曲線の接ベクトル
ベクトル値関数\begin{equation*}
\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が与えられているものとします。\(\boldsymbol{f}\)の値域、すなわち\(\boldsymbol{f}\)から定義される曲線は、\begin{equation*}C\left( \boldsymbol{f}\right) =\left\{ \boldsymbol{f}\left( x\right) \in \mathbb{R} ^{m}\ |\ x\in X\right\}
\end{equation*}です。
ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)が定義域の内点\(a\in X^{i}\)において微分可能である場合には、点\(a\)の周辺の任意の点\(x\)において、もとのベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)を、変数\(x\)に関する1次のベクトル値関数\begin{equation*}P_{1,a}\left( a\right) =\boldsymbol{f}\left( a\right) +\left( x-a\right)
\boldsymbol{f}^{\prime }\left( a\right)
\end{equation*}で近似できます。つまり、点\(a\)に限りなく近い任意の点\(x\)において以下の近似式\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( x\right) \approx P_{1,a}\left( x\right)
\end{equation*}が成り立ちます。近似多項式\(P_{1,a}\)の値域、すなわち\(P_{1,a}\)から定義される曲線は、\begin{eqnarray*}C\left( P_{1,a}\right) &=&\left\{ P_{1,a}\left( x\right) \in \mathbb{R} ^{m}\ |\ x\in X\right\} \\
&=&\left\{ \boldsymbol{f}\left( a\right) +\left( x-a\right) \boldsymbol{f}^{\prime }\left( a\right) \in \mathbb{R} ^{m}\ |\ x\in X\right\}
\end{eqnarray*}ですが、これは点\(\boldsymbol{f}\left( a\right) \)を通過し、方向ベクトルが\(\boldsymbol{f}^{\prime }\left(a\right) \)であるような空間\(\mathbb{R} ^{m}\)上の直線です。
ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)から定義される曲線\(C\left( \boldsymbol{f}\right) \)と、点\(a\in X^{i}\)に関する近似多項式\(P_{1,a}\)から定義される直線\(C\left( P_{1,a}\right) \)はともに点\(\boldsymbol{f}\left( a\right) \)を通過します。したがって両者は点\(\boldsymbol{f}\left( a\right) \)において交わります。さらに、点\(a\)に限りなく近い任意の点\(x\)において以下の近似式\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( x\right) \approx P_{1,a}\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つため、点\(\boldsymbol{f}\left( a\right) \)の周辺において曲線\(C\left( \boldsymbol{f}\right) \)と直線\(C\left( P_{1,a}\right) \)は近似的に等しくなります。このような事情を踏まえた上で、ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)が点\(a\)において微分可能である場合には、近似多項式\(P_{1,a}\)から定義される直線\begin{equation*}C\left( P_{1,a}\right) =\left\{ \boldsymbol{f}\left( a\right) +\left(
x-a\right) \boldsymbol{f}^{\prime }\left( a\right) \in \mathbb{R} ^{m}\ |\ x\in X\right\}
\end{equation*}のことを、ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)から定義される曲線\(C\left( \boldsymbol{f}\right) \)の点\(\boldsymbol{f}\left( a\right) \)における接線（tangent line）と呼びます。その上で、この接線の方向ベクトル\(\boldsymbol{f}^{\prime }\left( a\right) \)を曲線\(C\left( \boldsymbol{f}\right) \)の点\(\boldsymbol{f}\left( a\right) \)における接ベクトル（tangent vector）と呼びます。接ベクトル\(\boldsymbol{f}^{\prime }\left( a\right) \)は、変数\(x\)の値が\(a\)である瞬間における\(\boldsymbol{f}\left( x\right) \)の値の瞬間変化率を表します。
曲線\(C\left( \boldsymbol{f}\right) \)の点\(\boldsymbol{f}\left( a\right) \)における接線\(C\left(P_{1,a}\right) \)は位置ベクトルが\(\boldsymbol{f}\left( a\right) \)であり方向ベクトルが\(\boldsymbol{f}^{\prime}\left( a\right) \)であるような空間\(\mathbb{R} ^{m}\)上の直線であるため、これを媒介変数表示すると、\begin{equation*}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{f}\left( a\right) +t\boldsymbol{f}^{\prime
}\left( a\right) \quad \left( t\in \mathbb{R} \right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{c}
