微分可能なベクトル値関数のスカラー倍
スカラー\(c\in \mathbb{R} \)と1変数のベクトル値関数\begin{equation*}\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が与えられれば新たなベクトル値関数\begin{equation*}
c\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が定義可能であり、これはそれぞれの実数\(x\in X\)に対して、以下のベクトル\begin{equation*}\left( c\boldsymbol{f}\right) \left( x\right) =c\boldsymbol{f}\left(
x\right) =\left(
\begin{array}{c}
cf_{1}\left( x\right) \\
\vdots \\
cf_{m}\left( x\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}を値として定めます。ただし、\begin{equation*}
f_{i}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \ \left( i=1,\cdots ,m\right)
\end{equation*}はベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)の成分関数です。
ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)が定義域の内点\(a\in X^{i}\)において微分可能であるものとします。つまり、ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)の点\(a\)における微分係数\begin{equation*}\frac{d\boldsymbol{f}\left( a\right) }{dx}=\left(
\begin{array}{c}
\dfrac{df_{1}\left( a\right) }{dx} \\
\vdots \\
\dfrac{df_{m}\left( a\right) }{dx}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
\left. \dfrac{df_{1}\left( x\right) }{dx}\right\vert _{x=a} \\
\vdots \\
\left. \dfrac{df_{m}\left( x\right) }{dx}\right\vert _{x=a}\end{array}\right)
\end{equation*}が有限なベクトルとして定まるということです。
以上の条件が満たされる場合には、ベクトル値関数\(c\boldsymbol{f}\)もまた点\(a\)において微分可能であることが保証されるとともに、そこでの微分係数が、\begin{eqnarray*}\frac{d\left( c\boldsymbol{f}\right) \left( a\right) }{dx} &=&c\frac{d\boldsymbol{f}\left( a\right) }{dx} \\
&=&c\left(
\begin{array}{c}
\dfrac{df_{1}\left( a\right) }{dx} \\
\vdots \\
\dfrac{df_{m}\left( a\right) }{dx}\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
c\dfrac{df_{1}\left( a\right) }{dx} \\
\vdots \\
c\dfrac{df_{m}\left( a\right) }{dx}\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
c\left. \dfrac{df_{1}\left( x\right) }{dx}\right\vert _{x=a} \\
\vdots \\
c\left. \dfrac{df_{m}\left( x\right) }{dx}\right\vert _{x=a}\end{array}\right)
\end{eqnarray*}という有限なベクトルとして定まることが保証されます。
命題（ベクトル値関数のスカラー倍の微分）
ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)とスカラー\(c\in \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこからベクトル値関数\(c\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)を定義する。\(\boldsymbol{f}\)が定義域の内点\(a\in X^{i}\)において微分可能であるならば、\(c\boldsymbol{f}\)もまた点\(a\)において微分可能であり、そこでの微分係数は、\begin{equation*}\frac{d\left( c\boldsymbol{f}\right) \left( a\right) }{dx}=c\frac{d\boldsymbol{f}\left( a\right) }{dx}
\end{equation*}となる。
\end{equation*}となる。
つまり、点\(a\)において微分可能なベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)のスカラー倍の形をしているベクトル値関数\(c\boldsymbol{f}\)が与えられたとき、\(c\boldsymbol{f}\)もまた点\(a\)において微分可能であることが保証されるとともに、\(\boldsymbol{f}\)の微分係数であるベクトル\(\frac{d\boldsymbol{f}\left( a\right) }{dx}\)をスカラー\(c\)倍すれば\(c\boldsymbol{f}\)の微分係数\(\frac{d\left( c\boldsymbol{f}\right) \left( a\right) }{dx}\)が得られることを上の命題は保証しています。
例（ベクトル値関数のスカラー倍の微分）
ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)とスカラー\(c\in \mathbb{R} \)からベクトル値関数\(c\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)を定義します。加えて、\(X\)は\(\mathbb{R} \)上の開集合であるものとします。開集合の定義より、点\(x\in X\)を任意に選んだとき、\(x\)は\(X\)の内点になることが保証されます。したがって、\(\boldsymbol{f}\)が\(X\)上で微分可能である場合、先の命題よりベクトル値関数\(c\boldsymbol{f}\)もまた\(X\)上で微分可能であり、導関数\(\frac{d\left( c\boldsymbol{f}\right) }{dx}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)がそれぞれの実数\(x\in X\)に対して定めるベクトルは、\begin{eqnarray*}\frac{d\left( c\boldsymbol{f}\right) \left( x\right) }{dx} &=&c\frac{d\boldsymbol{f}\left( x\right) }{dx} \\
&=&c\left(
\begin{array}{c}
\dfrac{df_{1}\left( x\right) }{dx} \\
\vdots \\
\dfrac{df_{m}\left( x\right) }{dx}\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
c\dfrac{df_{1}\left( x\right) }{dx} \\
\vdots \\
c\dfrac{df_{m}\left( x\right) }{dx}\end{array}\right)
\end{eqnarray*}となります。
&=&c\left(
\begin{array}{c}
\dfrac{df_{1}\left( x\right) }{dx} \\
\vdots \\
\dfrac{df_{m}\left( x\right) }{dx}\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
c\dfrac{df_{1}\left( x\right) }{dx} \\
\vdots \\
c\dfrac{df_{m}\left( x\right) }{dx}\end{array}\right)
\end{eqnarray*}となります。
例（ベクトル値関数のスカラー倍の微分）
関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)は微分可能であるものとします。つまり、導関数\(\frac{d\boldsymbol{f}}{dx}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が存在するということです。関数\(\boldsymbol{g}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{g}\left( x\right) =-\boldsymbol{f}\left( x\right)
\end{equation*}を定めるものとします。つまり、\(\boldsymbol{g}\)は\(\boldsymbol{f}\)の定数倍（\(-1\)倍）として定義されているため、先の命題より\(\boldsymbol{g}\)もまた微分可能であり、導関数\(\frac{d\boldsymbol{g}}{dx}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}\frac{d\boldsymbol{g}\left( x\right) }{dx} &=&\frac{d\left( -\boldsymbol{f}\right) \left( x\right) }{dx}\quad \because \boldsymbol{g}\text{の定義} \\
&=&-\frac{d\boldsymbol{f}\left( x\right) }{dx}\quad \because \text{微分可能な関数のスカラー倍}
\end{eqnarray*}を定めます。
\end{equation*}を定めるものとします。つまり、\(\boldsymbol{g}\)は\(\boldsymbol{f}\)の定数倍（\(-1\)倍）として定義されているため、先の命題より\(\boldsymbol{g}\)もまた微分可能であり、導関数\(\frac{d\boldsymbol{g}}{dx}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}\frac{d\boldsymbol{g}\left( x\right) }{dx} &=&\frac{d\left( -\boldsymbol{f}\right) \left( x\right) }{dx}\quad \because \boldsymbol{g}\text{の定義} \\
&=&-\frac{d\boldsymbol{f}\left( x\right) }{dx}\quad \because \text{微分可能な関数のスカラー倍}
\end{eqnarray*}を定めます。
例（ベクトル値関数のスカラー倍の微分）
関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( x\right) =2\left(
\begin{array}{c}
x^{4} \\
\ln \left( x\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。1変数関数である\(x^{4}\)および\(\ln \left( x\right) \)は微分可能であるため、ベクトル値関数\(\left( x^{4},\ln \left(x\right) \right) \)は微分可能です。したがって先の命題より、そのスカラー倍（\(2\)倍）として定義される\(\boldsymbol{f}\)もまた微分可能であり、導関数\(\frac{d\boldsymbol{f}}{dx}:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{eqnarray*}\frac{d\boldsymbol{f}\left( x\right) }{dx} &=&\frac{d}{dx}2\left(
\begin{array}{c}
x^{4} \\
\ln \left( x\right)
\end{array}\right) \quad \because \boldsymbol{f}\text{の定義} \\
&=&2\frac{d}{dx}\left(
\begin{array}{c}
x^{4} \\
