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DIFFERENTIATION OF FUNCTIONS

関数のテイラー近似多項式

目次

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微分可能な関数の1次のテイラー近似多項式

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上の点\(a\in X\)において微分可能である場合には、点\(a\)の周辺の任意の点\(x\)において、\begin{equation*}f\left( x\right) \approx f\left( a\right) +f^{\prime }\left( a\right) \cdot
\left( x-a\right)
\end{equation*}という近似式が成り立ちます。つまり、関数\(f\)を点\(a\)で微分することとは、点\(a\)の周辺において\(f\)を変数\(x\)に関する1次の多項式\begin{equation}f\left( a\right) +f^{\prime }\left( a\right) \cdot \left( x-a\right)
\quad \cdots (1)
\end{equation}で近似することを意味します。逆に、点\(a\)において微分可能な関数\(f\)が与えられたとき、点\(a\)の周辺において\(f\)を近似する変数\(x\)に関する1次多項式を\begin{equation}P_{1,a}\left( x\right) =c_{0}+c_{1}\cdot \left( x-a\right) \quad \left(
c_{0},c_{1}\in \mathbb{R} \right) \quad \cdots (2)
\end{equation}と表記するのであれば、これは\(\left( 1\right) \)に他ならないため、\(\left( 2\right) \)を構成する定数項\(c_{0}\)と1次の係数\(c_{1}\)はそれぞれ、\begin{eqnarray*}c_{0} &=&f\left( a\right) \\
c_{1} &=&f^{\prime }\left( a\right)
\end{eqnarray*}となります。以上を踏まえた上で、以下の多項式関数\begin{equation*}
P_{1,a}\left( x\right) =f\left( a\right) +f^{\prime }\left( a\right) \cdot
\left( x-a\right)
\end{equation*}を\(a\)における\(f\)\(1\)次のテイラー近似多項式(1st degree Taylor approximating polynomial of \(f\) at \(a\))と呼びます。\(P_{1,a}\left( x\right) \)は多項式関数であるため微分可能ですが、\begin{eqnarray*}P_{1,a}\left( a\right) &=&f\left( a\right) \\
P_{1,a}^{\prime }\left( a\right) &=&f^{\prime }\left( a\right)
\end{eqnarray*}という関係が成立していることに注意してください。\(P_{1,a}\left( x\right) \)のグラフは\(f\)のグラフの点\(a\)における接線です。

例(微分可能な関数の1次のテイラー近似多項式)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation}f\left( x\right) =e^{x} \quad \cdots (1)
\end{equation}を定めるものとします。自然指数関数は全区間\(\mathbb{R} \)上で微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation}f^{\prime }\left( x\right) =e^{x} \quad \cdots (2)
\end{equation}を定めます。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、点\(a\)における\(f\)の\(1\)次のテイラー近似多項式は、\begin{eqnarray*}P_{1,a}\left( x\right) &=&f\left( a\right) +f^{\prime }\left( a\right)
\cdot \left( x-a\right) \quad \because P_{1}\left( a\right) \text{の定義} \\
&=&e^{a}+e^{a}\left( x-a\right) \quad \because \left( 1\right) ,\left(
2\right)
\end{eqnarray*}となります。特に、点\(0\)における\(f\)の\(1\)次のテイラー近似多項式は、\begin{eqnarray*}P_{1,0}\left( x\right) &=&e^{0}+e^{0}\left( x-0\right) \\
&=&1+x
\end{eqnarray*}となります。関数\(f\)のグラフは下図の黒い曲線として、テイラー近似多項式\(P_{1,0}\left( x\right) \)は青い曲線として描かれています。\(P_{1,0}\left(x\right) \)は点\(0\)における\(f\)のグラフの接線であるため、たしかに点\(0\)の周辺の任意の点\(x\)において\(P_{1,0}\left( x\right) \)は\(f\)を近似しています。

