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DIFFERENTIATION OF FUNCTIONS

コーシーの平均値の定理

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コーシーの平均値の定理

\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、それらを端点とする有界な閉区間\begin{equation*}\left[ a,b\right] =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x\leq b\right\}
\end{equation*}を定義し、この区間上に2つの関数\(f,g:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)を定義します。これらの関数\(f,g\)は以下の2つの条件を満たすものとします。

1つ目の性質は、これらの関数\(f,g\)がともに定義域\(\left[ a,b\right] \)上で連続であるということです。つまり、\(f\)および\(g\)は定義域の内部である有界な開区間\(\left( a,b\right) \)上の任意の点において連続であるとともに、端点\(a\)において右側連続であり、もう一方の端点\(b\)において左側連続です。この場合、最大値・最小値の定理より、\(f\)および\(g\)は\(\left[ a,b\right] \)上の点において最大値や最小値をとることが保証されます。

2つ目の性質は、これらの関数\(f,g\)がともに定義域の内部である\(\left(a,b\right) \)上の任意の点において微分可能であるということです。つまり、導関数\(f^{\prime },g^{\prime}:\left( a,b\right) \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれ存在します。

変数\(x\)の値が区間\(\left[ a,b\right]\)上を動くと\(f\left( x\right) \)の値は\(f\left( b\right) -f\left( a\right) \)だけ変化し、\(g\left( x\right) \)の値は\(g\left( b\right)-g\left( a\right) \)だけ変化します。一方、区間の内点\(c\in \left( a,b\right) \)を任意に選んだとき、そこでの\(f\left(x\right) \)の瞬間的な変化量は\(f^{\prime }\left( a\right) \)であり、\(g\left( x\right) \)の瞬間的な変化量は\(g^{\prime }\left( c\right) \)です。コーシーの平均値の定理(Cauchy’s mean value theorem)は関数\(f,g\)の区間上での変化量と区間内の点における瞬間的な変化量の関係を規定する命題であり、具体的には、\begin{equation*}f^{\prime }\left( c\right) \cdot \left[ g\left( b\right) -g\left( a\right) \right] =g^{\prime }\left( c\right) \cdot \left[ f\left( b\right) -f\left(
a\right) \right] \end{equation*}という関係を満たす\(\left( a,b\right) \)上の点\(c\)が存在することを保証します。特に、\(g\)の導関数が、\begin{equation*}\forall x\in \left( a,b\right) :g^{\prime }\left( x\right) \not=0
\end{equation*}を満たす場合には、上の関係を、\begin{equation*}
\frac{f^{\prime }\left( c\right) }{g^{\prime }\left( c\right) }=\frac{f\left( b\right) -f\left( a\right) }{g\left( b\right) -g\left( a\right) }
\end{equation*}と言い換えることができます。つまり、コーシーの平均値の定理とは、変数\(x\)が区間上\(\left[ a,b\right] \)を動いたときの関数\(f,g\)の変化量の比(右辺)が、区間の内部\(\left( a,b\right) \)に存在する何らかの点\(c\)における\(f,g\)の微分係数の比(左辺)として表せるという主張です。証明ではロルの定理を利用します。

命題(コーシーの平均値の定理)
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界閉区間上に定義された2つの関数\(f,g:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、これらがともに\(\left[ a,b\right] \)上で連続であり、\(\left(a,b\right) \)上で微分可能であるならば、\begin{equation*}\exists c\in \left( a,b\right) :f^{\prime }\left( c\right) \cdot \left[
g\left( b\right) -g\left( a\right) \right] =g^{\prime }\left( c\right) \cdot \left[ f\left( b\right) -f\left( a\right) \right] \end{equation*}が成り立つ。特に、\(g\)の導関数\(g^{\prime }:\left( a,b\right) \rightarrow \mathbb{R} \)が、\begin{equation*}\forall x\in \left( a,b\right) :g^{\prime }\left( x\right) \not=0
\end{equation*}を満たす場合には、\begin{equation*}
\exists c\in \left( a,b\right) :\frac{f^{\prime }\left( c\right) }{g^{\prime
}\left( c\right) }=\frac{f\left( b\right) -f\left( a\right) }{g\left(
b\right) -g\left( a\right) }
\end{equation*}が成り立つ。

