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ベクトル値関数の微分

ベクトル値関数のスカラー関数倍の微分

目次

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ベクトル値関数のスカラー関数倍の微分

定義域を共有するベクトル値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)と1変数関数\(c:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{eqnarray*}\left( cf\right) \left( x\right) &=&c\left( x\right) f\left( x\right) \quad
\because cf\text{の定義} \\
&=&c\left( x\right) \left( f_{1}\left( x\right) ,\cdots ,f_{m}\left(
x\right) \right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left( c\left( x\right) f_{1}\left( x\right) ,\cdots ,c\left( x\right)
f_{m}\left( x\right) \right) \quad \because \text{スカラー倍の定義}
\end{eqnarray*}を定める新たなベクトル値関数\(cf:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が定義可能です。ただし、\(f_{i}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \ \left( i=1,\cdots ,m\right) \)は\(f\)の成分関数です。

関数\(f,c\)がともに定義域上の点\(a\in X\)の周辺の任意の点において定義されているとともに点\(a\)において微分可能であるならば、そこでの微分係数に相当する点\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( a\right) &=&\left( f_{1}^{\prime }\left( a\right) ,\cdots
,f_{m}^{\prime }\left( a\right) \right) \in \mathbb{R} ^{m} \\
c^{\prime }\left( a\right) &\in &\mathbb{R} \end{eqnarray*}がそれぞれ存在します。この場合、関数\(cf\)もまた点\(a\)において微分可能であることが保証されるとともに、そこでの微分係数が、\begin{eqnarray*}\left( cf\right) ^{\prime }\left( a\right) &=&c^{\prime }\left( a\right)
f\left( a\right) +c\left( a\right) f^{\prime }\left( a\right) \\
&=&c^{\prime }\left( a\right) \left( f_{1}\left( a\right) ,\cdots
,f_{m}\left( a\right) \right) +c\left( a\right) \left( f_{1}^{\prime }\left(
a\right) ,\cdots ,f_{m}^{\prime }\left( a\right) \right) \\
&=&\left( c^{\prime }\left( a\right) f_{1}\left( a\right) +c\left( a\right)
f_{1}^{\prime }\left( a\right) ,\cdots ,c^{\prime }\left( a\right)
f_{m}\left( a\right) +c\left( a\right) f_{m}^{\prime }\left( a\right)
\right)
\end{eqnarray*}として定まることが保証されます。

命題(微分可能なベクトル値関数のスカラー関数倍)
ベクトル値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)と1変数関数\(c:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこからベクトル値関数\(cf:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)を定義する。\(f\)と\(c\)が定義域上の点\(a\in X\)において微分可能であるならば、\(cf\)もまた点\(a\)において微分可能であり、そこでの微分係数は、\begin{equation*}\left( cf\right) ^{\prime }\left( a\right) =c^{\prime }\left( a\right)
f\left( a\right) +c\left( a\right) f^{\prime }\left( a\right)
\end{equation*}を満たす。

証明

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つまり、点\(a\)において微分可能なベクトル値関数\(f\)と1変数関数\(c\)の積の形をしているベクトル値関数\(cf\)が与えられたとき、\(cf\)もまた点\(a\)において微分可能であることが保証されるとともに、微分係数\(\left( cf\right) ^{\prime }\left( a\right) \)の第\(i\)成分\(\left( cf_{i}\right) ^{\prime }\left( a\right) \)は関数の積\(cf_{i}\)の微分係数\(c^{\prime }\left( a\right) f_{i}\left( a\right) +c\left(a\right) f_{i}^{\prime }\left( a\right) \)と一致することを上の命題は保証しています。したがって、何らかのベクトル値関数\(f\)のスカラー関数\(c\)倍の形をしている関数\(cf\)の微分可能性を検討する際には、ベクトル値関数の微分の定義にさかのぼって考える前に、まずは\(c\)と\(f\)を分けた上で、それぞれが微分可能であることを確認すればよいということになります。