図:点0における1次の近似多項式
図:点0における1次の近似多項式
例(微分可能な関数の1次のテイラー近似多項式)
関数\(f:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation}f\left( x\right) =\ln x \quad \cdots (1)
\end{equation}を定めるものとします。自然対数関数は定義域\(\mathbb{R} _{++}\)上で微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation}f^{\prime }\left( x\right) =\frac{1}{x} \quad \cdots (2)
\end{equation}を定めます。点\(a\in \mathbb{R} _{++}\)を任意に選んだとき、点\(a\)における\(f\)の\(1\)次のテイラー近似多項式は、\begin{eqnarray*}P_{1,a}\left( x\right) &=&f\left( a\right) +f^{\prime }\left( a\right)
\cdot \left( x-a\right) \quad \because P_{1}\left( a\right) \text{の定義} \\
&=&\ln a+\frac{1}{a}\cdot \left( x-a\right) \quad \because \left( 1\right)
,\left( 2\right)
\end{eqnarray*}となります。特に、点\(1\)における\(f\)の\(1\)次のテイラー近似多項式は、\begin{eqnarray*}P_{1,1}\left( x\right) &=&\ln 1+\frac{1}{1}\cdot \left( x-1\right) \\
&=&0+x-1 \\
&=&x-1
\end{eqnarray*}となります。関数\(f\)のグラフは下図の黒い曲線として、テイラー近似多項式\(P_{1,1}\left( x\right) \)は青い曲線として描かれています。\(P_{1,1}\left(x\right) \)は点\(1\)における\(f\)のグラフの接線であるため、たしかに点\(1\)の周辺の任意の点\(x\)において\(P_{1,1}\left( x\right) \)は\(f\)を近似しています。

図:点1における1次のテイラー近似多項式
図:点1における1次のテイラー近似多項式

 

2階微分可能な関数の2次のテイラー近似多項式

繰り返しになりますが、関数を点において微分することとは、その点の周辺の任意の点において、もとの複雑な関数をより単純な1次の多項式によって近似することを意味します。一方、このような考え方とは逆に、関数を高次の多項式によって近似することにより、近似の精度を高めようとする考え方もあります。順番に解説します。

繰り返しになりますが、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上の点\(a\in X\)において微分可能である場合には、点\(a\)の周辺の任意の点\(x\)において、\begin{equation*}f\left( x\right) \approx P_{1,a}\left( x\right)
\end{equation*}という近似関係が成立します。ただし、\(P_{1,a}\left( x\right) \)は点\(a\)における\(f\)の1次のテイラー近似多項式であり、\begin{equation*}P_{1,a}\left( x\right) =f\left( a\right) +f^{\prime }\left( a\right) \cdot
\left( x-a\right)
\end{equation*}と定義されます。このとき、\begin{eqnarray}
P_{1,a}\left( a\right) &=&f\left( a\right) \quad \cdots (1) \\
P_{1,a}^{\prime }\left( a\right) &=&f^{\prime }\left( a\right) \quad \cdots (2)
\end{eqnarray}という関係が成立します。\(P_{1,a}\left( x\right) \)のグラフは\(f\)のグラフの点\(a\)における接線です。

では、関数\(f\)を点\(a\)の周辺の任意の点\(x\)において2次の多項式によって近似することはできるでしょうか。つまり、変数\(x\)に関する2次多項式を、\begin{equation*}P_{2,a}\left( x\right) =c_{0}+c_{1}\cdot \left( x-a\right) +c_{2}\cdot
\left( x-a\right) ^{2}\quad \left( c_{0},c_{1},c_{2}\in \mathbb{R} \right)
\end{equation*}とおいたとき、点\(a\)の周辺の任意の点\(x\)において、\begin{equation*}f\left( x\right) \approx P_{2,a}\left( x\right)
\end{equation*}という近似関係が成り立つことを保証するためには、\(P_{2,a}\left( x\right) \)の定数項\(c_{0}\)と係数\(c_{1},c_{2}\)をどのように定めればよいでしょうか。試みとして、1次のテイラー近似多項式\(P_{1,a}\left( x\right) \)の性質\(\left( 1\right) ,\left(2\right) \)を踏まえた上で、2次の多項式\(P_{2,a}\left( x\right) \)に対しても同様の性質\begin{eqnarray*}P_{2,a}\left( a\right) &=&f\left( a\right) \\
P_{2,a}^{\prime }\left( a\right) &=&f^{\prime }\left( a\right) \\
P_{2,a}^{\prime \prime }\left( a\right) &=&f^{\prime \prime }\left(
a\right)
\end{eqnarray*}が成り立つことを要求します。ただし、このような要求を可能とするためには\(f\)は点\(a\)において2階微分可能である必要があります。以上の要求を満たす多項式関数\(P_{2,a}\left( x\right) \)を\(a\)における\(f\)\(2\)次のテイラー近似多項式(2nddegree Taylor approximating polynomial of \(f\) at \(a\))と呼びます。\(P_{2,a}\left( x\right) \)の定数項\(c_{0}\)および係数\(c_{1},c_{2}\)を以下のように特定できます。

