教材一覧
DIFFERENTIATION OF FUNCTIONS

関数の定数倍の微分

< 前のページ
次のページ >
Share on twitter
Twitterで共有
Share on email
メールで共有

微分可能な関数の定数倍

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と実数\(c\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( c\cdot f\right) \left( x\right) =c\cdot f\left( x\right)
\end{equation*}を定める新たな関数\(c\cdot f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)の周辺の任意の値において定義されているとき、\(f\)が点\(a\)において微分可能であるか否かを検討できます。仮に\(f\)が点\(a\)において微分可能であるならば、そこでの微分係数に相当する有限な実数\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) \in \mathbb{R} \end{equation*}が存在します。この場合、\(c\cdot f\)もまた点\(a\)において微分可能であることが保証されるとともに、そこでの微分係数が、\begin{equation*}(c\cdot f)^{\prime }\left( a\right) =c\cdot f^{\prime }\left( a\right) \in \mathbb{R} \end{equation*}として定まることが保証されます。

命題(微分可能な関数の定数倍)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と実数\(c\in \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから関数\(c\cdot f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)において微分可能であるならば、\(c\cdot f\)もまた点\(a\)において微分可能であり、そこでの微分係数は、\begin{equation*}(c\cdot f)^{\prime }\left( a\right) =c\cdot f^{\prime }\left( a\right)
\end{equation*}を満たす。
証明

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

つまり、点\(a\)において微分可能な関数\(f\)の定数倍の形をしている関数\(c\cdot f\)が与えられたとき、\(c\cdot f\)もまた点\(a\)において微分可能であることが保証されるとともに、点\(a\)における\(f\)の微分係数を\(c\)倍すれば、点\(a\)における\(c\cdot f\)の微分係数が得られることを上の命題は保証しています。したがって、何らかの関数\(f\)の定数倍の形をしている関数\(c\cdot f\)の微分可能性を検討する際には、微分の定義にさかのぼって考える前に、まずは\(c\)と\(f\)を分けた上で、\(f\)が微分可能であることを確認すればよいということになります。

例(微分可能な関数の定数倍の微分)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =-x
\end{equation*}を定めるものとします。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)において微分可能でしょうか。\(f\)は恒等関数\(x\)の定数倍(\(-1\)倍)として定義されていますが、恒等関数\(x\)に関しては、\begin{equation}\left. \left( x\right) ^{\prime }\right\vert _{x=a}=1 \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。したがって先の命題より\(f\)もまた点\(a\)において微分可能であり、そこでの微分係数は、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( a\right) &=&\left. \left( -x\right) ^{\prime }\right\vert
_{x=a}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&-\left[ \left. \left( x\right) ^{\prime }\right\vert _{x=a}\right] \quad
\because \text{微分可能な関数の定数倍} \\
&=&-1\quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}となります。したがって、\(f\)の導関数\(f^{\prime }\)の定義域は\(\mathbb{R} \)であり、これはそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( x\right) =-1
\end{equation*}を定めることが明らかになりました。

 

片側微分可能な関数の定数倍

片側微分可能性に関しても同様の命題が成り立ちます。

命題(片側微分可能な関数の定数倍)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と実数\(c\in \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから関数\(c\cdot f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)において右側微分可能であるならば、\(c\cdot f\)もまた点\(a\)において右側微分可能であり、そこでの右側微分係数は、\begin{equation*}(c\cdot f)^{\prime }\left( a+0\right) =c\cdot f^{\prime }\left( a+0\right)
\end{equation*}を満たす。また、\(f\)が点\(a\in X\)において左側微分可能であるならば、\(c\cdot f\)もまた点\(a\)において左側微分可能であり、そこでの左側微分係数は、\begin{equation*}(c\cdot f)^{\prime }\left( a-0\right) =c\cdot f^{\prime }\left( a-0\right)
\end{equation*}を満たす。
証明