例(微分可能なベクトル値関数のスカラー関数倍の微分)
ベクトル値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)と1変数関数\(c:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)からベクトル値関数\(cf:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)を定義します。\(f\)と\(c\)がともに\(X\)上で微分可能である場合、先の命題より、関数\(cf\)もまた\(X\)上で微分可能であり、導関数\(\left( cf\right) ^{\prime }:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( cf\right) ^{\prime }\left( x\right) =\left( c^{\prime }\left(
x\right) f_{1}\left( x\right) +c\left( x\right) f_{1}^{\prime }\left(
x\right) ,\cdots ,c^{\prime }\left( x\right) f_{m}\left( x\right) +c\left(
x\right) f_{m}^{\prime }\left( x\right) \right)
\end{equation*}を定めます。

例(微分可能なベクトル値関数のスカラー関数倍の微分)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =e^{x}\left( \cos \left( x\right) ,\sin \left( x\right)
\right)
\end{equation*}を定めるものとします。1変数関数である\(\cos \left( x\right) \)および\(\sin \left( x\right) \)は微分可能であるためベクトル値関数\(\left( \cos \left( x\right) ,\sin\left( x\right) \right) \)は微分可能です。また、1変数関数\(e^{x}\)は微分可能です。したがって先の命題より、ベクトル値関数\(\left( \cos \left( x\right),\sin \left( x\right) \right) \)のスカラー関数\(e^{x}\)倍として定義される\(f\)もまた微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&\left( \left( \frac{d}{dx}e^{x}\right) \cos
\left( x\right) +e^{x}\left( \frac{d}{dx}\cos \left( x\right) \right)
,\left( \frac{d}{dx}e^{x}\right) \sin \left( x\right) +e^{x}\left( \frac{d}{dx}\sin \left( x\right) \right) \right) \\
&=&\left( e^{x}\cos \left( x\right) -e^{x}\sin \left( x\right) ,e^{x}\sin
\left( x\right) +e^{x}\cos \left( x\right) \right)
\end{eqnarray*}を定めます。

 

片側微分可能なベクトル値関数のスカラー関数倍の片側微分可能性

片側微分可能性についても同様の命題が成り立ちます。

命題(片側微分可能なベクトル値関数のスカラー関数倍の片側微分可能性)
ベクトル値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)と1変数関数\(c:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこからベクトル値関数\(cf:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)を定義する。\(f\)と\(c\)が定義域上の点\(a\in X\)において右側微分可能であるならば\(cf\)もまた点\(a\)において右側微分可能であり、そこでの右側微分係数は、\begin{equation*}\left( cf\right) ^{\prime }\left( a+0\right) =c^{\prime }\left( a+0\right)
f\left( a+0\right) +c\left( a+0\right) f^{\prime }\left( a+0\right)
\end{equation*}を満たす。また、\(f\)と\(c\)が定義域上の点\(a\in X\)において左側微分可能であるならば\(cf\)もまた点\(a\)において左側微分可能であり、そこでの左側微分係数は、\begin{equation*}\left( cf\right) ^{\prime }\left( a-0\right) =c^{\prime }\left( a-0\right)
f\left( a-0\right) +c\left( a-0\right) f^{\prime }\left( a-0\right)
\end{equation*}を満たす。

例(片側微分可能なベクトル値関数のスカラー関数倍の片側微分)
ベクトル値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)と1変数関数\(c:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)からベクトル値関数\(cf:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)を定義します。\(f\)と\(c\)がともに\(X\)上で右側微分可能である場合、先の命題より、関数\(cf\)もまた\(X\)上で右側微分可能であり、右側導関数\(\left( cf\right) _{+}^{\prime }:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( cf\right) _{+}^{\prime }\left( x\right) =\left( c_{+}^{\prime }\left(
x\right) f_{1+}\left( x\right) +c_{+}\left( x\right) f_{1+}^{\prime }\left(
x\right) ,\cdots ,c_{+}^{\prime }\left( x\right) f_{m+}\left( x\right)
+c_{+}\left( x\right) f_{m+}^{\prime }\left( x\right) \right)
\end{equation*}を定めます。同様に、\(f\)と\(c\)がともに\(X\)上で左側微分可能である場合、先の命題より、関数\(cf\)もまた\(X\)上で左側微分可能であり、左側導関数\(\left( cf\right)_{-}^{\prime }:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( cf\right) _{-}^{\prime }\left( x\right) =\left( c_{-}^{\prime }\left(
x\right) f_{1-}\left( x\right) +c_{-}\left( x\right) f_{1-}^{\prime }\left(
x\right) ,\cdots ,c_{-}^{\prime }\left( x\right) f_{m-}\left( x\right)
+c_{-}\left( x\right) f_{m-}^{\prime }\left( x\right) \right)
\end{equation*}を定めます。

