単位接ベクトルと主法線ベクトルの復習
これまでは\(m\)次元空間\(\mathbb{R} ^{m}\)が終集合であるようなベクトル値関数\begin{equation*}\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}の微分について議論してきましたが、これまで学んだ概念を踏まえた上で、以降では3次元空間\(\mathbb{R} ^{3}\)における物体の運動について分析します。
空間\(\mathbb{R} ^{3}\)上の曲線に沿って運動する物体の位置が、区間上に定義されたベクトル値関数\begin{equation*}\boldsymbol{r}:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} ^{3}
\end{equation*}として表現されているものとします。つまり、時点\(t\in I\)における物体の位置ベクトルが、\begin{equation*}\boldsymbol{r}\left( t\right) =\left(
\begin{array}{c}
x\left( t\right) \\
y\left( t\right) \\
z\left( t\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}であるということです。さらに、\(\boldsymbol{r}\)は正則であるものとします。つまり、\(\boldsymbol{r}\)は\(C^{n}\)級であるとともに、\begin{equation*}\forall t\in I:\boldsymbol{r}^{\prime }\left( t\right) \not=0
\end{equation*}です。物体の軌跡全体は\(\boldsymbol{r}\)の値域、すなわち\(\boldsymbol{r}\)から定義される曲線\begin{equation*}C\left( \boldsymbol{r}\right) =\left\{ \boldsymbol{r}\left( t\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ t\in I\right\}
\end{equation*}として表現されます。
時点\(t\in I\)における速度ベクトルを、\begin{equation*}\boldsymbol{v}\left( t\right) =\boldsymbol{r}^{\prime }\left( t\right)
\end{equation*}で表記し、時点\(t\)における加速度ベクトルを、\begin{equation*}\boldsymbol{a}\left( t\right) =\boldsymbol{v}^{\prime }\left( t\right) =\boldsymbol{r}^{\prime \prime }\left( t\right)
\end{equation*}で表記し、時点\(t\)における速さを、\begin{equation*}v\left( t\right) =\left\Vert \boldsymbol{v}\left( t\right) \right\Vert
=\left\Vert \boldsymbol{r}^{\prime }\left( t\right) \right\Vert
\end{equation*}で表記します。
時点\(t\in I\)において物体が進んでいる方向は単位接ベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{T}\left( t\right) =\frac{\boldsymbol{r}^{\prime }\left( t\right)
}{\left\Vert \boldsymbol{r}^{\prime }\left( x\right) \right\Vert }=\frac{\boldsymbol{v}\left( t\right) }{v\left( t\right) }
\end{equation*}として表現され、時点\(t\)において物体が曲がる方向は主法線ベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{N}\left( t\right) =\frac{\boldsymbol{T}^{\prime }\left( t\right)
}{\left\Vert \boldsymbol{T}^{\prime }\left( t\right) \right\Vert }
\end{equation*}として表現されます。任意の時点\(t\)において両者は直交します。つまり、\begin{equation*}\forall t\in I:\boldsymbol{T}\left( t\right) \cdot \boldsymbol{N}\left(
t\right) =0
\end{equation*}が成り立つということです。以上の事実は、物体の進行方向を変える力は進行方向の真横からしか働かないことを意味します。
時点\(t\in I\)における曲がり方の激しさは曲率\begin{eqnarray*}\kappa \left( t\right) &=&\frac{\left\Vert \boldsymbol{T}^{\prime }\left(
t\right) \right\Vert }{\left\Vert \boldsymbol{r}^{\prime }\left( t\right)
\right\Vert } \\
&=&\frac{\left\Vert \boldsymbol{r}^{\prime }\left( t\right) \times
\boldsymbol{r}^{\prime \prime }\left( t\right) \right\Vert }{\left\Vert
\boldsymbol{r}^{\prime }\left( t\right) \right\Vert ^{3}} \\
&=&\frac{\left\Vert \boldsymbol{v}\left( t\right) \times \boldsymbol{a}\left( t\right) \right\Vert }{\left[ v\left( t\right) \right] ^{3}}
\end{eqnarray*}として表現されます。
時点\(t\in I\)における加速度は、\begin{equation*}\boldsymbol{a}\left( t\right) =v^{\prime }\left( t\right) \boldsymbol{T}\left( t\right) +\kappa \left( t\right) \left[ v\left( t\right) \right] ^{2}\boldsymbol{N}\left( t\right)
\end{equation*}という形で分解されます。第1項\(v^{\prime }\left( t\right) \boldsymbol{T}\left( t\right) \)では単位接ベクトル\(\boldsymbol{T}\left( t\right) \)にスカラー\(v^{\prime }\left( t\right) \)がかかっているため、\(v^{\prime}\left( t\right) \)は速さを変える力の大きさを表します。第2項\(\kappa \left( t\right) \left[ v\left(t\right) \right] ^{2}\boldsymbol{N}\left( t\right) \)では主法線ベクトル\(\boldsymbol{N}\left(t\right) \)にスカラー\(\kappa \left( t\right) \left[ v\left( t\right) \right] ^{2}\)がかかっているため、\(\kappa \left( t\right) \left[v\left( t\right) \right] ^{2}\)は方向を変える力の大きさを表しています。
運動の曲がり方とねじれ方の違い
一見すると、単位接ベクトル\(\boldsymbol{T}\left( t\right) \)と主法線ベクトル\(\boldsymbol{N}\left( t\right) \)が判明すれば、時点\(t\)における物体の運動を完全に記述できるように思われます。しかし、空間\(\mathbb{R} ^{3}\)上の曲線に沿った運動に関しては、\(\boldsymbol{T}\left( t\right) \)と\(\boldsymbol{N}\left( t\right) \)だけでは異なる運動を区別できない状況が起こり得ます。以下の例より明らかです。
\begin{array}{c}
\cos \left( t\right) \\
\sin \left( t\right) \\
0\end{array}\right) \quad \left( t\in \mathbb{R} \right)
\end{equation*}であるものとします。つまり、この物体は\(xy\)平面上の単位円上を周回しています。時点\(t=0\)において、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{r}\left( 0\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
0\end{array}\right) \\
\boldsymbol{T}\left( 0\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1 \\
0\end{array}\right) \\
\boldsymbol{N}\left( 0\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
-1 \\
0 \\
0\end{array}\right)
\end{eqnarray*}となります（演習問題）。
\begin{array}{c}
\cos \left( t\right) \\
\sin \left( t\right) \\
\frac{1}{6}t^{3}\end{array}\right) \quad \left( t\in \mathbb{R} \right)
\end{equation*}であるものとします。つまり、この物体は\(z\)軸を中心とする半径\(1\)の螺旋上を運動しています。時点\(t=0\)において、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{r}\left( 0\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
0\end{array}\right) \\
\boldsymbol{T}\left( 0\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1 \\