証明

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例(コーシーの平均値の定理)
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)は\(\left[ a,b\right] \)上で連続であるとともに\(\left( a,b\right) \)上で微分可能であるものとします。さらに、関数\(g:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left[ a,b\right] \)に対して、\begin{equation*}g\left( x\right) =x
\end{equation*}を定めるものとします。つまり、\(g\)は恒等関数であるため、\(\left[ a,b\right] \)上で連続であるとともに\(\left( a,b\right) \)上で微分可能であり、さらに導関数\(g^{\prime }:\left( a,b\right) \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left( a,b\right) \)に対して、\begin{equation*}g^{\prime }\left( x\right) =1\not=0
\end{equation*}を満たします。したがって、これらの関数\(f,g\)はコーシーの平均値の定理が要求する条件を満たすため、同定理により、\begin{equation*}\exists c\in \left( a,b\right) :\frac{f^{\prime }\left( c\right) }{g^{\prime
}\left( c\right) }=\frac{f\left( b\right) -f\left( a\right) }{g\left(
b\right) -g\left( a\right) }
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\exists c\in \left( a,b\right) :f^{\prime }\left( c\right) =\frac{f\left(
b\right) -f\left( a\right) }{b-a}
\end{equation*}が成り立ちます。これはラグランジュの平均値の定理の主張に他なりません。つまり、ラグランジュの平均値の定理はコーシーの平均値の定理の特別なケースです。逆に言うと、コーシーの平均値の定理はラグランジュの平均値の定理の一般化です。このような事情もあり、ラグランジュの平均値の定理を拡張された平均値の定理(extended mean value theorem)や第二の平均値の定理(second mean value theorem)などと呼ぶ場合もあります。

例(コーシーの平均値の定理)
関数\(f,g:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left[ a,b\right] \)に対して、\begin{eqnarray*}f\left( x\right) &=&e^{x} \\
g\left( x\right) &=&e^{-x}
\end{eqnarray*}を定めるものとします。\(f\)は対数関数であるため\(\left[ a,b\right] \)上で連続かつ\(\left( a,b\right) \)上で微分可能であり、導関数\(f^{\prime}:\left( a,b\right) \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left( a,b\right) \)に対して、\begin{equation}f^{\prime }\left( x\right) =e^{x} \quad \cdots (1)
\end{equation}を定めます。\(g\)は対数関数\(e^{x}\)と多項式関数\(-x\)の合成関数であるため\(\left[ a,b\right] \)上で連続かつ\(\left( a,b\right) \)上で微分可能であり、導関数\(g^{\prime }:\left(a,b\right) \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left( a,b\right) \)に対して、\begin{equation}g^{\prime }\left( x\right) =-e^{-x}\not=0 \quad \cdots (2)
\end{equation}を定めます。したがってコーシーの平均値の定理が適用可能であり、\begin{equation*}
\exists c\in \left( a,b\right) :\frac{f^{\prime }\left( c\right) }{g^{\prime
}\left( c\right) }=\frac{f\left( b\right) -f\left( a\right) }{g\left(
b\right) -g\left( a\right) }
\end{equation*}が成り立ちます。具体的には、\begin{eqnarray*}
\frac{f^{\prime }\left( c\right) }{g^{\prime }\left( c\right) }=\frac{f\left( b\right) -f\left( a\right) }{g\left( b\right) -g\left( a\right) }
&\Rightarrow &\frac{e^{c}}{-e^{-c}}=\frac{e^{b}-e^{a}}{e^{-b}-e^{-a}} \\
&\Rightarrow &-\frac{e^{c}}{\frac{1}{e^{c}}}=\frac{e^{b}-e^{a}}{\frac{1}{e^{b}}-\frac{1}{e^{a}}} \\
&\Rightarrow &-e^{c}e^{c}=\frac{e^{b}-e^{a}}{\frac{e^{a}-e^{b}}{e^{b}e^{a}}}
\\
&\Rightarrow &-e^{c}e^{c}=-e^{b}e^{a} \\
&\Rightarrow &-e^{2c}=-e^{a+b} \\
&\Rightarrow &2c=a+b \\
&\Rightarrow &c=\frac{a+b}{2}
\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation*}
c=\frac{a+b}{2}
\end{equation*}が条件を満たします。

