球面座標系（空間における極座標系）のもとでの曲線の性質

球面座標系のもとでの単位ベクトル

空間\(\mathbb{R} ^{3}\)上に存在する点\(P\)の直交座標が\(\boldsymbol{p}\in \mathbb{R} ^{3}\)であり、球面座標が\(\left( \rho ,\theta ,\phi \right) \in \lbrack 0,+\infty )\times \lbrack0,2\pi )\times \left[ 0,\pi \right] \)である場合、両者の間には以下の関係\begin{equation*}\boldsymbol{p}=\left(
\begin{array}{c}
\rho \sin \left( \phi \right) \cos \left( \theta \right) \\
\rho \sin \left( \phi \right) \sin \left( \theta \right) \\
\rho \cos \left( \phi \right)
\end{array}\right)
\end{equation*}が成り立ちます（下図）。

ただし、動径\(\rho \)は線分\(OP\)の長さに相当するため、\begin{equation*}\left\Vert \boldsymbol{p}\right\Vert =\rho
\end{equation*}が成り立ちます。

点\(P\)の位置ベクトル\(\boldsymbol{p}\)と同一方向にある単位ベクトルを、\begin{equation*}\boldsymbol{e}_{\rho }\left( \theta ,\phi \right) =\left(
\begin{array}{c}
\sin \left( \phi \right) \cos \left( \theta \right) \\
\sin \left( \phi \right) \sin \left( \theta \right) \\
\cos \left( \phi \right)
\end{array}\right)
\end{equation*}で表記し、これを動径方向の単位ベクトル（radial unit vector）と呼びます。これを用いると、\begin{eqnarray*}
\boldsymbol{p} &=&\left(
\begin{array}{c}
\rho \sin \left( \phi \right) \cos \left( \theta \right) \\
\rho \sin \left( \phi \right) \sin \left( \theta \right) \\
\rho \cos \left( \phi \right)
\end{array}\right) \\
&=&\rho \left(
\begin{array}{c}
\sin \left( \phi \right) \cos \left( \theta \right) \\
\sin \left( \phi \right) \sin \left( \theta \right) \\
\cos \left( \phi \right)
\end{array}\right) \\
&=&\rho \boldsymbol{e}_{\rho }\left( \theta ,\phi \right)
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\boldsymbol{p}=\rho \boldsymbol{e}_{\rho }\left( \theta ,\phi \right)
\end{equation*}と表せます。つまり、原点から点\(P\)へ至るためには\(\boldsymbol{e}_{\rho }\left( \theta ,\phi\right) \)方向に動径\(\rho \)分だけ進む必要があります。\(\boldsymbol{e}_{\rho }\left( \theta ,\phi \right) \)は点\(P\)が原点から遠ざかる方向を表します。