0\end{array}\right) \\
\boldsymbol{N}\left( 0\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
-1 \\
0 \\
0\end{array}\right)
\end{eqnarray*}となります（演習問題）。
先の2つの例では時点\(t=0\)における物体の位置\(\boldsymbol{r}\left( 0\right) \)が一致しているだけでなく、両者の単位接ベクトル\(\boldsymbol{T}\left( 0\right) \)と主法線ベクトル\(\boldsymbol{N}\left( 0\right) \)もそれぞれ一致しています。つまり、時点\(t=0\)における物体の位置と運動の方向および運動の曲がり方は2つのケースで完全に一致しています。その一方で、2つの運動の間には以下のような違いがあります。
先の円運動では軌跡である単位円が\(xy\)平面上にあるため、物体は常に\(xy\)平面上を運動しています。つまり、時点\(t=0\)において物体が動いている土俵は\(xy\)平面ですが、そこから時間\(t\)が進んでも運動の土俵は\(xy\)平面のまま変化せず、その中で運動し続けます。円運動において物体は曲がっているものの、曲がりが起きている土俵は\(xy\)平面から変化せず、運動全体が2次元平面の中で完結しているということです。
一方、先の螺旋運動では物体は回転しながら\(z\)方面へ上昇していくため、物体は\(xy\)平面上に留まりません。つまり、時点\(t=0\)において物体が動いている土俵は\(xy\)平面ですが、そこから時間\(t\)が進むと物体は回転しながら上昇していくため、物体が動いている土俵そのものが\(xy\)平面から変化していきます。螺旋運動において物体は曲がっているだけでなく、曲がりが起きている土俵そのものが少しずつ回転していくため、運動全体が2次元平面の中で完結していないということです。
運動の曲がりが起きている土俵そのものが回転することを、曲がりと区別してねじれ（torsion）と表現します。先の円運動と螺旋運動とでは時点\(t=0\)における物体の位置と運動の方向および運動の曲がり方はそれぞれ一致している一方で、運動のねじれ方は一致していません。2つの運動の単位接ベクトル\(\boldsymbol{T}\left( 0\right) \)と主法線ベクトル\(\boldsymbol{N}\left( 0\right) \)はそれぞれ一致しているため、これらの指標では運動のねじれ方の違いを表現できず、ゆえにねじれ方の違いを表現できるような第3の指標が必要になります。
接触平面と従法線ベクトル
物体の位置関数\(\boldsymbol{r}:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} ^{3}\)が与えられているものとします。時点\(t\in I\)における物体の位置は\(\boldsymbol{r}\left( t\right) \)であり、物体が進んでいる方向は\(\boldsymbol{T}\left( t\right) \)であり、物体が曲がる方向は\(\boldsymbol{N}\left( t\right) \)です。\(\boldsymbol{T}\left( t\right) \)と\(\boldsymbol{N}\left( t\right) \)は直交する単位ベクトルです。したがって、時点\(t\)において物体が動いている土俵は、位置ベクトルが\(\boldsymbol{r}\left( t\right) \)であり、方向ベクトルが\(\boldsymbol{T}\left( t\right) ,\boldsymbol{N}\left( t\right) \)であるような平面\begin{equation*}P\left( t\right) =\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{3}\ |\ \exists p,q\in \mathbb{R} :\boldsymbol{x}=\boldsymbol{r}\left( t\right) +p\boldsymbol{T}\left(
t\right) +q\boldsymbol{N}\left( t\right) \right\}
\end{equation*}として記述されます。これを時点\(t\)における接触平面（osculating plane）と呼びます。
運動のねじれとは、時間\(t\)の経過とともに接触平面\(P\left( t\right) \)が回転することを意味します。先の円運動では時間\(t\)が経過しても運動の土台である接触平面\(P\left( t\right) \)が\(xy\)平面のまま一定であるため、運動のねじれは発生しません。一方、先の螺旋運動では時間\(t\)の経過とともに運動の土台である接触平面\(P\left( t\right) \)そのものが回転するため、運動のねじれが発生しています。
接触平面\(P\left( t\right) \)の方向ベクトルは\(\boldsymbol{T}\left( t\right) ,\boldsymbol{N}\left( t\right) \)であるため、\(P\left( t\right) \)の法線ベクトルは\(\boldsymbol{T}\left( t\right) ,\boldsymbol{N}\left(t\right) \)の双方と直交するベクトル、すなわち双方の外積\begin{equation*}\boldsymbol{B}\left( t\right) =\boldsymbol{T}\left( t\right) \times
\boldsymbol{N}\left( t\right)
\end{equation*}として得られます。これを時点\(t\)における従法線ベクトル（binormal vector）と呼びます。従法線ベクトルの大きさは、\begin{eqnarray*}\left\Vert \boldsymbol{B}\left( t\right) \right\Vert &=&\left\Vert
\boldsymbol{T}\left( t\right) \times \boldsymbol{N}\left( t\right)
\right\Vert \\
&=&\left\Vert \boldsymbol{T}\left( t\right) \right\Vert \left\Vert
\boldsymbol{N}\left( t\right) \right\Vert \sin \left( \frac{\pi }{2}\right)
\quad \because \boldsymbol{T}\left( t\right) \text{と}\boldsymbol{N}\left( t\right) \text{は直交する} \\
&=&1\quad \because \boldsymbol{T}\left( t\right) ,\boldsymbol{N}\left(
t\right) \text{は単位ベクトル}
\end{eqnarray*}です。つまり、従法線ベクトルもまた単位ベクトルです。時点\(t\)における接触平面を法線ベクトル表示すると、\begin{equation*}P\left( t\right) =\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{3}\ |\ \left[ \boldsymbol{x}-\boldsymbol{r}\left( t\right) \right] \cdot
\boldsymbol{B}\left( t\right) =0\right\}
\end{equation*}となります。
接触平面\(P\left( t\right) \)が回転していることは、\(P\left(t\right) \)の法線ベクトルである従法線ベクトル\(\boldsymbol{B}\left( t\right) \)が変化していることと同義です。つまり、運動のねじれとは、時間\(t\)の経過とともに従法線ベクトル\(\boldsymbol{B}\left( t\right) \)が変化することを意味します。先の円運動では時間\(t\)が経過しても運動の土台である接触平面\(P\left( t\right) \)が\(xy\)平面のまま一定であるため従法線ベクトル\(\boldsymbol{B}\left( t\right) \)も一定であり、ゆえに運動のねじれは発生しません。一方、先の螺旋運動では時間\(t\)の経過とともに運動の土台である接触平面\(P\left( t\right) \)そのものが回転するため従法線ベクトル\(\boldsymbol{B}\left(t\right) \)も変化し、ゆえに運動のねじれが発生しています。
先の定義にもとづいて従法線ベクトルを計算するのは面倒です。従法線ベクトルを以下のように導出することもできます。
\end{equation*}が成り立つ場合には、\begin{eqnarray*}
\boldsymbol{B}\left( t\right) &=&\frac{\boldsymbol{v}\left( t\right) \times
\boldsymbol{a}\left( t\right) }{\left\Vert \boldsymbol{v}\left( t\right)
\times \boldsymbol{a}\left( t\right) \right\Vert } \\
&=&\frac{\boldsymbol{r}^{\prime }\left( t\right) \times \boldsymbol{r}^{\prime \prime }\left( t\right) }{\left\Vert \boldsymbol{r}^{\prime }\left(
t\right) \times \boldsymbol{r}^{\prime \prime }\left( t\right) \right\Vert }
\end{eqnarray*}となる。ただし、\(\boldsymbol{v}\left( t\right) \)は速度、\(\boldsymbol{a}\left(t\right) \)は加速度、\(\boldsymbol{B}\left(t\right) \)は従法線ベクトルである。
先の円運動では時間が経過しても運動のねじれが発生しないため、従法線ベクトルや接触平面は一定です。以下で確認します。
\begin{array}{c}
\cos \left( t\right) \\
\sin \left( t\right) \\
0\end{array}\right) \quad \left( t\in \mathbb{R} \right)
\end{equation*}であるものとします。時点\(t\in \mathbb{R} \)において、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{v}\left( t\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