例(片側微分可能なベクトル値関数のスカラー関数倍の片側微分)
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ 0,\pi \right] \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \left[ 0,\pi \right] \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{2}\left( \cos \left( x\right) ,\sin \left( x\right)
\right)
\end{equation*}を定めるものとします。余弦関数\(\cos \left( x\right) \)および正弦関数\(\sin \left(x\right) \)はともに\(f\)の定義域\(\left[ 0,\pi \right] \)上で微分可能です。つまり、端点\(0\)において右側微分可能であり、もう一方の端点\(\pi \)において左側微分可能であり、定義域の内部\(\left( 0,\pi \right) \)の任意の点において微分可能です。したがって、ベクトル値関数\(\left( \cos \left( x\right) ,\sin \left( x\right) \right) \)もまた\(\left[ 0,\pi \right] \)上で微分可能であるため、そのスカラー関数\(x^{2}\)倍である関数\(f\)もまた\(\left[ 0,\pi \right] \)上で微分可能です。導関数\(f^{\prime }\)はそれぞれの内点\(x\in \left( 0,\pi \right) \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&\left( \left( \frac{d}{dx}x^{2}\right) \cos
\left( x\right) +x^{2}\left( \frac{d}{dx}\cos \left( x\right) \right)
,\left( \frac{d}{dx}x^{2}\right) \sin \left( x\right) +x^{2}\left( \frac{d}{dx}\sin \left( x\right) \right) \right) \\
&=&\left( 2x\cos \left( x\right) -x^{2}\sin \left( x\right) ,2x\sin \left(
x\right) +x^{2}\cos \left( x\right) \right)
\end{eqnarray*}を定めます。点\(0\)における右側微分係数は、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( 0+0\right) &=&\left. \left[ x^{2}\left( \cos \left(
x\right) ,\sin \left( x\right) \right) \right] _{+}^{\prime }\right\vert
_{x=0}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left. \left( 2x\cos \left( x\right) -x^{2}\sin \left( x\right) ,2x\sin
\left( x\right) +x^{2}\cos \left( x\right) \right) \right\vert _{x=0} \\
&=&\left( 0,0\right)
\end{eqnarray*}であり、点\(\pi \)における左側微分係数は、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( \pi -0\right) &=&\left. \left[ x^{2}\left( \cos \left(
x\right) ,\sin \left( x\right) \right) \right] _{-}^{\prime }\right\vert
_{x=\pi }\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left. \left( 2x\cos \left( x\right) -x^{2}\sin \left( x\right) ,2x\sin
\left( x\right) +x^{2}\cos \left( x\right) \right) \right\vert _{x=\pi } \\
&=&\left( 2\pi \cos \left( \pi \right) -\pi ^{2}\sin \left( \pi \right)
,2\pi \sin \left( \pi \right) +\pi ^{2}\cos \left( \pi \right) \right) \\
&=&\left( -2\pi ,-\pi ^{2}\right)
\end{eqnarray*}となります。

 

演習問題

問題(ベクトル値関数のスカラー関数倍の微分)
関数\(f:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{2}\left( x^{4},\ln \left( x\right) \right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の導関数を求めてください。
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問題(ベクトル値関数のスカラー関数商の微分)
ベクトル値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)と非ゼロのみを値としてとる1変数関数\(c:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( \frac{f}{c}\right) \left( x\right) =\frac{f\left( x\right) }{c\left(
x\right) }
\end{equation*}を定める新たなベクトル値関数\(\frac{f}{c}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が定義可能です。\(f\)と\(c\)が定義域上の点\(a\in X\)において微分可能ならば、関数\(\frac{f}{c}\)もまた点\(a\)において微分可能であり、微分係数は、\begin{equation*}\left( \frac{f}{c}\right) ^{\prime }\left( a\right) =\frac{c\left( a\right)
f^{\prime }\left( a\right) -c^{\prime }\left( a\right) f\left( a\right) }{\left[ c\left( a\right) \right] ^{2}}
\end{equation*}となることを示してください。