega \boldsymbol{e}_{r}\left( t\right) -av\omega ^{2}t\boldsymbol{e}_{\theta }\left( t\right) +\left[ 2a^{2}\omega +a^{2}\omega ^{3}t^{2}\right] \boldsymbol{e}_{z}
\end{eqnarray*}であることから、\begin{eqnarray*}
\left\Vert \boldsymbol{p}^{\prime }\left( t\right) \times \boldsymbol{p}^{\prime \prime }\left( t\right) \right\Vert &=&\sqrt{\left( -2av\omega
\right) ^{2}+\left( -av\omega ^{2}t\right) ^{2}+\left( 2a^{2}\omega
+a^{2}\omega ^{3}t^{2}\right) ^{2}} \\
&=&\sqrt{\left( 2av\omega \right) ^{2}+\left( av\omega ^{2}t\right) ^{2}+\left[ a^{2}\omega \left( 2+\omega ^{2}t^{2}\right) \right] ^{2}} \\
&=&a\omega \sqrt{4v^{2}+v^{2}\omega ^{2}t^{2}+a^{2}\left( 2+\omega
^{2}t^{2}\right) ^{2}}
\end{eqnarray*}であり、ゆえに、曲線\(C\left( \boldsymbol{p}\right) \)の点\(\boldsymbol{p}\left( t\right) \)における曲率は、\begin{eqnarray*}\kappa \left( t\right) &=&\frac{\left\Vert \boldsymbol{p}^{\prime }\left(
t\right) \times \boldsymbol{p}^{\prime \prime }\left( t\right) \right\Vert }{\left\Vert \boldsymbol{p}^{\prime }\left( t\right) \right\Vert ^{\frac{3}{2}}} \\
&=&\frac{a\omega \sqrt{4v^{2}+v^{2}\omega ^{2}t^{2}+a^{2}\left( 2+\omega
^{2}t^{2}\right) ^{2}}}{\left( a^{2}+v^{2}+a^{2}\omega ^{2}t^{2}\right) ^{\frac{3}{2}}}
\end{eqnarray*}です。初期時点\(t=0\)における曲率は、\begin{eqnarray*}\kappa \left( 0\right) &=&\frac{a\omega \sqrt{4v^{2}+4a^{2}}}{\left(
a^{2}+v^{2}\right) ^{\frac{3}{2}}} \\
&=&\frac{2a\omega }{a^{2}+v^{2}}
\end{eqnarray*}です。さらに、曲率\(\kappa \left( t\right) \)の分子の最大次数は\(\sqrt{\left( t^{2}\right) ^{2}}=t^{2}\)ですが、分母は\(\left( t^{2}\right) ^{\frac{3}{2}}=t^{3}\)のオーダーで大きくなるため、\(t\)が大きくなるにつれて曲率は\(0\)へ近づきます。つまり、円錐螺旋は最初はきつく曲がっていますが、外側に広がるにつれて一回転の距離が長くなり、軌跡としては直線に近いゆるカーブになっていきます。これは、台風の目が外側に広がるにつれて風の軌道が緩やかになるイメージです。
演習問題
\begin{array}{c}
r\left( t\right) \\
\theta \left( t\right) \\
z\left( t\right)
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
R-at \\
\omega t \\
h\end{array}\right)
\end{equation*}として与えられているものとします。ただし、\(R,a,\omega ,h\in \mathbb{R} _{++}\)は定数であり、\begin{equation*}t<\frac{R}{a}
\end{equation*}を満たすものとします。以下の問いに答えてください。
- 時点\(t\)における速度ベクトル\(\boldsymbol{p}^{\prime }\left( t\right) \)を求めてください。
- 時点\(t\)における速さ\(\left\Vert \boldsymbol{p}^{\prime }\left( t\right) \right\Vert \)を求めてください。
- 時点\(t\)における加速度ベクトル\(\boldsymbol{p}^{\prime \prime}\left( t\right) \)を求めてください。
- 時点\(t=0\)から\(t=T\)までの移動距離（弧長）\(\Lambda\left( 0,T\right) \)を求めてください。
- 時点\(t\)における曲率\(\kappa \left( t\right) \)を求めてください。
\begin{array}{c}
r\left( t\right) \\
\theta \left( t\right) \\
z\left( t\right)
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
R \\
\omega t \\
H-kt\end{array}\right)
\end{equation*}として与えられているものとします。ただし、\(R,\omega ,H,k\in \mathbb{R} _{++}\)は定数です。つまり、ドローンの旋回半径\(R\)は一定であり、一定の角速度\(\omega \)で回転し、一定の速度\(k\)で下降します。以下の問いに答えてください。
- 時点\(t\)における速度ベクトル\(\boldsymbol{p}^{\prime }\left( t\right) \)を求めてください。
- 時点\(t\)における速さ\(\left\Vert \boldsymbol{p}^{\prime }\left( t\right) \right\Vert \)を求めてください。
- 時点\(t\)における加速度ベクトル\(\boldsymbol{p}^{\prime \prime}\left( t\right) \)を求めてください。
- 時点\(t\)における曲率\(\kappa \left( t\right) \)を求めてください。
- ドローンが建物の周りを1周する間に降りる高さを\(L\)とするとき、曲率\(\kappa \left( t\right) \)と\(L\)の関係を明らかにしてください。その上で、スキャン精度とスキャン密度の間にトレードオフ関係が存在する理由を説明してください。
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