動径方向の単位ベクトル\(\boldsymbol{e}_{\rho }\left( \theta ,\phi \right) \)はいわば原点から点\(P\)への視線の向きです。\(\boldsymbol{e}_{\rho }\left( \theta ,\phi \right) \)は\(\theta \)と\(\phi \)の関数であるため、方位\(\theta \)や見上げる角度\(\phi \)を変えれば視線の向き\(\boldsymbol{e}_{\rho }\left( \theta ,\phi\right) \)もまた変わります。そこで、見上げる角度\(\phi \)を変えずに、方位\(\theta \)だけをわずかに変化させたとき、視線の先がどちらに動くかを考えます。具体的には、\begin{eqnarray*}\frac{\partial \boldsymbol{e}_{\rho }\left( \theta ,\phi \right) }{\partial
\theta } &=&\frac{\partial }{\partial \theta }\left(
\begin{array}{c}
\sin \left( \phi \right) \cos \left( \theta \right) \\
\sin \left( \phi \right) \sin \left( \theta \right) \\
\cos \left( \phi \right)
\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
-\sin \left( \phi \right) \sin \left( \theta \right) \\
\sin \left( \phi \right) \cos \left( \theta \right) \\
0\end{array}\right) \\
&=&\sin \left( \phi \right) \left(
\begin{array}{c}
-\sin \left( \theta \right) \\
\cos \left( \theta \right) \\
0\end{array}\right)
\end{eqnarray*}となります。これを単位ベクトル化することにより得られるベクトルは、\begin{eqnarray*}
\frac{\frac{\partial \boldsymbol{e}_{\rho }\left( \theta ,\phi \right) }{\partial \theta }}{\left\Vert \frac{\partial \boldsymbol{e}_{\rho }\left(
\theta ,\phi \right) }{\partial \theta }\right\Vert } &=&\frac{\sin \left(
\phi \right) }{\left\vert \sin \left( \phi \right) \right\vert }\left(
\begin{array}{c}
-\sin \left( \theta \right) \\
\cos \left( \theta \right) \\
0\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
-\sin \left( \theta \right) \\
\cos \left( \theta \right) \\
0\end{array}\right) \quad \because \phi \in \left[ 0,\pi \right] \end{eqnarray*}です。これを方位角方向の単位ベクトル（transverse unit vector）と呼び、\begin{equation*}
\boldsymbol{e}_{\theta }\left( \theta \right) =\left(
\begin{array}{c}
-\sin \left( \theta \right) \\
\cos \left( \theta \right) \\
0\end{array}\right)
\end{equation*}で表記します。\(\boldsymbol{e}_{\theta }\left( \theta \right) \)は点\(P\)が\(z\)軸の周りをまわる方向を表します。\(\boldsymbol{e}_{\theta}\left( \theta \right) \)の\(z\)成分が\(0\)であることは、どんな高度にいても、\(\theta \)を動かした時の進む向きは常に水平な回転であることを意味します。

繰り返しになりますが、動径方向の単位ベクトル\(\boldsymbol{e}_{\rho }\left( \theta ,\phi\right) \)はいわば原点から点\(P\)への視線の向きです。\(\boldsymbol{e}_{\rho }\left( \theta ,\phi \right) \)は\(\theta \)と\(\phi \)の関数であるため、方位\(\theta \)や見上げる角度\(\phi \)を変えれば視線の向き\(\boldsymbol{e}_{\rho}\left( \theta ,\phi \right) \)もまた変わります。そこで、方位\(\theta \)を変えずに、見上げる角度\(\phi \)だけをわずかに変化させたとき、視線の先がどちらに動くかを考えます。具体的には、\begin{eqnarray*}\frac{\partial \boldsymbol{e}_{\rho }\left( \theta ,\phi \right) }{\partial
\phi } &=&\frac{\partial }{\partial \phi }\left(
\begin{array}{c}
\sin \left( \phi \right) \cos \left( \theta \right) \\
\sin \left( \phi \right) \sin \left( \theta \right) \\
\cos \left( \phi \right)
\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( \phi \right) \cos \left( \theta \right) \\
\cos \left( \phi \right) \sin \left( \theta \right) \\
-\sin \left( \phi \right)
\end{array}\right)
\end{eqnarray*}となります。このベクトルの大きさは、\begin{eqnarray*}
\left\Vert \frac{\partial \boldsymbol{e}_{\rho }\left( \theta ,\phi \right)
}{\partial \phi }\right\Vert &=&\sqrt{\cos ^{2}\left( \phi \right) \cos
^{2}\left( \theta \right) +\cos ^{2}\left( \phi \right) \sin ^{2}\left(
\theta \right) +\sin ^{2}\left( \phi \right) } \\
&=&\sqrt{\cos ^{2}\left( \phi \right) +\sin ^{2}\left( \phi \right) }\quad
\because \cos ^{2}\left( \theta \right) +\sin ^{2}\left( \theta \right) =1 \\
&=&\sqrt{1}\quad \because \cos ^{2}\left( \phi \right) +\sin ^{2}\left( \phi
\right) =1 \\
&=&1
\end{eqnarray*}であるため、これは単位ベクトルです。そこで、極角方向の単位ベクトル（polar unit vector）と呼び、\begin{equation*}
\boldsymbol{e}_{\phi }\left( \theta ,\phi \right) =\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( \phi \right) \cos \left( \theta \right) \\
\cos \left( \phi \right) \sin \left( \theta \right) \\
-\sin \left( \phi \right)
\end{array}\right)
\end{equation*}で表記します。\(\boldsymbol{e}_{\phi }\left( \theta ,\phi \right) \)は点\(P\)がお辞儀するように高度を変える方向を表します。\(\boldsymbol{e}_{\phi }\left( \theta ,\phi \right) \)の\(z\)成分\(-\sin \left( \phi \right) \)は\(\phi \)に関する増加関数ですが、以上の事実は、\(\phi \)を増やすと原点から点\(P\)へ向かう視線が下がることと整合的です。