x_{1}=f_{1}\left( a\right) +tf_{1}^{\prime }\left( a\right) \\
\vdots \\
x_{n}=f_{n}\left( a\right) +tf_{n}^{\prime }\left( a\right)
\end{array}\right. \quad \left( t\in \mathbb{R} \right)
\end{equation*}となります。
\end{equation*}として表現されているものとします。つまり、時点\(t\in \mathbb{R} _{+}\)における点の位置が、\begin{equation*}\boldsymbol{r}\left( t\right) =\left(
\begin{array}{c}
r_{1}\left( t\right) \\
r_{2}\left( t\right)
\end{array}\right) =r_{1}\left( t\right) \boldsymbol{i}+r_{2}\left( t\right)
\boldsymbol{j}
\end{equation*}であるということです。ただし、\begin{equation*}
\boldsymbol{i}=\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0\end{array}\right) ,\quad \boldsymbol{j}=\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1\end{array}\right)
\end{equation*}です。この点の軌跡全体は曲線\begin{equation*}
C\left( \boldsymbol{r}\right) =\left\{ \boldsymbol{r}\left( t\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ t\in \mathbb{R} _{+}\right\}
\end{equation*}として表現されます。曲線\(C\left( \boldsymbol{r}\right) \)の時点\(t\)における接線を媒介変数表示すると、\begin{equation*}x=\boldsymbol{r}\left( t\right) +s\boldsymbol{r}^{\prime }\left( t\right)
\quad \left( s\in \mathbb{R} \right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{c}
x_{1}=r_{1}\left( t\right) +sr_{1}^{\prime }\left( t\right) \\
x_{2}=r_{2}\left( t\right) +sr_{2}^{\prime }\left( t\right)
\end{array}\right. \quad \left( s\in \mathbb{R} \right)
\end{equation*}となりますが、これは位置ベクトルが\(\boldsymbol{r}\left( t\right) \)であり方向ベクトル\(\boldsymbol{r}^{\prime }\left( t\right) \)であるような平面\(\mathbb{R} ^{2}\)上の直線です。曲線\(C\left( \boldsymbol{r}\right) \)の時点\(t\)における接ベクトルは、\begin{equation*}\boldsymbol{r}^{\prime }\left( t\right) =\left(
\begin{array}{c}
r_{1}^{\prime }\left( t\right) \\
r_{2}^{\prime }\left( t\right)
\end{array}\right) =r_{1}^{\prime }\left( t\right) \boldsymbol{i}+r_{2}^{\prime }\left(
t\right) \boldsymbol{j}
\end{equation*}ですが、これを時点\(t\)における速度ベクトル（velocity vector）と呼びます。ベクトルは向きと大きさを持ちますが、速度ベクトル\(\boldsymbol{r}^{\prime }\left( t\right) \)の向きは時点\(t\)において点が進もうとしている方向を表します。また、速度ベクトル\(^{\prime }\left( t\right) \)の大きさ\begin{equation*}\left\Vert \boldsymbol{r}^{\prime }\left( t\right) \right\Vert =\sqrt{\left[
r_{1}^{\prime }\left( t\right) \right] ^{2}+\left[ r_{2}^{\prime }\left(
t\right) \right] ^{2}}
\end{equation*}は時点\(t\)における点の移動の速さ（speed）を表します。
\end{equation*}として表現されているものとします。つまり、時点\(t\in \mathbb{R} _{+}\)における点の位置が、\begin{equation*}\boldsymbol{r}\left( t\right) =\left(
\begin{array}{c}
r_{1}\left( t\right) \\
r_{2}\left( t\right) \\
r_{3}\left( t\right)
\end{array}\right) =r_{1}\left( t\right) \boldsymbol{i}+r_{2}\left( t\right)
\boldsymbol{j}+r_{3}\left( t\right) \boldsymbol{k}
\end{equation*}であるということです。ただし、\begin{equation*}
\boldsymbol{i}=\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
0\end{array}\right) ,\quad \boldsymbol{j}=\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1 \\
0\end{array}\right) ,\quad \boldsymbol{k}=\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
1\end{array}\right)
\end{equation*}です。この点の軌跡全体は曲線\begin{equation*}