-\sin \left( t\right) \\
\cos \left( t\right) \\
0\end{array}\right) \\
\boldsymbol{a}\left( t\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
-\cos \left( t\right) \\
-\sin \left( t\right) \\
0\end{array}\right)
\end{eqnarray*}であるため、\begin{eqnarray*}
\boldsymbol{v}\left( t\right) \times \boldsymbol{a}\left( t\right)
&=&\left(
\begin{array}{c}
-\sin \left( t\right) \\
\cos \left( t\right) \\
0\end{array}\right) \times \left(
\begin{array}{c}
-\cos \left( t\right) \\
-\sin \left( t\right) \\
0\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\begin{vmatrix}
\cos \left( t\right) & 0 \\
-\sin \left( t\right) & 0\end{vmatrix}
\\
-\begin{vmatrix}
-\sin \left( t\right) & 0 \\
-\cos \left( t\right) & 0\end{vmatrix}
\\
\begin{vmatrix}
-\sin \left( t\right) & \cos \left( t\right) \\
-\cos \left( t\right) & -\sin \left( t\right)
\end{vmatrix}\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
1\end{array}\right)
\end{eqnarray*}であり、ゆえに、\begin{equation*}
\left\Vert \boldsymbol{v}\left( t\right) \times \boldsymbol{a}\left(
t\right) \right\Vert =1
\end{equation*}を得ます。したがって、時点\(t\)における従法線ベクトルは、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{B}\left( t\right) &=&\frac{\boldsymbol{v}\left( t\right) \times
\boldsymbol{a}\left( t\right) }{\left\Vert \boldsymbol{v}\left( t\right)
\times \boldsymbol{a}\left( t\right) \right\Vert } \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
1\end{array}\right)
\end{eqnarray*}ですが、これは定数ベクトルです。従法線ベクトルが\(\left( 0,0,1\right) \)であることは接触平面が水平であることを意味します。実際、時点\(t\)における接触平面は、\begin{eqnarray*}P\left( t\right) &=&\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{3}\ |\ \left[ \boldsymbol{x}-\boldsymbol{r}\left( t\right) \right] \cdot
\boldsymbol{B}\left( t\right) =0\right\} \\
&=&\left\{ \left(
\begin{array}{c}
x \\
y \\
z\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ \left(
\begin{array}{c}
x-\cos \left( t\right) \\
y-\sin \left( t\right) \\
z\end{array}\right) \cdot \left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
1\end{array}\right) =0\right\} \\
&=&\left\{ \left(
\begin{array}{c}
x \\
y \\
z\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ z=0\right\}
\end{eqnarray*}となりますが、これは\(xy\)平面です。\(t\)が変化しても\(P\left( t\right) \)は変化しませんが、以上の結果は先の考察と整合的です。
先の螺旋運動では時間の経過にともない運動のねじれが発生するため、従法線ベクトルや接触平面は時間の経過にともない変化します。以下で確認します。
\begin{array}{c}
\cos \left( t\right) \\
\sin \left( t\right) \\
\frac{1}{6}t^{3}\end{array}\right) \quad \left( t\in \mathbb{R} \right)
\end{equation*}であるものとします。時点\(t\in \mathbb{R} \)において、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{v}\left( t\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
-\sin \left( t\right) \\
\cos \left( t\right) \\
\frac{1}{2}t^{2}\end{array}\right) \\
\boldsymbol{a}\left( t\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
-\cos \left( t\right) \\
-\sin \left( t\right) \\
t\end{array}\right)
\end{eqnarray*}であるため、\begin{eqnarray*}
\boldsymbol{v}\left( t\right) \times \boldsymbol{a}\left( t\right)
&=&\left(
\begin{array}{c}
-\sin \left( t\right) \\
\cos \left( t\right) \\
\frac{1}{2}t^{2}\end{array}\right) \times \left(
\begin{array}{c}
-\cos \left( t\right) \\
-\sin \left( t\right) \\
t\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\begin{vmatrix}
\cos \left( t\right) & \frac{1}{2}t^{2} \\
-\sin \left( t\right) & t\end{vmatrix}
\\
-\begin{vmatrix}
-\sin \left( t\right) & \frac{1}{2}t^{2} \\
-\cos \left( t\right) & t\end{vmatrix}
\\
\begin{vmatrix}
-\sin \left( t\right) & \cos \left( t\right) \\
-\cos \left( t\right) & -\sin \left( t\right)
\end{vmatrix}\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
t\cos \left( t\right) +\frac{1}{2}t^{2}\sin \left( t\right) \\
t\sin \left( t\right) -\frac{1}{2}t^{2}\cos \left( t\right) \\
1\end{array}\right)
\end{eqnarray*}であり、ゆえに、\begin{equation*}
\left\Vert \boldsymbol{v}\left( t\right) \times \boldsymbol{a}\left(
t\right) \right\Vert =\frac{1}{2}\sqrt{\left( t^{2}+2\right) ^{2}}
\end{equation*}を得ます。したがって、時点\(t\)における従法線ベクトルは、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{B}\left( t\right) &=&\frac{\boldsymbol{v}\left( t\right) \times
\boldsymbol{a}\left( t\right) }{\left\Vert \boldsymbol{v}\left( t\right)
\times \boldsymbol{a}\left( t\right) \right\Vert } \\
&=&\frac{2}{\sqrt{\left( t^{2}+2\right) ^{2}}}\left(
\begin{array}{c}
t\cos \left( t\right) +\frac{1}{2}t^{2}\sin \left( t\right) \\
t\sin \left( t\right) -\frac{1}{2}t^{2}\cos \left( t\right) \\
1\end{array}\right)
\end{eqnarray*}ですが、これは\(t\)に応じて変化します。時点\(t\)における接触平面は、\begin{eqnarray*}P\left( t\right) &=&\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{3}\ |\ \left[ \boldsymbol{x}-\boldsymbol{r}\left( t\right) \right] \cdot
\boldsymbol{B}\left( t\right) =0\right\} \\
&=&\left\{ \left(
\begin{array}{c}
x \\
y \\
z\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ \left(
\begin{array}{c}
x-\cos \left( t\right) \\
