ベクトル値関数のスカラー倍の高階微分

ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)とスカラー\(c\in \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこからベクトル値関数\(c\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)を定義する。\(\boldsymbol{f}\)が定義域の内点\(a\in X^{i}\)において\(n\)階微分可能であるならば、\(c\boldsymbol{f}\)もまた点\(a\)において\(n\)階微分可能であり、そこでの\(n\)階微分係数は、\begin{equation*}\left( c\boldsymbol{f}\right) ^{\left( n\right) }\left( a\right) =c\boldsymbol{f}^{\left( n\right) }\left( a\right)
\end{equation*}を満たす。

ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)とスカラー\(c\in \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこからベクトル値関数\(c\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)を定義します。\(\boldsymbol{f}\)が定義域\(X\)上の任意の点において\(n\)階微分可能であるものとします。すると先の命題より\(c\boldsymbol{f}\)もまた\(X\)上の任意の点において\(n\)階微分可能であるとともに、\(n\)階導関数\(\left( c\boldsymbol{f}\right) ^{\left( n\right) }:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( c\boldsymbol{f}\right) ^{\left( n\right) }\left( x\right) =c\boldsymbol{f}^{\left( n\right) }\left( x\right)
\end{equation*}を定めます。ただし、\(\boldsymbol{f}^{\left( n\right) }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)は\(\boldsymbol{f}\)の\(n\)階導関数です。

ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)とスカラー\(c\in \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこからベクトル値関数\(c\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)を定義します。\(\boldsymbol{f}\)が定義域\(X\)上の任意の点において\(n\)階微分可能であるものとします。すると先の命題より\(c\boldsymbol{f}\)もまた\(X\)上の任意の点において\(n\)階微分可能であるとともに、\(n\)階導関数\(\left( c\boldsymbol{f}\right) ^{\left( n\right) }:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{eqnarray*}\left( c\boldsymbol{f}\right) ^{\left( n\right) }\left( x\right) &=&c\boldsymbol{f}^{\left( n\right) }\left( x\right) \\
&=&c\left(
\begin{array}{c}
f_{1}^{\left( n\right) }\left( x\right) \\
f_{2}^{\left( n\right) }\left( x\right)
\end{array}\right) \\
&=&cf_{1}^{\left( n\right) }\left( x\right) \boldsymbol{i}+cf_{2}^{\left(
n\right) }\left( x\right) \boldsymbol{j}
\end{eqnarray*}を定めます。ただし、\begin{equation*}
\boldsymbol{i}=\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0\end{array}\right) ,\quad \boldsymbol{j}=\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1\end{array}\right)
\end{equation*}です。

ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{3}\)とスカラー\(c\in \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこからベクトル値関数\(c\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{3}\)を定義します。\(\boldsymbol{f}\)が定義域\(X\)上の任意の点において\(n\)階微分可能であるものとします。すると先の命題より\(c\boldsymbol{f}\)もまた\(X\)上の任意の点において\(n\)階微分可能であるとともに、\(n\)階導関数\(\left( c\boldsymbol{f}\right) ^{\left( n\right) }:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{3}\)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{eqnarray*}\left( c\boldsymbol{f}\right) ^{\left( n\right) }\left( x\right) &=&c\boldsymbol{f}^{\left( n\right) }\left( x\right) \\
&=&c\left(
\begin{array}{c}
f_{1}^{\left( n\right) }\left( x\right) \\
f_{2}^{\left( n\right) }\left( x\right) \\
f_{3}^{\left( n\right) }\left( x\right)
\end{array}\right) \\
&=&cf_{1}^{\left( n\right) }\left( x\right) \boldsymbol{i}+cf_{2}^{\left(
n\right) }\left( x\right) \boldsymbol{j}+cf_{3}^{\left( n\right) }\left(
x\right)
\end{eqnarray*}を定めます。ただし、\begin{equation*}
\boldsymbol{i}=\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
0\end{array}\right) ,\quad \boldsymbol{j}=\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1 \\
0\end{array}\right) ,\quad \boldsymbol{k}=\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
1\end{array}\right)
\end{equation*}です。

関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
-x \\
-e^{x}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。関数\(x\)については、\begin{gather*}\frac{d}{dx}x=1 \\
\frac{d^{2}}{dx^{2}}x=0 \\
\frac{d^{3}}{dx^{3}}x=0 \\
\vdots
\end{gather*}である一方で、関数\(e^{x}\)に関しては、任意の\(n\in \mathbb{N} \)について、\begin{equation*}\frac{d^{\left( n\right) }}{dx^{\left( n\right) }}e^{x}=e^{x}
\end{equation*}であるため、\(\boldsymbol{f}\)の\(n\)階導関数\(\boldsymbol{f}^{\left( n\right) }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{f}^{\left( n\right) }\left( x\right) &=&\frac{d^{n}}{dx^{n}}\left(
\begin{array}{c}
-x \\
-e^{x}\end{array}\right) \quad \because \boldsymbol{f}\text{の定義} \\
&=&-\frac{d^{n}}{dx^{n}}\left(
\begin{array}{c}
x \\
e^{x}\end{array}\right) \quad \because \text{スカラー倍の法則} \\
&=&\left\{
\begin{array}{cc}
-\left(
\begin{array}{c}
1 \\
e^{x}\end{array}\right) & \left( if\ n=1\right) \\
-\left(
\begin{array}{c}
0 \\
e^{x}\end{array}\right) & \left( if\ n\geq 2\right)
\end{array}\right. \\
&=&\left\{
\begin{array}{cc}
\left(
\begin{array}{c}
-1 \\
-e^{x}\end{array}\right) & \left( if\ n=1\right) \\
\left(
\begin{array}{c}
0 \\
-e^{x}\end{array}\right) & \left( if\ n\geq 2\right)
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}を定めます。

