ベクトル値関数のベクトル和の微分
定義域を共有する2つのベクトル値関数\begin{eqnarray*}
\boldsymbol{f} &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m} \\
\boldsymbol{g} &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{eqnarray*}が与えられたとき、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{eqnarray*}\left( \boldsymbol{f}+\boldsymbol{g}\right) \left( x\right) &=&\boldsymbol{f}\left( x\right) +\boldsymbol{g}\left( x\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( x\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( x\right)\end{array}\right) +\left(
\begin{array}{c}
g_{1}\left( x\right) \\
\vdots \\
g_{m}\left( x\right)\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( x\right) +g_{1}\left( x\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( x\right) +g_{m}\left( x\right)\end{array}\right)
\end{eqnarray*}を定める新たなベクトル値関数\begin{equation*}
\boldsymbol{f}+\boldsymbol{g}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が定義可能です。ただし、\begin{eqnarray*}
f_{i} &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \quad \left( i=1,\cdots ,m\right) \\
g_{i} &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \quad \left( i=1,\cdots ,m\right)
\end{eqnarray*}は\(\boldsymbol{f},\boldsymbol{g}\)の成分関数です。
関数\(\boldsymbol{f},\boldsymbol{g}\)がともに定義域の内点\(a\in X^{i}\)において\(n\)階微分可能ならば、\(\boldsymbol{f}+\boldsymbol{g}\)もまた点\(a\)において\(n\)階微分可能であることが保証されるとともに、これらの関数の\(n\)階微分係数の間には以下の関係\begin{equation*}\left( \boldsymbol{f}+\boldsymbol{g}\right) ^{\left( n\right) }\left(
a\right) =\boldsymbol{f}^{\left( n\right) }\left( a\right) +\boldsymbol{g}^{\left( n\right) }\left( a\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left(
\begin{array}{c}
\left( f_{1}+g_{1}\right) ^{\left( n\right) }\left( a\right) \\
\vdots \\
\left( f_{m}+g_{m}\right) ^{\left( n\right) }\left( a\right)
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
f_{1}^{\left( n\right) }\left( a\right) \\
\vdots \\
f_{m}^{\left( n\right) }\left( a\right)
\end{array}\right) +\left(
\begin{array}{c}
g_{1}^{\left( n\right) }\left( a\right) \\
\vdots \\
g_{m}^{\left( n\right) }\left( a\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}が成立します。
したがって、何らかのベクトル値関数\(\boldsymbol{f},\boldsymbol{g}\)のベクトル和の形をしているベクトル値関数\(\boldsymbol{f}+\boldsymbol{g}\)の高階微分可能性を検討する際には、高階微分の定義にさかのぼって考える前に、まずは\(\boldsymbol{f}\)と\(\boldsymbol{g}\)を分けた上で、両者が高階微分可能であることを確認すればよいということになります。さらに、\(\boldsymbol{f},\boldsymbol{g}\)がともに高階微分可能である場合、それらの高階微分係数のベクトル和をとれば\(\boldsymbol{f}+\boldsymbol{g}\)の高階微分係数が得られます。
a\right) =\boldsymbol{f}^{\left( n\right) }\left( a\right) +\boldsymbol{g}^{\left( n\right) }\left( a\right)
\end{equation*}を満たす。
x\right) =\boldsymbol{f}^{\left( n\right) }\left( x\right) +\boldsymbol{g}^{\left( n\right) }\left( x\right)
\end{equation*}を定めます。
x\right) &=&\boldsymbol{f}^{\left( n\right) }\left( x\right) +\boldsymbol{g}^{\left( n\right) }\left( x\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
f_{1}^{\left( n\right) }\left( x\right) \\
f_{2}^{\left( n\right) }\left( x\right)
\end{array}\right) +\left(
\begin{array}{c}
g_{1}^{\left( n\right) }\left( x\right) \\
g_{2}^{\left( n\right) }\left( x\right)
\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
f_{1}^{\left( n\right) }\left( x\right) +g_{1}^{\left( n\right) }\left(
x\right) \\
f_{2}^{\left( n\right) }\left( x\right) +g_{2}^{\left( n\right) }\left(
x\right)
\end{array}\right) \\
&=&\left[ f_{1}^{\left( n\right) }\left( x\right) +g_{1}^{\left( n\right)
}\left( x\right) \right] \boldsymbol{i}+\left[ f_{2}^{\left( n\right)
}\left( x\right) +g_{2}^{\left( n\right) }\left( x\right) \right] \boldsymbol{j}
\end{eqnarray*}を定めます。ただし、\begin{equation*}
\boldsymbol{i}=\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0\end{array}\right) ,\quad \boldsymbol{j}=\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1\end{array}\right)
\end{equation*}です。
x\right) &=&\boldsymbol{f}^{\left( n\right) }\left( x\right) +\boldsymbol{g}^{\left( n\right) }\left( x\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
f_{1}^{\left( n\right) }\left( x\right) \\
f_{2}^{\left( n\right) }\left( x\right) \\
f_{3}^{\left( n\right) }\left( x\right)
\end{array}\right) +\left(
\begin{array}{c}
g_{1}^{\left( n\right) }\left( x\right) \\
g_{2}^{\left( n\right) }\left( x\right) \\
g_{3}^{\left( n\right) }\left( x\right)
\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
f_{1}^{\left( n\right) }\left( x\right) +g_{1}^{\left( n\right) }\left(
x\right) \\
f_{2}^{\left( n\right) }\left( x\right) +g_{2}^{\left( n\right) }\left(