\(\boldsymbol{e}_{\rho }\left( \theta ,\phi \right) \)は点\(P\)が中心から離れる方向であり、それ以外の2つ\(\boldsymbol{e}_{\theta }\left( \theta \right) ,\boldsymbol{e}_{\phi }\left( \theta ,\phi \right) \)はどちらも、中心からの距離は変えずに球面上を動く方向です。球の半径と接面は垂直であるため、\(\boldsymbol{e}_{\rho }\left( \theta,\phi \right) \)は\(\boldsymbol{e}_{\theta }\left( \theta \right) \)と\(\boldsymbol{e}_{\phi }\left( \theta ,\phi \right) \)の双方と直交します。実際、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{e}_{\rho }\left( \theta ,\phi \right) \cdot \boldsymbol{e}_{\theta }\left( \theta \right) &=&\left(
\begin{array}{c}
\sin \left( \phi \right) \cos \left( \theta \right) \\
\sin \left( \phi \right) \sin \left( \theta \right) \\
\cos \left( \phi \right)
\end{array}\right) \cdot \left(
\begin{array}{c}
-\sin \left( \theta \right) \\
\cos \left( \theta \right) \\
0\end{array}\right) \\
&=&-\sin \left( \phi \right) \sin \left( \theta \right) \cos \left( \theta
\right) +\sin \left( \phi \right) \sin \left( \theta \right) \cos \left(
\theta \right) +0 \\
&=&0
\end{eqnarray*}が成り立ち、\begin{eqnarray*}
\boldsymbol{e}_{\rho }\left( \theta ,\phi \right) \cdot \boldsymbol{e}_{\phi
}\left( \theta ,\phi \right) &=&\left(
\begin{array}{c}
\sin \left( \phi \right) \cos \left( \theta \right) \\
\sin \left( \phi \right) \sin \left( \theta \right) \\
\cos \left( \phi \right)
\end{array}\right) \cdot \left(
\begin{array}{c}
\cos \left( \phi \right) \cos \left( \theta \right) \\
\cos \left( \phi \right) \sin \left( \theta \right) \\
-\sin \left( \phi \right)
\end{array}\right) \\
&=&\sin \left( \phi \right) \cos \left( \phi \right) \cos ^{2}\left( \theta
\right) +\sin \left( \phi \right) \cos \left( \phi \right) \sin ^{2}\left(
\theta \right) -\cos \left( \phi \right) \sin \left( \phi \right) \\
&=&\sin \left( \phi \right) \cos \left( \phi \right) -\cos \left( \phi
\right) \sin \left( \phi \right) \\
&=&0
\end{eqnarray*}が成り立ちます。残りの2つについては、\(\boldsymbol{e}_{\theta }\left( \theta \right) \)は横の回転であり、\(\boldsymbol{e}_{\phi}\left( \theta ,\phi \right) \)は縦の回転ですが、地球の緯線と経線が直角に交わっているように、横の回転と縦の回転も必ず直交します。実際、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{e}_{\theta }\left( \theta \right) \cdot \boldsymbol{e}_{\phi
}\left( \theta ,\phi \right) &=&\left(
\begin{array}{c}
-\sin \left( \theta \right) \\
\cos \left( \theta \right) \\
0\end{array}\right) \cdot \left(
\begin{array}{c}
\cos \left( \phi \right) \cos \left( \theta \right) \\
\cos \left( \phi \right) \sin \left( \theta \right) \\
-\sin \left( \phi \right)
\end{array}\right) \\
&=&-\sin \left( \theta \right) \cos \left( \phi \right) \cos \left( \theta
\right) +\cos \left( \theta \right) \cos \left( \phi \right) \sin \left(
\theta \right) +0 \\
&=&0
\end{eqnarray*}が成り立ちます。

