問題1（24点）
問題（関数の極限）
以下の問いに答えてください（各8点）。
- 以下の極限を求めてください。\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x^{3}-x^{2}}{x^{2}-1}
\end{equation*} - 以下の右側極限を求めてください。\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 2+}\frac{\cos \left( \pi x\right) }{8-x^{3}}
\end{equation*} - 以下の極限を求めてください。\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{x+1}{\sqrt{x^{2}+1}}
\end{equation*}
問題2（20点）
問題（速度）
時点\(t=0\)においてボールを投げました。時点\(t\)におけるボールの高さは、\begin{equation*}h\left( t\right) =-5t^{2}+20t+10
\end{equation*}であるものとします。ただし、時間の単位は「秒」であり、高さを表す距離の単位は「メートル」です。以下の問いに答えてください。
\end{equation*}であるものとします。ただし、時間の単位は「秒」であり、高さを表す距離の単位は「メートル」です。以下の問いに答えてください。
- ボールを投げた瞬間におけるボールの高さを求めてください（5点）。
- ボールを投げた瞬間から地面に到達した瞬間へ至るまでのボールの平均速度を求めてください（5点）。
- ボールが地面に到達した瞬間におけるボールの瞬間速度を求めてください（10点）。
問題3（20点）
問題（接線）
以下の関数が与えられているものとします。\begin{equation*}
f\left( x\right) =\frac{x^{2}+1}{x-3}
\end{equation*}問いに答えてください（各10点）。
f\left( x\right) =\frac{x^{2}+1}{x-3}
\end{equation*}問いに答えてください（各10点）。
- 関数\(f\)のグラフの接線の中でも、点\(\left( 4,17\right) \)における接線の方程式を求めてください。
- 関数\(f\)のグラフの接線の中でも、傾きが水平なものは何本存在するでしょうか。それらの接線と\(f\)のグラフの交点の\(x\)座標をそれぞれ求めてください。
問題4（16点）
問題（微分の定義）
以下の関数が与えられているものとします。\begin{equation*}
f\left( x\right) =\sqrt{x^{2}+5}
\end{equation*}微分係数\(f^{\prime }\left( 2\right) \)を微分の定義にもとづいて（平均変化率の極限としての微分）求めてください。
f\left( x\right) =\sqrt{x^{2}+5}
\end{equation*}微分係数\(f^{\prime }\left( 2\right) \)を微分の定義にもとづいて（平均変化率の極限としての微分）求めてください。
問題5（20点）
問題（導関数）
以下の問いに答えてください（各10点）。
- 以下の関数の導関数を求めてください。\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{2\tan \left( x\right) }{x^{3}+1}
\end{equation*} - 以下の関数の導関数を求めてください。\begin{equation*}f\left( x\right) =\exp \left( \sqrt[3]{x}\sin \left( x\right) \right)
\end{equation*}
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