ベクトル値関数の内積の高階微分
定義域を共有する2つのベクトル値関数\begin{eqnarray*}
\boldsymbol{f} &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m} \\
\boldsymbol{g} &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{eqnarray*}が与えられたとき、それぞれの実数\(x\in X\)に対して以下の実数\begin{eqnarray*}\left( \boldsymbol{f}\cdot \boldsymbol{g}\right) \left( x\right) &=&\boldsymbol{f}\left( x\right) \cdot \boldsymbol{g}\left( x\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( x\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( x\right)\end{array}\right) \cdot \left(
\begin{array}{c}
g_{1}\left( x\right) \\
\vdots \\
g_{m}\left( x\right)\end{array}\right) \quad \because \boldsymbol{f},\boldsymbol{g}\text{の定義} \\
&=&f_{1}\left( x\right) g_{1}\left( x\right) +\cdots +f_{m}\left( x\right)
g_{m}\left( x\right) \quad \because \text{内積の定義}
\end{eqnarray*}を値として定める実数値関数\begin{equation*}
\boldsymbol{f}\cdot \boldsymbol{g}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。ただし、\begin{eqnarray*}
f_{i} &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \quad \left( i=1,\cdots ,m\right) \\
g_{i} &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \quad \left( i=1,\cdots ,m\right)
\end{eqnarray*}は\(\boldsymbol{f},\boldsymbol{g}\)の成分関数です。
関数\(\boldsymbol{f},\boldsymbol{g}\)の定義域の内点\(a\in X^{i}\)を任意に選んだとき、\(\boldsymbol{f},\boldsymbol{g}\)がともに点\(a\)において\(n\)階微分可能であるならば、\(\boldsymbol{f}\cdot \boldsymbol{g}\)もまた点\(a\)において\(n\)階微分可能であることが保証されるとともに、これらの関数の\(n\)階微分係数の間には以下の関係\begin{eqnarray*}\left( \boldsymbol{f}\cdot \boldsymbol{g}\right) ^{\left( n\right) }\left(
a\right) &=&\sum_{k=0}^{n}\dbinom{n}{k}\boldsymbol{f}^{\left( n-k\right)
}\left( a\right) \cdot \boldsymbol{g}^{\left( k\right) }\left( a\right) \\
&=&\sum_{k=0}^{n}\dbinom{n}{k}\left(
\begin{array}{c}
f_{1}^{\left( n-1\right) }\left( a\right) \\
\vdots \\
f_{m}^{\left( n-k\right) }\left( a\right)
\end{array}\right) \cdot \left(
\begin{array}{c}
g_{1}^{\left( k\right) }\left( a\right) \\
\vdots \\
g_{m}^{\left( k\right) }\left( a\right)
\end{array}\right)
\end{eqnarray*}が成立します。ただし、\begin{equation*}
\dbinom{n}{k}=\frac{n!}{k!\left( n-k\right) !}
\end{equation*}です。
\(n=1\)の場合の主張は、\begin{eqnarray*}\left( \boldsymbol{f}\cdot \boldsymbol{g}\right) ^{\prime }\left( a\right)
&=&\sum_{k=0}^{1}\dbinom{1}{k}\boldsymbol{f}^{\left( 1-k\right) }\left(
a\right) \cdot \boldsymbol{g}^{\left( k\right) }\left( a\right) \\
&=&\dbinom{1}{0}\boldsymbol{f}^{\prime }\left( a\right) \cdot \boldsymbol{g}\left( a\right) +\dbinom{1}{1}\boldsymbol{f}\left( a\right) \cdot
\boldsymbol{g}^{\prime }\left( a\right) \\
&=&\boldsymbol{f}^{\prime }\left( a\right) \cdot \boldsymbol{g}\left(
a\right) +\boldsymbol{f}\left( a\right) \cdot \boldsymbol{g}^{\prime }\left(
a\right)
\end{eqnarray*}となりますが、これはベクトル値関数の内積の微分公式に他なりません。
\(n=2\)の場合の主張は、\begin{eqnarray*}\left( \boldsymbol{f}\cdot \boldsymbol{g}\right) ^{\prime \prime }\left(
a\right) &=&\sum_{k=0}^{2}\dbinom{2}{k}\boldsymbol{f}^{\left( 2-k\right)
