教材一覧
教材一覧
教材検索

ベクトル値関数の微分

ベクトル値関数のスカラー倍の微分

目次

Twitter
Mailで保存

微分可能なベクトル値関数のスカラー倍

ベクトル値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)とスカラー\(c\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{eqnarray*}\left( cf\right) \left( x\right) &=&cf\left( x\right) \\
&=&c\left( f_{1}\left( x\right) ,\cdots ,f_{m}\left( x\right) \right) \\
&=&\left( cf_{1},\cdots ,cf_{m}\left( x\right) \right)
\end{eqnarray*}を定める新たなベクトル値関数\(cf:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が定義可能です。ただし、\(f_{i}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \ \left( i=1,\cdots ,m\right) \)は\(f\)の成分関数です。

関数\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)の周辺の任意の点において定義されているとともに、その点\(a\)において微分可能であるならば、そこでの微分係数に相当する\(\mathbb{R} ^{m}\)上の点\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) =\left( f_{1}^{\prime }\left( a\right) ,\cdots
,f_{m}^{\prime }\left( a\right) \right)
\end{equation*}が存在します。この場合、関数\(cf\)もまた点\(a\)において微分可能であることが保証されるとともに、そこでの微分係数が、\begin{eqnarray*}\left( cf\right) ^{\prime }\left( a\right) &=&cf^{\prime }\left( a\right)
\\
&=&c\left( f_{1}^{\prime }\left( a\right) ,\cdots ,f_{m}^{\prime }\left(
a\right) \right) \\
&=&\left( cf_{1}^{\prime }\left( a\right) ,\cdots ,cf_{m}^{\prime }\left(
a\right) \right)
\end{eqnarray*}として定まることが保証されます。

命題(微分可能なベクトル値関数のスカラー倍)
ベクトル値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)とスカラー\(c\in \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこからベクトル値関数\(cf:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)を定義する。\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)において微分可能であるならば、\(cf\)もまた点\(a\)において微分可能であり、そこでの微分係数は、\begin{equation*}\left( cf\right) ^{\prime }\left( a\right) =cf^{\prime }\left( a\right)
\end{equation*}を満たす。

証明

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

つまり、点\(a\)において微分可能なベクトル値関数\(f\)のスカラー倍の形をしているベクトル値関数\(cf\)が与えられたとき、\(cf\)もまた点\(a\)において微分可能であることが保証されるとともに、\(f\)の微分係数をスカラー\(c\)倍すれば\(cf\)の微分係数が得られることを上の命題は保証しています。したがって、何らかの関数\(f\)のスカラー倍の形をしている関数\(cf\)の微分可能性を検討する際には、ベクトル値関数の微分の定義にさかのぼって考える前に、まずは\(c\)と\(f\)を分けた上で、\(f\)が微分可能であることを確認すればよいということになります。

例(微分可能なベクトル値関数のスカラー倍)
ベクトル値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)とスカラー\(c\in \mathbb{R} \)からベクトル値関数\(cf:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)を定義します。\(f\)が\(X\)上で微分可能である場合、先の命題より、関数\(cf\)もまた\(X\)上で微分可能であり、導関数\(\left( cf\right) ^{\prime }:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( cf\right) ^{\prime }\left( x\right) =cf^{\prime }\left( x\right)
\end{equation*}を定めます。

例(微分可能なベクトル値関数のスカラー倍)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)は微分可能であるものとします。つまり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が存在するということです。関数\(g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}g\left( x\right) =-f\left( x\right)
\end{equation*}を定めるものとします。つまり、\(g\)は\(f\)の定数倍(\(-1\)倍)として定義されているため、先の命題より\(g\)もまた微分可能であり、導関数\(g^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}g^{\prime }\left( x\right) &=&\left[ -f\left( x\right) \right] ^{\prime
}\quad \because g\text{の定義} \\
&=&-\left[ f\left( x\right) \right] ^{\prime }\quad \because \text{微分可能な関数のスカラー倍} \\
&=&-f^{\prime }\left( x\right)
\end{eqnarray*}を定めます。