x\right) \\
f_{3}^{\left( n\right) }\left( x\right) +g_{3}^{\left( n\right) }\left(
x\right)
\end{array}\right) \\
&=&\left[ f_{1}^{\left( n\right) }\left( x\right) +g_{1}^{\left( n\right)
}\left( x\right) \right] \boldsymbol{i}+\left[ f_{2}^{\left( n\right)
}\left( x\right) +g_{2}^{\left( n\right) }\left( x\right) \right] \boldsymbol{j}+\left[ f_{3}^{\left( n\right) }\left( x\right) +g_{3}^{\left(
n\right) }\left( x\right) \right] \boldsymbol{k}
\end{eqnarray*}を定めます。ただし、\begin{equation*}
\boldsymbol{i}=\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
0\end{array}\right) ,\quad \boldsymbol{j}=\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1 \\
0\end{array}\right) ,\quad \boldsymbol{k}=\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
1\end{array}\right)
\end{equation*}です。
\begin{array}{c}
x^{2} \\
5x\end{array}\right) +\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( x\right) \\
\sin \left( x\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。導関数\(\boldsymbol{f}^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{f}^{\prime }\left( x\right) &=&\frac{d}{dx}\left(
\begin{array}{c}
x^{2} \\
5x\end{array}\right) +\frac{d}{dx}\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( x\right) \\
\sin \left( x\right)
\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
2x \\
5\end{array}\right) +\left(
\begin{array}{c}
-\sin \left( x\right) \\
\cos \left( x\right)
\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
2x-\sin \left( x\right) \\
5+\cos \left( x\right)
\end{array}\right)
\end{eqnarray*}を定めます。2階の導関数\(\boldsymbol{f}^{\prime \prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{f}^{\prime \prime }\left( x\right) &=&\frac{d^{2}}{dx^{2}}\left(
\begin{array}{c}
x^{2} \\
5x\end{array}\right) +\frac{d^{2}}{dx^{2}}\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( x\right) \\
\sin \left( x\right)
\end{array}\right) \\
&=&\frac{d}{dx}\left(
\begin{array}{c}
2x \\
5\end{array}\right) +\frac{d}{dx}\left(
\begin{array}{c}
-\sin \left( x\right) \\
\cos \left( x\right)
\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
2 \\
0\end{array}\right) +\left(
\begin{array}{c}
-\cos \left( x\right) \\
-\sin \left( x\right)
\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
2-\cos \left( x\right) \\
-\sin \left( x\right)
\end{array}\right)
\end{eqnarray*}を定めます。3階の導関数\(\boldsymbol{f}^{\prime \prime \prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{f}^{\prime \prime \prime }\left( x\right) &=&\frac{d^{3}}{dx^{3}}\left(
\begin{array}{c}
x^{2} \\
5x\end{array}\right) +\frac{d^{3}}{dx^{3}}\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( x\right) \\
\sin \left( x\right)
\end{array}\right) \\
&=&\frac{d}{dx}\left(
\begin{array}{c}
2 \\
0\end{array}\right) +\frac{d}{dx}\left(
\begin{array}{c}
-\cos \left( x\right) \\
-\sin \left( x\right)
\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right) +\left(
\begin{array}{c}
\sin \left( x\right) \\
-\cos \left( x\right)
\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\sin \left( x\right) \\
-\cos \left( x\right)
\end{array}\right)
\end{eqnarray*}を定めます。
演習問題
\boldsymbol{r}\left( t\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
e^{t} \\
\sin \left( t\right)
\end{array}\right) \\
\boldsymbol{s}\left( t\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
t^{2} \\
\cos \left( t\right)
\end{array}\right)
\end{eqnarray*}に対して、\begin{equation*}
\frac{d^{2}}{dt^{2}}\left[ \boldsymbol{r}\left( t\right) +\boldsymbol{s}\left( t\right) \right] \end{equation*}を求めてください。
\boldsymbol{r}\left( t\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( t\right) \\
\sin \left( t\right)
\end{array}\right) \\
\boldsymbol{s}\left( t\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
t \\
e^{t}\end{array}\right)
\end{eqnarray*}に対して、\begin{equation*}
\frac{d^{3}}{dt^{3}}\left[ 2\boldsymbol{r}\left( t\right) +3\boldsymbol{s}\left( t\right) \right] \end{equation*}を求めてください。
\boldsymbol{r}\left( t\right) =\left(
\begin{array}{c}
t \\
t^{2}\end{array}\right)
\end{equation*}で与えられており、平面上の円運動が、\begin{equation*}
\boldsymbol{s}\left( t\right) =\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( t\right) \\
\sin \left( t\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}で与えられているものとします。放物線運動と円運動のベクトル和\begin{equation*}
\boldsymbol{r}\left( t\right) +\boldsymbol{s}\left( t\right)
\end{equation*}の速度ベクトルと加速度ベクトルをそれぞれ求めてください。
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