y-\sin \left( t\right) \\
z-\frac{1}{6}t^{3}\end{array}\right) \cdot \frac{2}{\sqrt{\left( t^{2}+2\right) ^{2}}}\left(
\begin{array}{c}
t\cos \left( t\right) +\frac{1}{2}t^{2}\sin \left( t\right) \\
t\sin \left( t\right) -\frac{1}{2}t^{2}\cos \left( t\right) \\
1\end{array}\right) =0\right\} \\
&=&\left\{ \left(
\begin{array}{c}
x \\
y \\
z\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ \left(
\begin{array}{c}
x-\cos \left( t\right) \\
y-\sin \left( t\right) \\
z-\frac{1}{6}t^{3}\end{array}\right) \cdot \left(
\begin{array}{c}
t\cos \left( t\right) +\frac{1}{2}t^{2}\sin \left( t\right) \\
t\sin \left( t\right) -\frac{1}{2}t^{2}\cos \left( t\right) \\
1\end{array}\right) =0\right\} \\
&=&\left\{ \left(
\begin{array}{c}
x \\
y \\
z\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ \left[ t\cos \left( t\right) +\frac{1}{2}t^{2}\sin \left( t\right) \right] x+\left[ t\sin \left( t\right) -\frac{1}{2}t^{2}\cos \left( t\right) \right] y+z=t+\frac{1}{6}t^{3}\right\}
\end{eqnarray*}ですが、これは\(t\)に応じて変化します。\(t=0\)の場合には、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{B}\left( 0\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
1\end{array}\right) \\
P\left( 0\right) &=&\left\{ \left(
\begin{array}{c}
x \\
y \\
z\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ z=0\right\}
\end{eqnarray*}であり、これは\(xy\)平面と一致します。\(P\left( 0\right) \)の法線ベクトルは\(\left(0,0,1\right) \)ですが、これは\(P\left( 0\right) \)が水平であることを意味します。\(0\)よりもわずかに先の時点\(t>0\)を想定します。この場合、近似的に\(\cos \left(t\right) =1\)かつ\(\sin \left( t\right) =0\)かつ\(t^{2}=t^{3}=0\)が成り立つため、近似的に、\begin{equation*}P\left( t\right) =\left\{ \left(
\begin{array}{c}
x \\
y \\
z\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ tx+z=t\right\}
\end{equation*}が成り立ちますが、以上の事実は\(P\left( t\right) \)の法線ベクトルが\(\left( t,0,1\right) \)であることを意味します。つまり、時点\(0\)における接触平面\(P\left(0\right) \)は水平でしたが、その直後の時点\(t\)において接触平面\(P\left( t\right) \)は傾いています。
曲線の捩率
接触平面と従法線ベクトルを導入することにより運動のねじれを表現できるようになりました。接触平面の回転は従法線ベクトルの変化と同義であるため、従法線ベクトルの変化を追うことにより運動のねじれの変化を追うことができます。
従法線ベクトル\(\boldsymbol{B}\left( t\right) \)は接触平面に垂直な方向を表しているため、\(\boldsymbol{B}\left( t\right) \)の変化を調べることは、接触平面の向きがどのように変化するかを調べることに対応します。先の円運動では接触平面は常に同じ平面であるため\(\boldsymbol{B}\left( t\right) \)は一定のベクトルであり、したがって、任意の時点\(t\)において、\begin{equation*}\boldsymbol{B}^{\prime }\left( t\right) =\boldsymbol{0}
\end{equation*}が成り立ちます。一方、先の螺旋運動では物体がねじれながら進むため、接触平面も曲線に沿って回転していきます。つまり、\(\boldsymbol{B}\left( t\right) \)の向きも連続的に変化するため、任意の時点\(t\)において、\begin{equation*}\boldsymbol{B}^{\prime }\left( t\right) \not=\boldsymbol{0}
\end{equation*}が成り立ちます。
従法線ベクトルの瞬間変化率は以下のように表現可能です。
\end{equation*}が成り立つものとする。このとき、任意の\(t\in I\)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{B}^{\prime }\left( t\right) =-\tau \left( t\right) v\left(
t\right) \boldsymbol{N}\left( t\right)
\end{equation*}を満たす実数値関数\(\tau :\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)が存在する。ただし、\(v\left( t\right) \)は速さ、\(\boldsymbol{T}\left( t\right) \)は単位接ベクトル、\(\boldsymbol{N}\left( t\right) \)は主法線ベクトル、\(\boldsymbol{B}\left(t\right) \)は従法線ベクトルである。
先の命題より、任意の時点\(t\in I\)において、\begin{equation}\boldsymbol{B}^{\prime }\left( t\right) =-\tau \left( t\right) v\left(
t\right) \boldsymbol{N}\left( t\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つことが明らかになりました。右辺を構成する、\begin{equation*}
\tau \left( t\right)
\end{equation*}を時点\(t\)における捩率（torsion）と呼びます。\(\left( 1\right) \)より、\begin{equation*}\boldsymbol{B}^{\prime }\left( t\right) \cdot \boldsymbol{N}\left( t\right)
=-\tau \left( t\right) v\left( t\right) \boldsymbol{N}\left( t\right) \cdot
\boldsymbol{N}\left( t\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\boldsymbol{B}^{\prime }\left( t\right) \cdot \boldsymbol{N}\left( t\right)
=-\tau \left( t\right) v\left( t\right)
\end{equation*}を得るため、\(v\left( t\right) \not=0\)の場合には、\begin{equation*}\tau \left( t\right) =-\frac{\boldsymbol{B}^{\prime }\left( t\right) \cdot
\boldsymbol{N}\left( t\right) }{v\left( t\right) }
\end{equation*}であることに注意してください。
速さ\(v\left( t\right) \)は非負であることを踏まえると、\(\left( 1\right) \)より以下の関係\begin{eqnarray*}\tau \left( t\right) &>&0\Rightarrow \boldsymbol{B}^{\prime }\left(
t\right) \text{は}\boldsymbol{N}\left( t\right) \text{と逆方向} \\
\tau \left( t\right) &<&0\Rightarrow \boldsymbol{B}^{\prime }\left(
t\right) \text{は}\boldsymbol{N}\left( t\right) \text{と同一方向} \\
\tau \left( t\right) &=&0\Rightarrow \boldsymbol{B}^{\prime }\left(
t\right) =\boldsymbol{0}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。この関係を記憶する上で以下の考え方が役に立ちます。
右手の親指・人差し指・中指を、それぞれが直交するように開いてください。ただし、親指を前に向け、人差し指を左に向け、中指を上に向けます。その上で、親指を進行方向\(\boldsymbol{T}\left( t\right) \)、人差し指を曲がる方向\(\boldsymbol{N}\left( t\right) \)、中指を従法線方向\(\boldsymbol{B}\left( t\right) \)とします。
\(\tau \left( t\right) >0\)である状況を、親指を軸にして「時計回り」に回転させる状況に見立てます。回転が始まると、中指の指す方向\(\boldsymbol{B}\left( t\right) \)が人差し指が指していた方向\(\boldsymbol{N}\left(t\right) \)とは逆方向へ変化します。つまり\(\boldsymbol{B}^{\prime }\left( t\right) \)は\(\boldsymbol{N}\left( t\right) \)と逆方向です。
