ベクトル値関数のノルムの微分

ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が任意に与えられたとき、そこから実数値関数\(\left\Vert \boldsymbol{f}\right\Vert :\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(\boldsymbol{f}\)が定義域の内点\(a\in X^{i}\)において微分可能であるとともに、\begin{equation*}\left\Vert \boldsymbol{f}\left( a\right) \right\Vert \not=0
\end{equation*}が成り立つならば、\(\left\Vert \boldsymbol{f}\right\Vert \)もまた点\(a\)において微分可能であり、そこでの微分係数は、\begin{equation*}\left\Vert \boldsymbol{f}\right\Vert ^{\prime }\left( a\right) =\frac{\boldsymbol{f}\left( a\right) \cdot \boldsymbol{f}^{\prime }\left( a\right)
}{\left\Vert \boldsymbol{f}\left( a\right) \right\Vert }
\end{equation*}である。

ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)から関数\(\left\Vert \boldsymbol{f}\right\Vert :\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義します。\(\boldsymbol{f}\)が\(X\)上で微分可能であるとともに、\begin{equation*}\forall x\in X:\left\Vert \boldsymbol{f}\left( x\right) \right\Vert \not=0
\end{equation*}が成り立つ場合、先の命題より関数\(\left\Vert \boldsymbol{f}\right\Vert \)もまた\(X\)上で微分可能であり、導関数\(\left\Vert \boldsymbol{f}\right\Vert ^{\prime }:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left\Vert \boldsymbol{f}\right\Vert ^{\prime }\left( x\right) =\frac{\boldsymbol{f}\left( x\right) \cdot \boldsymbol{f}^{\prime }\left( x\right)
}{\left\Vert \boldsymbol{f}\left( x\right) \right\Vert }
\end{equation*}を定めます。

ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)から関数\(\left\Vert \boldsymbol{f}\right\Vert :\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義します。\(\boldsymbol{f}\)が\(X\)上で微分可能であるとともに、\begin{equation*}\forall x\in X:\left\Vert \boldsymbol{f}\left( x\right) \right\Vert \not=0
\end{equation*}が成り立つ場合、先の命題より関数\(\left\Vert \boldsymbol{f}\right\Vert \)もまた\(X\)上で微分可能であり、導関数\(\left\Vert \boldsymbol{f}\right\Vert ^{\prime }:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{eqnarray*}\left\Vert \boldsymbol{f}\right\Vert ^{\prime }\left( x\right) &=&\frac{\boldsymbol{f}\left( x\right) \cdot \boldsymbol{f}^{\prime }\left( x\right)
}{\left\Vert \boldsymbol{f}\left( x\right) \right\Vert } \\
&=&\frac{f_{1}\left( x\right) f_{1}^{\prime }\left( x\right) +f_{2}\left(
x\right) f_{2}^{\prime }\left( x\right) }{\sqrt{\left[ f_{1}\left( x\right) \right] ^{2}+\left[ f_{2}\left( x\right) \right] ^{2}}}
\end{eqnarray*}を定めます。

ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{3}\)から関数\(\left\Vert \boldsymbol{f}\right\Vert :\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義します。\(\boldsymbol{f}\)が\(X\)上で微分可能であるとともに、\begin{equation*}\forall x\in X:\left\Vert \boldsymbol{f}\left( x\right) \right\Vert \not=0
\end{equation*}が成り立つ場合、先の命題より関数\(\left\Vert \boldsymbol{f}\right\Vert \)もまた\(X\)上で微分可能であり、導関数\(\left\Vert \boldsymbol{f}\right\Vert ^{\prime }:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{eqnarray*}\left\Vert \boldsymbol{f}\right\Vert ^{\prime }\left( x\right) &=&\frac{\boldsymbol{f}\left( x\right) \cdot \boldsymbol{f}^{\prime }\left( x\right)
}{\left\Vert \boldsymbol{f}\left( x\right) \right\Vert } \\
&=&\frac{f_{1}\left( x\right) f_{1}^{\prime }\left( x\right) +f_{2}\left(
x\right) f_{2}^{\prime }\left( x\right) +f_{3}\left( x\right) f_{3}^{\prime
}\left( x\right) }{\sqrt{\left[ f_{1}\left( x\right) \right] ^{2}+\left[
f_{2}\left( x\right) \right] ^{2}+\left[ f_{3}\left( x\right) \right] ^{2}}}
\end{eqnarray*}を定めます。