球面座標系のもとでの曲線の速度ベクトル（接ベクトル）

空間\(\mathbb{R} ^{3}\)上に存在する点\(P\)の直交座標が\(\boldsymbol{p}\in \mathbb{R} ^{3}\)であり、球面座標が\(\left( \rho ,\theta ,\phi \right) \in \lbrack 0,+\infty )\times \lbrack0,2\pi )\times \left[ 0,\pi \right] \)である場合、両者の間には以下の関係\begin{equation*}\boldsymbol{p}=\left(
\begin{array}{c}
\rho \sin \left( \phi \right) \cos \left( \theta \right) \\
\rho \sin \left( \phi \right) \sin \left( \theta \right) \\
\rho \cos \left( \phi \right)
\end{array}\right)
\end{equation*}が成り立ちます。さらに、球面座標\(\left( \rho ,\theta,\phi \right) \)の値はパラメータ\(t\in T\subset \mathbb{R} \)の値に依存して変化するものとし、その関係がベクトル値関数\begin{equation*}\left(
\begin{array}{c}
\rho \\
\theta \\
\phi
\end{array}\right) :\mathbb{R} \supset T\rightarrow \mathbb{R} ^{3}
\end{equation*}として表現されているものとします。つまり、パラメータの値が\(t\in T\)である時点における球面座標の値は、\begin{equation*}\left(
\begin{array}{c}
\rho \\
\theta \\
\phi
\end{array}\right) \left( t\right) =\left(
\begin{array}{c}
\rho \left( t\right) \\
\theta \left( t\right) \\
\phi \left( t\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}であり、さらにそのときの点\(P\)の直交座標は、\begin{equation*}\boldsymbol{p}\left( t\right) =\left(
\begin{array}{c}
\rho \left( t\right) \sin \left( \phi \left( t\right) \right) \cos \left(
\theta \left( t\right) \right) \\
\rho \left( t\right) \sin \left( \phi \left( t\right) \right) \sin \left(
\theta \left( t\right) \right) \\
\rho \left( t\right) \cos \left( \phi \left( t\right) \right)
\end{array}\right)
\end{equation*}です。このような事情を踏まえると、それぞれの\(t\in T\)に対して、そのときの点\(P\)の直交座標\(\boldsymbol{p}\left( t\right) \in \mathbb{R} ^{3}\)を特定するベクトル値関数\begin{equation*}\boldsymbol{p}:\mathbb{R} \supset T\rightarrow \mathbb{R} ^{3}
\end{equation*}が定義可能です。このベクトル値関数から定義される空間\(\mathbb{R} ^{3}\)上の曲線は、\begin{equation*}C\left( \boldsymbol{p}\right) =\left\{ \boldsymbol{p}\left( t\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ t\in T\right\}
\end{equation*}です。

パラメータの値が\(t\in T\)である時点における曲線\(C\left( \boldsymbol{p}\right) \)の速度ベクトル（接ベクトル）は以下のように定まります。

パラメータの値が\(t\)である時点における曲線\(C\left( \boldsymbol{p}\right) \)の速度ベクトルが、\begin{equation*}\boldsymbol{p}^{\prime }\left( t\right) =\rho ^{\prime }\left( t\right)
\boldsymbol{e}_{\rho }\left( t\right) +\rho \left( t\right) \sin \left( \phi
\left( t\right) \right) \theta ^{\prime }\left( t\right) \boldsymbol{e}_{\theta }\left( t\right) +\rho \left( t\right) \phi ^{\prime }\left(
t\right) \boldsymbol{e}_{\phi }\left( t\right)
\end{equation*}として定まることが明らかになりました。そこで、第1項のスカラー\(\rho ^{\prime }\left( t\right) \)を速度ベクトル\(\boldsymbol{p}^{\prime }\left(t\right) \)の動径成分（radialcomponent）と呼び、第2項のスカラー\(\rho \left( t\right) \sin \left( \phi\left( t\right) \right) \theta ^{\prime }\left( t\right) \)を速度ベクトル\(\boldsymbol{p}^{\prime }\left(t\right) \)の方位角成分（transverse component）と呼び、第3項のスカラー\(\rho \left( t\right) \phi ^{\prime}\left( t\right) \)を速度ベクトル\(\boldsymbol{p}^{\prime }\left( t\right) \)の極角成分（polar component）と呼びます。