\(\tau \left( t\right) <0\)である状況を、親指を軸にして「反時計回り」に回転させる状況に見立てます。回転が始まると、中指の指す方向\(\boldsymbol{B}\left( t\right) \)が人差し指が指していた方向\(\boldsymbol{N}\left( t\right) \)へ変化します。つまり\(\boldsymbol{B}^{\prime }\left( t\right) \)は\(\boldsymbol{N}\left( t\right) \)と同一方向です。
捩率を以下のように導出することもできます。
\end{equation*}が成り立つものとする。このとき、任意の\(t\in I\)に対して、\begin{eqnarray*}\tau \left( t\right) &=&\frac{\left[ \boldsymbol{v}\left( t\right) \times
\boldsymbol{a}\left( t\right) \right] \cdot \boldsymbol{a}^{\prime }\left(
t\right) }{\left\Vert \boldsymbol{v}\left( t\right) \times \boldsymbol{a}\left( t\right) \right\Vert ^{2}} \\
&=&\frac{\left[ \boldsymbol{r}^{\prime }\left( t\right) \times \boldsymbol{r}^{\prime \prime }\left( t\right) \right] \cdot \boldsymbol{r}^{\prime \prime
\prime }\left( t\right) }{\left\Vert \boldsymbol{r}^{\prime }\left( t\right)
\times \boldsymbol{r}^{\prime \prime }\left( t\right) \right\Vert ^{2}}
\end{eqnarray*}となる。ただし、\(\boldsymbol{v}\left( t\right) \)は速度、\(\boldsymbol{a}\left(t\right) \)は加速度、\(\tau \left( t\right) \)は捩率である。
\begin{array}{c}
\cos \left( t\right) \\
\sin \left( t\right) \\
0\end{array}\right) \quad \left( t\in \mathbb{R} \right)
\end{equation*}であるものとします。時点\(t\in \mathbb{R} \)において、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{v}\left( t\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
-\sin \left( t\right) \\
\cos \left( t\right) \\
0\end{array}\right) \\
\boldsymbol{a}\left( t\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
-\cos \left( t\right) \\
-\sin \left( t\right) \\
0\end{array}\right) \\
\boldsymbol{a}^{\prime }\left( t\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
\sin \left( t\right) \\
-\cos \left( t\right) \\
0\end{array}\right)
\end{eqnarray*}であるため、\begin{eqnarray*}
\boldsymbol{v}\left( t\right) \times \boldsymbol{a}\left( t\right)
&=&\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
1\end{array}\right) \\
\left\Vert \boldsymbol{v}\left( t\right) \times \boldsymbol{a}\left(
t\right) \right\Vert &=&1
\end{eqnarray*}であり、したがって、時点\(t\)における捩率は、\begin{eqnarray*}\tau \left( t\right) &=&\frac{\left[ \boldsymbol{v}\left( t\right) \times
\boldsymbol{a}\left( t\right) \right] \cdot \boldsymbol{a}^{\prime }\left(
t\right) }{\left\Vert \boldsymbol{v}\left( t\right) \times \boldsymbol{a}\left( t\right) \right\Vert ^{2}} \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
1\end{array}\right) \cdot \left(
\begin{array}{c}
\sin \left( t\right) \\
-\cos \left( t\right) \\
0\end{array}\right) \\
&=&0
\end{eqnarray*}であり、ゆえに、\begin{equation*}
\boldsymbol{B}^{\prime }\left( t\right) =\boldsymbol{0}
\end{equation*}が成り立ちます。
\begin{array}{c}
\cos \left( t\right) \\
\sin \left( t\right) \\
\frac{1}{6}t^{3}\end{array}\right) \quad \left( t\in \mathbb{R} \right)
\end{equation*}であるものとします。時点\(t\in \mathbb{R} \)において、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{v}\left( t\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
-\sin \left( t\right) \\
\cos \left( t\right) \\
\frac{1}{2}t^{2}\end{array}\right) \\
\boldsymbol{a}\left( t\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
-\cos \left( t\right) \\
-\sin \left( t\right) \\
t\end{array}\right) \\
\boldsymbol{a}^{\prime }\left( t\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
\sin \left( t\right) \\
-\cos \left( t\right) \\
1\end{array}\right)
\end{eqnarray*}であるため、\begin{eqnarray*}
\boldsymbol{v}\left( t\right) \times \boldsymbol{a}\left( t\right)
&=&\left(
\begin{array}{c}
t\cos \left( t\right) +\frac{1}{2}t^{2}\sin \left( t\right) \\
t\sin \left( t\right) -\frac{1}{2}t^{2}\cos \left( t\right) \\
1\end{array}\right) \\
\left\Vert \boldsymbol{v}\left( t\right) \times \boldsymbol{a}\left(
t\right) \right\Vert &=&\frac{1}{2}\sqrt{\left( t^{2}+2\right) ^{2}}
\end{eqnarray*}であり、したがって、時点\(t\)における捩率は、\begin{eqnarray*}\tau \left( t\right) &=&\frac{\left[ \boldsymbol{v}\left( t\right) \times
\boldsymbol{a}\left( t\right) \right] \cdot \boldsymbol{a}^{\prime }\left(
t\right) }{\left\Vert \boldsymbol{v}\left( t\right) \times \boldsymbol{a}\left( t\right) \right\Vert ^{2}} \\
&=&\frac{1}{\left( 1+t^{2}+\frac{1}{4}t^{4}\right) ^{2}}\left(
\begin{array}{c}
t\cos \left( t\right) +\frac{1}{2}t^{2}\sin \left( t\right) \\
t\sin \left( t\right) -\frac{1}{2}t^{2}\cos \left( t\right) \\
1\end{array}\right) \cdot \left(
\begin{array}{c}
\sin \left( t\right) \\
-\cos \left( t\right) \\
1\end{array}\right) \\
&=&\frac{\frac{1}{2}t^{2}+1}{\frac{1}{4}t^{4}+t^{2}+1} \\
&>&0
\end{eqnarray*}を満たすため、\(\boldsymbol{B}^{\prime }\left( t\right) \)は\(\boldsymbol{N}\left( t\right) \)と逆方向です。先に明らかにしたように、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{B}\left( 0\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
1\end{array}\right) \\
\boldsymbol{N}\left( 0\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
-1 \\
0 \\
0\end{array}\right)