例(微分可能なベクトル値関数のスカラー倍)
関数\(f:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =2\left( x^{4},\ln \left( x\right) \right)
\end{equation*}を定めるものとします。1変数関数である\(x^{4}\)および\(\ln \left( x\right) \)は微分可能であるため、ベクトル値関数\(\left( x^{4},\ln \left(x\right) \right) \)は微分可能です。したがって先の命題より、そのスカラー倍(\(2\)倍)として定義される\(f\)もまた微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&\frac{d}{dx}2\left( x^{4},\ln \left( x\right)
\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&2\frac{d}{dx}\left( x^{4},\ln \left( x\right) \right) \quad \because
\text{微分可能なベクトル値関数のスカラー倍} \\
&=&2\left( \frac{d}{dx}x^{4},\frac{d}{dx}\ln \left( x\right) \right) \\
&=&2\left( 4x^{3},\frac{1}{x}\right) \\
&=&\left( 8x^{3},\frac{2}{x}\right)
\end{eqnarray*}を定めます。

 

片側微分可能なベクトル値関数のスカラー倍

片側微分についても同様の命題が成り立ちます。

命題(片側微分可能なベクトル値関数のスカラー倍)
ベクトル値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)とスカラー\(c\in \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこからベクトル値関数\(cf:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)を定義する。\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)において右側微分可能であるならば\(cf\)もまた点\(a\)において右側微分可能であり、そこでの右側微分係数は、\begin{equation*}\left( cf\right) ^{\prime }\left( a+0\right) =cf^{\prime }\left( a+0\right)
\end{equation*}を満たす。また、\(f\)が点\(a\in X\)において左側微分可能であるならば\(cf\)もまた点\(a\)において左側微分可能であり、そこでの左側微分係数は、\begin{equation*}\left( cf\right) ^{\prime }\left( a-0\right) =cf^{\prime }\left( a-0\right)
\end{equation*}を満たす。

証明

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

例(片側微分可能なベクトル値関数のスカラー倍)
ベクトル値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)とスカラー\(c\in \mathbb{R} \)からベクトル値関数\(cf:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)を定義します。\(f\)が\(X\)上で右側微分可能である場合、先の命題より、関数\(cf\)もまた\(X\)上で右側微分可能であり、右側導関数\(\left(cf\right) _{+}^{\prime }:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( cf\right) _{+}^{\prime }\left( x\right) =cf_{+}^{\prime }\left(
x\right)
\end{equation*}を定めます。同様に、\(f\)が\(X\)上で左側微分可能である場合、先の命題より、関数\(cf\)もまた\(X\)上で左側微分可能であり、左側導関数\(\left( cf\right) _{-}^{\prime }:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( cf\right) _{-}^{\prime }\left( x\right) =cf_{-}^{\prime }\left(
x\right)
\end{equation*}を定めます。