C\left( \boldsymbol{r}\right) =\left\{ \boldsymbol{r}\left( t\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ t\in \mathbb{R} _{+}\right\}
\end{equation*}として表現されます。時点\(t\)における曲線\(C\left( \boldsymbol{r}\right) \)の接線を媒介変数表示すると、\begin{equation*}x=\boldsymbol{r}\left( t\right) +s\boldsymbol{r}^{\prime }\left( t\right)
\quad \left( s\in \mathbb{R} \right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{c}
x_{1}=r_{1}\left( t\right) +sr_{1}^{\prime }\left( t\right) \\
x_{2}=r_{2}\left( t\right) +sr_{2}^{\prime }\left( t\right) \\
x_{3}=r_{3}\left( t\right) +sr_{3}^{\prime }\left( t\right)
\end{array}\right. \quad \left( s\in \mathbb{R} \right)
\end{equation*}となりますが、これは位置ベクトルが\(\boldsymbol{r}\left( t\right) \)であり方向ベクトル\(\boldsymbol{r}^{\prime }\left( t\right) \)であるような空間\(\mathbb{R} ^{3}\)上の直線です。曲線\(C\left( \boldsymbol{r}\right) \)の時点\(t\)における接ベクトルは、\begin{equation*}\boldsymbol{r}^{\prime }\left( t\right) =\left(
\begin{array}{c}
r_{1}^{\prime }\left( t\right) \\
r_{2}^{\prime }\left( t\right) \\
r_{3}^{\prime }\left( t\right)
\end{array}\right) =r_{1}^{\prime }\left( t\right) \boldsymbol{i}+r_{2}^{\prime }\left(
t\right) \boldsymbol{j}+r_{3}^{\prime }\left( t\right) \boldsymbol{k}
\end{equation*}ですが、これを時点\(t\)における速度ベクトル（velocity vector）と呼びます。ベクトルは向きと大きさを持ちますが、速度ベクトル\(\boldsymbol{r}^{\prime }\left( t\right) \)の向きは時点\(t\)において点が進もうとしている方向を表します。また、速度ベクトル\(\boldsymbol{r}^{\prime}\left( t\right) \)の大きさ\begin{equation*}\left\Vert \boldsymbol{r}^{\prime }\left( t\right) \right\Vert =\sqrt{\left[
r_{1}^{\prime }\left( t\right) \right] ^{2}+\left[ r_{2}^{\prime }\left(
t\right) \right] ^{2}+\left[ r_{3}^{\prime }\left( t\right) \right] ^{2}}
\end{equation*}は時点\(t\)における点の移動の速さ（speed）を表します。
曲線の単位接ベクトル
ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が定義域の内点\(a\in X^{i}\)において微分可能である場合、そこでの微分係数\begin{equation*}\boldsymbol{f}^{\prime }\left( a\right) =\left(
\begin{array}{c}
f_{1}^{\prime }\left( a\right) \\
\vdots \\
f_{n}^{\prime }\left( a\right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}は点\(\boldsymbol{f}\left( a\right) \)において曲線\(C\left( \boldsymbol{f}\right) \)と接する直線の方向ベクトルであるため、これを曲線\(C\left( \boldsymbol{f}\right) \)の点\(\boldsymbol{f}\left( a\right) \)における接ベクトルと呼びました。さらにこれは、変数\(x\)の値が\(a\)である瞬間における\(\boldsymbol{f}\left( x\right) \)の値の瞬間変化率を表します。
接ベクトル\(\boldsymbol{f}^{\prime }\left(a\right) \)はベクトルであるため、曲線\(C\left( \boldsymbol{f}\right) \)の点\(\boldsymbol{f}\left( a\right) \)における向きと大きさ、すなわち曲線\(C\left( \boldsymbol{f}\right) \)の接線の点\(\boldsymbol{f}\left( a\right) \)における向きと大きさに関する情報をともに含んでいます。そこで、曲線\(C\left( \boldsymbol{f}\right) \)が点\(\boldsymbol{f}\left( a\right) \)において向いている方向だけを抽出したい場合には、ベクトル\(\boldsymbol{f}^{\prime }\left( a\right) \)の大きさを\(1\)に正規化して、\begin{equation*}\boldsymbol{T}\left( a\right) =\frac{\boldsymbol{f}^{\prime }\left( a\right)
}{\left\Vert \boldsymbol{f}^{\prime }\left( a\right) \right\Vert }
\end{equation*}とします。これは\(\boldsymbol{f}^{\prime }\left( a\right) \)と同じ方向を持つ単位ベクトルであるため、曲線\(C\left( \boldsymbol{f}\right) \)の点\(\boldsymbol{f}\left( a\right) \)における単位接ベクトル（unit tangent vector）と呼びます。明らかに、\begin{equation*}\left\Vert \boldsymbol{T}\left( a\right) \right\Vert =1