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

例(片側微分可能な関数の定数倍)
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left[ 0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =-\frac{x}{2}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は恒等関数\(x\)の定数倍(\(-\frac{1}{2}\)倍)であることに注意してください。定義域\(\left[ 0,1\right] \)の内部は\(\left( 0,1\right) \)です。点\(a\in \left( 0,1\right) \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)の周辺の任意の点において定義されているため、\(f\)は点\(a\)において微分可能であり、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( a\right) &=&\left. \left( -\frac{x}{2}\right) ^{\prime
}\right\vert _{x=a}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&-\frac{1}{2}\left[ \left. \left( x\right) ^{\prime }\right\vert _{x=a}\right] \quad \because \text{微分可能な関数の定数倍} \\
&=&-\frac{1}{2}\cdot 1\quad \because \text{恒等関数の微分} \\
&=&-\frac{1}{2}
\end{eqnarray*}となります。一方、\(f\)は定義域の境界点である\(0\)や\(1\)において通常の意味で微分可能ではありません。\(f\)は点\(0\)より大きい周辺の任意の点において定義されているため、\(f\)は点\(0\)において右側微分可能であり、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( 0+0\right) &=&\left. \left( -\frac{x}{2}\right)
_{+}^{\prime }\right\vert _{x=0}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&-\frac{1}{2}\left[ \left. \left( x\right) _{+}^{\prime }\right\vert _{x=0}\right] \quad \because \text{右側微分可能な関数の定数倍} \\
&=&-\frac{1}{2}\left[ \left. 1\right\vert _{x=0}\right] \quad \because \text{恒等関数の右側微分} \\
&=&-\frac{1}{2}\cdot 1\quad \because \text{恒等関数の右側微分} \\
&=&-\frac{1}{2}
\end{eqnarray*}となります。\(f\)は点\(1\)より小さい周辺の任意の点において定義されているため、\(f\)は点\(1\)において左側微分可能であり、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( 1-0\right) &=&\left. \left( -\frac{x}{2}\right)
_{-}^{\prime }\right\vert _{x=1}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&-\frac{1}{2}\left[ \left. \left( x\right) _{-}^{\prime }\right\vert _{x=1}\right] \quad \because \text{左側微分可能な関数の定数倍} \\
&=&-\frac{1}{2}\left[ \left. 1\right\vert _{x=1}\right] \quad \because \text{恒等関数の左側微分} \\
&=&-\frac{1}{2}\cdot 1 \\
&=&-\frac{1}{2}
\end{eqnarray*}となります。したがって、\(f\)の導関数\(f^{\prime }\)の定義域は\(\left[ 0,1\right] \)であり、これはそれぞれの\(x\in \left[ 0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( x\right) =-\frac{1}{2}
\end{equation*}を定めることが明らかになりました。

 

