フレネ・セレの公式（フレネ標構の変化）

時間パラメータ表示におけるフレネ・セレの公式

空間\(\mathbb{R} ^{3}\)上の曲線に沿って運動する物体の位置が、区間上に定義されたベクトル値関数\begin{equation*}\boldsymbol{r}:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} ^{3}
\end{equation*}として表現されているものとします。つまり、時点\(t\in I\)における物体の位置ベクトルが、\begin{equation*}\boldsymbol{r}\left( t\right) =\left(
\begin{array}{c}
x\left( t\right) \\
y\left( t\right) \\
z\left( t\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}であるということです。さらに、\(\boldsymbol{r}\)は正則であるものとします。つまり、\(\boldsymbol{r}\)は\(C^{n}\)級であるとともに、\begin{equation*}\forall t\in I:\boldsymbol{r}^{\prime }\left( t\right) \not=0
\end{equation*}です。物体の軌跡全体は\(\boldsymbol{r}\)の値域、すなわち\(\boldsymbol{r}\)から定義される曲線\begin{equation*}C\left( \boldsymbol{r}\right) =\left\{ \boldsymbol{r}\left( t\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ t\in I\right\}
\end{equation*}として表現されます。

時点\(t\in I\)における速度ベクトルを、\begin{equation*}\boldsymbol{v}\left( t\right) =\boldsymbol{r}^{\prime }\left( t\right)
\end{equation*}で表記し、時点\(t\)における加速度ベクトルを、\begin{equation*}\boldsymbol{a}\left( t\right) =\boldsymbol{v}^{\prime }\left( t\right) =\boldsymbol{r}^{\prime \prime }\left( t\right)
\end{equation*}で表記し、時点\(t\)における速さを、\begin{equation*}v\left( t\right) =\left\Vert \boldsymbol{v}\left( t\right) \right\Vert
=\left\Vert \boldsymbol{r}^{\prime }\left( t\right) \right\Vert
\end{equation*}で表記します。

時点\(t\in I\)において物体が進んでいる方向は単位接ベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{T}\left( t\right) =\frac{\boldsymbol{r}^{\prime }\left( t\right)
}{\left\Vert \boldsymbol{r}^{\prime }\left( x\right) \right\Vert }=\frac{\boldsymbol{v}\left( t\right) }{v\left( t\right) }
\end{equation*}として表現され、時点\(t\)において物体が曲がる方向は主法線ベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{N}\left( t\right) =\frac{\boldsymbol{T}^{\prime }\left( t\right)
}{\left\Vert \boldsymbol{T}^{\prime }\left( t\right) \right\Vert }
\end{equation*}として表現され、時点\(t\)における接触平面の法線ベクトル、すなわち運動のねじれが発生する軸の向きは従法線ベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{B}\left( t\right) =\boldsymbol{T}\left( t\right) \times
\boldsymbol{N}\left( t\right)
\end{equation*}として表現されます。

任意の時点\(t\in I\)においてこれらは単位ベクトルであるとともに、この中の任意の2つは直交します。つまり、任意の\(t\in I\)において、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \left\Vert \boldsymbol{T}\left( t\right) \right\Vert
=\left\Vert \boldsymbol{N}\left( t\right) \right\Vert =\left\Vert
\boldsymbol{B}\left( t\right) \right\Vert =1 \\
&&\left( b\right) \ \boldsymbol{T}\left( t\right) \cdot \boldsymbol{N}\left(
t\right) =\boldsymbol{T}\left( t\right) \cdot \boldsymbol{B}\left( t\right) =\boldsymbol{B}\left( t\right) \cdot \boldsymbol{N}\left( t\right) =0
\end{eqnarray*}がともに成り立ちます。以上の事実は、これらのベクトルからなる集合\begin{equation*}
\left\{ \boldsymbol{T}\left( t\right) ,\boldsymbol{N}\left( t\right) ,\boldsymbol{B}\left( t\right) \right\} \subset \mathbb{R} ^{3}
\end{equation*}がそれぞれの時点\(t\)において正規直交系であることを意味します。したがって、時点\(t\)においてベクトル\(\boldsymbol{x}\left( t\right) \in \mathbb{R} ^{3}\)を任意に選んだとき、それに対して以下の条件\begin{equation*}\boldsymbol{x}\left( t\right) =a\left( t\right) \boldsymbol{T}\left(
t\right) +b\left( t\right) \boldsymbol{N}\left( t\right) +c\left( t\right)
\boldsymbol{B}\left( t\right)
\end{equation*}を満たすスカラー\(a\left(t\right) ,b\left( t\right) ,c\left( t\right) \in \mathbb{R} \)の組み合わせが一意的に定まります。つまり、\(\left\{ \boldsymbol{T}\left( t\right) ,\boldsymbol{N}\left( t\right) ,\boldsymbol{B}\left( t\right) \right\} \)は時点\(t\)における座標系であるということです。時間\(t\)が変化すればベクトル\(\boldsymbol{T}\left( t\right) ,\boldsymbol{N}\left( t\right) ,\boldsymbol{B}\left( t\right) \)が変化するため、座標系\(\left\{ \boldsymbol{T}\left( t\right) ,\boldsymbol{N}\left( t\right) ,\boldsymbol{B}\left( t\right) \right\} \)そのものが変化します。この座標系をフレネ標構（Frenet frame）と呼びます。

