ベクトル値関数のスカラー関数倍の高階微分

ベクトル値関数のスカラー関数倍の高階微分

定義域を共有するベクトル値関数と1変数関数\begin{eqnarray*}
\boldsymbol{f} &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m} \\
c &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}が与えられたとき、それぞれの実数\(x\in X\)に対して以下のベクトル\begin{eqnarray*}\left( c\boldsymbol{f}\right) \left( x\right) &=&c\left( x\right)
\boldsymbol{f}\left( x\right) \quad \because c\boldsymbol{f}\text{の定義} \\
&=&c\left( x\right) \left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( x\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( x\right)
\end{array}\right) \quad \because \boldsymbol{f}\text{の定義} \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
c\left( x\right) f_{1}\left( x\right) \\
\vdots \\
c\left( x\right) f_{m}\left( x\right)
\end{array}\right) \quad \because \text{スカラー倍の定義}
\end{eqnarray*}を値として定める新たなベクトル値関数\begin{equation*}
c\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が定義可能です。ただし、\begin{equation*}
f_{i}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \ \left( i=1,\cdots ,m\right)
\end{equation*}は\(\boldsymbol{f}\)の成分関数です。

関数の定義域の内点\(a\in X^{i}\)を選んだとき、\(\boldsymbol{f},c\)がともに点\(a\)において\(n\)階微分可能ならば、\(c\boldsymbol{f}\)もまた点\(a\)において\(n\)階微分可能であることが保証されるとともに、両者の\(n\)階微分係数の間には以下の関係\begin{equation*}\left( c\boldsymbol{f}\right) ^{\left( n\right) }\left( a\right)
=\sum_{k=0}^{n}\dbinom{n}{k}c^{\left( n-k\right) }\left( a\right)
\boldsymbol{f}^{\left( k\right) }\left( a\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left(
\begin{array}{c}
\left( cf_{1}\right) ^{\left( n\right) }\left( a\right) \\
\vdots \\
\left( cf_{m}\right) ^{\left( n\right) }\left( a\right)
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
\sum\limits_{k=0}^{n}\dbinom{n}{k}c^{\left( n-k\right) }f_{1}^{\left(
k\right) }\left( a\right) \\
\vdots \\
\sum\limits_{k=0}^{n}\dbinom{n}{k}c^{\left( n-k\right) }f_{m}^{\left(
k\right) }\left( a\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}が成立します。ただし、\begin{equation*}
\dbinom{n}{k}=\frac{n!}{k!\left( n-k\right) !}
\end{equation*}です。

\(n=1\)の場合の主張は、\begin{eqnarray*}\left( c\boldsymbol{f}\right) ^{\prime }\left( a\right) &=&\sum_{k=0}^{1}\dbinom{1}{k}c^{\left( 1-k\right) }\left( a\right) \boldsymbol{f}^{\left(
k\right) }\left( a\right) \\
&=&\dbinom{1}{0}c^{\prime }\left( a\right) \boldsymbol{f}\left( a\right) +\dbinom{1}{1}c\left( a\right) \boldsymbol{f}^{\prime }\left( a\right) \\
&=&c^{\prime }\left( a\right) \boldsymbol{f}\left( a\right) +c\left(
a\right) \boldsymbol{f}^{\prime }\left( a\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
c^{\prime }\left( 0\right) f_{1}\left( a\right) +c\left( a\right)
f_{1}^{\prime }\left( a\right) \\
\vdots \\
c^{\prime }\left( 0\right) f_{m}\left( a\right) +c\left( a\right)
f_{m}^{\prime }\left( a\right)
\end{array}\right)
\end{eqnarray*}となります。

\(n=2\)の場合の主張は、\begin{eqnarray*}\left( c\boldsymbol{f}\right) ^{\prime \prime }\left( a\right)
&=&\sum_{k=0}^{2}\dbinom{2}{k}c^{\left( 2-k\right) }\left( a\right)
\boldsymbol{f}^{\left( k\right) }\left( a\right) \\
&=&\dbinom{2}{0}c^{\prime \prime }\left( a\right) \boldsymbol{f}\left(
a\right) +\dbinom{2}{1}c^{\prime }\left( a\right) \boldsymbol{f}^{\prime
}\left( a\right) +\dbinom{2}{2}c\left( a\right) \boldsymbol{f}^{\prime
\prime }\left( a\right) \\
&=&c^{\prime \prime }\left( a\right) \boldsymbol{f}\left( a\right)
+2c^{\prime }\left( a\right) \boldsymbol{f}^{\prime }\left( a\right)
+c\left( a\right) \boldsymbol{f}^{\prime \prime }\left( a\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
c^{\prime \prime }\left( a\right) f_{1}\left( a\right) +2c^{\prime }\left(
a\right) f_{1}^{\prime }\left( a\right) +c\left( a\right) f_{1}^{\prime
\prime }\left( a\right) \\
\vdots \\
c^{\prime \prime }\left( a\right) f_{m}\left( a\right) +2c^{\prime }\left(
a\right) f_{m}^{\prime }\left( a\right) +c\left( a\right) f_{m}^{\prime
\prime }\left( a\right)
\end{array}\right)
\end{eqnarray*}となります。

\(n=3\)の場合の主張は、\begin{eqnarray*}\left( c\boldsymbol{f}\right) ^{\prime \prime \prime }\left( a\right)
&=&\sum_{k=0}^{3}\dbinom{3}{k}c^{\left( 3-k\right) }\left( a\right)
\boldsymbol{f}^{\left( k\right) }\left( a\right) \\
&=&\dbinom{3}{0}c^{\prime \prime \prime }\left( a\right) \boldsymbol{f}\left( a\right) +\dbinom{3}{1}c^{\prime \prime }\left( a\right) \boldsymbol{f}^{\prime }\left( a\right) +\dbinom{3}{2}c^{\prime }\left( a\right)
\boldsymbol{f}^{\prime \prime }\left( a\right) +\dbinom{3}{3}c\left(
a\right) \boldsymbol{f}^{\prime \prime \prime }\left( a\right) \\
&=&c^{\prime \prime \prime }\left( a\right) \boldsymbol{f}\left( a\right)
+3c^{\prime \prime }\left( a\right) \boldsymbol{f}^{\prime }\left( a\right)
+3c^{\prime }\left( a\right) \boldsymbol{f}^{\prime \prime }\left( a\right)
+c\left( a\right) \boldsymbol{f}^{\prime \prime \prime }\left( a\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
c^{\prime \prime \prime }\left( a\right) f_{1}\left( z\right) +3c^{\prime
\prime }\left( a\right) f_{1}^{\prime }\left( z\right) +3c^{\prime }\left(
a\right) f_{1}^{\prime \prime }\left( z\right) +c\left( a\right)
f_{1}^{\prime \prime \prime }\left( z\right) \\
\vdots \\
c^{\prime \prime \prime }\left( a\right) f_{m}\left( z\right) +3c^{\prime
\prime }\left( a\right) f_{m}^{\prime }\left( z\right) +3c^{\prime }\left(
a\right) f_{m}^{\prime \prime }\left( z\right) +c\left( a\right)
f_{m}^{\prime \prime \prime }\left( z\right)
\end{array}\right)
\end{eqnarray*}となります。

以降についても同様です。

演習問題