ベクトル値関数のスカラー倍の微分

ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)とスカラー\(c\in \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこからベクトル値関数\(c\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)を定義する。\(\boldsymbol{f}\)が定義域の内点\(a\in X^{i}\)において微分可能であるならば、\(c\boldsymbol{f}\)もまた点\(a\)において微分可能であり、そこでの微分係数は、\begin{equation*}\left( c\boldsymbol{f}\right) ^{\prime }\left( a\right) =c\boldsymbol{f}^{\prime }\left( a\right)
\end{equation*}となる。

ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)とスカラー\(c\in \mathbb{R} \)からベクトル値関数\(c\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)を定義します。加えて、\(\boldsymbol{f}\)は定義域\(X\)上の任意の点において微分可能であるものとします。この場合、\(c\boldsymbol{f}\)もまた\(X\)上の任意の点において微分可能であるとともに、導関数\(\frac{d\left( c\boldsymbol{f}\right) }{dx}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\frac{d\left( c\boldsymbol{f}\right) \left( x\right) }{dx}=c\frac{d\boldsymbol{f}\left( x\right) }{dx}
\end{equation*}を定めます。

ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)とスカラー\(c\in \mathbb{R} \)からベクトル値関数\(c\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)を定義します。加えて、\(\boldsymbol{f}\)は定義域\(X\)上の任意の点において微分可能であるものとします。この場合、\(c\boldsymbol{f}\)もまた\(X\)上の任意の点において微分可能であるとともに、導関数\(\left( c\boldsymbol{f}\right) ^{\prime }:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{eqnarray*}\left( c\boldsymbol{f}\right) ^{\prime }\left( x\right) &=&c\boldsymbol{f}^{\prime }\left( x\right) \quad \because \text{スカラー倍の法則} \\
&=&c\left(
\begin{array}{c}
f_{1}^{\prime }\left( x\right) \\
f_{2}^{\prime }\left( x\right)
\end{array}\right) \\
&=&cf_{1}^{\prime }\left( x\right) \boldsymbol{i}+cf_{2}^{\prime }\left(
x\right) \boldsymbol{j}
\end{eqnarray*}を定めます。ただし、\begin{equation*}
\boldsymbol{i}=\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0\end{array}\right) ,\quad \boldsymbol{j}=\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1\end{array}\right)
\end{equation*}です。

ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{3}\)とスカラー\(c\in \mathbb{R} \)からベクトル値関数\(c\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{3}\)を定義します。加えて、\(\boldsymbol{f}\)は定義域\(X\)上の任意の点において微分可能であるものとします。この場合、\(c\boldsymbol{f}\)もまた\(X\)上の任意の点において微分可能であるとともに、導関数\(\left( c\boldsymbol{f}\right) ^{\prime }:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{3}\)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{eqnarray*}\left( c\boldsymbol{f}\right) ^{\prime }\left( x\right) &=&c\boldsymbol{f}^{\prime }\left( x\right) \quad \because \text{スカラー倍の法則} \\
&=&c\left(
\begin{array}{c}
f_{1}^{\prime }\left( x\right) \\
f_{2}^{\prime }\left( x\right) \\
f_{3}^{\prime }\left( x\right)
\end{array}\right) \\
&=&cf_{1}^{\prime }\left( x\right) \boldsymbol{i}+cf_{2}^{\prime }\left(
x\right) \boldsymbol{j}+cf_{3}^{\prime }\left( x\right) \boldsymbol{k}
\end{eqnarray*}を定めます。ただし、\begin{equation*}
\boldsymbol{i}=\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
0\end{array}\right) ,\quad \boldsymbol{j}=\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1 \\
0\end{array}\right) ,\quad \boldsymbol{k}=\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
1\end{array}\right)
\end{equation*}です。