関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
-\sin \left( x\right) \\
-\cos \left( x\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。正弦関数に関しては、\begin{eqnarray*}
\frac{d}{dx}\sin \left( x\right) &=&\cos \left( x\right) \\
\frac{d^{2}}{dx^{2}}\sin \left( x\right) &=&\frac{d}{dx}\cos \left(
x\right) =-\sin \left( x\right) \\
\frac{d^{3}}{dx^{3}}\sin \left( x\right) &=&\frac{d}{dx}\left[ -\sin \left(
x\right) \right] =-\cos \left( x\right) \\
\frac{d^{4}}{dx^{4}}\sin \left( x\right) &=&\frac{d}{dx}\left[ -\cos \left(
x\right) \right] =\sin \left( x\right) \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}となるため、\(m\in \mathbb{Z} _{+}\)について、\begin{equation}\frac{d^{n}}{dx^{n}}\sin \left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\sin \left( x\right) & \left( if\ n=4m\right) \\
\cos \left( x\right) & \left( if\ n=4m+1\right) \\
-\sin \left( x\right) & \left( if\ n=4m+2\right) \\
-\cos \left( x\right) & \left( if\ n=4m+3\right)
\end{array}\right. \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。余弦関数に関しては、\begin{eqnarray*}
\frac{d}{dx}\cos \left( x\right) &=&-\sin \left( x\right) \\
\frac{d^{2}}{dx^{2}}\cos \left( x\right) &=&\frac{d}{dx}\left[ -\sin \left(
x\right) \right] =-\cos \left( x\right) \\
\frac{d^{3}}{dx^{3}}\cos \left( x\right) &=&\frac{d}{dx}\left[ -\cos \left(
x\right) \right] =\sin \left( x\right) \\
\frac{d^{4}}{dx^{4}}\cos \left( x\right) &=&\frac{d}{dx}\sin \left(
x\right) =\cos \left( x\right) \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}となるため、\(m\in \mathbb{Z} _{+}\)について、\begin{equation}\frac{d^{n}}{dx^{n}}\cos \left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\cos \left( x\right) & \left( if\ n=4m\right) \\
-\sin \left( x\right) & \left( if\ n=4m+1\right) \\
-\cos \left( x\right) & \left( if\ n=4m+2\right) \\
\sin \left( x\right) & \left( if\ n=4m+3\right)
\end{array}\right. \quad \cdots (2)
\end{equation}を得ます。以上を踏まえると、\(\boldsymbol{f}\)の\(n\)階導関数\(\boldsymbol{f}^{\left( n\right) }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{f}^{\left( n\right) }\left( x\right) &=&\frac{d^{n}}{dx^{n}}\left(
\begin{array}{c}
-\sin \left( x\right) \\
-\cos \left( x\right)
\end{array}\right) \quad \because \boldsymbol{f}\text{の定義} \\
&=&-\frac{d^{n}}{dx^{n}}\left(
\begin{array}{c}
\sin \left( x\right) \\
\cos \left( x\right)
\end{array}\right) \quad \because \text{スカラー倍の法則} \\
&=&\left\{
\begin{array}{cl}
-\left(
\begin{array}{c}
\sin \left( x\right) \\
\cos \left( x\right)
\end{array}\right) & \left( if\ n=4m\right) \\
-\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( x\right) \\
-\sin \left( x\right)
\end{array}\right) & \left( if\ n=4m+1\right) \\
-\left(
\begin{array}{c}
-\sin \left( x\right) \\
-\cos \left( x\right)
\end{array}\right) & \left( if\ n=4m+2\right) \\
-\left(
\begin{array}{c}
-\cos \left( x\right) \\
\sin \left( x\right)
\end{array}\right) & \left( if\ n=4m+3\right)
\end{array}\right. \\
&=&\left\{
\begin{array}{cl}
\left(
\begin{array}{c}
-\sin \left( x\right) \\
-\cos \left( x\right)
\end{array}\right) & \left( if\ n=4m\right) \\
\left(
\begin{array}{c}
-\cos \left( x\right) \\
\sin \left( x\right)
\end{array}\right) & \left( if\ n=4m+1\right) \\
\left(
\begin{array}{c}
\sin \left( x\right) \\
\cos \left( x\right)
\end{array}\right) & \left( if\ n=4m+2\right) \\
\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( x\right) \\
-\sin \left( x\right)
\end{array}\right) & \left( if\ n=4m+3\right)
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}を定めます。

関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{3}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
\sin \left( x\right) \\
x^{2} \\
e^{x}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\begin{equation*}
\frac{d^{2}}{dx^{2}}5\boldsymbol{f}\left( x\right)
\end{equation*}を求めてください。

関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{3}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
x^{3} \\
\ln \left( 1+t^{2}\right) \\
\arctan \left( x\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\begin{equation*}
\frac{d^{3}}{dx^{3}}\left[ -2\boldsymbol{f}\left( x\right) \right] \end{equation*}を求めてください。