\ln \left( x\right)
\end{array}\right) \quad \because \text{微分可能なベクトル値関数のスカラー倍} \\
&=&2\left(
\begin{array}{c}
\frac{d}{dx}x^{4} \\
\frac{d}{dx}\ln \left( x\right)
\end{array}\right) \\
&=&2\left(
\begin{array}{c}
4x^{3} \\
\frac{1}{x}\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
8x^{3} \\
\frac{2}{x}\end{array}\right)
\end{eqnarray*}を定めます。
\begin{array}{c}
x^{4} \\
\ln \left( x\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。1変数関数である\(x^{4}\)および\(\ln \left( x\right) \)は微分可能であるため、ベクトル値関数\(\left( x^{4},\ln \left(x\right) \right) \)は微分可能です。したがって先の命題より、そのスカラー倍（\(2\)倍）として定義される\(\boldsymbol{f}\)もまた微分可能であり、導関数\(\frac{d\boldsymbol{f}}{dx}:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{eqnarray*}\frac{d\boldsymbol{f}\left( x\right) }{dx} &=&\frac{d}{dx}2\left(
\begin{array}{c}
x^{4} \\
\ln \left( x\right)
\end{array}\right) \quad \because \boldsymbol{f}\text{の定義} \\
&=&2\frac{d}{dx}\left(
\begin{array}{c}
x^{4} \\
\ln \left( x\right)
\end{array}\right) \quad \because \text{微分可能なベクトル値関数のスカラー倍} \\
&=&2\left(
\begin{array}{c}
\frac{d}{dx}x^{4} \\
\frac{d}{dx}\ln \left( x\right)
\end{array}\right) \\
&=&2\left(
\begin{array}{c}
4x^{3} \\
\frac{1}{x}\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
8x^{3} \\
\frac{2}{x}\end{array}\right)
\end{eqnarray*}を定めます。
例（ベクトル値関数のスカラー倍の微分）
関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\frac{1}{2}\left(
\begin{array}{c}
\left( x^{2}+x+1\right) ^{2} \\
\left( x^{2}+x+1\right) ^{3}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(\boldsymbol{f}\)は\(\mathbb{R} \)上で微分可能であり、導関数\(\frac{d\boldsymbol{f}}{dx}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}\frac{d\boldsymbol{f}\left( x\right) }{dx} &=&\frac{d}{dx}\frac{1}{2}\left(
\begin{array}{c}
\left( x^{2}+x+1\right) ^{2} \\
\left( x^{2}+x+1\right) ^{3}\end{array}\right) \quad \because \boldsymbol{f}\text{の定義} \\
&=&\frac{1}{2}\frac{d}{dx}\left(
\begin{array}{c}
\left( x^{2}+x+1\right) ^{2} \\
\left( x^{2}+x+1\right) ^{3}\end{array}\right) \quad \because \text{スカラー倍の微分} \\
&=&\frac{1}{2}\left. \frac{d}{dy}\left(
\begin{array}{c}
y^{2} \\
y^{3}\end{array}\right) \right\vert _{y=x^{2}+x+1}\frac{d}{dx}\left( x^{2}+x+1\right) \quad
\because \text{合成関数の微分} \\
&=&\frac{1}{2}\left. \left(
\begin{array}{c}
2y \\
3y^{2}\end{array}\right) \right\vert _{y=x^{2}+x+1}\left( 2x+1\right) \\
&=&\frac{1}{2}\left(
\begin{array}{c}
2\left( x^{2}+x+1\right) \\
3\left( x^{2}+x+1\right) ^{2}\end{array}\right) \left( 2x+1\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\left( 2x+1\right) \left( x^{2}+x+1\right) \\
\frac{3}{2}\left( 2x+1\right) \left( x^{2}+x+1\right) ^{2}\end{array}\right)
\end{eqnarray*}を定めます。
\begin{array}{c}
\left( x^{2}+x+1\right) ^{2} \\
\left( x^{2}+x+1\right) ^{3}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(\boldsymbol{f}\)は\(\mathbb{R} \)上で微分可能であり、導関数\(\frac{d\boldsymbol{f}}{dx}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}\frac{d\boldsymbol{f}\left( x\right) }{dx} &=&\frac{d}{dx}\frac{1}{2}\left(