関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)は微分可能であるものとします。関数\(\boldsymbol{g}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{g}\left( x\right) =-\boldsymbol{f}\left( x\right)
\end{equation*}を定めるものとします。つまり、\(\boldsymbol{g}\)は\(\boldsymbol{f}\)の定数倍（\(-1\)倍）として定義されているため、先の命題より\(\boldsymbol{g}\)もまた微分可能であり、導関数\(\boldsymbol{g}^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{g}^{\prime }\left( x\right) &=&\left( -\boldsymbol{f}\right)
^{\prime }\left( x\right) \quad \because \boldsymbol{g}\text{の定義} \\
&=&-\boldsymbol{f}^{\prime }\left( x\right) \quad \because \text{スカラー倍の法則}
\end{eqnarray*}を定めます。

関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( x\right) =2\left(
\begin{array}{c}
x^{4} \\
\ln \left( x\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。1変数関数である\(x^{4}\)および\(\ln \left( x\right) \)は微分可能であるためベクトル値関数\(\left( x^{4},\ln \left( x\right)\right) \)は微分可能です。したがって先の命題より、そのスカラー倍（\(2\)倍）として定義される\(\boldsymbol{f}\)もまた微分可能であり、導関数\(\boldsymbol{f}^{\prime }:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{f}^{\prime }\left( x\right) &=&\frac{d}{dx}2\left(
\begin{array}{c}
x^{4} \\
\ln \left( x\right)
\end{array}\right) \quad \because \boldsymbol{f}\text{の定義} \\
&=&2\frac{d}{dx}\left(
\begin{array}{c}
x^{4} \\
\ln \left( x\right)
\end{array}\right) \quad \because \text{スカラー倍の法則} \\
&=&2\left(
\begin{array}{c}
\frac{d}{dx}x^{4} \\
\frac{d}{dx}\ln \left( x\right)
\end{array}\right) \\
&=&2\left(
\begin{array}{c}
4x^{3} \\
\frac{1}{x}\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
8x^{3} \\
\frac{2}{x}\end{array}\right)
\end{eqnarray*}を定めます。

関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\frac{1}{2}\left(
\begin{array}{c}
\left( x^{2}+x+1\right) ^{2} \\
\left( x^{2}+x+1\right) ^{3}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(\boldsymbol{f}\)は\(\mathbb{R} \)上で微分可能であり、導関数\(\boldsymbol{f}^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{f}^{\prime }\left( x\right) &=&\frac{d}{dx}\frac{1}{2}\left(
\begin{array}{c}
\left( x^{2}+x+1\right) ^{2} \\
\left( x^{2}+x+1\right) ^{3}\end{array}\right) \quad \because \boldsymbol{f}\text{の定義} \\
&=&\frac{1}{2}\frac{d}{dx}\left(
\begin{array}{c}
\left( x^{2}+x+1\right) ^{2} \\
\left( x^{2}+x+1\right) ^{3}\end{array}\right) \quad \because \text{スカラー倍の法則} \\
&=&\frac{1}{2}\cdot \left. \frac{d}{dy}\left(
\begin{array}{c}
y^{2} \\
y^{3}\end{array}\right) \right\vert _{y=x^{2}+x+1}\cdot \frac{d}{dx}\left( x^{2}+x+1\right)
\quad \because \text{合成関数の微分} \\
&=&\frac{1}{2}\cdot \left. \left(
\begin{array}{c}
2y \\
3y^{2}\end{array}\right) \right\vert _{y=x^{2}+x+1}\cdot \left( 2x+1\right) \\
&=&\frac{1}{2}\left(
\begin{array}{c}
2\left( x^{2}+x+1\right) \\
3\left( x^{2}+x+1\right) ^{2}\end{array}\right) \cdot \left( 2x+1\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\left( 2x+1\right) \left( x^{2}+x+1\right) \\
\frac{3}{2}\left( 2x+1\right) \left( x^{2}+x+1\right) ^{2}\end{array}\right)
\end{eqnarray*}を定めます。

ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)とスカラー\(c\in \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこからベクトル値関数\(c\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)を定義する。以下が成り立つ。