例(片側微分可能なベクトル値関数のスカラー倍)
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ 0,\pi \right] \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \left[ 0,\pi \right] \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =-\frac{1}{2}\left( \cos \left( x\right) ,\sin \left(
x\right) \right)
\end{equation*}を定めるものとします。余弦関数\(\cos \left( x\right) \)および正弦関数\(\sin \left(x\right) \)はともに\(\left[ 0,\pi \right] \)上で微分可能です。つまり、端点\(0\)において右側微分可能であり、もう一方の端点\(1\)において左側微分可能であり、定義域の内部\(\left( 0,\pi \right) \)において微分可能です。したがって、ベクトル値関数\(\left( \cos \left( x\right) ,\sin \left( x\right) \right) \)もまた\(\left[ 0,\pi \right] \)上で微分可能であるため、そのスカラー倍(\(-\frac{1}{2}\)倍)である関数\(f\)もまた\(\left[ 0,1\right] \)上で微分可能です。導関数\(f^{\prime }\)はそれぞれの内点\(x\in \left( 0,\pi \right) \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&\frac{d}{dx}\left[ -\frac{1}{2}\left( \cos
\left( x\right) ,\sin \left( x\right) \right) \right] \quad \because f\text{の定義} \\
&=&-\frac{1}{2}\frac{d}{dx}\left( \cos \left( x\right) ,\sin \left( x\right)
\right) \quad \because \text{微分可能な関数のスカラー倍} \\
&=&-\frac{1}{2}\left( \frac{d}{dx}\cos \left( x\right) ,\frac{d}{dx}\sin
\left( x\right) \right) \\
&=&-\frac{1}{2}\left( -\sin \left( x\right) ,\cos \left( x\right) \right) \\
&=&\left( \frac{\sin \left( x\right) }{2},-\frac{\cos \left( x\right) }{2}\right)
\end{eqnarray*}を定めます。点\(0\)における右側微分係数は、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( 0+0\right) &=&\left. \left[ -\frac{1}{2}\left( \cos
\left( x\right) ,\sin \left( x\right) \right) \right] _{+}^{\prime
}\right\vert _{x=0}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&-\frac{1}{2}\left. \left[ \left( \cos \left( x\right) ,\sin \left(
x\right) \right) \right] _{+}^{\prime }\right\vert _{x=0}\quad \because
\text{右側微分可能な関数のスカラー倍} \\
&=&-\frac{1}{2}\left. \left( -\sin \left( x\right) ,\cos \left( x\right)
\right) \right\vert _{x=0} \\
&=&-\frac{1}{2}\left( -\sin \left( 0\right) ,\cos \left( 0\right) \right) \\
&=&-\frac{1}{2}\left( 0,1\right) \\
&=&\left( 0,-\frac{1}{2}\right)
\end{eqnarray*}であり、点\(\pi \)における左側微分係数は、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( 1-0\right) &=&\left. \left[ -\frac{1}{2}\left( \cos
\left( x\right) ,\sin \left( x\right) \right) \right] _{-}^{\prime
}\right\vert _{x=\pi }\quad \because f\text{の定義} \\
&=&-\frac{1}{2}\left. \left[ \left( \cos \left( x\right) ,\sin \left(
x\right) \right) \right] _{-}^{\prime }\right\vert _{x=\pi }\quad \because
\text{左側微分可能な関数のスカラー倍} \\
&=&-\frac{1}{2}\left. \left( -\sin \left( x\right) ,\cos \left( x\right)
\right) \right\vert _{x=\pi } \\
&=&-\frac{1}{2}\left( -\sin \left( \pi \right) ,\cos \left( \pi \right)
\right) \\
&=&-\frac{1}{2}\left( 0,-1\right) \\
&=&\left( 0,\frac{1}{2}\right)
\end{eqnarray*}となります。

 

演習問題

問題(微分可能なベクトル値関数のスカラー倍)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =-\frac{1}{2}\left( \frac{1}{x},\frac{1}{x^{2}}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。導関数を求めてください。

解答を見る

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

問題(微分可能なベクトル値関数のスカラー商)
ベクトル値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)と非ゼロのスカラー\(c\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)が与えられたとき、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( \frac{f}{c}\right) \left( x\right) =\frac{f\left( x\right) }{c}
\end{equation*}を定める新たなベクトル値関数\(\frac{f}{c}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が定義可能です。関数\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)において微分可能ならば、関数\(\frac{f}{c}\)もまた点\(a\)において微分可能であり、微分係数は、\begin{equation*}\left( \frac{f}{c}\right) ^{\prime }\left( a\right) =\frac{f^{\prime }\left(
a\right) }{c}
\end{equation*}を満たすことを証明してください。

解答を見る

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

問題(片側微分可能なベクトル値関数のスカラー商)
ベクトル値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)と非ゼロのスカラー\(c\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)が与えられたとき、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( \frac{f}{c}\right) \left( x\right) =\frac{f\left( x\right) }{c}
\end{equation*}を定める新たなベクトル値関数\(\frac{f}{c}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が定義可能です。関数\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)において右側微分可能ならば、関数\(\frac{f}{c}\)もまた点\(a\)において右側微分可能であり、右側微分係数は、\begin{equation*}\left( \frac{f}{c}\right) ^{\prime }\left( a+0\right) =\frac{f^{\prime
}\left( a+0\right) }{c}
\end{equation*}を満たすことを証明してください。また、関数\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)において左側微分可能ならば、関数\(\frac{f}{c}\)もまた点\(a\)において左側微分可能であり、左側微分係数は、\begin{equation*}\left( \frac{f}{c}\right) ^{\prime }\left( a-0\right) =\frac{f^{\prime
}\left( a-0\right) }{c}
\end{equation*}を満たすことを証明してください。

解答を見る

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

Twitter
Mailで保存

質問とコメント