\end{equation*}が成り立ちます。また、\begin{equation*}
\boldsymbol{f}^{\prime }\left( a\right) =\left\Vert \boldsymbol{f}^{\prime
}\left( a\right) \right\Vert \boldsymbol{T}\left( a\right)
\end{equation*}が成り立つため、接ベクトル\(\boldsymbol{f}^{\prime }\left( a\right) \)は、その大きさ\(\left\Vert \boldsymbol{f}^{\prime }\left( a\right) \right\Vert \)と単位接ベクトル\(\boldsymbol{T}\left( a\right) \)に分解されます。
\end{equation*}として表現されているものとします。つまり、時点\(t\in \mathbb{R} _{+}\)における点の位置が、\begin{equation*}\boldsymbol{r}\left( t\right) =\left(
\begin{array}{c}
r_{1}\left( t\right) \\
r_{2}\left( t\right)
\end{array}\right) =r_{1}\left( t\right) \boldsymbol{i}+r_{2}\left( t\right)
\boldsymbol{j}
\end{equation*}であるということです。ただし、\begin{equation*}
\boldsymbol{i}=\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0\end{array}\right) ,\quad \boldsymbol{j}=\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1\end{array}\right)
\end{equation*}です。この点の軌跡全体は曲線\begin{equation*}
C\left( \boldsymbol{r}\right) =\left\{ \boldsymbol{r}\left( t\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ t\in \mathbb{R} _{+}\right\}
\end{equation*}として表現されます。曲線\(C\left( \boldsymbol{r}\right) \)の時点\(t\)における接線を媒介変数表示すると、\begin{equation*}x=\boldsymbol{r}\left( t\right) +s\boldsymbol{r}^{\prime }\left( t\right)
\quad \left( s\in \mathbb{R} \right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{c}
x_{1}=r_{1}\left( t\right) +sr_{1}^{\prime }\left( t\right) \\
x_{2}=r_{2}\left( t\right) +sr_{2}^{\prime }\left( t\right)
\end{array}\right. \quad \left( s\in \mathbb{R} \right)
\end{equation*}となりますが、これは位置ベクトルが\(\boldsymbol{r}\left( t\right) \)であり方向ベクトル\(\boldsymbol{r}^{\prime }\left( t\right) \)であるような平面\(\mathbb{R} ^{2}\)上の直線です。曲線\(C\left( \boldsymbol{r}\right) \)の時点\(t\)における速度ベクトルは、\begin{equation*}\boldsymbol{r}^{\prime }\left( t\right) =\left(
\begin{array}{c}
r_{1}^{\prime }\left( t\right) \\
r_{2}^{\prime }\left( t\right)
\end{array}\right) =r_{1}^{\prime }\left( t\right) \boldsymbol{i}+r_{2}^{\prime }\left(
t\right) \boldsymbol{j}
\end{equation*}であり、時点\(t\)における速さは、\begin{equation*}\left\Vert \boldsymbol{r}^{\prime }\left( t\right) \right\Vert =\sqrt{\left[
r_{1}^{\prime }\left( t\right) \right] ^{2}+\left[ r_{2}^{\prime }\left(
t\right) \right] ^{2}}
\end{equation*}であるため、時点\(t\)における単位接ベクトルに相当する概念は、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{T}\left( t\right) &=&\frac{\boldsymbol{r}^{\prime }\left(
t\right) }{\left\Vert \boldsymbol{r}^{\prime }\left( t\right) \right\Vert }
\\
&=&\left(
\begin{array}{c}
r_{1}^{\prime }\left( t\right) /\sqrt{\left[ r_{1}^{\prime }\left( t\right) \right] ^{2}+\left[ r_{2}^{\prime }\left( t\right) \right] ^{2}} \\
r_{2}^{\prime }\left( t\right) /\sqrt{\left[ r_{1}^{\prime }\left( t\right) \right] ^{2}+\left[ r_{2}^{\prime }\left( t\right) \right] ^{2}}\end{array}\right) \\
&=&\frac{r_{1}^{\prime }\left( t\right) }{\sqrt{\left[ r_{1}^{\prime }\left(
t\right) \right] ^{2}+\left[ r_{2}^{\prime }\left( t\right) \right] ^{2}}}\boldsymbol{i}+\frac{r_{2}^{\prime }\left( t\right) }{\sqrt{\left[