1. 点\(a\in X\)に対して、\begin{equation*}\exists \varepsilon >0:\left[ a,a+\varepsilon \right] \subset X\end{equation*}が成り立つものとする。\(\boldsymbol{f}\)が点\(a\)において右側微分可能であるならば\(c\boldsymbol{f}\)もまた点\(a\)において右側微分可能であり、そこでの右側微分係数は、\begin{equation*}\left( c\boldsymbol{f}\right) ^{\prime }\left( a+0\right) =c\boldsymbol{f}^{\prime }\left( a+0\right)
   \end{equation*}を満たす。
2. 点\(a\in X\)に対して、\begin{equation*}\exists \varepsilon >0:\left[ a-\varepsilon ,a\right] \subset X\end{equation*}が成り立つものとする。\(\boldsymbol{f}\)が点\(a\)において左側微分可能であるならば\(c\boldsymbol{f}\)もまた点\(a\)において左側微分可能であり、そこでの左側微分係数は、\begin{equation*}\left( c\boldsymbol{f}\right) ^{\prime }\left( a-0\right) =c\boldsymbol{f}^{\prime }\left( a-0\right)
   \end{equation*}を満たす。

ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)とスカラー\(c\in \mathbb{R} \)からベクトル値関数\(c\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)を定義します。\(\boldsymbol{f}\)が\(X\)上で右側微分可能である場合、先の命題より、関数\(c\boldsymbol{f}\)もまた\(X\)上で右側微分可能であり、右側導関数\(\left( c\boldsymbol{f}\right) _{+}^{\prime }:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( c\boldsymbol{f}\right) _{+}^{\prime }\left( x\right) =c\boldsymbol{f}_{+}^{\prime }\left( x\right)
\end{equation*}を定めます。同様に、\(\boldsymbol{f}\)が\(X\)上で左側微分可能である場合、先の命題より、関数\(c\boldsymbol{f}\)もまた\(X\)上で左側微分可能であり、左側導関数\(\left( c\boldsymbol{f}\right) _{-}^{\prime}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( c\boldsymbol{f}\right) _{-}^{\prime }\left( x\right) =c\boldsymbol{f}_{-}^{\prime }\left( x\right)
\end{equation*}を定めます。