関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{3}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
e^{x} \\
\cos \left( x\right) \\
\sin \left( x\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(\boldsymbol{f}\)は微分可能であるとともに、\begin{eqnarray*}\left\Vert \boldsymbol{f}\left( x\right) \right\Vert &=&\sqrt{e^{2x}+\cos
^{2}\left( x\right) +\sin ^{2}\left( x\right) } \\
&=&\sqrt{e^{2x}+1} \\
&\not=&0
\end{eqnarray*}が成り立つため関数\(\left\Vert \boldsymbol{f}\right\Vert :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は微分可能です。導関数\(\left\Vert \boldsymbol{f}\right\Vert ^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}\left\Vert \boldsymbol{f}\right\Vert ^{\prime }\left( x\right) &=&\frac{\boldsymbol{f}\left( x\right) \cdot \boldsymbol{f}^{\prime }\left( x\right)
}{\left\Vert \boldsymbol{f}\left( x\right) \right\Vert } \\
&=&\frac{1}{\sqrt{e^{2x}+1}}\left(
\begin{array}{c}
e^{x} \\
\cos \left( x\right) \\
\sin \left( x\right)
\end{array}\right) \cdot \left(
\begin{array}{c}
e^{x} \\
-\sin \left( x\right) \\
\cos \left( x\right)
\end{array}\right) \\
&=&\frac{e^{2x}-\sin \left( x\right) \cos \left( x\right) +\sin \left(
x\right) \cos \left( x\right) }{\sqrt{e^{2x}+1}} \\
&=&\frac{e^{2x}}{\sqrt{e^{2x}+1}}
\end{eqnarray*}を定めます。

時点\(t\geq 0\)におけるドローンの速度ベクトルが、\begin{equation*}\boldsymbol{v}\left( t\right) =\left(
\begin{array}{c}
t \\
2t \\
0\end{array}\right)
\end{equation*}であるものとします。時点\(t\)における速さは、\begin{eqnarray*}\left\Vert \boldsymbol{v}\left( t\right) \right\Vert &=&\sqrt{t^{2}+4t^{2}+0} \\
&=&\sqrt{5t^{2}} \\
&=&\sqrt{5}t
\end{eqnarray*}です。任意の時点\(t>0\)において、\begin{eqnarray*}\frac{d}{dt}\left\Vert \boldsymbol{v}\left( t\right) \right\Vert &=&\frac{\boldsymbol{v}\left( t\right) \cdot \boldsymbol{v}^{\prime }\left( t\right)
}{\left\Vert \boldsymbol{v}\left( t\right) \right\Vert } \\
&=&\frac{1}{\sqrt{5}t}\left(
\begin{array}{c}
t \\
2t \\
0\end{array}\right) \cdot \left(
\begin{array}{c}
1 \\
2 \\
0\end{array}\right) \\
&=&\frac{t+4t+0}{\sqrt{5}t} \\
&=&\frac{5t}{\sqrt{5}t} \\
&=&\sqrt{5}
\end{eqnarray*}が成り立ちますが、以上の事実は、速さの変化率が一定であること、すなわち等加速運動であることを意味します。

ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が任意に与えられたとき、そこから関数\(\left\Vert \boldsymbol{f}\right\Vert :\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。以下が成り立つ。

1. 点\(a\in X\)に対して、\begin{equation*}\exists \varepsilon >0:\left[ a,a+\varepsilon \right] \subset X\end{equation*}が成り立つものとする。\(\boldsymbol{f}\)が点\(a\)において右側微分可能であるとともに、\begin{equation*}\left\Vert \boldsymbol{f}\left( a\right) \right\Vert \not=0
   \end{equation*}が成り立つならば、\(\left\Vert \boldsymbol{f}\right\Vert \)もまた点\(a\)において右側微分可能であり、そこでの右側微分係数は、\begin{equation*}\left\Vert \boldsymbol{f}\right\Vert ^{\prime }\left( a+0\right) =\frac{\boldsymbol{f}\left( a\right) \cdot \boldsymbol{f}^{\prime }\left(
   a+0\right) }{\left\Vert \boldsymbol{f}\left( a\right) \right\Vert }
   \end{equation*}である。
2. 点\(a\in X\)に対して、\begin{equation*}\exists \varepsilon >0:\left[ a-\varepsilon ,a\right] \subset X\end{equation*}が成り立つものとする。\(\boldsymbol{f}\)が点\(a\)において左側微分可能であるとともに、\begin{equation*}\left\Vert \boldsymbol{f}\left( a\right) \right\Vert \not=0
   \end{equation*}が成り立つならば、\(\left\Vert \boldsymbol{f}\right\Vert \)もまた点\(a\)において左側微分可能であり、そこでの左側微分係数は、\begin{equation*}\left\Vert \boldsymbol{f}\right\Vert ^{\prime }\left( a-0\right) =\frac{\boldsymbol{f}\left( a\right) \cdot \boldsymbol{f}^{\prime }\left(
   a-0\right) }{\left\Vert \boldsymbol{f}\left( a\right) \right\Vert }
   \end{equation*}である。

ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)から関数\(\left\Vert \boldsymbol{f}\right\Vert :\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義します。\(\boldsymbol{f}\)が\(X\)上で右側微分可能であるとともに、\begin{equation*}\forall x\in X:\left\Vert \boldsymbol{f}\left( x\right) \right\Vert \not=0
\end{equation*}が成り立つ場合、先の命題より関数\(\left\Vert \boldsymbol{f}\right\Vert \)もまた\(X\)上で右側微分可能であり、右側導関数\(\left\Vert \boldsymbol{f}\right\Vert _{+}^{\prime }:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left\Vert \boldsymbol{f}\right\Vert _{+}^{\prime }\left( x\right) =\frac{\boldsymbol{f}\left( x\right) \cdot \boldsymbol{f}_{+}^{\prime }\left(
x\right) }{\left\Vert \boldsymbol{f}\left( x\right) \right\Vert }
\end{equation*}を定めます。また、\(\boldsymbol{f}\)が\(X\)上で左側微分可能であるとともに、\begin{equation*}\forall x\in X:\left\Vert \boldsymbol{f}\left( x\right) \right\Vert \not=0
\end{equation*}が成り立つ場合、先の命題より関数\(\left\Vert \boldsymbol{f}\right\Vert \)もまた\(X\)上で左側微分可能であり、左側導関数\(\left\Vert \boldsymbol{f}\right\Vert _{-}^{\prime }:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left\Vert \boldsymbol{f}\right\Vert _{-}^{\prime }\left( x\right) =\frac{\boldsymbol{f}\left( x\right) \cdot \boldsymbol{f}_{-}^{\prime }\left(
x\right) }{\left\Vert \boldsymbol{f}\left( x\right) \right\Vert }
\end{equation*}を定めます。

時点\(t\in \mathbb{R} \)におけるランナーの速度ベクトルが、\begin{equation*}\boldsymbol{v}\left( t\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\left(
\begin{array}{c}
1+t \\
0\end{array}\right) & \left( if\ t<0\right) \\
\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right) & \left( if\ t\geq 0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}であるものとします（時点\(t=0\)において急停止）。時点\(t\)におけるランナーの速さは、\begin{equation*}\left\Vert \boldsymbol{v}\left( t\right) \right\Vert =\left\{
\begin{array}{cc}
\left\vert 1+t\right\vert & \left( if\ t<0\right) \\
0 & \left( if\ t\geq 0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}です。時点\(0\)において、\begin{eqnarray*}\frac{d^{+}}{dt}\left\Vert \boldsymbol{v}\left( 0\right) \right\Vert
&=&\lim_{h\rightarrow 0+}\frac{\left\Vert \boldsymbol{v}\left( h\right)
\right\Vert -\left\Vert \boldsymbol{v}\left( 0\right) \right\Vert }{h} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0+}\frac{0-0}{h} \\
&=&0
\end{eqnarray*}が成り立ちますが、以上の事実は、停止直後に速さは変化しないことを意味します。一方、\begin{eqnarray*}
\frac{d^{-}}{dt}\left\Vert \boldsymbol{v}\left( 0\right) \right\Vert
&=&\lim_{h\rightarrow 0-}\frac{\left\Vert \boldsymbol{v}\left( h\right)
\right\Vert -\left\Vert \boldsymbol{v}\left( 0\right) \right\Vert }{h} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0-}\frac{\left\vert 1+h\right\vert -0}{h} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0-}\frac{1+h}{h} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0-}\frac{\frac{1}{h}+1}{1} \\
&=&1
\end{eqnarray*}が成り立ちますが、以上の事実は、停止直前の速さの変化率が正であること、すなわち減速していることを意味します。

空間\(\mathbb{R} ^{3}\)上を動く物体の時点\(t\geq 0\)における位置ベクトルが関数\begin{equation*}\boldsymbol{r}:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} ^{3}
\end{equation*}によって表現されているものとします。時点\(t\)における速度ベクトルは、\begin{equation*}\boldsymbol{v}\left( t\right) =\boldsymbol{r}^{\prime }\left( t\right)
\end{equation*}であり、時点\(t\)における速さは、\begin{equation*}\left\Vert \boldsymbol{v}\left( t\right) \right\Vert =\left\Vert \boldsymbol{r}^{\prime }\left( t\right) \right\Vert
\end{equation*}です。また、時点\(t\)における加速度ベクトルは、\begin{equation*}\boldsymbol{a}\left( t\right) =\boldsymbol{v}^{\prime }\left( t\right)
\end{equation*}です。速度ベクトル\(\boldsymbol{v}\left( t\right) \)と加速度ベクトル\(\boldsymbol{a}\left( t\right) \)のなす角を\(\theta \)で表記します。このとき、速さの変化率が、\begin{equation*}\frac{d}{dt}\left\Vert \boldsymbol{v}\left( t\right) \right\Vert =\left\Vert
\boldsymbol{a}\left( t\right) \right\Vert \cos \left( \theta \right)
\end{equation*}で表されることを証明してください。

空間\(\mathbb{R} ^{3}\)上を動く無人航空機（ドローン）の\(t\geq 0\)における位置ベクトルが、\begin{equation*}\boldsymbol{r}\left( t\right) \in \mathbb{R} ^{3}
\end{equation*}であるものとします。ターゲットの位置（固定）を表す位置ベクトルが、\begin{equation*}
\boldsymbol{q}\in \mathbb{R} ^{3}
\end{equation*}であるものとします。時点\(t\)における両者の距離を、\begin{equation*}D\left( t\right) =\left\Vert \boldsymbol{r}\left( t\right) -\boldsymbol{q}\right\Vert
\end{equation*}で表記します。ドローンが一定の速さで飛行しているとき、距離\(D\left( t\right) \)が最も速く減少するのは、ドローンがどの方向に進んでいるときでしょうか。議論してください。