2階の微分係数と導関数
ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が定義域上の点\(a\in X\)およびその周辺の任意の点において微分可能である場合、導関数\(\boldsymbol{f}^{\prime }\)は点\(a\)およびその周辺の任意の点において定義されていることになるため、さらに\(\boldsymbol{f}^{\prime }\)が点\(a\)において微分可能であるか検討できます。\(\boldsymbol{f}^{\prime }\)が点\(a\)において微分可能である場合、そこでの微分係数が、\begin{equation*}\frac{d\boldsymbol{f}^{\prime }\left( a\right) }{dx}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\boldsymbol{f}^{\prime }\left( a+h\right) -\boldsymbol{f}^{\prime
}\left( a\right) }{h}
\end{equation*}と定まりますが、これを\(\boldsymbol{f}\)の点\(a\)における2階微分係数（second order differential coefficient at \(a\)）と呼び、\begin{equation*}\boldsymbol{f}^{\prime \prime }(a),\quad \boldsymbol{f}^{\left( 2\right)
}(a),\quad \frac{d^{2}\boldsymbol{f}(a)}{dx^{2}},\quad \frac{d^{2}}{dx^{2}}\boldsymbol{f}(a),\quad \left. \frac{d^{2}\boldsymbol{f}\left( x\right) }{dx^{2}}\right\vert _{x=a}
\end{equation*}などで表記します。つまり、\begin{equation*}
\boldsymbol{f}^{\prime \prime }\left( a\right) =\frac{d\boldsymbol{f}^{\prime }\left( a\right) }{dx}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\boldsymbol{f}^{\prime }\left( a+h\right) -\boldsymbol{f}^{\prime }\left( a\right) }{h}
\end{equation*}を満たすものとして2階微分係数\(\boldsymbol{f}^{\prime \prime}\left( a\right) \)は定義されるということです。2階微分係数\(\boldsymbol{f}^{\prime \prime }\left( a\right) \)が存在する場合、\(\boldsymbol{f}\)は点\(a\)において2階微分可能（second order differentiable at \(a\)）であると言います。
ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が2階微分可能な点からなる集合を\(Y\subset X\)で表記する場合、それぞれの\(x\in Y\)に対して、そこでの2階微分係数\(\boldsymbol{f}^{\prime \prime }\left( x\right) \in \mathbb{R} ^{m}\)を値として定める\(\boldsymbol{f}^{\prime }\)の導関数\begin{equation*}\boldsymbol{f}^{\prime \prime }:\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が定義可能です。これを\(\boldsymbol{f}\)の2階導関数（second order derivative）と呼び、\begin{equation*}\boldsymbol{f}^{\prime \prime }(x),\quad \boldsymbol{f}^{\left( 2\right)
}(x),\quad \frac{d^{2}\boldsymbol{f}(x)}{dx^{2}},\quad \frac{d^{2}}{dx^{2}}\boldsymbol{f}(x)
\end{equation*}などで表記します。
\begin{array}{c}
f_{1}^{\prime }\left( x\right) \\
f_{2}^{\prime }\left( x\right)
\end{array}\right) \\
&=&f_{1}^{\prime }\left( x\right) \boldsymbol{i}+f_{2}^{\prime }\left(
x\right) \boldsymbol{j}
\end{eqnarray*}を定め、2階導関数\(\boldsymbol{f}^{\prime \prime }:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{f}^{\prime \prime }\left( x\right) &=&\frac{d}{dx}\boldsymbol{f}^{\prime }\left( x\right) \\
&=&\frac{d}{dx}\left(
\begin{array}{c}
f_{1}^{\prime }\left( x\right) \\
f_{2}^{\prime }\left( x\right)
\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
f_{1}^{\prime \prime }\left( x\right) \\
f_{2}^{\prime \prime }\left( x\right)
\end{array}\right) \\
&=&f_{1}^{\prime \prime }\left( x\right) \boldsymbol{i}+f_{2}^{\prime \prime
}\left( x\right) \boldsymbol{j}
\end{eqnarray*}を定めます。ただし、\begin{equation*}
\boldsymbol{i}=\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0\end{array}\right) ,\quad \boldsymbol{j}=\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1\end{array}\right)
\end{equation*}です。
\begin{array}{c}
f_{1}^{\prime }\left( x\right) \\
f_{2}^{\prime }\left( x\right) \\
f_{3}^{\prime }\left( x\right)
\end{array}\right) \\
&=&f_{1}^{\prime }\left( x\right) \boldsymbol{i}+f_{2}^{\prime }\left(
x\right) \boldsymbol{j}+f_{3}^{\prime }\left( x\right) \boldsymbol{k}