}\left( a\right) \cdot \boldsymbol{g}^{\left( k\right) }\left( a\right) \\
&=&\dbinom{2}{0}\boldsymbol{f}^{\prime \prime }\left( a\right) \cdot
\boldsymbol{g}\left( a\right) +\dbinom{2}{1}\boldsymbol{f}^{\prime }\left(
a\right) \cdot \boldsymbol{g}^{\prime }\left( a\right) +\dbinom{2}{0}\boldsymbol{f}\left( a\right) \cdot \boldsymbol{g}^{\prime \prime }\left(
a\right) \\
&=&\boldsymbol{f}^{\prime \prime }\left( a\right) \cdot \boldsymbol{g}\left(
a\right) +2\boldsymbol{f}^{\prime }\left( a\right) \cdot \boldsymbol{g}^{\prime }\left( a\right) +\boldsymbol{f}\left( a\right) \cdot \boldsymbol{g}^{\prime \prime }\left( a\right)
\end{eqnarray*}となります。
\(n=3\)の場合の主張は、\begin{eqnarray*}\left( \boldsymbol{f}\cdot \boldsymbol{g}\right) ^{\prime \prime \prime
}\left( a\right) &=&\sum_{k=0}^{3}\dbinom{3}{k}\boldsymbol{f}^{\left(
3-k\right) }\left( a\right) \cdot \boldsymbol{g}^{\left( k\right) }\left(
a\right) \\
&=&\dbinom{3}{0}\boldsymbol{f}^{\prime \prime \prime }\left( a\right) \cdot
\boldsymbol{g}\left( a\right) +\dbinom{3}{1}\boldsymbol{f}^{\prime \prime
}\left( a\right) \cdot \boldsymbol{g}^{\prime }\left( a\right) +\dbinom{3}{2}\boldsymbol{f}^{\prime }\left( a\right) \cdot \boldsymbol{g}^{\prime \prime
}\left( a\right) +\dbinom{3}{3}\boldsymbol{f}\left( a\right) \cdot
\boldsymbol{g}^{\prime \prime \prime }\left( a\right) \\
&=&\boldsymbol{f}^{\prime \prime \prime }\left( a\right) \cdot \boldsymbol{g}\left( a\right) +3\boldsymbol{f}^{\prime \prime }\left( a\right) \cdot
\boldsymbol{g}^{\prime }\left( a\right) +3\boldsymbol{f}^{\prime }\left(
a\right) \cdot \boldsymbol{g}^{\prime \prime }\left( a\right) +\boldsymbol{f}\left( a\right) \cdot \boldsymbol{g}^{\prime \prime \prime }\left( a\right)
\end{eqnarray*}となります。
以降についても同様です。
a\right) =\sum_{k=0}^{n}\dbinom{n}{k}\boldsymbol{f}^{\left( n-k\right)
}\left( a\right) \cdot \boldsymbol{g}^{\left( k\right) }\left( a\right)
\end{equation*}となる。ただし、\begin{equation*}
\dbinom{n}{k}=\frac{n!}{k!\left( n-k\right) !}
\end{equation*}である。
x\right) =\sum_{k=0}^{n}\dbinom{n}{k}\boldsymbol{f}^{\left( n-k\right)
}\left( x\right) \cdot \boldsymbol{g}^{\left( k\right) }\left( x\right)
\end{equation*}を定めます。
\begin{array}{c}
x^{2} \\
5x\end{array}\right) \cdot \left(
\begin{array}{c}
\cos \left( x\right) \\
\sin \left( x\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&\sum_{k=0}^{1}\dbinom{1}{k}\frac{d^{1-k}}{dx^{1-k}}\left(
\begin{array}{c}
x^{2} \\
5x\end{array}\right) \cdot \frac{d^{k}}{dx^{k}}\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( x\right) \\
\sin \left( x\right)
\end{array}\right) \\
&=&\dbinom{1}{0}\frac{d}{dx}\left(
\begin{array}{c}
x^{2} \\
5x\end{array}\right) \cdot \left(
\begin{array}{c}
\cos \left( x\right) \\
\sin \left( x\right)
\end{array}\right) +\dbinom{1}{1}\left(
\begin{array}{c}
x^{2} \\
5x\end{array}\right) \cdot \frac{d}{dx}\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( x\right) \\
\sin \left( x\right)