\end{eqnarray*}です。つまり、時点\(t=0\)において\(\boldsymbol{B}\left( 0\right) \)は真上を向いていますが、\(\boldsymbol{B}^{\prime }\left( 0\right) \)は\(\boldsymbol{N}\left( 0\right) \)と逆方向\(\left(1,0,0\right) \)を向くため、\(\boldsymbol{B}\left( t\right) \)は\(x\)軸の正の方向に向かって倒れ始めることを意味します。以上の事実は、時点\(t=0\)において水平であった接触平面が、次の瞬間に左側がせり上がるように回転することを意味します。さらに、\begin{eqnarray*}\lim_{t\rightarrow +\infty }\tau \left( t\right) &=&\lim_{t\rightarrow
+\infty }\frac{\frac{1}{2}t^{2}+1}{\frac{1}{4}t^{4}+t^{2}+1} \\
&=&\lim_{t\rightarrow +\infty }\frac{\frac{1}{2t^{2}}+\frac{1}{t^{4}}}{\frac{1}{4}+\frac{1}{t^{2}}+\frac{1}{t^{4}}} \\
&=&\frac{0+0}{\frac{1}{4}+0+0} \\
&=&0
\end{eqnarray*}であるため、\begin{equation*}
\lim_{t\rightarrow +\infty }\boldsymbol{B}^{\prime }\left( t\right) =\boldsymbol{0}
\end{equation*}であり、最終的に動きのねじれは消失します。
運動のねじれの大きさを評価するためには、従法線ベクトル\(\boldsymbol{B}\left( t\right) \)の変化率の大きさ\begin{eqnarray*}\left\Vert \boldsymbol{B}^{\prime }\left( t\right) \right\Vert
&=&\left\Vert -\tau \left( t\right) v\left( t\right) \boldsymbol{N}\left(
t\right) \right\Vert \quad \because \boldsymbol{B}^{\prime }\left( t\right)
=-\tau \left( t\right) v\left( t\right) \boldsymbol{N}\left( t\right) \\
&=&\left\vert \tau \left( t\right) \right\vert v\left( t\right) \left\Vert
\boldsymbol{N}\left( t\right) \right\Vert \\
&=&\left\vert \tau \left( t\right) \right\vert v\left( t\right) \quad
\because \boldsymbol{N}\left( t\right) \text{は単位ベクトル}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\left\Vert \boldsymbol{B}^{\prime }\left( t\right) \right\Vert =\left\vert
\tau \left( t\right) \right\vert v\left( t\right)
\end{equation*}を調べることになります。時間パラメータ\(t\)を採用する場合には、ねじれの大きさ\(\left\Vert \boldsymbol{B}^{\prime }\left( t\right) \right\Vert \)と捩率の大きさ\(\left\vert \tau \left(t\right) \right\vert \)は一致せず、速さ\(v\left( t\right) \)の要素が混ざってしまいます。曲線上を移動する速さがねじれの大きさに影響を与えてしまうからです。この問題を解決するためには曲線を弧長パラメータ表示する必要があります。
弧長パラメータ表示のもとでの捩率
これまでは時間パラメータ表示された曲線\(r\left( t\right) \)を前提に議論してきましたが、弧長パラメータ表示を前提とした場合、これまで導入した諸概念はどのように表現されるのでしょうか。弧長パラメータ表示について簡単に復習した上で順番に議論します。
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界閉区間上に定義された位置ベクトル関数\begin{equation*}\boldsymbol{r}:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} ^{3}
\end{equation*}が正則である場合には、弧長関数\(s:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能であるとともに狭義単調増加関数になります。\(s\)の逆関数を、\begin{equation*}s^{-1}:\mathbb{R} \supset \left[ 0,s\left( b\right) \right] \rightarrow \left[ a,b\right]
\end{equation*}と表記するのであれば、\(\boldsymbol{r}\)の弧長パラメータ表示が合成関数\begin{equation*}\boldsymbol{r}\circ s^{-1}:\mathbb{R} \supset \left[ 0,s\left( b\right) \right] \rightarrow \mathbb{R} ^{3}
\end{equation*}として得られます。表記の簡略化のため、改めてこれを、\begin{equation*}
\boldsymbol{r}:\mathbb{R} \supset \left[ 0,s\left( b\right) \right] \rightarrow \mathbb{R} ^{3}
\end{equation*}と表記します。
弧長パラメータを採用する場合、パラメータの増加がそのまま道のりの増加に対応するため、速さが常に\(1\)になります。つまり、\begin{equation*}\forall s\in \left[ 0,s\left( b\right) \right] :\left\Vert \boldsymbol{r}^{\prime }\left( s\right) \right\Vert =1
\end{equation*}が成り立ちます。また、弧長\(s\in \left[ 0,s\left( b\right) \right] \)における単位接ベクトルは、\begin{equation*}\boldsymbol{T}\left( s\right) =\boldsymbol{r}^{\prime }\left( s\right)
\end{equation*}と定まり、主法線ベクトルは、\begin{equation*}
\boldsymbol{N}\left( s\right) =\frac{\boldsymbol{r}^{\prime \prime }\left(
s\right) }{\left\Vert \boldsymbol{r}^{\prime \prime }\left( s\right)
\right\Vert }
\end{equation*}と定まり、曲率は、\begin{equation*}
\kappa \left( s\right) =\left\Vert \boldsymbol{T}^{\prime }\left( s\right)
\right\Vert =\left\Vert \boldsymbol{r}^{\prime \prime }\left( s\right)
\right\Vert
\end{equation*}と定まります。したがって、これらの間に以下の関係\begin{equation*}
\boldsymbol{T}^{\prime }\left( s\right) =\kappa \left( s\right) \boldsymbol{N}\left( s\right)
\end{equation*}が成り立ちます。\(\boldsymbol{N}\left( s\right) \)は単位ベクトルであるため、ここから、\begin{equation*}\left\Vert \boldsymbol{T}^{\prime }\left( s\right) \right\Vert =\kappa
\left( s\right)
\end{equation*}もまた導かれます。
弧長\(s\in \left[ 0,s\left( b\right) \right] \)における接触平面は、\begin{equation*}P\left( s\right) =\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{3}\ |\ \exists p,q\in \mathbb{R} :\boldsymbol{x}=\boldsymbol{r}\left( s\right) +p\boldsymbol{T}\left(
s\right) +q\boldsymbol{N}\left( s\right) \right\}
\end{equation*}であり、従法線ベクトルは、\begin{equation*}
\boldsymbol{B}\left( s\right) =\boldsymbol{T}\left( s\right) \times
\boldsymbol{N}\left( s\right)
\end{equation*}であり、接触平面の法線ベクトル表示は、\begin{equation*}
P\left( s\right) =\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{3}\ |\ \left[ \boldsymbol{x}-\boldsymbol{r}\left( s\right) \right] \cdot
\boldsymbol{B}\left( s\right) =0\right\}
\end{equation*}です。
弧長パラメータ表示のもとでの従法線ベクトルを以下のように導出することもできます。
\end{equation*}が成り立つ場合には、\begin{equation*}
\boldsymbol{B}\left( s\right) =\frac{\boldsymbol{r}^{\prime }\left( s\right)
\times \boldsymbol{r}^{\prime \prime }\left( s\right) }{\left\Vert
\boldsymbol{r}^{\prime \prime }\left( s\right) \right\Vert }