例(コーシーの平均値の定理)
関数\(f,g:\mathbb{R} \supset \left[ 0,\frac{\pi }{2}\right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left[ a,b\right] \)に対して、\begin{eqnarray*}f\left( x\right) &=&\sin \left( x\right) \\
g\left( x\right) &=&\cos \left( x\right)
\end{eqnarray*}を定めるものとします。\(f\)は正弦関数であるため\(\left[ 0,\frac{\pi }{2}\right] \)上で連続かつ\(\left( 0,\frac{\pi }{2}\right) \)上で微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\left( 0,\frac{\pi }{2}\right)\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left( 0,\frac{\pi }{2}\right) \)に対して、\begin{equation}f^{\prime }\left( x\right) =\cos \left( x\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}を定めます。\(g\)は余弦関数であるため\(\left[ 0,\frac{\pi }{2}\right] \)上で連続かつ\(\left( 0,\frac{\pi }{2}\right) \)上で微分可能であり、導関数\(g^{\prime }:\left( 0,\frac{\pi }{2}\right) \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left( 0,\frac{\pi }{2}\right) \)に対して、\begin{equation}g^{\prime }\left( x\right) =-\sin \left( x\right) \not=0 \quad \cdots (2)
\end{equation}を定めます。したがってコーシーの平均値の定理が適用可能であり、\begin{equation*}
\exists c\in \left( 0,\frac{\pi }{2}\right) :\frac{f^{\prime }\left(
c\right) }{g^{\prime }\left( c\right) }=\frac{f\left( \frac{\pi }{2}\right)
-f\left( 0\right) }{g\left( \frac{\pi }{2}\right) -g\left( 0\right) }
\end{equation*}が成り立ちます。具体的には、\begin{eqnarray*}
\frac{f^{\prime }\left( c\right) }{g^{\prime }\left( c\right) }=\frac{f\left( \frac{\pi }{2}\right) -f\left( 0\right) }{g\left( \frac{\pi }{2}\right) -g\left( 0\right) } &\Rightarrow &\frac{\cos \left( c\right) }{-\sin
\left( c\right) }=\frac{\sin \left( \frac{\pi }{2}\right) -\sin \left(
0\right) }{\cos \left( \frac{\pi }{2}\right) -\cos \left( 0\right) } \\
&\Rightarrow &-\frac{\cos \left( c\right) }{\sin \left( c\right) }=\frac{1-0}{0-1} \\
&\Rightarrow &\frac{1}{\tan \left( c\right) }=1 \\
&\Rightarrow &\tan \left( c\right) =1 \\
&\Rightarrow &c=\frac{\pi }{4}\quad \because c\in \left( 0,\frac{\pi }{2}\right)
\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation*}
c=\frac{\pi }{4}
\end{equation*}が条件を満たします。

 

演習問題

問題(コーシーの平均値の定理)
\(0<a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界閉区間上に定義された2つの関数\(f,g:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left[ a,b\right] \)に対して、\begin{eqnarray*}f\left( x\right) &=&\sqrt{x} \\
g\left( x\right) &=&\frac{1}{\sqrt{x}}
\end{eqnarray*}を定めるものとします。区間\(\left[ a,b\right] \)において関数\(f,g\)にコーシーの平均値の定理を適用できるでしょうか。適用できる場合には、条件を満たす\(c\)を求めてください。
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問題(コーシーの平均値の定理)
\(0<a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界閉区間上に定義された2つの関数\(f,g:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left[ a,b\right] \)に対して、\begin{eqnarray*}f\left( x\right) &=&\frac{1}{x^{2}} \\
g\left( x\right) &=&\frac{1}{x}
\end{eqnarray*}を定めるものとします。区間\(\left[ a,b\right] \)において関数\(f,g\)にコーシーの平均値の定理を適用できるでしょうか。適用できる場合には、条件を満たす\(c\)を求めてください。
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