微分可能な関数の定数倍の微分

以上の2つの命題より微分可能な関数の定数倍として定義される関数は微分可能であることが明らかになりました。

命題(微分可能な関数の定数倍の微分)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と実数\(c\in \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから関数\(c\cdot f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(f\)が微分可能であるならば\(c\cdot f\)も微分可能であり、その導関数\(\left( c\cdot f\right) ^{\prime }:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( c\cdot f\right) ^{\prime }\left( x\right) =c\cdot f^{\prime }\left(
x\right)
\end{equation*}を定める。
例(微分可能な関数の定数倍の微分)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{ll}
\frac{1}{2}x & \left( if\ x\leq 1\right) \\
x & \left( if\ 1<x<2\right) \\
-\frac{1}{2}x & \left( if\ 2\leq x\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(a<1\)を満たす任意の点\(a\in \mathbb{R} \)については、その周辺の任意の点\(x\)において\(f\left( x\right) =\frac{1}{2}\)であるため、そこでの微分係数は、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( a\right) &=&\left. \left( \frac{1}{2}x\right) ^{\prime
}\right\vert _{x=a}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\frac{1}{2}\left[ \left. \left( x\right) ^{\prime }\right\vert _{x=a}\right] \quad \because \text{微分可能な関数の定数倍} \\
&=&\frac{1}{2}\left[ \left. 1\right\vert _{x=a}\right] \quad \because \text{恒等関数の微分} \\
&=&\frac{1}{2}\cdot 1 \\
&=&\frac{1}{2}
\end{eqnarray*}となります。点\(1\)以下の周辺の任意の点\(x\)について\(f\left( x\right) =\frac{1}{2}x\)であるため、そこでの左側微分係数は、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( 1-0\right) &=&\left. \left( \frac{1}{2}x\right)
_{-}^{\prime }\right\vert _{x=1} \\
&=&\frac{1}{2}\left[ \left. \left( x\right) _{-}^{\prime }\right\vert _{x=1}\right] \quad \because \text{左側微分可能な関数の定数倍} \\
&=&\frac{1}{2}\left[ \left. 1\right\vert _{x=1}\right] \quad \because \text{恒等関数の左側微分} \\
&=&\frac{1}{2}\cdot 1 \\
&=&\frac{1}{2}
\end{eqnarray*}となります。一方、点\(1\)以上の周辺の\(x\)については\(x\)の値によって\(f\left( x\right) \)の形状が変化するため、定義に戻って右側微分係数を求めると、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( 1+0\right) &=&\lim_{h\rightarrow 0+}\frac{f\left(
1+h\right) -f\left( 1\right) }{h} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0+}\left\{ \frac{1}{h}\left[ \left( 1+h\right) -\frac{1}{2}\right] \right\} \quad \because h>0 \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0+}\left[ \frac{1}{h}\left( \frac{1}{2}+h\right) \right] \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0+}\left( \frac{1+2h}{2h}\right) \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0+}\left( \frac{\frac{1}{h}+2}{2}\right) \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}となります。したがって、\(f\)は点\(1\)において左側微分可能である一方で右側微分可能ではありません。\(1<a<1\)を満たす任意の点\(a\in \mathbb{R} \)については、その周辺の任意の点\(x\)において\(f\left( x\right) =x\)であるため、そこでの微分係数は、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( a\right) &=&\left. \left( x\right) ^{\prime }\right\vert
_{x=a}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left. 1\right\vert _{x=a}\quad \because \text{恒等関数の微分} \\
&=&1
\end{eqnarray*}となります。点\(2\)以下の周辺の\(x\)については\(x\)の値によって\(f\left( x\right) \)の形状が変化するため、定義に戻って左側微分係数を求めると、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( 2-0\right) &=&\lim_{h\rightarrow 0-}\frac{f\left(
2+h\right) -f\left( 2\right) }{h} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0-}\left\{ \frac{1}{h}\left[ \left( 2+h\right) -1\right] \right\} \quad h<0 \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0-}\left( \frac{1+h}{h}\right) \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0-}\left( \frac{\frac{1}{h}+1}{1}\right) \\
&=&-\infty
\end{eqnarray*}となります。点\(2\)以上の周辺の任意の点\(x\)について\(f\left( x\right) =-\frac{1}{2}x\)であるため、そこでの右側微分係数は、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( 2+0\right) &=&\left. \left( -\frac{1}{2}x\right)
_{+}^{\prime }\right\vert _{x=2} \\
&=&-\frac{1}{2}\left[ \left. \left( x\right) _{+}^{\prime }\right\vert _{x=2}\right] \quad \because \text{右側微分可能な関数の定数倍} \\
&=&-\frac{1}{2}\left[ \left. 1\right\vert _{x=2}\right] \quad \because \text{恒等関数の右側微分} \\
&=&-\frac{1}{2}\cdot 1 \\
&=&-\frac{1}{2}
\end{eqnarray*}となります。したがって、\(f\)は点\(2\)において左側微分可能ではない一方で右側微分可能です。\(a>2\)を満たす任意の点\(a\in \mathbb{R} \)については、その周辺の任意の点\(x\)において\(f\left( x\right) =-\frac{1}{2}\)であるため、そこでの微分係数は、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( a\right) &=&\left. \left( -\frac{1}{2}x\right) ^{\prime
}\right\vert _{x=a}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&-\frac{1}{2}\left[ \left. \left( x\right) ^{\prime }\right\vert _{x=a}\right] \quad \because \text{微分可能な関数の定数倍} \\
&=&-\frac{1}{2}\left[ \left. 1\right\vert _{x=a}\right] \quad \because \text{恒等関数の微分} \\
&=&-\frac{1}{2}\cdot 1 \\
&=&-\frac{1}{2}
\end{eqnarray*}となります。以上より、\(f\)の導関数\(f^{\prime }\)の定義域は\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 1,2\right\} \)であり、これはそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 1,2\right\} \)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{ll}
\frac{1}{2} & \left( if\ x<1\right) \\
1 & \left( if\ 1<x<2\right) \\
-\frac{1}{2} & \left( if\ x>2\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めることが明らかになりました。

 

演習問題

問題(関数の定数倍の微分)
関数\(f:\mathbb{R} \supset (-\infty ,1]\cup (2,+\infty )\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in (-\infty ,1]\cup(2,+\infty )\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
-x & \left( if\ x\leq 1\right) \\
x & \left( if\ x>2\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)の導関数\(f^{\prime }\)を求めてください。
解答を見る

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

次回は微分可能な関数どうしの和として定義される関数の微分可能性について解説します。

< 前のページ
次のページ >
Share on twitter
Twitterで共有
Share on email
メールで共有
RELATED KNOWLEDGE

関連知識

関数の定数倍

関数の定数倍の高階微分

高階微分可能な関数の定数倍として定義される関数もまた高階微分であるとともに、その高階微分係数はもとの関数の高階微分係数の定数倍と一致します。

関数の定数倍

関数の定数倍の極限

収束する関数を定数倍して得られる関数もまた収束し、新たな関数の極限はもとの関数の極限の定数倍になります。また、このような関係は無限極限に関しても拡張可能です。

DISCUSSION

質問とコメント

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

関数の微分