時点\(t\in I\)における曲がり方の激しさは曲率\begin{equation*}\kappa \left( t\right) =\frac{\left\Vert \boldsymbol{T}^{\prime }\left(
t\right) \right\Vert }{v\left( t\right) }
\end{equation*}として表現され、時点\(t\)におけるねじれの激しさは捩率\begin{equation*}\tau \left( t\right) =-\frac{\boldsymbol{B}^{\prime }\left( t\right) \cdot
\boldsymbol{N}\left( t\right) }{v\left( t\right) }
\end{equation*}として表現されます。

時点\(t\in I\)における運動の局所的な変化は、フレネ標構を構成するベクトルの瞬間変化率\(\boldsymbol{T}^{\prime }\left( t\right) ,\boldsymbol{N}^{\prime }\left( t\right) ,\boldsymbol{B}^{\prime }\left( t\right) \)を調べることで理解できます。以下をフレネ・セレの公式（Frenet-Serret formulas）と呼びます。

曲線を時間パラメータ表示した場合のフレネ・セレの公式は、時間\(t\)の経過とともにフレネ標構\(\left\{ \boldsymbol{T}\left( t\right) ,\boldsymbol{N}\left( t\right) ,\boldsymbol{B}\left(t\right) \right\} \)が曲線に沿ってどのように変化していくかを記述します。

単位接ベクトル\(\boldsymbol{T}\left( t\right) \)の瞬間変化率は、\begin{equation*}\boldsymbol{T}^{\prime }\left( t\right) =v\left( t\right) \kappa \left(
t\right) \boldsymbol{N}\left( t\right)
\end{equation*}です。\(v\left( t\right) \kappa \left( t\right) \geq 0\)より\(\boldsymbol{T}^{\prime }\left( t\right) \)は\(\boldsymbol{N}\left( t\right) \)と同一方向であるため、進行方向の変化（曲がり）は常に主法線ベクトルの方向へ発生します。また、\begin{equation*}\left\Vert \boldsymbol{T}^{\prime }\left( t\right) \right\Vert =v\left(
t\right) \kappa \left( t\right)
\end{equation*}であるため、その変化の大きさは\(v\left( t\right) \kappa\left( t\right) \)となります。

従法線ベクトル\(\boldsymbol{B}\left( t\right) \)の瞬間変化率は、\begin{equation*}\boldsymbol{B}^{\prime }\left( t\right) =-v\left( t\right) \tau \left(
t\right) \boldsymbol{N}\left( t\right)
\end{equation*}です。ゆえに\(\tau \left( t\right) <0\)の場合に\(\boldsymbol{B}^{\prime }\left( t\right) \)は\(\boldsymbol{N}\left( t\right) \)と同一方向であるため、接触平面の軸の変化（ねじれ）は主法線ベクトルの方向へ発生します。逆に、\(\tau \left( t\right) >0\)の場合に\(\boldsymbol{B}^{\prime }\left( t\right) \)は\(\boldsymbol{N}\left( t\right) \)と逆方向であるため、接触平面の軸の変化（ねじれ）は主法線ベクトルとは逆の方向へ発生します。また、\(\tau \left(t\right) =0\)の場合には\(\boldsymbol{B}^{\prime}\left( t\right) =0\)となるため、接触平面の軸の変化（ねじれ）は生じません。

進行方向\(\boldsymbol{T}\left( t\right) \)の変化が\(\boldsymbol{N}\left( t\right) \)方向へ発生し、接触平面の軸方向\(\boldsymbol{B}\left( t\right) \)の変化が\(\boldsymbol{N}\left( t\right) \)と同方向または反対方向へ発生する中でフレネ標構\(\left\{ \boldsymbol{T}\left( t\right) ,\boldsymbol{N}\left( t\right) ,\boldsymbol{B}\left( t\right) \right\} \)が直交系を維持するためには、\(\boldsymbol{N}\left( t\right) \)の変化がそれぞれ同じ変化率のもとでは\(\boldsymbol{T}\left( t\right) \)の反対方向および\(\boldsymbol{B}\left( t\right) \)の反対方向または同方向へ発生する必要があります。つまり、\begin{equation*}\boldsymbol{N}^{\prime }\left( t\right) =-v\left( t\right) \kappa \left(
t\right) \boldsymbol{T}\left( t\right) +v\left( t\right) \tau \left(
t\right) \boldsymbol{B}\left( t\right)
\end{equation*}は直交系の維持メカニズムです。