r_{1}^{\prime }\left( t\right) \right] ^{2}+\left[ r_{2}^{\prime }\left(
t\right) \right] ^{2}}}\boldsymbol{j}
\end{eqnarray*}となりますが、これを時点\(t\)における速度の向き（direction of velocity）と呼びます。また、\begin{equation*}\boldsymbol{r}^{\prime }\left( t\right) =\left\Vert \boldsymbol{r}^{\prime
}\left( t\right) \right\Vert \boldsymbol{T}\left( t\right)
\end{equation*}が成り立ちますが、以上の事実は、速度\(\boldsymbol{r}^{\prime }\left( t\right) \)は速さ\(\left\Vert \boldsymbol{r}^{\prime }\left( t\right) \right\Vert \)と速度の向き\(\boldsymbol{T}\left( t\right) \)に分解されることを意味します。
\end{equation*}として表現されているものとします。つまり、時点\(t\in \mathbb{R} _{+}\)における点の位置が、\begin{equation*}\boldsymbol{r}\left( t\right) =\left(
\begin{array}{c}
r_{1}\left( t\right) \\
r_{2}\left( t\right) \\
r_{3}\left( t\right)
\end{array}\right) =r_{1}\left( t\right) \boldsymbol{i}+r_{2}\left( t\right)
\boldsymbol{j}+r_{3}\left( t\right) \boldsymbol{k}
\end{equation*}であるということです。ただし、\begin{equation*}
\boldsymbol{i}=\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
0\end{array}\right) ,\quad \boldsymbol{j}=\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1 \\
0\end{array}\right) ,\quad \boldsymbol{k}=\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
1\end{array}\right)
\end{equation*}です。この点の軌跡全体は曲線\begin{equation*}
C\left( \boldsymbol{r}\right) =\left\{ \boldsymbol{r}\left( t\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ t\in \mathbb{R} _{+}\right\}
\end{equation*}として表現されます。時点\(t\)における曲線\(C\left( \boldsymbol{r}\right) \)の接線を媒介変数表示すると、\begin{equation*}x=\boldsymbol{r}\left( t\right) +s\boldsymbol{r}^{\prime }\left( t\right)
\quad \left( s\in \mathbb{R} \right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{c}
x_{1}=r_{1}\left( t\right) +sr_{1}^{\prime }\left( t\right) \\
x_{2}=r_{2}\left( t\right) +sr_{2}^{\prime }\left( t\right) \\
x_{3}=r_{3}\left( t\right) +sr_{3}^{\prime }\left( t\right)
\end{array}\right. \quad \left( s\in \mathbb{R} \right)
\end{equation*}となりますが、これは位置ベクトルが\(\boldsymbol{r}\left( t\right) \)であり方向ベクトル\(\boldsymbol{r}^{\prime }\left( t\right) \)であるような空間\(\mathbb{R} ^{3}\)上の直線です。曲線\(C\left( \boldsymbol{r}\right) \)の時点\(t\)における速度ベクトルは、\begin{equation*}\boldsymbol{r}^{\prime }\left( t\right) =\left(
\begin{array}{c}
r_{1}^{\prime }\left( t\right) \\
r_{2}^{\prime }\left( t\right) \\
r_{3}^{\prime }\left( t\right)
\end{array}\right) =r_{1}^{\prime }\left( t\right) \boldsymbol{i}+r_{2}^{\prime }\left(
t\right) \boldsymbol{j}+r_{3}^{\prime }\left( t\right) \boldsymbol{k}
\end{equation*}であり、時点\(t\)における速さは、\begin{equation*}\left\Vert \boldsymbol{r}^{\prime }\left( t\right) \right\Vert =\sqrt{\left[
r_{1}^{\prime }\left( t\right) \right] ^{2}+\left[ r_{2}^{\prime }\left(
t\right) \right] ^{2}+\left[ r_{3}^{\prime }\left( t\right) \right] ^{2}}
\end{equation*}であるため、時点\(t\)における単位接ベクトルに相当する概念は、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{T}\left( t\right) &=&\frac{\boldsymbol{r}^{\prime }\left(
t\right) }{\left\Vert \boldsymbol{r}^{\prime }\left( t\right) \right\Vert }
\\
&=&\left(
\begin{array}{c}