\end{eqnarray*}を定め、2階導関数\(\boldsymbol{f}^{\prime \prime }:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{3}\)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{f}^{\prime \prime }\left( x\right) &=&\frac{d}{dx}\boldsymbol{f}^{\prime }\left( x\right) \\
&=&\frac{d}{dx}\left(
\begin{array}{c}
f_{1}^{\prime }\left( x\right) \\
f_{2}^{\prime }\left( x\right) \\
f_{3}^{\prime }\left( x\right)
\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
f_{1}^{\prime \prime }\left( x\right) \\
f_{2}^{\prime \prime }\left( x\right) \\
f_{3}^{\prime \prime }\left( x\right)
\end{array}\right) \\
&=&f_{1}^{\prime \prime }\left( x\right) \boldsymbol{i}+f_{2}^{\prime \prime
}\left( x\right) \boldsymbol{j}+f_{3}^{\prime \prime }\left( x\right)
\boldsymbol{k}
\end{eqnarray*}を定めます。ただし、\begin{equation*}
\boldsymbol{i}=\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
0\end{array}\right) ,\quad \boldsymbol{j}=\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1 \\
0\end{array}\right) ,\quad \boldsymbol{k}=\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
1\end{array}\right)
\end{equation*}です。
\left( t\right) \boldsymbol{j}+4\sin \left( t\right) \boldsymbol{k}
\end{equation*}であるものとします。ただし、\begin{equation*}
\boldsymbol{i}=\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
0\end{array}\right) ,\quad \boldsymbol{j}=\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1 \\
0\end{array}\right) ,\quad \boldsymbol{k}=\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
1\end{array}\right)
\end{equation*}です。導関数は、\begin{eqnarray*}
\boldsymbol{r}^{\prime }\left( t\right) &=&\frac{d}{dt}\boldsymbol{r}\left(
t\right) \\
&=&\frac{d}{dt}\left[ 5\cos \left( t\right) \boldsymbol{i}+3\sin \left(
t\right) \boldsymbol{j}+4\sin \left( t\right) \boldsymbol{k}\right] \\
&=&5\cdot \frac{d}{dt}\cos \left( t\right) \boldsymbol{i}+3\cdot \frac{d}{dt}\sin \left( t\right) \boldsymbol{j}+4\cdot \frac{d}{dt}\sin \left( t\right)
\boldsymbol{k} \\
&=&-5\sin \left( t\right) \boldsymbol{i}+3\sin \left( t\right) \boldsymbol{j}+4\cos \left( t\right) \boldsymbol{k}
\end{eqnarray*}ですが、これは時点\(t\)における点の速度です。2階導関数は、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{r}^{\prime \prime }\left( t\right) &=&\frac{d}{dt}\boldsymbol{r}^{\prime }\left( t\right) \\
&=&\frac{d}{dt}\left[ -5\sin \left( t\right) \boldsymbol{i}+3\sin \left(
t\right) \boldsymbol{j}+4\cos \left( t\right) \boldsymbol{k}\right] \\
&=&-5\cdot \frac{d}{dt}\sin \left( t\right) \boldsymbol{i}+3\cdot \frac{d}{dt}\sin \left( t\right) \boldsymbol{j}+4\cdot \frac{d}{dt}\cos \left( t\right)
\boldsymbol{k} \\
&=&-5\cos \left( t\right) \boldsymbol{i}-3\cos \left( t\right) \boldsymbol{j}-4\sin \left( t\right) \boldsymbol{k}
\end{eqnarray*}ですが、これは時点\(t\)における点の加速度です。
3階の微分係数と導関数
ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が定義域上の点\(a\in X\)およびその周辺の任意の点において2階微分可能である場合、2階導関数\(\boldsymbol{f}^{\prime \prime }\)は点\(a\)およびその周辺の任意の点において定義されていることになるため、さらに\(\boldsymbol{f}^{\prime \prime }\)が点\(a\)において微分可能であるか検討できます。\(\boldsymbol{f}^{\prime \prime }\)が点\(a\)において微分可能である場合、そこでの微分係数が、\begin{equation*}\frac{d\boldsymbol{f}^{\prime \prime }\left( a\right) }{dx}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\boldsymbol{f}^{\prime \prime }\left( a+h\right)
-\boldsymbol{f}^{\prime \prime }\left( a\right) }{h}