命題(2次のテイラー近似多項式)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)は定義域上の点\(a\in X\)において\(2\)階微分可能であるものとする。このとき、点\(a\)の周辺の任意の点\(x\)において定義される\(2\)次の多項式関数\begin{equation*}P_{2,a}\left( x\right) =c_{0}+c_{1}\cdot \left( x-a\right) +c_{2}\cdot
\left( x-a\right) ^{2}\quad \left( c_{0},c_{1},c_{2}\in \mathbb{R} \right)
\end{equation*}が以下の条件\begin{eqnarray*}
P_{2,a}\left( a\right) &=&f\left( a\right) \\
P_{2,a}^{\prime }\left( a\right) &=&f^{\prime }\left( a\right) \\
P_{2,a}^{\prime \prime }\left( a\right) &=&f^{\prime \prime }\left(
a\right)
\end{eqnarray*}を満たす場合には、\begin{equation*}
c_{k}=\frac{f^{\left( k\right) }\left( a\right) }{k!}\quad \left(
k=0,1,2\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。したがって、点\(a\)における\(f\)の\(2\)次のテイラー近似多項式は、\begin{equation*}P_{2,a}\left( x\right) =f\left( a\right) +f^{\prime }\left( a\right) \cdot
\left( x-a\right) +\frac{f^{\prime \prime }\left( a\right) }{2}\cdot \left(
x-a\right) ^{2}
\end{equation*}となる。

証明

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関数\(f\)が定義域上の点\(a\)において\(2\)階微分可能である場合、点\(a\)における\(f\)の\(2\)次のテイラー近似多項式は、\begin{equation*}P_{2,a}\left( x\right) =f\left( a\right) +f^{\prime }\left( a\right) \cdot
\left( x-a\right) +\frac{f^{\prime \prime }\left( a\right) }{2}\cdot \left(
x-a\right) ^{2}
\end{equation*}として与えられることが明らかになりましたが、後ほど示すように、\(P_{2,a}\left( x\right) \)は1次のテイラー近似多項式\(P_{1,a}\left( x\right) \)と同様、点\(a\)の周辺の任意の点\(x\)において\(f\)を近似します。つまり、点\(a\)の周辺の任意の点\(x\)において、\begin{equation*}f\left( x\right) \approx P_{2,a}\left( x\right)
\end{equation*}という近似関係が成立します。しかも、点\(a\)の周辺の任意の点において\(P_{2,a}\left( x\right) \)は\(P_{1,a}\left( x\right) \)よりも高い精度で\(f\)を近似します。厳密な証明は後ほど行うことにして、まずは実例を通じて以上の主張が正しいことを確認します。

例(微分可能な関数の2次のテイラー近似多項式)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation}f\left( x\right) =e^{x} \quad \cdots (1)
\end{equation}を定めるものとします。自然指数関数は全区間\(\mathbb{R} \)上で2階微分可能であり、1階の導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)と2階の導関数\(f^{\prime \prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray}f^{\prime }\left( x\right) &=&e^{x} \quad \cdots (2) \\
f^{\prime \prime }\left( x\right) &=&e^{x} \quad \cdots (3)
\end{eqnarray}を定めます。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、点\(a\)における\(f\)の\(1\)次のテイラー近似多項式は、\begin{eqnarray*}P_{1,a}\left( x\right) &=&f\left( a\right) +f^{\prime }\left( a\right)
\cdot \left( x-a\right) \quad \because P_{1}\left( a\right) \text{の定義} \\
&=&e^{a}+e^{a}\left( x-a\right) \quad \because \left( 1\right) ,\left(
2\right)
\end{eqnarray*}であり、点\(a\)における\(f\)の\(2\)次のテイラー近似多項式は、\begin{eqnarray*}P_{2,a}\left( x\right) &=&f\left( a\right) +f^{\prime }\left( a\right)
\cdot \left( x-a\right) +\frac{f^{\prime \prime }\left( a\right) }{2}\cdot
\left( x-a\right) ^{2}\quad \because P_{2}\left( a\right) \text{の定義} \\
&=&e^{a}+e^{a}\left( x-a\right) +\frac{e^{a}}{2}\left( x-a\right) ^{2}\quad
\because \left( 1\right) ,\left( 2\right) ,\left( 3\right)
\end{eqnarray*}となります。特に、点\(0\)における\(1\)次および\(2\)次のテイラー近似多項式は、\begin{eqnarray*}P_{1,0}\left( x\right) &=&e^{0}+e^{0}\left( x-0\right) =1+x \\
P_{2,0}\left( x\right) &=&e^{0}+e^{0}\left( x-0\right) +\frac{e^{0}}{2}\left( x-0\right) ^{2}=1+x+\frac{1}{2}x^{2}
\end{eqnarray*}となります。関数\(f\)のグラフは下図の黒い曲線として、\(P_{1,0}\left( x\right) \)は青い曲線として、\(P_{2,0}\left( x\right) \)は赤い曲線として描かれています。点\(0\)の周辺の任意の点において\(P_{2,0}\left( x\right) \)は\(P_{1,0}\left( x\right) \)よりも高い精度で\(f\)を近似していることを図から確認できます。