r_{1}^{\prime }\left( t\right) /\sqrt{\left[ r_{1}^{\prime }\left( t\right) \right] ^{2}+\left[ r_{2}^{\prime }\left( t\right) \right] ^{2}+\left[
r_{3}^{\prime }\left( t\right) \right] ^{2}} \\
r_{2}^{\prime }\left( t\right) /\sqrt{\left[ r_{1}^{\prime }\left( t\right) \right] ^{2}+\left[ r_{2}^{\prime }\left( t\right) \right] ^{2}+\left[
r_{3}^{\prime }\left( t\right) \right] ^{2}} \\
r_{3}^{\prime }\left( t\right) /\sqrt{\left[ r_{1}^{\prime }\left( t\right) \right] ^{2}+\left[ r_{2}^{\prime }\left( t\right) \right] ^{2}+\left[
r_{3}^{\prime }\left( t\right) \right] ^{2}}\end{array}\right) \\
&=&\frac{r_{1}^{\prime }\left( t\right) }{\sqrt{\left[ r_{1}^{\prime }\left(
t\right) \right] ^{2}+\left[ r_{2}^{\prime }\left( t\right) \right] ^{2}+\left[ r_{3}^{\prime }\left( t\right) \right] ^{2}}}\boldsymbol{i}+\frac{r_{2}^{\prime }\left( t\right) }{\sqrt{\left[ r_{1}^{\prime }\left( t\right) \right] ^{2}+\left[ r_{2}^{\prime }\left( t\right) \right] ^{2}+\left[
r_{3}^{\prime }\left( t\right) \right] ^{2}}}\boldsymbol{j}+\frac{r_{3}^{\prime }\left( t\right) }{\sqrt{\left[ r_{1}^{\prime }\left( t\right) \right] ^{2}+\left[ r_{2}^{\prime }\left( t\right) \right] ^{2}+\left[
r_{3}^{\prime }\left( t\right) \right] ^{2}}}
\end{eqnarray*}となりますが、これを時点\(t\)における速度の向き（direction of velocity）と呼びます。また、\begin{equation*}\boldsymbol{r}^{\prime }\left( t\right) =\left\Vert \boldsymbol{r}^{\prime
}\left( t\right) \right\Vert \boldsymbol{T}\left( t\right)
\end{equation*}が成り立ちますが、以上の事実は、速度\(\boldsymbol{r}^{\prime }\left( t\right) \)は速さ\(\left\Vert \boldsymbol{r}^{\prime }\left( t\right) \right\Vert \)と速度の向き\(\boldsymbol{T}\left( t\right) \)に分解されることを意味します。
正則な曲線
区間上に定義されたベクトル値関数\begin{equation*}
\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が定義域である区間\(I\)上で\(C^{1}\)級である場合には、導関数\begin{equation*}\boldsymbol{f}^{\prime }:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が存在するとともに、この導関数\(\boldsymbol{f}^{\prime }\)は連続です。さらに、導関数\(\boldsymbol{f}^{\prime }\)が非ゼロベクトルを値としてとる場合には、すなわち、\begin{equation*}\forall x\in I:\boldsymbol{f}^{\prime }\left( x\right) \not=\boldsymbol{0}
\end{equation*}が成り立つ場合には、任意の点\(x\in I\)における曲線\(C\left( \boldsymbol{f}\right) \)の単位接ベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{T}\left( x\right) =\frac{\boldsymbol{f}^{\prime }\left( x\right)
}{\left\Vert \boldsymbol{f}^{\prime }\left( x\right) \right\Vert }\in \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が必ず有限なベクトルとして定まるため、曲線\(C\left( \boldsymbol{f}\right) \)上の任意の点において、曲線が向いている方向を特定できます。そこで、以上の2つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \boldsymbol{f}\text{は}I\text{上で}C^{1}\text{級である} \\
&&\left( b\right) \ \forall x\in I:\boldsymbol{f}^{\prime }\left( x\right)
\not=\boldsymbol{0}
\end{eqnarray*}が成り立つ場合には、曲線\(C\left( \boldsymbol{f}\right) \)を正則な曲線（regular curve）と呼びます。
\begin{array}{c}
r\cos \left( t\right) \\
r\sin \left( t\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}と表されるものとします。この関数\(\boldsymbol{f}\)から定義される曲線\begin{equation*}C\left( \boldsymbol{f}\right) =\left\{ \left(
\begin{array}{c}
r\cos \left( t\right) \\