弧長パラメータ表示におけるフレネ・セレの公式

これまでは時間パラメータ表示された曲線\(r\left( t\right) \)を前提に議論してきましたが、弧長パラメータ表示を前提とした場合、これまで導入した諸概念はどのように表現されるのでしょうか。弧長パラメータ表示について簡単に復習した上で順番に議論します。

\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界閉区間上に定義された位置ベクトル関数\begin{equation*}\boldsymbol{r}:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} ^{3}
\end{equation*}が正則である場合には、弧長関数\(s:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能であるとともに狭義単調増加関数になります。\(s\)の逆関数を、\begin{equation*}s^{-1}:\mathbb{R} \supset \left[ 0,s\left( b\right) \right] \rightarrow \left[ a,b\right] \end{equation*}と表記するのであれば、\(\boldsymbol{r}\)の弧長パラメータ表示が合成関数\begin{equation*}\boldsymbol{r}\circ s^{-1}:\mathbb{R} \supset \left[ 0,s\left( b\right) \right] \rightarrow \mathbb{R} ^{3}
\end{equation*}として得られます。表記の簡略化のため、改めてこれを、\begin{equation*}
\boldsymbol{r}:\mathbb{R} \supset \left[ 0,s\left( b\right) \right] \rightarrow \mathbb{R} ^{3}
\end{equation*}と表記します。

弧長パラメータを採用する場合、パラメータの増加がそのまま道のりの増加に対応するため、速さが常に\(1\)になります。つまり、\begin{equation*}\forall s\in \left[ 0,s\left( b\right) \right] :\left\Vert \boldsymbol{r}^{\prime }\left( s\right) \right\Vert =1
\end{equation*}が成り立ちます。

弧長\(s\in \left[ 0,s\left( b\right) \right] \)における単位接ベクトルは、\begin{equation*}\boldsymbol{T}\left( s\right) =\boldsymbol{r}^{\prime }\left( s\right)
\end{equation*}として定まり、弧長\(s\)における主法線ベクトルは、\begin{equation*}\boldsymbol{N}\left( s\right) =\frac{\boldsymbol{T}^{\prime }\left( s\right)
}{\left\Vert \boldsymbol{T}^{\prime }\left( s\right) \right\Vert }=\frac{\boldsymbol{r}^{\prime \prime }\left( s\right) }{\left\Vert \boldsymbol{r}^{\prime \prime }\left( s\right) \right\Vert }
\end{equation*}として定まり、弧長\(s\)における従法線ベクトルは、\begin{equation*}\boldsymbol{B}\left( s\right) =\boldsymbol{T}\left( s\right) \times
\boldsymbol{N}\left( s\right)
\end{equation*}として定まります。

任意の弧長\(s\in \left[ 0,s\left( b\right) \right] \)においてこれらは単位ベクトルであるとともに、この中の任意の2つは直交します。つまり、任意の\(s\in \left[ 0,s\left( b\right) \right] \)において、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \left\Vert \boldsymbol{T}\left( s\right) \right\Vert
=\left\Vert \boldsymbol{N}\left( s\right) \right\Vert =\left\Vert
\boldsymbol{B}\left( s\right) \right\Vert =1 \\
&&\left( b\right) \ \boldsymbol{T}\left( s\right) \cdot \boldsymbol{N}\left(
s\right) =\boldsymbol{T}\left( s\right) \cdot \boldsymbol{B}\left( s\right) =\boldsymbol{B}\left( s\right) \cdot \boldsymbol{N}\left( s\right) =0
\end{eqnarray*}がともに成り立ちます。以上の事実は、これらのベクトルからなる集合\begin{equation*}
\left\{ \boldsymbol{T}\left( s\right) ,\boldsymbol{N}\left( s\right) ,\boldsymbol{B}\left( s\right) \right\} \subset \mathbb{R} ^{3}
\end{equation*}がそれぞれの弧長\(s\)において正規直交系であることを意味します。したがって、弧長\(s\)においてベクトル\(\boldsymbol{x}\left( s\right) \in \mathbb{R} ^{3}\)を任意に選んだとき、それに対して以下の条件\begin{equation*}\boldsymbol{x}\left( s\right) =a\left( s\right) \boldsymbol{T}\left(
s\right) +b\left( s\right) \boldsymbol{N}\left( s\right) +c\left( s\right)
\boldsymbol{B}\left( s\right)
\end{equation*}を満たすスカラー\(a\left(s\right) ,b\left( s\right) ,c\left( s\right) \in \mathbb{R} \)の組み合わせが一意的に定まります。つまり、\(\left\{ \boldsymbol{T}\left( s\right) ,\boldsymbol{N}\left( s\right) ,\boldsymbol{B}\left( s\right) \right\} \)は弧長\(s\)における座標系です。これが弧長ベクトル表示のもとでのフレネ標構です。