\end{equation*}と定まりますが、これを\(\boldsymbol{f}\)の点\(a\)における3階微分係数（third order differential coefficient at \(a\)）と呼び、\begin{equation*}\boldsymbol{f}^{\prime \prime \prime }(a),\quad \boldsymbol{f}^{\left(
3\right) }(a),\quad \frac{d^{3}\boldsymbol{f}(a)}{dx^{3}},\quad \frac{d^{3}}{dx^{3}}\boldsymbol{f}(a),\quad \left. \frac{d^{3}\boldsymbol{f}\left(
x\right) }{dx^{3}}\right\vert _{x=a}
\end{equation*}などで表記します。つまり、\begin{equation*}
\boldsymbol{f}^{\prime \prime \prime }(a)=\frac{d\boldsymbol{f}^{\prime
\prime }\left( a\right) }{dx}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\boldsymbol{f}^{\prime \prime }\left( a+h\right) -\boldsymbol{f}^{\prime \prime }\left(
a\right) }{h}
\end{equation*}を満たすものとして3階微分係数\(\boldsymbol{f}^{\prime \prime\prime }\left( a\right) \)は定義されるということです。3階微分係数\(\boldsymbol{f}^{\prime \prime \prime}\left( a\right) \)が存在する場合、\(\boldsymbol{f}\)は点\(a\)において3階微分可能（third order differentiable at \(a\)）であると言います。
ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が3階微分可能な点からなる集合を\(Y\subset X\)で表記する場合、それぞれの\(x\in Y\)に対して、そこでの3階微分係数\(\boldsymbol{f}^{\prime \prime \prime }\left( x\right) \in \mathbb{R} ^{m}\)を値として定める\(\boldsymbol{f}^{\prime \prime }\)の導関数\begin{equation*}\boldsymbol{f}^{\prime \prime \prime }:\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が定義可能です。これを\(\boldsymbol{f}\)の3階導関数（third order derivative）と呼び、\begin{equation*}\boldsymbol{f}^{\prime \prime \prime }(x),\quad \boldsymbol{f}^{\left(
3\right) }(x),\quad \frac{d^{3}\boldsymbol{f}(x)}{dx^{3}},\quad \frac{d^{3}}{dx^{3}}\boldsymbol{f}(x)
\end{equation*}などで表記します。
\begin{array}{c}
f_{1}^{\prime }\left( x\right) \\
f_{2}^{\prime }\left( x\right)
\end{array}\right) \\
&=&f_{1}^{\prime }\left( x\right) \boldsymbol{i}+f_{2}^{\prime }\left(
x\right) \boldsymbol{j}
\end{eqnarray*}を定め、2階導関数\(\boldsymbol{f}^{\prime \prime }:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{f}^{\prime \prime }\left( x\right) &=&\frac{d}{dx}\boldsymbol{f}^{\prime }\left( x\right) \\
&=&\frac{d}{dx}\left(
\begin{array}{c}
f_{1}^{\prime }\left( x\right) \\
f_{2}^{\prime }\left( x\right)
\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
f_{1}^{\prime \prime }\left( x\right) \\
f_{2}^{\prime \prime }\left( x\right)
\end{array}\right) \\
&=&f_{1}^{\prime \prime }\left( x\right) \boldsymbol{i}+f_{2}^{\prime \prime
}\left( x\right) \boldsymbol{j}
\end{eqnarray*}を定め、3階導関数\(\boldsymbol{f}^{\prime \prime \prime }:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{f}^{\prime \prime \prime }\left( x\right) &=&\frac{d}{dx}\boldsymbol{f}^{\prime \prime }\left( x\right) \\
&=&\frac{d}{dx}\left(
\begin{array}{c}
f_{1}^{\prime \prime }\left( x\right) \\
f_{2}^{\prime \prime }\left( x\right)
\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
f_{1}^{\prime \prime \prime }\left( x\right) \\
f_{2}^{\prime \prime \prime }\left( x\right)
\end{array}\right) \\
&=&f_{1}^{\prime \prime \prime }\left( x\right) \boldsymbol{i}+f_{2}^{\prime
\prime \prime }\left( x\right) \boldsymbol{j}
\end{eqnarray*}を定めます。ただし、\begin{equation*}
\boldsymbol{i}=\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0\end{array}\right) ,\quad \boldsymbol{j}=\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1\end{array}\right)
\end{equation*}です。
\begin{array}{c}
f_{1}^{\prime }\left( x\right) \\
f_{2}^{\prime }\left( x\right) \\
f_{3}^{\prime }\left( x\right)
\end{array}\right) \\