r\sin \left( t\right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ t\in \mathbb{R} \right\}
\end{equation*}は原点\(\left( 0,0\right) \)を中心とする半径\(r\)の円です。任意の\(t\in \mathbb{R} \)について、\begin{equation*}\boldsymbol{f}^{\prime }\left( t\right) =\left(
\begin{array}{c}
-r\sin \left( t\right) \\
r\cos \left( t\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}であるとともに、これは連続であるため\(\boldsymbol{f}\)は\(C^{1}\)級です。さらに、任意の\(t\in \mathbb{R} \)について、\begin{eqnarray*}\left\Vert \boldsymbol{f}^{\prime }\left( t\right) \right\Vert &=&\sqrt{r^{2}\sin ^{2}\left( t\right) +r^{2}\cos ^{2}\left( t\right) } \\
&=&\sqrt{r^{2}} \\
&=&r\quad \because r>0 \\
&\not=&0
\end{eqnarray*}であるため\(C\left( \boldsymbol{f}\right) \)は正則であり、任意の\(t\in \mathbb{R} \)について、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{T}\left( t\right) &=&\frac{\boldsymbol{f}^{\prime }\left(
t\right) }{\left\Vert \boldsymbol{f}^{\prime }\left( t\right) \right\Vert }
\\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\frac{-r\sin \left( t\right) }{r} \\
\frac{r\cos \left( t\right) }{r}\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
-\sin \left( t\right) \\
\cos \left( t\right)
\end{array}\right)
\end{eqnarray*}となります。
ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)の定義域である区間\(I\)が有界閉区間\(\left[ a,b\right] \)である場合などには、端点\(a,b\)は区間\(\left[ a,b\right] \)の内点ではないため、通常の意味で微分可能性を検討できません。そのような点に関しては、片側微分を用いて議論します。
\begin{array}{c}
\cos \left( t\right) \\
\sin \left( t\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}と表されるものとします。この関数\(\boldsymbol{f}\)から定義される曲線\begin{equation*}C\left( \boldsymbol{f}\right) =\left\{ \left(
\begin{array}{c}
\cos \left( t\right) \\
\sin \left( t\right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ t\in \left[ 0,\pi \right] \right\}
\end{equation*}は原点\(\left( 0,0\right) \)を中心とする単位円の上半分の半円です。任意の内点\(t\in \left( 0,\pi \right) \)において、\begin{equation*}\boldsymbol{f}^{\prime }\left( t\right) =\left(
\begin{array}{c}
-\sin \left( t\right) \\
\cos \left( t\right)
\end{array}\right) \not=\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right)
\end{equation*}が成り立ち、端点\(0,\pi \)において、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{f}^{\prime }\left( 0+0\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1\end{array}\right) \not=\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right) \\
\boldsymbol{f}^{\prime }\left( \pi -0\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
0 \\
-1\end{array}\right) \not=\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right)
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(C\left( \boldsymbol{f}\right) \)は正則です。
曲線\(C\left( \boldsymbol{f}\right) \)が正則ではない場合には、\begin{equation*}\exists x_{0}\in I:\boldsymbol{f}^{\prime }\left( x_{0}\right) =\boldsymbol{0}
\end{equation*}が成り立つため、点\(x_{0}\)における曲線\(C\left( \boldsymbol{f}\right) \)の単位接ベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{T}\left( x_{0}\right) =\frac{\boldsymbol{f}^{\prime }\left(
x_{0}\right) }{\left\Vert \boldsymbol{f}^{\prime }\left( x_{0}\right)
\right\Vert }