速度ベクトル\(\boldsymbol{p}^{\prime}\left( t\right) \)の動径成分\(\rho ^{\prime}\left( t\right) \)は、時点\(t\)において点\(\boldsymbol{p}\left( t\right) \)が原点から遠ざかる勢いを表します。つまり、\(\rho ^{\prime }\left( t\right) >0\)の場合には点\(\boldsymbol{p}\left( t\right) \)は原点から遠ざかり、\(\rho ^{\prime }\left(t\right) \)が大きいほど点\(\boldsymbol{p}\left( t\right) \)は勢いよく遠ざかっていきます。逆に、\(\rho ^{\prime }\left( t\right) <0\)の場合には点\(\boldsymbol{p}\left( t\right) \)は原点へ近づき、\(\rho^{\prime }\left( t\right) \)の値が小さいほど点\(\boldsymbol{p}\left( t\right) \)は勢いよく近づいていきます。

速度ベクトル\(\boldsymbol{p}^{\prime}\left( t\right) \)の方位角成分\(\rho\left( t\right) \sin \left( \phi \left( t\right) \right) \theta ^{\prime}\left( t\right) \)は、時点\(t\)において点\(\boldsymbol{p}\left( t\right) \)が\(z\)軸の周りを回転する勢いを表しています。つまり、\(\rho \left( t\right) \sin \left( \phi \left(t\right) \right) \theta ^{\prime }\left( t\right) >0\)の場合には点\(\boldsymbol{p}\left( t\right) \)は\(z\)軸の周りを反時計回りに回転し、\(\rho \left( t\right) \sin \left(\phi \left( t\right) \right) \theta ^{\prime }\left( t\right) \)が大きいほど点\(\boldsymbol{p}\left(t\right) \)は勢いよく回っています。逆に、\(\rho \left(t\right) \sin \left( \phi \left( t\right) \right) \theta ^{\prime }\left( t\right) <0\)の場合には点\(\boldsymbol{p}\left( t\right) \)は\(z\)軸の周りを時計回りに回転し、\(\rho \left(t\right) \sin \left( \phi \left( t\right) \right) \theta ^{\prime }\left( t\right) \)の値が小さいほど点\(\boldsymbol{p}\left( t\right) \)は勢いよく回っています。

速度ベクトル\(\boldsymbol{p}^{\prime}\left( t\right) \)の極角成分\(\rho \left(t\right) \phi ^{\prime }\left( t\right) \)は、時点\(t\)において点\(\boldsymbol{p}\left( t\right) \)が縦方向にお辞儀する勢いを表しています。つまり、\(\rho \left( t\right) \phi^{\prime }\left( t\right) >0\)の場合には点\(\boldsymbol{p}\left( t\right) \)は頭を下げるお辞儀方向に下降し、\(\rho \left( t\right) \phi ^{\prime }\left( t\right) \)の値が大きいほど点\(\boldsymbol{p}\left( t\right) \)は勢いよく下降します。逆に、\(\rho \left( t\right) \phi ^{\prime }\left( t\right) <0\)の場合には点\(\boldsymbol{p}\left( t\right) \)は頭を上げるお辞儀方向に上昇し、\(\rho \left( t\right) \phi^{\prime }\left( t\right) \)の値が小さいほど点\(\boldsymbol{p}\left( t\right) \)は勢いよく上昇します。

球面座標のもとでの曲線の速さ

速さは以下のように導かれます。

球面座標のもとでの曲線の加速度ベクトル

加速度ベクトルは以下のように導かれます。

球面座標のもとでの曲線の弧長

曲線の弧長は以下のように導かれます。

球面座標系のもとでの曲線の曲率

曲線の曲率は以下のように導かれます。

演習問題