ベクトル値関数のスカラー関数倍の微分

ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)と1変数関数\(c:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこからベクトル値関数\(c\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)を定義する。\(\boldsymbol{f}\)と\(c\)が定義域の内点\(a\in X^{i}\)において微分可能であるならば、\(c\boldsymbol{f}\)もまた点\(a\)において微分可能であり、そこでの微分係数は、\begin{equation*}\left( c\boldsymbol{f}\right) ^{\prime }\left( a\right) =c^{\prime }\left(
a\right) \boldsymbol{f}\left( a\right) +c\left( a\right) \boldsymbol{f}^{\prime }\left( a\right)
\end{equation*}となる。

ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)と1変数関数\(c:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)からベクトル値関数\(c\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)を定義します。\(\boldsymbol{f}\)と\(c\)がともに\(X\)上で微分可能である場合、先の命題より、関数\(c\boldsymbol{f}\)もまた\(X\)上で微分可能であり、導関数\(\left( cf\right) ^{\prime }:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( c\boldsymbol{f}\right) ^{\prime }\left( x\right) =c^{\prime }\left(
x\right) \boldsymbol{f}\left( x\right) +c\left( x\right) \boldsymbol{f}^{\prime }\left( x\right)
\end{equation*}を定めます。

ベクトル値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)と1変数関数\(c:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)からベクトル値関数\(cf:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)を定義します。\(f\)と\(c\)がともに\(X\)上で微分可能である場合、先の命題より、関数\(cf\)もまた\(X\)上で微分可能であり、導関数\(\left( c\boldsymbol{f}\right)^{\prime }:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{eqnarray*}\left( c\boldsymbol{f}\right) ^{\prime }\left( x\right) &=&c^{\prime
}\left( x\right) \boldsymbol{f}\left( x\right) +c\left( x\right) \boldsymbol{f}^{\prime }\left( x\right) \\
&=&c^{\prime }\left( x\right) \left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( x\right) \\
f_{2}\left( x\right)
\end{array}\right) +c\left( x\right) \left(
\begin{array}{c}
f_{1}^{\prime }\left( x\right) \\
f_{2}^{\prime }\left( x\right)
\end{array}\right) \\
&=&\left[ c^{\prime }\left( x\right) f_{1}\left( x\right) +c\left( x\right)
f_{1}^{\prime }\left( x\right) \right] \boldsymbol{i}+\left[ c^{\prime
}\left( x\right) f_{2}\left( x\right) +c\left( x\right) f_{2}^{\prime
}\left( x\right) \right] \boldsymbol{j}
\end{eqnarray*}を定めます。ただし、\begin{equation*}
\boldsymbol{i}=\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0\end{array}\right) ,\quad \boldsymbol{j}=\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1\end{array}\right)
\end{equation*}です。

ベクトル値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{3}\)と1変数関数\(c:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)からベクトル値関数\(cf:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{3}\)を定義します。\(f\)と\(c\)がともに\(X\)上で微分可能である場合、先の命題より、関数\(cf\)もまた\(X\)上で微分可能であり、導関数\(\left( c\boldsymbol{f}\right)^{\prime }:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{3}\)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{eqnarray*}\left( c\boldsymbol{f}\right) ^{\prime }\left( x\right) &=&c^{\prime
}\left( x\right) \boldsymbol{f}\left( x\right) +c\left( x\right) \boldsymbol{f}^{\prime }\left( x\right) \\
&=&c^{\prime }\left( x\right) \left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( x\right) \\
f_{2}\left( x\right) \\
f_{3}\left( x\right)
\end{array}\right) +c\left( x\right) \left(
\begin{array}{c}
f_{1}^{\prime }\left( x\right) \\
f_{2}^{\prime }\left( x\right) \\
f_{3}^{\prime }\left( x\right)
\end{array}\right) \\
&=&\left[ c^{\prime }\left( x\right) f_{1}\left( x\right) +c\left( x\right)
f_{1}^{\prime }\left( x\right) \right] \boldsymbol{i}+\left[ c^{\prime
}\left( x\right) f_{2}\left( x\right) +c\left( x\right) f_{2}^{\prime
}\left( x\right) \right] \boldsymbol{j}+\left[ c^{\prime }\left( x\right)
f_{3}\left( x\right) +c\left( x\right) f_{3}^{\prime }\left( x\right) \right] \boldsymbol{k}
\end{eqnarray*}を定めます。ただし、\begin{equation*}
\boldsymbol{i}=\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
0\end{array}\right) ,\quad \boldsymbol{j}=\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1 \\
0\end{array}\right) ,\quad \boldsymbol{k}=\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
1\end{array}\right)
\end{equation*}です。