\end{equation*}の分母がゼロになり、したがって\(\boldsymbol{T}\left(x_{0}\right) \)が定義不可能です。以上の事実は、曲線\(C\left( \boldsymbol{f}\right) \)上の点\(\boldsymbol{f}\left( x_{0}\right) \)において曲線が向いている方向を判定できないことを意味します。曲線が正則であることは、このような事態が起こらないことを保証します。
\begin{array}{c}
x^{2} \\
x^{3}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(\boldsymbol{f}\)は微分可能であり、導関数\(\boldsymbol{f}^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{f}^{\prime }\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
2x \\
3x^{2}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めます。\(\boldsymbol{f}^{\prime }\)は連続であるため\(\boldsymbol{f}\)は\(C^{1}\)級です。その一方で、\begin{equation*}\boldsymbol{f}^{\prime }\left( 0\right) =\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right)
\end{equation*}であるため、この関数\(\boldsymbol{f}\)から定義される曲線\begin{equation*}C\left( \boldsymbol{f}\right) =\left\{ \left(
\begin{array}{c}
x^{2} \\
x^{3}\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x\in \mathbb{R} \right\}
\end{equation*}上の点\(\boldsymbol{f}\left( 0\right) =\left( 0,0\right) \)における単位接ベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{T}\left( 0\right) =\frac{\boldsymbol{f}^{\prime }\left( 0\right)
}{\left\Vert \boldsymbol{f}^{\prime }\left( 0\right) \right\Vert }
\end{equation*}は定義不可能であり、ゆえに\(C\left( \boldsymbol{f}\right) \)は正則ではありません。実際、点\(\left( x^{2},x^{3}\right) \)の軌跡を描くと原点\(\left(0,0\right) \)において針先のように尖った形になり、この尖った点\(\left( 0,0\right) \)において曲線の接線を一意的に定めることができず、ゆえに点\(\left( 0,0\right) \)における曲線の方向が定まりません。
演習問題
\boldsymbol{f}\left( t\right) =\left(
\begin{array}{c}
e^{t} \\
e^{-t} \\
\sqrt{2}t\end{array}\right)
\end{equation*}について、点\(t=0\)における接ベクトルと速さ、および単位接ベクトルを求めてください。
\boldsymbol{f}\left( t\right) =\left(
\begin{array}{c}
t-\sin \left( t\right) \\
1-\cos \left( t\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}について、点\(t=\frac{\pi }{2}\)における接ベクトルと速さ、および単位接ベクトルを求めてください。
\boldsymbol{f}\left( t\right) =\left(
\begin{array}{c}
\cos ^{3}\left( t\right) \\
\sin ^{3}\left( t\right)
\end{array}\right) \quad \left( t\in \left[ 0,2\pi \right] \right)
\end{equation*}から定義される曲線が正則であるかどうかを判定してください。正則ではない場合、正則性が失われる点\(t\)を特定してください。
\boldsymbol{f}\left( t\right) =\left(
\begin{array}{c}
t \\
\ln \left( t\right)
\end{array}\right) \quad \left( t\in \left( 0,+\infty \right) \right)
\end{equation*}から定義される曲線が正則であるかどうかを判定してください。正則ではない場合、正則性が失われる点\(t\)を特定してください。
\boldsymbol{r}\left( t\right) =\left(
\begin{array}{c}
t \\
\sin \left( 2t\right)
\end{array}\right) \quad \left( t\in \left[ 0,\pi \right] \right)
\end{equation*}に沿って溶接を行っています。溶接の品質を一定に保つために、アームのヘッドは常に進行方向（接ベクトル）に対して垂直な方向を向いている必要があります。以下の問いに答えてください。
- 時点\(t\in \left[ 0,\pi \right] \)における単位接ベクトル\(\boldsymbol{T}\left( t\right) \)を求めてください。
- 時点\(t=\frac{\pi }{4}\)において、アームのヘッドが向くべき方向を1つ求めてください。
\boldsymbol{f}\left( t\right) =\left(
\begin{array}{c}
t^{2} \\
t^{3}-3t\end{array}\right) \quad \left( t\in \mathbb{R} \right)
\end{equation*}で与えられているものとします。以下の問いに答えてください。
- 接ベクトル\(\boldsymbol{f}^{\prime}\left( t\right) \)を求めてください。
- この曲線が自己交差する点（異なる\(t_{1},t_{2}\)で同じ位置になる点）を求めてください。
- その交差する点において、2つの接ベクトルは直交していますか。内積を用いて判定してください。
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