図:点0における1次と2次のテイラー近似多項式
図:点0における1次と2次のテイラー近似多項式
例(微分可能な関数の2次の近似多項式)
関数\(f:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation}f\left( x\right) =\ln x \quad \cdots (1)
\end{equation}を定めるものとします。自然対数関数は定義域\(\mathbb{R} _{++}\)上で2階微分可能であり、1階の導関数\(f^{\prime}:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)と2階の導関数\(f^{\prime \prime }:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)それぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{eqnarray}f^{\prime }\left( x\right) &=&\frac{1}{x} \quad \cdots (2) \\
f^{\prime \prime }\left( x\right) &=&-\frac{1}{x^{2}} \quad \cdots (3)
\end{eqnarray}を定めます。点\(a\in \mathbb{R} _{++}\)を任意に選んだとき、点\(a\)における\(f\)の\(1\)次のテイラー近似多項式は、\begin{eqnarray*}P_{1,a}\left( x\right) &=&f\left( a\right) +f^{\prime }\left( a\right)
\cdot \left( x-a\right) \quad \because P_{1}\left( a\right) \text{の定義} \\
&=&\ln a+\frac{1}{a}\cdot \left( x-a\right) \quad \because \left( 1\right)
,\left( 2\right)
\end{eqnarray*}であり、点\(a\)における\(f\)の\(2\)次のテイラー近似多項式は、\begin{eqnarray*}P_{1,a}\left( x\right) &=&f\left( a\right) +f^{\prime }\left( a\right)
\cdot \left( x-a\right) +\frac{f^{\prime \prime }\left( a\right) }{2}\cdot
\left( x-a\right) ^{2}\quad \because P_{1}\left( a\right) \text{の定義} \\
&=&\ln a+\frac{1}{a}\cdot \left( x-a\right) -\frac{1}{2a^{2}}\cdot \left(
x-a\right) ^{2}\quad \because \left( 1\right) ,\left( 2\right)
\end{eqnarray*}となります。特に、点\(1\)における\(1\)次および\(2\)次のテイラー近似多項式は、\begin{eqnarray*}P_{1,1}\left( x\right) &=&\ln 1+\frac{1}{1}\cdot \left( x-1\right) =x-1 \\
P_{2,1}\left( x\right) &=&\ln 1+\frac{1}{1}\cdot \left( x-1\right) -\frac{1}{2\cdot 1^{2}}\cdot \left( x-1\right) ^{2}=-\frac{1}{2}x^{2}+2x-\frac{3}{2}
\end{eqnarray*}となります。関数\(f\)のグラフは下図の黒い曲線として、\(P_{1,1}\left( x\right) \)は青い曲線として、\(P_{2,1}\left( x\right) \)は赤い曲線として描かれています。点\(1\)の周辺の任意の点において\(P_{2,1}\left( x\right) \)は\(P_{1,1}\left( x\right) \)よりも高い精度で\(f\)を近似していることを図から確認できます。

図:点1における1次と2次のテイラー近似多項式
図:点1における1次と2次のテイラー近似多項式

 