関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( x\right) =e^{x}\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( x\right) \\
\sin \left( x\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。1変数関数である\(\cos \left( x\right) \)および\(\sin \left( x\right) \)は微分可能であるためベクトル値関数\(\left( \cos \left(x\right) ,\sin \left( x\right) \right) \)は微分可能です。また、1変数関数\(e^{x}\)は微分可能です。したがって先の命題より、ベクトル値関数\(\left( \cos \left( x\right) ,\sin \left( x\right)\right) \)のスカラー関数\(e^{x}\)倍として定義される\(\boldsymbol{f}\)もまた微分可能であり、導関数\(\boldsymbol{f}^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{f}^{\prime }\left( x\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
\frac{d}{dx}e^{x}\cdot \cos \left( x\right) +e^{x}\cdot \frac{d}{dx}\cos
\left( x\right) \\
\frac{d}{dx}e^{x}\cdot \sin \left( x\right) +e^{x}\cdot \frac{d}{dx}\sin
\left( x\right)
\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
e^{x}\cos \left( x\right) -e^{x}\sin \left( x\right) \\
e^{x}\sin \left( x\right) +e^{x}\cos \left( x\right)
\end{array}\right)
\end{eqnarray*}を定めます。

ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)と1変数関数\(c:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこからベクトル値関数\(c\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)を定義する。以下が成り立つ。

1. 点\(a\in X\)に対して、\begin{equation*}\exists \varepsilon >0:\left[ a,a+\varepsilon \right] \subset X\end{equation*}が成り立つものとする。\(\boldsymbol{f}\)と\(c\)が点\(a\)において右側微分可能であるならば\(c\boldsymbol{f}\)もまた点\(a\)において右側微分可能であり、そこでの右側微分係数は、\begin{equation*}\left( c\boldsymbol{f}\right) ^{\prime }\left( a+0\right) =c^{\prime }\left(
   a+0\right) \boldsymbol{f}\left( a\right) +c\left( a\right) \boldsymbol{f}^{\prime }\left( a+0\right)
   \end{equation*}を満たす。
2. 点\(a\in X\)に対して、\begin{equation*}\exists \varepsilon >0:\left[ a-\varepsilon ,a\right] \subset X\end{equation*}が成り立つものとする。\(\boldsymbol{f}\)と\(c\)が点\(a\)において左側微分可能であるならば\(c\boldsymbol{f}\)もまた点\(a\)において左側微分可能であり、そこでの左側微分係数は、\begin{equation*}\left( c\boldsymbol{f}\right) ^{\prime }\left( a-0\right) =c^{\prime }\left(
   a-0\right) \boldsymbol{f}\left( a\right) +c\left( a\right) \boldsymbol{f}^{\prime }\left( a-0\right)
   \end{equation*}を満たす。

ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)と1変数関数\(c:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)からベクトル値関数\(c\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)を定義します。\(\boldsymbol{f}\)と\(c\)がともに\(X\)上で右側微分可能である場合、先の命題より、関数\(c\boldsymbol{f}\)もまた\(X\)上で右側微分可能であり、右側導関数\(\frac{d^{+}\left( c\boldsymbol{f}\right) }{dt}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( c\boldsymbol{f}\right) _{+}^{\prime }\left( x\right) =\frac{d^{+}c\left( x\right) }{dx}\boldsymbol{f}\left( x\right) +c\left( x\right)
\frac{d^{+}\boldsymbol{f}\left( x\right) }{dx}
\end{equation*}を定めます。同様に、\(\boldsymbol{f}\)と\(c\)がともに\(X\)上で左側微分可能である場合、先の命題より、関数\(c\boldsymbol{f}\)もまた\(X\)上で左側微分可能であり、左側導関数\(\frac{d^{-}\left( c\boldsymbol{f}\right) }{dt}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\frac{d^{-}\left( c\boldsymbol{f}\right) \left( x\right) }{dx}=\frac{d^{-}c\left( x\right) }{dx}\boldsymbol{f}\left( x\right) +c\left( x\right)
\frac{d^{-}\boldsymbol{f}\left( x\right) }{dx}
\end{equation*}を定めます。