\begin{array}{c}
\left( x^{2}+x+1\right) ^{2} \\
\left( x^{2}+x+1\right) ^{3}\end{array}\right) \quad \because \boldsymbol{f}\text{の定義} \\
&=&\frac{1}{2}\frac{d}{dx}\left(
\begin{array}{c}
\left( x^{2}+x+1\right) ^{2} \\
\left( x^{2}+x+1\right) ^{3}\end{array}\right) \quad \because \text{スカラー倍の微分} \\
&=&\frac{1}{2}\left. \frac{d}{dy}\left(
\begin{array}{c}
y^{2} \\
y^{3}\end{array}\right) \right\vert _{y=x^{2}+x+1}\frac{d}{dx}\left( x^{2}+x+1\right) \quad
\because \text{合成関数の微分} \\
&=&\frac{1}{2}\left. \left(
\begin{array}{c}
2y \\
3y^{2}\end{array}\right) \right\vert _{y=x^{2}+x+1}\left( 2x+1\right) \\
&=&\frac{1}{2}\left(
\begin{array}{c}
2\left( x^{2}+x+1\right) \\
3\left( x^{2}+x+1\right) ^{2}\end{array}\right) \left( 2x+1\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\left( 2x+1\right) \left( x^{2}+x+1\right) \\
\frac{3}{2}\left( 2x+1\right) \left( x^{2}+x+1\right) ^{2}\end{array}\right)
\end{eqnarray*}を定めます。
片側微分可能なベクトル値関数のスカラー倍
片側微分についても同様の命題が成り立ちます。
命題（片側微分可能なベクトル値関数のスカラー倍）
ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)とスカラー\(c\in \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこからベクトル値関数\(c\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)を定義する。\(\boldsymbol{f}\)が定義域上の点\(a\in X\)において右側微分可能であるならば\(c\boldsymbol{f}\)もまた点\(a\)において右側微分可能であり、そこでの右側微分係数は、\begin{equation*}\frac{d\left( c\boldsymbol{f}\right) \left( a\right) }{dx^{+}}=c\frac{d\boldsymbol{f}\left( a\right) }{dx^{+}}
\end{equation*}となる。また、\(\boldsymbol{f}\)が点\(a\in X\)において左側微分可能であるならば\(c\boldsymbol{f}\)もまた点\(a\)において左側微分可能であり、そこでの左側微分係数は、\begin{equation*}\frac{d\left( c\boldsymbol{f}\right) \left( a\right) }{dx^{-}}=c\frac{d\boldsymbol{f}\left( a\right) }{dx^{-}}
\end{equation*}となる。
\end{equation*}となる。また、\(\boldsymbol{f}\)が点\(a\in X\)において左側微分可能であるならば\(c\boldsymbol{f}\)もまた点\(a\)において左側微分可能であり、そこでの左側微分係数は、\begin{equation*}\frac{d\left( c\boldsymbol{f}\right) \left( a\right) }{dx^{-}}=c\frac{d\boldsymbol{f}\left( a\right) }{dx^{-}}
\end{equation*}となる。
例（片側微分可能なベクトル値関数のスカラー倍）
ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)とスカラー\(c\in \mathbb{R} \)からベクトル値関数\(c\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)を定義します。\(\boldsymbol{f}\)が\(X\)上で右側微分可能である場合、先の命題より、関数\(c\boldsymbol{f}\)もまた\(X\)上で右側微分可能であり、右側導関数\(\frac{d\left( c\boldsymbol{f}\right) }{dx^{+}}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\frac{d\left( c\boldsymbol{f}\right) \left( x\right) }{dx^{+}}=c\frac{d\boldsymbol{f}\left( x\right) }{dx^{+}}
\end{equation*}を定めます。同様に、\(\boldsymbol{f}\)が\(X\)上で左側微分可能である場合、先の命題より、関数\(c\boldsymbol{f}\)もまた\(X\)上で左側微分可能であり、左側導関数\(\frac{d\left( c\boldsymbol{f}\right) }{dx^{-}}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\frac{d\left( c\boldsymbol{f}\right) \left( x\right) }{dx^{-}}=c\frac{d\boldsymbol{f}\left( x\right) }{dx^{-}}
\end{equation*}を定めます。