関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset \left[ 0,\pi \right] \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \left[ 0,\pi \right] \)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( x\right) =-\frac{1}{2}\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( x\right) \\
\sin \left( x\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。余弦関数\(\cos \left( x\right) \)および正弦関数\(\sin \left(x\right) \)はともに\(\left[ 0,\pi \right] \)上で微分可能です。つまり、端点\(0\)において右側微分可能であり、もう一方の端点\(1\)において左側微分可能であり、定義域の内部\(\left( 0,\pi \right) \)において微分可能です。したがって、ベクトル値関数\(\left( \cos \left( x\right) ,\sin \left( x\right) \right) \)もまた\(\left[ 0,\pi \right] \)上で微分可能であるため、そのスカラー倍（\(-\frac{1}{2}\)倍）である関数\(\boldsymbol{f}\)もまた\(\left[ 0,1\right] \)上で微分可能です。導関数\(\boldsymbol{f}^{\prime }\)はそれぞれの内点\(x\in \left( 0,\pi \right) \)に対して、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{f}^{\prime }\left( x\right) &=&\frac{d}{dx}\left( -\frac{1}{2}\right) \left(
\begin{array}{c}
\cos \left( x\right) \\
\sin \left( x\right)
\end{array}\right) \quad \because \boldsymbol{f}\text{の定義} \\
&=&-\frac{1}{2}\frac{d}{dx}\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( x\right) \\
\sin \left( x\right)
\end{array}\right) \quad \because \text{スカラー倍の法則} \\
&=&-\frac{1}{2}\left(
\begin{array}{c}
\frac{d}{dx}\cos \left( x\right) \\
\frac{d}{dx}\sin \left( x\right)
\end{array}\right) \\
&=&-\frac{1}{2}\left(
\begin{array}{c}
-\sin \left( x\right) \\
\cos \left( x\right)
\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\frac{\sin \left( x\right) }{2} \\
-\frac{\cos \left( x\right) }{2}\end{array}\right)
\end{eqnarray*}を定めます。点\(0\)における右側微分係数は、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{f}^{\prime }\left( 0+0\right) &=&\left. \frac{d^{+}}{dx}\left( -\frac{1}{2}\right) \left(
\begin{array}{c}
\cos \left( x\right) \\
\sin \left( x\right)
\end{array}\right) \right\vert _{x=0}\quad \because \boldsymbol{f}\text{の定義} \\
&=&\left( -\frac{1}{2}\right) \left. \frac{d^{+}}{dx}\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( x\right) \\
\sin \left( x\right)
\end{array}\right) \right\vert _{x=0}\quad \because \text{スカラー倍の法則} \\
&=&\left( -\frac{1}{2}\right) \left. \left(
\begin{array}{c}
-\sin \left( x\right) \\
\cos \left( x\right)
\end{array}\right) \right\vert _{x=0} \\
&=&\left( -\frac{1}{2}\right) \left(
\begin{array}{c}
-\sin \left( 0\right) \\
\cos \left( 0\right)
\end{array}\right) \\
&=&\left( -\frac{1}{2}\right) \left(
\begin{array}{c}
0 \\
1\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
0 \\
-\frac{1}{2}\end{array}\right)
\end{eqnarray*}であり、点\(\pi \)における左側微分係数は、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{f}^{\prime }\left( \pi -0\right) &=&\left. \frac{d^{-}}{dx}\left( -\frac{1}{2}\right) \left(
\begin{array}{c}
\cos \left( x\right) \\
\sin \left( x\right)
\end{array}\right) \right\vert _{x=\pi }\quad \because \boldsymbol{f}\text{の定義} \\
&=&\left( -\frac{1}{2}\right) \left. \frac{d^{-}}{dx}\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( x\right) \\
\sin \left( x\right)
\end{array}\right) \right\vert _{x=\pi }\quad \because \text{スカラー倍の法則} \\
&=&\left( -\frac{1}{2}\right) \left. \left(
\begin{array}{c}
-\sin \left( x\right) \\
\cos \left( x\right)
\end{array}\right) \right\vert _{x=\pi } \\
&=&\left( -\frac{1}{2}\right) \left(
\begin{array}{c}
-\sin \left( \pi \right) \\
\cos \left( \pi \right)
\end{array}\right) \\
&=&\left( -\frac{1}{2}\right) \left(
\begin{array}{c}
0 \\
-1\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
0 \\
\frac{1}{2}\end{array}\right)
\end{eqnarray*}となります。

関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( x\right) =-\frac{1}{2}\left(
\begin{array}{c}
\frac{1}{x} \\
\frac{1}{x^{2}}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。導関数を求めてください。

関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\pi \left(
\begin{array}{c}
\cos \left( \left\vert x\right\vert \right) \\
\sin \left( \left\vert x\right\vert \right)\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。導関数を求めてください。

ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)と非ゼロのスカラー\(c\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)が与えられたとき、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( \frac{\boldsymbol{f}}{c}\right) \left( x\right) =\frac{\boldsymbol{f}\left( x\right) }{c}
\end{equation*}を定める新たなベクトル値関数\(\frac{\boldsymbol{f}}{c}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が定義可能です。関数\(\boldsymbol{f}\)が定義域上の点\(a\in X\)において微分可能ならば、関数\(\frac{\boldsymbol{f}}{c}\)もまた点\(a\)において微分可能であり、微分係数は、\begin{equation*}\left( \frac{\boldsymbol{f}}{c}\right) ^{\prime }\left( a\right) =\frac{\boldsymbol{f}^{\prime }\left( a\right) }{c}
\end{equation*}を満たすことを証明してください。