関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset \left[ 0,\pi \right] \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \left[ 0,\pi \right] \)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( x\right) =x^{2}\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( x\right) \\
\sin \left( x\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(\boldsymbol{f}\)は\(\left[ 0,\pi \right] \)上において微分可能であり、導関数\(\boldsymbol{f}^{\prime }:\mathbb{R} \supset \left[ 0,\pi \right] \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)は定義域の内点\(x\in \left(0,\pi \right) \)に対して、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{f}^{\prime }\left( x\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
\left( \frac{d}{dx}x^{2}\right) \cos \left( x\right) +x^{2}\left( \frac{d}{dx}\cos \left( x\right) \right) \\
\left( \frac{d}{dx}x^{2}\right) \sin \left( x\right) +x^{2}\left( \frac{d}{dx}\sin \left( x\right) \right)
\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
2x\cos \left( x\right) -x^{2}\sin \left( x\right) \\
2x\sin \left( x\right) +x^{2}\cos \left( x\right)
\end{array}\right)
\end{eqnarray*}を定めます。また、点\(0\)における右側微分係数は、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{f}^{\prime }\left( 0+0\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
\left. \left( \frac{d^{+}}{dx}x^{2}\right) \cos \left( x\right) +x^{2}\left(
\frac{d^{+}}{dx}\cos \left( x\right) \right) \right\vert _{x=0} \\
\left. \left( \frac{d^{+}}{dx}x^{2}\right) \sin \left( x\right) +x^{2}\left(
\frac{d^{+}}{dx}\sin \left( x\right) \right) \right\vert _{x=0}\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\left. 2x\cos \left( x\right) -x^{2}\sin \left( x\right) \right\vert _{x=0}
\\
\left. 2x\sin \left( x\right) +x^{2}\cos \left( x\right) \right\vert _{x=0}\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right)
\end{eqnarray*}であり、点\(\pi \)における左側微分係数は、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{f}^{\prime }\left( \pi -0\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
\left. \left( \frac{d^{-}}{dx}x^{2}\right) \cos \left( x\right) +x^{2}\left(
\frac{d^{-}}{dx}\cos \left( x\right) \right) \right\vert _{x=\pi } \\
\left. \left( \frac{d^{-}}{dx}x^{2}\right) \sin \left( x\right) +x^{2}\left(
\frac{d^{-}}{dx}\sin \left( x\right) \right) \right\vert _{x=\pi }\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\left. 2x\cos \left( x\right) -x^{2}\sin \left( x\right) \right\vert _{x=\pi
} \\
\left. 2x\sin \left( x\right) +x^{2}\cos \left( x\right) \right\vert _{x=\pi
}\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
2\pi \cos \left( \pi \right) -\pi ^{2}\sin \left( \pi \right) \\
2\pi \sin \left( \pi \right) +\pi ^{2}\cos \left( \pi \right)
\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
-2\pi \\
-\pi ^{2}\end{array}\right)
\end{eqnarray*}です。

関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( x\right) =x^{2}\left(
\begin{array}{c}
x^{4} \\
\ln \left( x\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(\boldsymbol{f}\)の導関数を求めてください。

ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)と非ゼロのみを値としてとる1変数関数\(c:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( \frac{\boldsymbol{f}}{c}\right) \left( x\right) =\frac{\boldsymbol{f}\left( x\right) }{c\left( x\right) }
\end{equation*}を定める新たなベクトル値関数\(\frac{\boldsymbol{f}}{c}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が定義可能です。\(\boldsymbol{f}\)と\(c\)が定義域上の点\(a\in X\)において微分可能ならば、関数\(\frac{\boldsymbol{f}}{c}\)もまた点\(a\)において微分可能であり、微分係数は、\begin{equation*}\left( \frac{\boldsymbol{f}}{c}\right) ^{\prime }\left( a\right) =\frac{c\left( a\right) \boldsymbol{f}^{\prime }\left( a\right) -c^{\prime }\left(
a\right) \boldsymbol{f}\left( a\right) }{\left[ c\left( a\right) \right] ^{2}}
\end{equation*}となることを示してください。