\end{equation*}を定めます。同様に、\(\boldsymbol{f}\)が\(X\)上で左側微分可能である場合、先の命題より、関数\(c\boldsymbol{f}\)もまた\(X\)上で左側微分可能であり、左側導関数\(\frac{d\left( c\boldsymbol{f}\right) }{dx^{-}}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\frac{d\left( c\boldsymbol{f}\right) \left( x\right) }{dx^{-}}=c\frac{d\boldsymbol{f}\left( x\right) }{dx^{-}}
\end{equation*}を定めます。
例（片側微分可能なベクトル値関数のスカラー倍）
関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset \left[ 0,\pi \right] \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \left[ 0,\pi \right] \)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( x\right) =-\frac{1}{2}\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( x\right) \\
\sin \left( x\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。余弦関数\(\cos \left( x\right) \)および正弦関数\(\sin \left(x\right) \)はともに\(\left[ 0,\pi \right] \)上で微分可能です。つまり、端点\(0\)において右側微分可能であり、もう一方の端点\(1\)において左側微分可能であり、定義域の内部\(\left( 0,\pi \right) \)において微分可能です。したがって、ベクトル値関数\(\left( \cos \left( x\right) ,\sin \left( x\right) \right) \)もまた\(\left[ 0,\pi \right] \)上で微分可能であるため、そのスカラー倍（\(-\frac{1}{2}\)倍）である関数\(\boldsymbol{f}\)もまた\(\left[ 0,1\right] \)上で微分可能です。導関数\(\frac{d\boldsymbol{f}}{dx}\)はそれぞれの内点\(x\in \left( 0,\pi \right) \)に対して、\begin{eqnarray*}\frac{d\boldsymbol{f}\left( x\right) }{dx} &=&\frac{d}{dx}\left( -\frac{1}{2}\right) \left(
\begin{array}{c}
\cos \left( x\right) \\
\sin \left( x\right)
\end{array}\right) \quad \because \boldsymbol{f}\text{の定義} \\
&=&-\frac{1}{2}\frac{d}{dx}\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( x\right) \\
\sin \left( x\right)
\end{array}\right) \quad \because \text{微分可能な関数のスカラー倍} \\
&=&-\frac{1}{2}\left(
\begin{array}{c}
\frac{d}{dx}\cos \left( x\right) \\
\frac{d}{dx}\sin \left( x\right)
\end{array}\right) \\
&=&-\frac{1}{2}\left(
\begin{array}{c}
-\sin \left( x\right) \\
\cos \left( x\right)
\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\frac{\sin \left( x\right) }{2} \\
-\frac{\cos \left( x\right) }{2}\end{array}\right)
\end{eqnarray*}を定めます。点\(0\)における右側微分係数は、\begin{eqnarray*}\frac{d\boldsymbol{f}\left( 0\right) }{dx^{+}} &=&\left. \frac{d}{dx^{+}}\left( -\frac{1}{2}\right) \left(
\begin{array}{c}
\cos \left( x\right) \\
\sin \left( x\right)
\end{array}\right) \right\vert _{x=0}\quad \because \boldsymbol{f}\text{の定義} \\
&=&\left( -\frac{1}{2}\right) \left. \frac{d}{dx^{+}}\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( x\right) \\
\sin \left( x\right)
\end{array}\right) \right\vert _{x=0}\quad \because \text{右側微分可能な関数のスカラー倍} \\
&=&\left( -\frac{1}{2}\right) \left. \left(
\begin{array}{c}
-\sin \left( x\right) \\
\cos \left( x\right)
\end{array}\right) \right\vert _{x=0} \\
&=&\left( -\frac{1}{2}\right) \left(
\begin{array}{c}
-\sin \left( 0\right) \\
\cos \left( 0\right)
\end{array}\right) \\
&=&\left( -\frac{1}{2}\right) \left(
\begin{array}{c}
0 \\
1\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
0 \\
-\frac{1}{2}\end{array}\right)
\end{eqnarray*}であり、点\(\pi \)における左側微分係数は、\begin{eqnarray*}\frac{d\boldsymbol{f}\left( \pi \right) }{dx^{-}} &=&\left. \frac{d}{dx^{-}}\left( -\frac{1}{2}\right) \left(
\begin{array}{c}
\cos \left( x\right) \\
\sin \left( x\right)