\end{equation*}となる。ただし、\(\boldsymbol{B}\left( s\right) \)は従法線ベクトルである。
弧長パラメータ表示のもとでの従法線ベクトルの瞬間変化率は以下のように表現可能です。
\end{equation*}が成り立つものとする。このとき、任意の\(s\in \left[ 0,s\left( b\right) \right] \)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{B}^{\prime }\left( s\right) =-\tau \left( s\right) \boldsymbol{N}\left( s\right)
\end{equation*}を満たす実数値関数\(\tau :\mathbb{R} \supset \left[ 0,s\left( b\right) \right] \rightarrow \mathbb{R} \)が存在する。ただし、\(\boldsymbol{N}\left( s\right) \)は主法線ベクトル、\(\boldsymbol{B}\left( s\right) \)は従法線ベクトルである。
先の命題より、任意の弧長\(s\in \left[ 0,s\left( b\right) \right] \)において、\begin{equation}\boldsymbol{B}^{\prime }\left( s\right) =-\tau \left( s\right) \boldsymbol{N}\left( s\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つことが明らかになりました。右辺を構成する、\begin{equation*}
\tau \left( s\right)
\end{equation*}が弧長\(s\)における捩率です。\(\left( 1\right) \)より、\begin{equation*}\boldsymbol{B}^{\prime }\left( s\right) \cdot \boldsymbol{N}\left( s\right)
=-\tau \left( s\right) \boldsymbol{N}\left( s\right) \cdot \boldsymbol{N}\left( s\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\boldsymbol{B}^{\prime }\left( s\right) \cdot \boldsymbol{N}\left( s\right)
=-\tau \left( s\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\tau \left( s\right) =-\boldsymbol{B}^{\prime }\left( s\right) \cdot
\boldsymbol{N}\left( s\right)
\end{equation*}であることに注意してください。
\(\left( 1\right) \)より以下の関係\begin{eqnarray*}\tau \left( s\right) &>&0\Rightarrow \boldsymbol{B}^{\prime }\left(
s\right) \text{は}\boldsymbol{N}\left( s\right) \text{と逆方向} \\
\tau \left( s\right) &<&0\Rightarrow \boldsymbol{B}^{\prime }\left(
s\right) \text{は}\boldsymbol{N}\left( s\right) \text{と同一方向} \\
\tau \left( s\right) &=&0\Rightarrow \boldsymbol{B}^{\prime }\left(
s\right) =\boldsymbol{0}
\end{eqnarray*}が導かれます。
弧長パラメータ表示のもとでの捩率を以下のように導出することもできます。
\end{equation*}が成り立つものとする。このとき、任意の\(s\in \left[ 0,s\left( b\right) \right] \)に対して、\begin{equation*}\tau \left( s\right) =\frac{\left[ \boldsymbol{r}^{\prime }\left( s\right)
\times \boldsymbol{r}^{\prime \prime }\left( s\right) \right] \cdot
\boldsymbol{r}^{\prime \prime \prime }\left( s\right) }{\left\Vert
\boldsymbol{r}^{\prime \prime }\left( s\right) \right\Vert ^{2}}
\end{equation*}が成り立つ。ただし、\(\boldsymbol{N}\left( s\right) \)は主法線ベクトル、\(\boldsymbol{B}\left( s\right) \)は従法線ベクトルである。
\boldsymbol{r}\left( t\right) =\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( t\right) \\
\sin \left( t\right) \\
t\end{array}\right) \quad \left( t\in \left[ 0,2\pi \right] \right)
\end{equation*}が与えられているものとします。弧長関数\(s:\mathbb{R} \supset \left[ 0,2\pi \right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(t\in \left[ 0,2\pi \right] \)に対して、\begin{eqnarray*}s\left( t\right) &=&\int_{0}^{t}\left\Vert r^{\prime }\left( s\right)
\right\Vert ds \\
&=&\int_{0}^{t}\left\Vert \left(
\begin{array}{c}
-\sin \left( s\right) \\
\cos \left( s\right) \\
1\end{array}\right) \right\Vert ds \\
&=&\int_{0}^{t}\sqrt{2}ds \\
&=&\left[ \sqrt{2}s\right] _{0}^{t} \\
&=&\sqrt{2}t
\end{eqnarray*}を定めます。\(s\)の値域は、\begin{equation*}s\left( \left[ 0,2\pi \right] \right) =\left[ 0,2\sqrt{2}\pi \right] \end{equation*}であり、\(s\)の逆関数\(s^{-1}:\mathbb{R} \supset \left[ 0,2\sqrt{2}\pi \right] \rightarrow \left[ 0,2\pi \right] \)はそれぞれの\(s\in \left[ 0,2\sqrt{2}\pi \right] \)に対して、\begin{equation*}s^{-1}\left( s\right) =\frac{s}{\sqrt{2}}
\end{equation*}を定めます。したがって、弧長パラメータ表示は、\begin{equation*}
\left( \boldsymbol{r}\circ s^{-1}\right) \left( s\right) =\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( \frac{s}{\sqrt{2}}\right) \\
\sin \left( \frac{s}{\sqrt{2}}\right) \\
\frac{s}{\sqrt{2}}\end{array}\right) \quad \left( s\in \left[ 0,2\sqrt{2}\pi \right] \right)
\end{equation*}となります。表記の簡略化のため、これを改めて、\begin{equation*}
\boldsymbol{r}\left( s\right) =\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( \frac{s}{\sqrt{2}}\right) \\
\sin \left( \frac{s}{\sqrt{2}}\right) \\
\frac{s}{\sqrt{2}}\end{array}\right) \quad \left( s\in \left[ 0,2\sqrt{2}\pi \right] \right)
\end{equation*}と表記します。弧長\(s\in \left[ 0,2\sqrt{2}\pi \right] \)における単位接ベクトルは、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{T}\left( s\right) &=&\boldsymbol{r}^{\prime }\left( s\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
-\frac{1}{\sqrt{2}}\sin \left( \frac{s}{\sqrt{2}}\right) \\
\frac{1}{\sqrt{2}}\cos \left( \frac{s}{\sqrt{2}}\right) \\
\frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right)
\end{eqnarray*}であるため、弧長\(s\)における速さは、\begin{equation*}\left\Vert \boldsymbol{r}^{\prime }\left( s\right) \right\Vert =1
\end{equation*}となります。つまり、速さは常に\(1\)であるという弧長パラメータの要件を満たしています。弧長\(s\)における曲率ベクトルは、\begin{equation*}\boldsymbol{r}^{\prime \prime }\left( s\right) =\left(
\begin{array}{c}
-\frac{1}{2}\cos \left( \frac{s}{\sqrt{2}}\right) \\
-\frac{1}{2}\sin \left( \frac{s}{\sqrt{2}}\right) \\
0\end{array}\right)
\end{equation*}であるため、弧長\(s\)における曲率は、\begin{eqnarray*}\kappa \left( s\right) &=&\left\Vert \boldsymbol{r}^{\prime \prime }\left(
