問題1（20点）
問題（ベクトル値関数の微分）
以下の問いに答えてください（各5点）。
- 以下のベクトル値関数\begin{equation*}\boldsymbol{r}\left( t\right) =\left(
\begin{array}{c}
t^{2} \\
3t-1 \\
\sin \left( t\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}の導関数を求めてください。 - 以下のベクトル値関数\begin{equation*}\boldsymbol{r}\left( t\right) =\left(
\begin{array}{c}
e^{t}\cos \left( t\right) \\
e^{t}\sin \left( t\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}の導関数を求めてください。 - 以下の実数値関数とベクトル値関数\begin{eqnarray*}f\left( t\right) &=&\ln \left( 1+t^{2}\right) \\
\boldsymbol{r}\left( t\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
t^{2} \\
t \\
1\end{array}\right)
\end{eqnarray*}から定義されるベクトル値関数\begin{equation*}
\left( f\boldsymbol{r}\right) \left( t\right) =f\left( t\right) \boldsymbol{r}\left( t\right)
\end{equation*}の導関数を求めてください。 - 以下のベクトル値関数\begin{eqnarray*}\boldsymbol{r}\left( t\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
t \\
t^{2}\end{array}\right) \\
\boldsymbol{u}\left( t\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
\sin \left( t\right) \\
\cos \left( t\right)
\end{array}\right)
\end{eqnarray*}から定義される実数値関数\begin{equation*}
\left( \boldsymbol{r}\cdot \boldsymbol{u}\right) \left( t\right) =\boldsymbol{r}\left( t\right) \cdot \boldsymbol{u}\left( t\right)
\end{equation*}の導関数を求めてください。
問題2（20点）
問題（曲線に関する計算問題）
以下の問いに答えてください（各5点）。
- 以下の曲線\begin{equation*}\boldsymbol{r}\left( t\right) =\left(
\begin{array}{c}
t^{2} \\
\sin \left( t\right) \\
e^{t}\end{array}\right)
\end{equation*}の\(t=0\)における接ベクトルを求めてください。 - 以下の曲線\begin{equation*}\boldsymbol{r}\left( t\right) =\left(
\begin{array}{c}
t^{2} \\
5t \\
t^{2}-16t\end{array}\right)
\end{equation*}について、時点\(t\)における速さを求めてください。 - 螺旋状の曲線\begin{equation*}\boldsymbol{r}\left( t\right) =\left(
\begin{array}{c}
3\cos \left( t\right) \\
3\sin \left( t\right) \\
4t\end{array}\right)
\end{equation*}の\(t=0\)から\(t=2\)までの弧長を求めてください。 - 以下の曲線\begin{equation*}\boldsymbol{r}\left( t\right) =\left(
\begin{array}{c}
t^{2} \\
t^{3}\end{array}\right)
\end{equation*}において、\(t=0\)における挙動を調べ、尖点の有無を考察してください。
問題3（30点）
問題（証明問題）
以下の問いに答えてください（各15点）。
- ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\left( t\right) \)のノルム\(\left\Vert \boldsymbol{f}\left( t\right) \right\Vert \)が定数関数である場合には、\(\boldsymbol{f}\left( t\right) \)とその導関数\(\boldsymbol{f}^{\prime }\left( t\right) \)は常に直交することを示してください。
- 曲線\(\boldsymbol{r}\left( t\right) \)が等速運動である場合には、加速度ベクトル\(\boldsymbol{r}^{\prime \prime }\left( t\right) \)は常に主法線ベクトル\(\boldsymbol{N}\left( t\right) \)の方向を向くことを示してください。
問題4（30点）
問題（ドローンの飛行軌道解析）
あるドローンが、空間内を次の位置ベクトル（単位：メートル、秒）\begin{equation*}
\boldsymbol{r}\left( t\right) =\left(
\begin{array}{c}
10\cos \left( 0.5t\right) \\
10\sin \left( 0.5t\right) \\
2t\end{array}\right)
\end{equation*}にしたがって飛行しているものとします。以下の問いに答えてください。
\boldsymbol{r}\left( t\right) =\left(
\begin{array}{c}
10\cos \left( 0.5t\right) \\
10\sin \left( 0.5t\right) \\
2t\end{array}\right)
\end{equation*}にしたがって飛行しているものとします。以下の問いに答えてください。
- 時刻\(t\)におけるドローンの速度ベクトルと速さを求めてください（5点）。
- ドローンが離陸してから\(10\)秒間に飛行した総距離（弧長）を求めてください（5点）。
- 時刻\(t\)におけるドローンの加速度ベクトルを求め、それが常に\(z\)軸に垂直であることを示してください（10点）。
- ドローンの軌道の曲率を求め、それが常に一定値になることを示してください（10点）。
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