\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
2x \\
5\end{array}\right) \cdot \left(
\begin{array}{c}
\cos \left( x\right) \\
\sin \left( x\right)
\end{array}\right) +\left(
\begin{array}{c}
x^{2} \\
5x\end{array}\right) \cdot \left(
\begin{array}{c}
-\sin \left( x\right) \\
\cos \left( x\right)
\end{array}\right) \\
&=&2x\cos \left( x\right) +5\sin \left( x\right) -x^{2}\sin \left( x\right)
+5x\cos \left( x\right) \\
&=&7x\cos \left( x\right) +5\sin \left( x\right) -x^{2}\sin \left( x\right)
\end{eqnarray*}を定め、2階の導関数\(f^{\prime \prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime \prime }\left( x\right) &=&\sum_{k=0}^{2}\dbinom{2}{k}\frac{d^{2-k}}{dx^{2-k}}\left(
\begin{array}{c}
x^{2} \\
5x\end{array}\right) \cdot \frac{d^{k}}{dx^{k}}\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( x\right) \\
\sin \left( x\right)
\end{array}\right) \\
&=&\dbinom{2}{0}\frac{d^{2}}{dx^{2}}\left(
\begin{array}{c}
x^{2} \\
5x\end{array}\right) \cdot \left(
\begin{array}{c}
\cos \left( x\right) \\
\sin \left( x\right)
\end{array}\right) +\dbinom{2}{1}\frac{d}{dx}\left(
\begin{array}{c}
x^{2} \\
5x\end{array}\right) \cdot \frac{d}{dx}\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( x\right) \\
\sin \left( x\right)
\end{array}\right) +\dbinom{2}{2}\left(
\begin{array}{c}
x^{2} \\
5x\end{array}\right) \cdot \frac{d^{2}}{dx^{2}}\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( x\right) \\
\sin \left( x\right)
\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
2 \\
0\end{array}\right) \cdot \left(
\begin{array}{c}
\cos \left( x\right) \\
\sin \left( x\right)
\end{array}\right) +2\left(
\begin{array}{c}
2x \\
5\end{array}\right) \cdot \left(
\begin{array}{c}
-\sin \left( x\right) \\
\cos \left( x\right)
\end{array}\right) +\left(
\begin{array}{c}
x^{2} \\
5x\end{array}\right) \cdot \left(
\begin{array}{c}
-\cos \left( x\right) \\
-\sin \left( x\right)
\end{array}\right) \\
&=&2\cos \left( x\right) -4x\sin \left( x\right) +10\cos \left( x\right)
-x^{2}\cos \left( x\right) -5x\sin \left( x\right) \\
&=&12\cos \left( x\right) -x^{2}\cos \left( x\right) -9x\sin \left( x\right)
\end{eqnarray*}を定めます。
演習問題
\boldsymbol{r}\left( t\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
e^{t} \\
\sin \left( t\right)
\end{array}\right) \\
\boldsymbol{s}\left( t\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
t^{2} \\
\cos \left( t\right)
\end{array}\right)
\end{eqnarray*}に対して、\begin{equation*}
\frac{d^{2}}{dt^{2}}\left[ \boldsymbol{r}\left( t\right) \cdot \boldsymbol{s}\left( t\right) \right] \end{equation*}を求めてください。
\end{equation*}を求めてください。
t\right)
\end{equation*}が成り立つ場合には、\begin{equation*}
E\left( t\right) =\left\Vert \boldsymbol{r}\left( t\right) \right\Vert
^{2}+\left\Vert \boldsymbol{r}^{\prime }\left( t\right) \right\Vert ^{2}
\end{equation*}が定数関数であることを示してください。
\end{equation*}を求める公式を導出してください。
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