s\right) \right\Vert \\
&=&\frac{1}{2}
\end{eqnarray*}です。さらに、\begin{equation*}
\boldsymbol{r}^{\prime \prime \prime }\left( s\right) =\left(
\begin{array}{c}
\frac{1}{2\sqrt{2}}\sin \left( \frac{s}{\sqrt{2}}\right) \\
-\frac{1}{2\sqrt{2}}\cos \left( \frac{s}{\sqrt{2}}\right) \\
0\end{array}\right)
\end{equation*}であるため、\begin{eqnarray*}
\boldsymbol{r}^{\prime }\left( s\right) \times \boldsymbol{r}^{\prime \prime
}\left( s\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
-\frac{1}{\sqrt{2}}\sin \left( \frac{s}{\sqrt{2}}\right) \\
\frac{1}{\sqrt{2}}\cos \left( \frac{s}{\sqrt{2}}\right) \\
\frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right) \times \left(
\begin{array}{c}
-\frac{1}{2}\cos \left( \frac{s}{\sqrt{2}}\right) \\
-\frac{1}{2}\sin \left( \frac{s}{\sqrt{2}}\right) \\
0\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\frac{1}{2\sqrt{2}}\sin \left( \frac{s}{\sqrt{2}}\right) \\
-\frac{1}{2\sqrt{2}}\cos \left( \frac{s}{\sqrt{2}}\right) \\
\frac{1}{2\sqrt{2}}\end{array}\right)
\end{eqnarray*}を得ます。したがって、弧長\(s\)における従法線ベクトルは、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{B}\left( s\right) &=&\frac{\boldsymbol{r}^{\prime }\left(
s\right) \times \boldsymbol{r}^{\prime \prime }\left( s\right) }{\left\Vert
\boldsymbol{r}^{\prime \prime }\left( s\right) \right\Vert } \\
&=&2\left(
\begin{array}{c}
\frac{1}{2\sqrt{2}}\sin \left( \frac{s}{\sqrt{2}}\right) \\
-\frac{1}{2\sqrt{2}}\cos \left( \frac{s}{\sqrt{2}}\right) \\
\frac{1}{2\sqrt{2}}\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\frac{1}{\sqrt{2}}\sin \left( \frac{s}{\sqrt{2}}\right) \\
-\frac{1}{\sqrt{2}}\cos \left( \frac{s}{\sqrt{2}}\right) \\
\frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right)
\end{eqnarray*}です。さらに、\begin{eqnarray*}
\left[ \boldsymbol{r}^{\prime }\left( s\right) \times \boldsymbol{r}^{\prime
\prime }\left( s\right) \right] \cdot \boldsymbol{r}^{\prime \prime \prime
}\left( s\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
\frac{1}{2\sqrt{2}}\sin \left( \frac{s}{\sqrt{2}}\right) \\
-\frac{1}{2\sqrt{2}}\cos \left( \frac{s}{\sqrt{2}}\right) \\
\frac{1}{2\sqrt{2}}\end{array}\right) \cdot \left(
\begin{array}{c}
\frac{1}{2\sqrt{2}}\sin \left( \frac{s}{\sqrt{2}}\right) \\
-\frac{1}{2\sqrt{2}}\cos \left( \frac{s}{\sqrt{2}}\right) \\
0\end{array}\right) \\
&=&\frac{1}{8}\sin ^{2}\left( \frac{s}{\sqrt{2}}\right) +\frac{1}{8}\cos
^{2}\left( \frac{s}{\sqrt{2}}\right) +0 \\
&=&\frac{1}{8}
\end{eqnarray*}であるため、弧長\(s\)における捩率は、\begin{eqnarray*}\tau \left( s\right) &=&\frac{\left[ \boldsymbol{r}^{\prime }\left(
s\right) \times \boldsymbol{r}^{\prime \prime }\left( s\right) \right] \cdot
\boldsymbol{r}^{\prime \prime \prime }\left( s\right) }{\left\Vert
\boldsymbol{r}^{\prime \prime }\left( s\right) \right\Vert ^{2}} \\
&=&\frac{1}{2}
\end{eqnarray*}です。一周期\(s\in \left[ 0,2\sqrt{2}\pi \right] \)を通じて捩率は常に\(\frac{1}{2}\)で一定であり、接触平面が一定の割合でねじれ続けていることが明らかになりました。
演習問題
\begin{array}{c}
\cos \left( t\right) \\
\sin \left( t\right) \\
0\end{array}\right) \quad \left( t\in \mathbb{R} \right)
\end{equation*}であるものとします。時点\(t=0\)において、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{r}\left( 0\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
0\end{array}\right) \\
\boldsymbol{T}\left( 0\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1 \\
0\end{array}\right) \\
\boldsymbol{N}\left( 0\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
-1 \\
0 \\
0\end{array}\right)
\end{eqnarray*}であることを確認してください。
\begin{array}{c}
\cos \left( t\right) \\
\sin \left( t\right) \\
\frac{1}{6}t^{3}\end{array}\right) \quad \left( t\in \mathbb{R} \right)
\end{equation*}であるものとします。時点\(t=0\)において、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{r}\left( 0\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
0\end{array}\right) \\
\boldsymbol{T}\left( 0\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1 \\
0\end{array}\right) \\
\boldsymbol{N}\left( 0\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
-1 \\
0 \\
0\end{array}\right)
\end{eqnarray*}であることを確認してください。
\boldsymbol{r}\left( t\right) =\left(
\begin{array}{c}
t \\
\frac{t^{2}}{2} \\
\frac{t^{3}}{3}\end{array}\right) \quad \left( t\in \mathbb{R} \right)
\end{equation*}が与えられているものとします。以下の問いに答えてください。
- 速度ベクトル\(\boldsymbol{v}\left(t\right) \)と加速度ベクトル\(\boldsymbol{a}\left( t\right) \)を求めてください。
- 従法線ベクトル\(B\left(t\right) \)を求めてください。
- 時点\(t=1\)における接触平面の方程式を求めてください。
\begin{array}{c}
a\cos \left( t\right) \\
a\sin \left( t\right) \\
bt\end{array}\right) \quad \left( t\in \mathbb{R} \right)
\end{equation*}として与えられているものとします。以下の問いに答えてください。
- 捩率\(\tau \left( t\right) \)を求めてください。
- \(b=0\)の場合に何が起こるか説明してください。
- \(a\)を固定したまま\(\left\vert b\right\vert \)を大きくすると、曲線のねじれ方はどのように変化するか考察してください。
- なぜ急カーブでは速度制限が必要なのか説明してください。
- なぜ立体交差や山道ではねじれが問題になるのか説明してください。
- 曲率や捩率が急激に変化すると乗客にどのような影響が生じるか説明してください。
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