\end{array}\right) \right\vert _{x=\pi }\quad \because \boldsymbol{f}\text{の定義} \\
&=&\left( -\frac{1}{2}\right) \left. \frac{d}{dx^{-}}\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( x\right) \\
\sin \left( x\right)
\end{array}\right) \right\vert _{x=\pi }\quad \because \text{左側微分可能な関数のスカラー倍} \\
&=&\left( -\frac{1}{2}\right) \left. \left(
\begin{array}{c}
-\sin \left( x\right) \\
\cos \left( x\right)
\end{array}\right) \right\vert _{x=\pi } \\
&=&\left( -\frac{1}{2}\right) \left(
\begin{array}{c}
-\sin \left( \pi \right) \\
\cos \left( \pi \right)
\end{array}\right) \\
&=&\left( -\frac{1}{2}\right) \left(
\begin{array}{c}
0 \\
-1\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
0 \\
\frac{1}{2}\end{array}\right)
\end{eqnarray*}となります。
\begin{array}{c}
\cos \left( x\right) \\
\sin \left( x\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。余弦関数\(\cos \left( x\right) \)および正弦関数\(\sin \left(x\right) \)はともに\(\left[ 0,\pi \right] \)上で微分可能です。つまり、端点\(0\)において右側微分可能であり、もう一方の端点\(1\)において左側微分可能であり、定義域の内部\(\left( 0,\pi \right) \)において微分可能です。したがって、ベクトル値関数\(\left( \cos \left( x\right) ,\sin \left( x\right) \right) \)もまた\(\left[ 0,\pi \right] \)上で微分可能であるため、そのスカラー倍（\(-\frac{1}{2}\)倍）である関数\(\boldsymbol{f}\)もまた\(\left[ 0,1\right] \)上で微分可能です。導関数\(\frac{d\boldsymbol{f}}{dx}\)はそれぞれの内点\(x\in \left( 0,\pi \right) \)に対して、\begin{eqnarray*}\frac{d\boldsymbol{f}\left( x\right) }{dx} &=&\frac{d}{dx}\left( -\frac{1}{2}\right) \left(
\begin{array}{c}
\cos \left( x\right) \\
\sin \left( x\right)
\end{array}\right) \quad \because \boldsymbol{f}\text{の定義} \\
&=&-\frac{1}{2}\frac{d}{dx}\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( x\right) \\
\sin \left( x\right)
\end{array}\right) \quad \because \text{微分可能な関数のスカラー倍} \\
&=&-\frac{1}{2}\left(
\begin{array}{c}
\frac{d}{dx}\cos \left( x\right) \\
\frac{d}{dx}\sin \left( x\right)
\end{array}\right) \\
&=&-\frac{1}{2}\left(
\begin{array}{c}
-\sin \left( x\right) \\
\cos \left( x\right)
\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\frac{\sin \left( x\right) }{2} \\
-\frac{\cos \left( x\right) }{2}\end{array}\right)
\end{eqnarray*}を定めます。点\(0\)における右側微分係数は、\begin{eqnarray*}\frac{d\boldsymbol{f}\left( 0\right) }{dx^{+}} &=&\left. \frac{d}{dx^{+}}\left( -\frac{1}{2}\right) \left(
\begin{array}{c}
\cos \left( x\right) \\
\sin \left( x\right)
\end{array}\right) \right\vert _{x=0}\quad \because \boldsymbol{f}\text{の定義} \\
&=&\left( -\frac{1}{2}\right) \left. \frac{d}{dx^{+}}\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( x\right) \\
\sin \left( x\right)
\end{array}\right) \right\vert _{x=0}\quad \because \text{右側微分可能な関数のスカラー倍} \\
&=&\left( -\frac{1}{2}\right) \left. \left(
\begin{array}{c}
-\sin \left( x\right) \\
\cos \left( x\right)
\end{array}\right) \right\vert _{x=0} \\
&=&\left( -\frac{1}{2}\right) \left(
\begin{array}{c}
-\sin \left( 0\right) \\
\cos \left( 0\right)
\end{array}\right) \\
&=&\left( -\frac{1}{2}\right) \left(
\begin{array}{c}
0 \\