&=&f_{1}^{\prime }\left( x\right) \boldsymbol{i}+f_{2}^{\prime }\left(
x\right) \boldsymbol{j}+f_{3}^{\prime }\left( x\right) \boldsymbol{k}
\end{eqnarray*}を定め、2階導関数\(\boldsymbol{f}^{\prime \prime }:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{3}\)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{f}^{\prime \prime }\left( x\right) &=&\frac{d}{dx}\boldsymbol{f}^{\prime }\left( x\right) \\
&=&\frac{d}{dx}\left(
\begin{array}{c}
f_{1}^{\prime }\left( x\right) \\
f_{2}^{\prime }\left( x\right) \\
f_{3}^{\prime }\left( x\right)
\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
f_{1}^{\prime \prime }\left( x\right) \\
f_{2}^{\prime \prime }\left( x\right) \\
f_{3}^{\prime \prime }\left( x\right)
\end{array}\right) \\
&=&f_{1}^{\prime \prime }\left( x\right) \boldsymbol{i}+f_{2}^{\prime \prime
}\left( x\right) \boldsymbol{j}+f_{3}^{\prime \prime }\left( x\right)
\boldsymbol{k}
\end{eqnarray*}を定め、3階導関数\(\boldsymbol{f}^{\prime \prime \prime }:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{f}^{\prime \prime \prime }\left( x\right) &=&\frac{d}{dx}\boldsymbol{f}^{\prime \prime }\left( x\right) \\
&=&\frac{d}{dx}\left(
\begin{array}{c}
f_{1}^{\prime \prime }\left( x\right) \\
f_{2}^{\prime \prime }\left( x\right) \\
f_{3}^{\prime \prime }\left( x\right)
\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
f_{1}^{\prime \prime \prime }\left( x\right) \\
f_{2}^{\prime \prime \prime }\left( x\right) \\
f_{3}^{\prime \prime \prime }\left( x\right)
\end{array}\right) \\
&=&f_{1}^{\prime \prime \prime }\left( x\right) \boldsymbol{i}+f_{2}^{\prime
\prime \prime }\left( x\right) \boldsymbol{j}+f_{3}^{\prime \prime \prime
}\left( x\right) \boldsymbol{k}
\end{eqnarray*}を定めます。ただし、\begin{equation*}
\boldsymbol{i}=\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
0\end{array}\right) ,\quad \boldsymbol{j}=\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1 \\
0\end{array}\right) ,\quad \boldsymbol{k}=\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
1\end{array}\right)
\end{equation*}です。
\left( t\right) \boldsymbol{j}+4\sin \left( t\right) \boldsymbol{k}
\end{equation*}であるものとします。ただし、\begin{equation*}
\boldsymbol{i}=\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
0\end{array}\right) ,\quad \boldsymbol{j}=\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1 \\
0\end{array}\right) ,\quad \boldsymbol{k}=\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
1\end{array}\right)
\end{equation*}です。先に示したように導関数は、\begin{equation*}
\boldsymbol{r}^{\prime }\left( t\right) =-5\sin \left( t\right) \boldsymbol{i}+3\sin \left( t\right) \boldsymbol{j}+4\cos \left( t\right) \boldsymbol{k}
\end{equation*}ですが、これは時点\(t\)における点の速度です。また、2階導関数は、\begin{equation*}\boldsymbol{r}^{\prime \prime }\left( t\right) =-5\cos \left( t\right)
\boldsymbol{i}-3\cos \left( t\right) \boldsymbol{j}-4\sin \left( t\right)
\boldsymbol{k}
\end{equation*}ですが、これは時点\(t\)における点の加速度です。さらに、3階導関数は、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{r}^{\prime \prime \prime }\left( t\right) &=&\frac{d}{dt}\boldsymbol{r}^{\prime \prime }\left( t\right) \\
&=&\frac{d}{dt}\left[ -5\cos \left( t\right) \boldsymbol{i}-3\cos \left(
t\right) \boldsymbol{j}-4\sin \left( t\right) \boldsymbol{k}\right] \\
&=&-5\cdot \frac{d}{dt}\cos \left( t\right) \boldsymbol{i}-3\cdot \frac{d}{dt}\cos \left( t\right) \boldsymbol{j}-4\cdot \frac{d}{dt}\sin \left( t\right)
