問題1（28点）
問題（ベクトル値関数の微分）
以下の問いに答えてください（各7点）。
- 以下のベクトル値関数\begin{equation*}\boldsymbol{r}\left( t\right) =\left(
\begin{array}{c}
e^{t}\cos \left( t\right) \\
e^{t}\sin \left( t\right) \\
e^{t}\end{array}\right)
\end{equation*}について、\begin{equation*}
\boldsymbol{r}^{\prime }\left( t\right) \cdot \boldsymbol{r}^{\prime \prime
}\left( t\right)
\end{equation*}を計算してください。 - 以下のベクトル値関数\begin{equation*}\boldsymbol{r}\left( t\right) =\left(
\begin{array}{c}
t \\
t^{2} \\
t^{3}\end{array}\right)
\end{equation*}について、\begin{equation*}
\frac{d}{dt}\left\Vert \boldsymbol{r}\left( t\right) \right\Vert
\end{equation*}を計算してください。 - ベクトル値関数\(\boldsymbol{r}\left( t\right) \)について、\begin{equation*}\left\Vert \boldsymbol{r}\left( t\right) \right\Vert \not=0\end{equation*}が成り立つものとします。以上を踏まえた上で、\begin{equation*}
\frac{d}{dt}\frac{\boldsymbol{r}\left( t\right) }{\left\Vert \boldsymbol{r}\left( t\right) \right\Vert }
\end{equation*}を計算してください。 - 以下のベクトル値関数\begin{equation*}\boldsymbol{r}\left( t\right) =\left(
\begin{array}{c}
t^{2} \\
t^{3}\end{array}\right)
\end{equation*}について、任意の\(t\)において以下の等式\begin{equation*}\boldsymbol{r}^{\prime \prime }\left( t\right) \cdot \boldsymbol{r}^{\prime
}\left( t\right) =\lambda \left( t\right) \left\Vert \boldsymbol{r}^{\prime
}\left( t\right) \right\Vert ^{2}
\end{equation*}を満たすスカラー関数\(\lambda \left( t\right) \)を特定してください。
問題2（21点）
問題（曲線に関する計算問題）
以下の問いに答えてください（各7点）。
- ある曲線\(\boldsymbol{r}\left( t\right) \)の接ベクトルが、\begin{equation*}\boldsymbol{r}^{\prime }\left( t\right) =\left( \begin{array}{c}
\frac{1}{1+t^{2}} \\
2t \\
3\sin ^{2}\left( t\right) \cos \left( t\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}であり、初期位置が、\begin{equation*}
\boldsymbol{r}\left( 0\right) =\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1 \\
0\end{array}\right)
\end{equation*}であるとき、この曲線の方程式\(\boldsymbol{r}\left( t\right) \)を求めてください。 - 以下の曲線\begin{equation*}\boldsymbol{r}\left( t\right) =\left(
\begin{array}{c}
e^{t}\cos \left( t\right) \\
e^{t}\sin \left( t\right) \\
e^{t}\end{array}\right)
\end{equation*}の\(t=0\)から\(t=\pi \)までの弧長を求めてください。 - 以下の曲線\begin{equation*}\boldsymbol{r}\left( t\right) =\left(
\begin{array}{c}
e^{t}\cos \left( t\right) \\
e^{t}\sin \left( t\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}について、動径ベクトル\(\boldsymbol{r}\left( t\right) \)と接ベクトル\(\boldsymbol{r}^{\prime }\left( t\right) \)のなす角が一定であることを示してください。
問題3（20点）
問題（証明問題）
以下の問いに答えてください（各10点）。
- 2つのベクトル値関数\(\boldsymbol{u}\left( t\right) ,\boldsymbol{v}\left( t\right) \)について、その外積の微分について、\begin{equation*}\left( \boldsymbol{u}\times \boldsymbol{v}\right) ^{\prime }\left( t\right) =\boldsymbol{u}^{\prime }\left( t\right) \times \boldsymbol{v}\left( t\right)+\boldsymbol{u}\left( t\right) \times \boldsymbol{v}^{\prime }\left(
t\right)
\end{equation*}が成り立つことを、本文中では成分計算を用いて証明しました。同じことを、成分計算を用いずに、極限を用いた微分の定義にもとづいて証明してください。 - 曲線\(\boldsymbol{r}\left( t\right) \)の加速度ベクトル\(\boldsymbol{r}^{\prime\prime }\left( t\right) \)が常にゼロベクトルであるとき、その曲線は直線であることを証明してください。
問題4（31点）
問題（粒子の運動）
ある粒子が以下の軌道\begin{equation*}
\boldsymbol{r}\left( t\right) =\left(
\begin{array}{c}
t^{2} \\
\frac{2}{3}t^{3} \\
t\end{array}\right) \quad \left( t\geq 0\right)
\end{equation*}を描いています。以下の問いに答えてください。
\boldsymbol{r}\left( t\right) =\left(
\begin{array}{c}
t^{2} \\
\frac{2}{3}t^{3} \\
t\end{array}\right) \quad \left( t\geq 0\right)
\end{equation*}を描いています。以下の問いに答えてください。
- 時刻\(t=1\)における単位接ベクトル\(\boldsymbol{T}\left( 1\right) \)を求めてください（7点）。
- 時刻\(t=1\)における主法線ベクトル\(\boldsymbol{N}\left( 1\right) \)を求めてください（7点）。
- 時刻\(t=1\)における加速度ベクトル\(\boldsymbol{r}^{\prime \prime}\left( 1\right) \)を求めた上で、接線加速度と法線加速度をそれぞれ求めてください（7点）。
- この粒子の軌道において、曲率\(\kappa \left( t\right) \)が最大となる時刻\(t\)を求めてください（10点）。
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