\(n\)階微分可能な関数の\(n\)次のテイラー近似多項式

以上の議論を一般化します。関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上の点\(a\in X\)において\(n\)階微分可能であるとき、\(f\)を点\(a\)の周辺の任意の点\(x\)において\(n\)次の多項式によって近似できるでしょうか。つまり、変数\(x\)に関する\(n\)次多項式を、\begin{equation*}P_{n,a}\left( x\right) =\sum_{k=0}^{n}\left[ c_{k}\cdot \left( x-a\right)
^{k}\right] \quad \left( c_{k}\in \mathbb{R} \right)
\end{equation*}とおいたとき、点\(a\)の周辺の任意の点\(x\)において、\begin{equation*}f\left( x\right) \approx P_{n,a}\left( x\right)
\end{equation*}という近似関係が成り立つことを保証するためには、\(P_{n}\left( x\right) \)の定数項\(c_{0}\)および係数\(c_{1},\cdots ,c_{n}\)をどのように定めればよいでしょうか。以上の問題意識のもと、\(P_{n,a}\left( x\right) \)に対して、\begin{equation*}P_{n,a}^{\left( k\right) }=f^{\left( k\right) }\left( a\right) \quad \left(
k=0,1,\cdots ,n\right)
\end{equation*}が成り立つことを要求します。仮定より\(f\)は点\(a\)において\(n\)階微分可能であるため、このような要求は可能です。以上の要求を満たす多項式関数\(P_{n,a}\left( x\right) \)を\(a\)における\(f\)\(n\)次のテイラー近似多項式(\(n\ \)th degree Taylor approximating polynomial of \(f\) at \(a\))と呼びます。\(P_{n}\left( x\right) \)の定数項\(c_{0}\)および係数\(c_{1},\cdots ,c_{n}\)を以下のように特定できます。

命題((n)次のテイラー近似多項式)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)は定義域上の点\(a\in X\)において\(n\)階微分可能であるものとする。このとき、点\(a\)の周辺の任意の点\(x\)において定義される\(n\)次の多項式関数\begin{equation*}P_{n,a}\left( x\right) =\sum_{k=0}^{n}\left[ c_{k}\cdot \left( x-a\right)
^{k}\right] \quad \left( c_{k}\in \mathbb{R} \right)
\end{equation*}が以下の条件\begin{equation*}
P_{n,a}^{\left( k\right) }=f^{\left( k\right) }\left( a\right) \quad \left(
k=0,1,\cdots ,n\right)
\end{equation*}を満たす場合には、\begin{equation*}
c_{k}=\frac{f^{\left( k\right) }\left( a\right) }{k!}\quad \left(
k=0,1,\cdots ,n\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。したがって、点\(a\)における\(f\)の\(n\)次のテイラー近似多項式は、\begin{equation*}P_{n,a}\left( x\right) =\sum_{k=0}^{n}\left[ \frac{f^{\left( k\right)
}\left( a\right) }{k!}\cdot \left( x-a\right) ^{k}\right] \end{equation*}となる。

証明

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関数\(f\)が定義域上の点\(a\)において\(n\)階微分可能である場合、点\(a\)における\(f\)の\(n\)次のテイラー近似多項式は、\begin{eqnarray*}P_{n,a}\left( x\right) &=&\sum_{k=0}^{n}\left[ \frac{f^{\left( k\right)
}\left( a\right) }{k!}\cdot \left( x-a\right) ^{k}\right] \\
&=&f\left( a\right) +f^{\prime }\left( a\right) \cdot \left( x-a\right) +\frac{f^{\prime \prime }\left( a\right) }{2}\cdot \left( x-a\right)
^{2}+\cdots +\frac{f^{\left( n\right) }\left( a\right) }{n!}\cdot \left(
x-a\right) ^{n}
\end{eqnarray*}として与えられることが明らかになりました。ただ、この関数\(P_{n,a}\left( x\right) \)が点\(a\)の周辺の任意の点\(x\)において\(f\)を近似すること、すなわち、点\(a\)の周辺の任意の点\(x\)において、\begin{equation*}f\left( x\right) \approx P_{n,a}\left( x\right)
\end{equation*}という近似関係が成り立つことの根拠は示されていません。また、\(n\)を大きくするほど近似の精度が高くなることの根拠も示されていません。これらの主張の根拠を与えるのがテイラーの定理(Taylor’s theorem)です。次回はテイラーの定理について解説します。

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