区分的に滑らかな曲線と区分的に正則な曲線

区分的に滑らかな曲線

\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界閉区間上に定義された1変数のベクトル値関数\begin{equation*}\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が与えられているものとします。つまり、\(\boldsymbol{f}\)はそれぞれの実数\(x\in \left[ a,b\right] \)に対して、ベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( x\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( x\right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}を値として定めるということです。ただし、\begin{equation*}
f_{i}:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \ \left( i=1,\cdots ,m\right)
\end{equation*}はベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)の成分関数に相当する1変数の実数値関数です。\(\boldsymbol{f}\)の値域、すなわち\(\boldsymbol{f}\)から定義される曲線は、\begin{equation*}C\left( \boldsymbol{f}\right) =\left\{ \boldsymbol{f}\left( x\right) \in \mathbb{R} ^{m}\ |\ x\in \left[ a,b\right] \right\}
\end{equation*}です。

ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)が定義域である区間\(\left[ a,b\right] \)上で\(C^{1}\)級である場合、\(\boldsymbol{f}\)およびそこから定義される曲線\(C\left( \boldsymbol{f}\right) \)は滑らかであると言います。ただし、区間\(\left[ a,b\right] \)の端点\(a,b\)における微分可能性と連続性としては、片側微分可能性および片側連続性を採用します。

曲線は滑らかであるとは限りません。以下の例より明らかです。

曲線\(C\left( \boldsymbol{f}\right) \)が区間\(\left[ a,b\right] \)上において滑らかではない場合でも、区間\(\left[ a,b\right] \)を複数の小区間へ分割した場合に、それぞれの小区間において曲線\(C\left( \boldsymbol{f}\right) \)が滑らかである場合には、このような曲線を区分的に滑らかな曲線（piecewise smooth curve）と呼びます。厳密な定義は以下の通りです。

\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界閉区間上に定義されたベクトル値関数\begin{equation*}\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が与えられているものとします。

変数\(x\)の定義域である区間\(\left[ a,b\right] \)に対して、以下の条件\begin{equation*}a=x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{n-1}<x_{n}=b
\end{equation*}を満たす有限個の点\(x_{0},x_{1},\cdots ,x_{n-1},x_{n}\in \mathbb{R} \)からなる集合\begin{equation*}P=\left\{ x_{0},x_{1},\cdots ,x_{n-1},x_{n}\right\} =\left\{ x_{k}\right\}
_{k=0}^{n}
\end{equation*}を区間\(\left[ a,b\right] \)の分割と呼びます。なお、分割\(P\)の要素である分点の個数や、分点間の距離は自由に選ぶことができます。分点どうしは等間隔である必要もありません。

区間\(\left[ a,b\right] \)の分割\(P\)が与えられれば、区間\(\left[ a,b\right] \)の部分集合である有限\(n\)個の小区間\begin{eqnarray*}I_{1} &=&\left[ x_{0},x_{1}\right] \\
I_{2} &=&\left[ x_{1},x_{2}\right] \\
&&\vdots \\
I_{n} &=&\left[ x_{n-1},x_{n}\right] \end{eqnarray*}が得られます。区間\(\left[ a,b\right] \)上に定義されたベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)がすべての小区間\(I_{1},I_{2},\cdots ,I_{n}\)上において滑らかになるような区間\(\left[ a,b\right] \)の分割\(P\)が存在する場合、この関数\(\boldsymbol{f}\)は区分的に滑らか（piecewise smooth）であると言います。また、区分的に滑らかなベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)から定義される曲線\(C\left( \boldsymbol{f}\right) \)を区分的に滑らかな曲線（piecewise smooth curve）と呼びます。