\boldsymbol{k} \\
&=&5\sin \left( t\right) \boldsymbol{i}+3\sin \left( t\right) \boldsymbol{j}-4\cos \left( t\right) \boldsymbol{k}
\end{eqnarray*}ですが、これを時点\(t\)における点の躍度（やくど）や加加速度（かかそくど）などと呼びます。これは時点\(t\)における加速度の瞬間変化率を表す指標です。
n階の微分係数と導関数
ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が定義域上の点\(a\in X\)およびその周辺の任意の点において\(n-1\)階微分可能である場合、\(n-1\)階導関数\(\boldsymbol{f}^{\left( n-1\right) }\)は点\(a\)およびその周辺の任意の点において定義されていることになるため、さらに\(\boldsymbol{f}^{\left( n-1\right) }\)が点\(a\)において微分可能であるか検討できます。\(\boldsymbol{f}^{\left(n-1\right) }\)が点\(a\)において微分可能である場合、そこでの微分係数が、\begin{equation*}\frac{d\boldsymbol{f}^{\left( n-1\right) }\left( a\right) }{dx}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\boldsymbol{f}^{\left( n-1\right) }\left(
a+h\right) -\boldsymbol{f}^{\left( n-1\right) }\left( a\right) }{h}
\end{equation*}と定まりますが、これを\(\boldsymbol{f}\)の点\(a\)における\(n\)階微分係数（\(n\) th differential coefficient at \(a\)）と呼び、\begin{equation*}\boldsymbol{f}^{\left( n\right) }(a),\quad \frac{d^{n}\boldsymbol{f}(a)}{dx^{n}},\quad \frac{d^{n}}{dx^{n}}\boldsymbol{f}(a),\quad \left. \frac{d^{n}\boldsymbol{f}\left( x\right) }{dx^{n}}\right\vert _{x=a}
\end{equation*}などで表記します。つまり、\begin{equation*}
\boldsymbol{f}^{\left( n\right) }(a)=\frac{d\boldsymbol{f}^{\left(
n-1\right) }\left( a\right) }{dx}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\boldsymbol{f}^{\left( n-1\right) }\left( a+h\right) -\boldsymbol{f}^{\left( n-1\right)
}\left( a\right) }{h}
\end{equation*}を満たすものとして\(n\)階微分係数\(\boldsymbol{f}^{\left( n\right)}\left( a\right) \)は定義されるということです。\(n\)階微分係数\(\boldsymbol{f}^{\left( n\right) }\left( a\right) \)が存在する場合、\(\boldsymbol{f}\)は点\(a\)において\(n\)階微分可能（\(n\) th order differentiable at \(a\)）であると言います。
ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が\(n\)階微分可能な点からなる集合を\(Y\subset X\)で表記する場合、それぞれの\(x\in Y\)に対して、そこでの\(n\)階微分係数\(\boldsymbol{f}^{\left( n\right) }\left( x\right) \in \mathbb{R} ^{m}\)を値として定める\(\boldsymbol{f}^{\left( n-1\right) }\)の導関数\begin{equation*}\boldsymbol{f}^{\left( n\right) }:\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が定義可能です。これを\(\boldsymbol{f}\)の\(n\)階導関数（\(n\) th order derivative）と呼び、\begin{equation*}\boldsymbol{f}^{\left( n\right) }(x),\quad \frac{d^{n}\boldsymbol{f}(x)}{dx^{n}},\quad \frac{d^{n}}{dx^{n}}\boldsymbol{f}(x)
\end{equation*}などで表記します。
\begin{array}{c}
f_{1}^{\prime }\left( x\right) \\
f_{2}^{\prime }\left( x\right)
\end{array}\right) =f_{1}^{\prime }\left( x\right) \boldsymbol{i}+f_{2}^{\prime }\left(
x\right) \boldsymbol{j} \\
\boldsymbol{f}^{\prime \prime }\left( x\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
f_{1}^{\prime \prime }\left( x\right) \\
f_{2}^{\prime \prime }\left( x\right)
\end{array}\right) =f_{1}^{\prime \prime }\left( x\right) \boldsymbol{i}+f_{2}^{\prime
\prime }\left( x\right) \boldsymbol{j} \\
\boldsymbol{f}^{\prime \prime \prime }\left( x\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
f_{1}^{\prime \prime \prime }\left( x\right) \\
f_{2}^{\prime \prime \prime }\left( x\right)
\end{array}\right) =f_{1}^{\prime \prime \prime }\left( x\right) \boldsymbol{i}+f_{2}^{\prime \prime \prime }\left( x\right) \boldsymbol{j} \\
&&\vdots \\
\boldsymbol{f}^{\left( n\right) }\left( x\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