弧長\(s\in \left[ 0,s\left( b\right) \right] \)における曲率は、\begin{equation*}\kappa \left( s\right) =\left\Vert \boldsymbol{T}^{\prime }\left( s\right)
\right\Vert =\left\Vert \boldsymbol{r}^{\prime \prime }\left( s\right)
\right\Vert
\end{equation*}として表現され、弧長\(s\)における捩率は、\begin{equation*}\tau \left( s\right) =-\boldsymbol{B}^{\prime }\left( s\right) \cdot
\boldsymbol{N}\left( s\right)
\end{equation*}として表現されます。

弧長パラメータ表示のもとでのフレネ・セレの公式は以下の通りです。有界閉区間上に定義された位置ベクトル関数

曲線を弧長パラメータ表示した場合のフレネ・セレの公式は、弧長\(s\)の経過とともにフレネ標構\(\left\{ \boldsymbol{T}\left( s\right) ,\boldsymbol{N}\left( s\right) ,\boldsymbol{B}\left(s\right) \right\} \)が曲線に沿ってどのように変化していくかを記述します。

単位接ベクトル\(\boldsymbol{T}\left( s\right) \)の瞬間変化率は、\begin{equation*}\boldsymbol{T}^{\prime }\left( s\right) =\kappa \left( s\right) \boldsymbol{N}\left( s\right)
\end{equation*}です。\(\kappa \left( s\right) \geq 0\)より\(\boldsymbol{T}^{\prime }\left( s\right) \)は\(\boldsymbol{N}\left(s\right) \)と同一方向であるため、進行方向の変化（曲がり）は常に主法線ベクトルの方向へ発生します。また、\begin{equation*}\left\Vert \boldsymbol{T}^{\prime }\left( s\right) \right\Vert =\kappa
\left( s\right)
\end{equation*}であるため、その変化の大きさは曲率と一致します。

従法線ベクトル\(\boldsymbol{B}\left( s\right) \)の瞬間変化率は、\begin{equation*}\boldsymbol{B}^{\prime }\left( s\right) =-\tau \left( s\right) \boldsymbol{N}\left( s\right)
\end{equation*}です。ゆえに\(\tau \left( s\right) <0\)の場合に\(\boldsymbol{B}^{\prime }\left( s\right) \)は\(\boldsymbol{N}\left( s\right) \)と同一方向であるため、接触平面の軸の変化（ねじれ）は主法線ベクトルの方向へ発生します。逆に、\(\tau \left( s\right) >0\)の場合に\(\boldsymbol{B}^{\prime }\left( s\right) \)は\(\boldsymbol{N}\left( s\right) \)と逆方向であるため、接触平面の軸の変化（ねじれ）は主法線ベクトルとは逆の方向へ発生します。また、\(\tau \left(s\right) =0\)の場合には\(\boldsymbol{B}^{\prime}\left( s\right) =0\)となるため、接触平面の軸の変化（ねじれ）は生じません。

進行方向\(\boldsymbol{T}\left( s\right) \)の変化が\(\boldsymbol{N}\left( s\right) \)方向へ発生し、接触平面の軸方向\(\boldsymbol{B}\left( s\right) \)の変化が\(\boldsymbol{N}\left( s\right) \)と同方向または反対方向へ発生する中でフレネ標構\(\left\{ \boldsymbol{T}\left( s\right) ,\boldsymbol{N}\left( s\right) ,\boldsymbol{B}\left( s\right) \right\} \)が直交系を維持するためには、\(\boldsymbol{N}\left( s\right) \)の変化がそれぞれ同じ変化率のもとでは\(\boldsymbol{T}\left( s\right) \)の反対方向および\(\boldsymbol{B}\left( s\right) \)の反対方向または同方向へ発生する必要があります。つまり、\begin{equation*}\boldsymbol{N}^{\prime }\left( s\right) =-\kappa \left( s\right) \boldsymbol{T}\left( s\right) +\tau \left( s\right) \boldsymbol{B}\left( s\right)
\end{equation*}は直交系の維持メカニズムです。

演習問題