区分的に正則な曲線

ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が定義域である区間\(\left[ a,b\right] \)上で\(C^{1}\)級であるとともに、\begin{equation*}\forall x\in \left[ a,b\right] :\boldsymbol{f}^{\prime }\left( x\right) \not=\boldsymbol{0}
\end{equation*}を満たす場合、\(\boldsymbol{f}\)およびそこから定義される曲線\(C\left( \boldsymbol{f}\right) \)は正則であると言います。ただし、区間\(\left[ a,b\right] \)の端点\(a,b\)における微分可能性と連続性としては、片側微分可能性および片側連続性を採用します。

定義より、正則な曲線は滑らかです。逆に、滑らかな曲線は正則であるとは限りません。

曲線は正則であるとは限りません。以下の例より明らかです。

曲線\(C\left( \boldsymbol{f}\right) \)が区間\(\left[ a,b\right] \)上において正則ではない場合においても、区間\(\left[ a,b\right] \)を複数の小区間へ分割し、それぞれの小区間において曲線\(C\left( \boldsymbol{f}\right) \)が正則である場合には、このような曲線を区分的に正則な曲線（piecewise regular curve）と呼びます。厳密な定義は以下の通りです。

\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界閉区間上に定義されたベクトル値関数\begin{equation*}\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が与えられているものとします。

変数\(x\)の定義域である区間\(\left[ a,b\right] \)に対して、以下の条件\begin{equation*}a=x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{n-1}<x_{n}=b
\end{equation*}を満たす有限個の点\(x_{0},x_{1},\cdots ,x_{n-1},x_{n}\in \mathbb{R} \)からなる集合\begin{equation*}P=\left\{ x_{0},x_{1},\cdots ,x_{n-1},x_{n}\right\} =\left\{ x_{k}\right\}
_{k=0}^{n}
\end{equation*}を区間\(\left[ a,b\right] \)の分割と呼びます。なお、分割\(P\)の要素である分点の個数や、分点間の距離は自由に選ぶことができます。分点どうしは等間隔である必要もありません。

区間\(\left[ a,b\right] \)の分割\(P\)が与えられれば、区間\(\left[ a,b\right] \)の部分集合である有限\(n\)個の小区間\begin{eqnarray*}I_{1} &=&\left[ x_{0},x_{1}\right] \\
I_{2} &=&\left[ x_{1},x_{2}\right] \\
&&\vdots \\
I_{n} &=&\left[ x_{n-1},x_{n}\right] \end{eqnarray*}が得られます。区間\(\left[ a,b\right] \)上に定義されたベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)がすべての小区間\(I_{1},I_{2},\cdots ,I_{n}\)上において正則になるような区間\(\left[ a,b\right] \)の分割\(P\)が存在する場合、この関数\(\boldsymbol{f}\)は区分的に正則（piecewise regular）であると言います。また、区分的に正則なベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)から定義される曲線\(C\left( \boldsymbol{f}\right) \)を区分的に正則な曲線（piecewise regular curve）と呼びます。

区分的に滑らかな曲線の弧長

\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界閉区間上に定義されたベクトル値関数\begin{equation*}\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が滑らかである場合には、曲線\begin{equation*}
C\left( \boldsymbol{f}\right) =\left\{ \boldsymbol{f}\left( x\right) \in \mathbb{R} ^{m}\ |\ x\in \left[ a,b\right] \right\}
\end{equation*}は求長可能であるとともに、弧長は、\begin{equation*}
\Lambda \left( a,b\right) =\int_{a}^{b}\left\Vert \boldsymbol{f}^{\prime
}\left( x\right) \right\Vert dx
\end{equation*}として導出可能であることを明らかにしました。

曲線が滑らかではない場合、弧長を計算する際には曲線が微分可能ではない点の存在が計算の足かせになります。一方、曲線が区分的に滑らかである場合には、曲線を個々の滑らかなパーツに分割することにより、個々のパーツの弧長を容易に導出できます。その上で、得られた弧長の総和を全体の弧長として採用します。厳密には以下の通りです。

ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が区分的に滑らかであるものとします。つまり、区間\(\left[ a,b\right] \)の分割\(P=\left\{ x_{k}\right\} _{k=0}^{n}\)を適切に選ぶことにより、\(\boldsymbol{f}\)がすべての小区間\begin{eqnarray*}I_{1} &=&\left[ x_{0},x_{1}\right] \\
I_{2} &=&\left[ x_{1},x_{2}\right] \\
&&\vdots \\
I_{n} &=&\left[ x_{n-1},x_{n}\right] \end{eqnarray*}上において滑らかになるということです。この場合、曲線\(C\left( \boldsymbol{f}\right) \)上に存在する有限\(n\)個の曲線\begin{eqnarray*}C_{1}\left( \boldsymbol{f}\right) &=&\left\{ \boldsymbol{f}\left( x\right)
\in \mathbb{R} ^{m}\ |\ x\in \left[ x_{0},x_{1}\right] \right\} \\
C_{2}\left( \boldsymbol{f}\right) &=&\left\{ \boldsymbol{f}\left( x\right)
\in \mathbb{R} ^{m}\ |\ x\in \left[ x_{1},x_{2}\right] \right\} \\
&&\vdots \\
C_{n}\left( \boldsymbol{f}\right) &=&\left\{ \boldsymbol{f}\left( x\right)
\in \mathbb{R} ^{m}\ |\ x\in \left[ x_{n-1},x_{n}\right] \right\}
\end{eqnarray*}が得られますが、個々の曲線は滑らかであるため、それらの弧長を、\begin{eqnarray*}
\Lambda \left( x_{0},x_{1}\right) &=&\int_{x_{0}}^{x_{1}}\left\Vert
\boldsymbol{f}^{\prime }\left( x\right) \right\Vert dx \\
\Lambda \left( x_{1},x_{2}\right) &=&\int_{x_{1}}^{x_{2}}\left\Vert
\boldsymbol{f}^{\prime }\left( x\right) \right\Vert dx \\
&&\vdots \\
\Lambda \left( x_{n-1},x_{n}\right) &=&\int_{x_{n-1}}^{x_{n}}\left\Vert
\boldsymbol{f}^{\prime }\left( x\right) \right\Vert dx
\end{eqnarray*}と特定できます。そこで、定積分の加法性を根拠に、これらの弧長の総和をもとの曲線\(C\left( \boldsymbol{f}\right) \)の弧長として採用します。つまり、\begin{eqnarray*}\Lambda \left( a,b\right) &=&\Lambda \left( x_{0},x_{1}\right) +\Lambda
\left( x_{1},x_{2}\right) +\cdots +\Lambda \left( x_{n-1},x_{n}\right) \\
&=&\int_{x_{0}}^{x_{1}}\left\Vert \boldsymbol{f}^{\prime }\left( x\right)
\right\Vert dx+\int_{x_{1}}^{x_{2}}\left\Vert \boldsymbol{f}^{\prime }\left(
x\right) \right\Vert dx+\cdots +\int_{x_{n-1}}^{x_{n}}\left\Vert \boldsymbol{f}^{\prime }\left( x\right) \right\Vert dx
\end{eqnarray*}と定めるということです。

区分的に滑らかな曲線や区分的に正則な曲線を導入する意義

滑らかな曲線や正則な曲線では、すべての点において望ましい性質（連続微分可能性や微分係数が非ゼロベクトルであること）が要求されます。しかし、実際には、そのような条件が一部の点で破れることは自然に起こります。区分的という条件を課すことで、有限個の点を除けば望ましい性質が成り立つという状況を扱えるようになります。

先に議論したように、区分的に滑らかな曲線については、曲線の弧長を分割して計算できるなど、解析的な議論を行う上で有用です。一方、区分的に正則な曲線については、区間を分割する有限個の点を除いたすべての点において単位接ベクトルや主法線ベクトル、曲率などを通常通り定義できるなど、幾何的構造に関する議論を行う上で有用です。区分的という条件を課すことにより、解析的ないし幾何的な理論を保ったまま、より広いクラスの曲線を統一的に扱えるようになります。

演習問題