f_{1}^{\left( n\right) }\left( x\right) \\
f_{2}^{\left( n\right) }\left( x\right)
\end{array}\right) =f_{1}^{\left( n\right) }\left( x\right) \boldsymbol{i}+f_{2}^{\left( n\right) }\left( x\right) \boldsymbol{j} \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}を定めます。ただし、\begin{equation*}
\boldsymbol{i}=\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0\end{array}\right) ,\quad \boldsymbol{j}=\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1\end{array}\right)
\end{equation*}です。
\begin{array}{c}
f_{1}^{\prime }\left( x\right) \\
f_{2}^{\prime }\left( x\right) \\
f_{3}^{\prime }\left( x\right)
\end{array}\right) =f_{1}^{\prime }\left( x\right) \boldsymbol{i}+f_{2}^{\prime }\left(
x\right) \boldsymbol{j}+f_{3}^{\prime }\left( x\right) \boldsymbol{k} \\
\boldsymbol{f}^{\prime \prime }\left( x\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
f_{1}^{\prime \prime }\left( x\right) \\
f_{2}^{\prime \prime }\left( x\right) \\
f_{3}^{\prime \prime }\left( x\right)
\end{array}\right) =f_{1}^{\prime \prime }\left( x\right) \boldsymbol{i}+f_{2}^{\prime
\prime }\left( x\right) \boldsymbol{j}+f_{3}^{\prime \prime }\left( x\right)
\boldsymbol{k} \\
\boldsymbol{f}^{\prime \prime \prime }\left( x\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
f_{1}^{\prime \prime \prime }\left( x\right) \\
f_{2}^{\prime \prime \prime }\left( x\right) \\
f_{3}^{\prime \prime \prime }\left( x\right)
\end{array}\right) =f_{1}^{\prime \prime \prime }\left( x\right) \boldsymbol{i}+f_{2}^{\prime \prime \prime }\left( x\right) \boldsymbol{j}+f_{3}^{\prime
\prime \prime }\left( x\right) \boldsymbol{k} \\
&&\vdots \\
\boldsymbol{f}^{\left( n\right) }\left( x\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
f_{1}^{\left( n\right) }\left( x\right) \\
f_{2}^{\left( n\right) }\left( x\right) \\
f_{3}^{\left( n\right) }\left( x\right)
\end{array}\right) =f_{1}^{\left( n\right) }\left( x\right) \boldsymbol{i}+f_{2}^{\left( n\right) }\left( x\right) \boldsymbol{j}+f_{3}^{\left(
n\right) }\boldsymbol{k} \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}を定めます。ただし、\begin{equation*}
\boldsymbol{i}=\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
0\end{array}\right) ,\quad \boldsymbol{j}=\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1 \\
0\end{array}\right) ,\quad \boldsymbol{k}=\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
1\end{array}\right)
\end{equation*}です。
演習問題
\begin{array}{c}
t^{3} \\
\sin \left( t\right) \\
e^{t}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(\boldsymbol{f}\)の\(n\ \left( =1,2,3\right) \)階の導関数\(\boldsymbol{f}^{\left( n\right) }\)をそれぞれ求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{equation*}
\boldsymbol{i}=\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
0\end{array}\right) ,\quad \boldsymbol{j}=\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1 \\
0\end{array}\right) ,\quad \boldsymbol{k}=\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
1\end{array}\right)
\end{equation*}です。\(\boldsymbol{f}\)の\(n\ \left( =1,2,3\right) \)階の導関数\(\boldsymbol{f}^{\left( n\right) }\)をそれぞれ求めてください。
\begin{array}{c}
t \\
\sin \left( t\right) \\
\cos \left( t\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}であるものとします。時点\(t\)における点の速度、加速度、躍度をそれぞれ求めてください。その上で、速度ベクトルと加速度ベクトルが直交する時点\(t\)を特定してください。
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