1\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
0 \\
-\frac{1}{2}\end{array}\right)
\end{eqnarray*}であり、点\(\pi \)における左側微分係数は、\begin{eqnarray*}\frac{d\boldsymbol{f}\left( \pi \right) }{dx^{-}} &=&\left. \frac{d}{dx^{-}}\left( -\frac{1}{2}\right) \left(
\begin{array}{c}
\cos \left( x\right) \\
\sin \left( x\right)
\end{array}\right) \right\vert _{x=\pi }\quad \because \boldsymbol{f}\text{の定義} \\
&=&\left( -\frac{1}{2}\right) \left. \frac{d}{dx^{-}}\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( x\right) \\
\sin \left( x\right)
\end{array}\right) \right\vert _{x=\pi }\quad \because \text{左側微分可能な関数のスカラー倍} \\
&=&\left( -\frac{1}{2}\right) \left. \left(
\begin{array}{c}
-\sin \left( x\right) \\
\cos \left( x\right)
\end{array}\right) \right\vert _{x=\pi } \\
&=&\left( -\frac{1}{2}\right) \left(
\begin{array}{c}
-\sin \left( \pi \right) \\
\cos \left( \pi \right)
\end{array}\right) \\
&=&\left( -\frac{1}{2}\right) \left(
\begin{array}{c}
0 \\
-1\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
0 \\
\frac{1}{2}\end{array}\right)
\end{eqnarray*}となります。
演習問題
問題（ベクトル値関数のスカラー倍の微分）
関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( x\right) =-\frac{1}{2}\left(
\begin{array}{c}
\frac{1}{x} \\
\frac{1}{x^{2}}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。導関数を求めてください。
\begin{array}{c}
\frac{1}{x} \\
\frac{1}{x^{2}}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。導関数を求めてください。
問題（ベクトル値関数のスカラー倍の微分）
関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\pi \left(
\begin{array}{c}
\cos \left( \left\vert x\right\vert \right) \\
\sin \left( \left\vert x\right\vert \right)
\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。導関数を求めてください。
\begin{array}{c}
\cos \left( \left\vert x\right\vert \right) \\
\sin \left( \left\vert x\right\vert \right)
\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。導関数を求めてください。
問題（ベクトル値関数のスカラー商の微分）
ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)と非ゼロのスカラー\(c\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)が与えられたとき、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( \frac{\boldsymbol{f}}{c}\right) \left( x\right) =\frac{\boldsymbol{f}\left( x\right) }{c}
\end{equation*}を定める新たなベクトル値関数\(\frac{\boldsymbol{f}}{c}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が定義可能です。関数\(\boldsymbol{f}\)が定義域上の点\(a\in X\)において微分可能ならば、関数\(\frac{\boldsymbol{f}}{c}\)もまた点\(a\)において微分可能であり、微分係数は、\begin{equation*}\frac{d}{dx}\left( \frac{\boldsymbol{f}}{c}\right) \left( a\right) =\frac{1}{c}\frac{d\boldsymbol{f}\left( a\right) }{dx}
\end{equation*}を満たすことを証明してください。
\end{equation*}を定める新たなベクトル値関数\(\frac{\boldsymbol{f}}{c}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が定義可能です。関数\(\boldsymbol{f}\)が定義域上の点\(a\in X\)において微分可能ならば、関数\(\frac{\boldsymbol{f}}{c}\)もまた点\(a\)において微分可能であり、微分係数は、\begin{equation*}\frac{d}{dx}\left( \frac{\boldsymbol{f}}{c}\right) \left( a\right) =\frac{1}{c}\frac{d\boldsymbol{f}\left( a\right) }{dx}
\end{equation*}を満たすことを証明してください。
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