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DIFFERENTIATION OF FUNCTIONS

関数の定数倍の微分

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微分可能な関数の定数倍

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と実数\(c\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( c\cdot f\right) \left( x\right) =c\cdot f\left( x\right)
\end{equation*}を定める新たな関数\(c\cdot f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)の周辺の任意の値において定義されているならば、\(f\)が点\(a\)において微分可能であるか検討できます。\(f\)が点\(a\)において微分可能であるならば、そこでの微分係数に相当する有限な実数\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) \in \mathbb{R} \end{equation*}が存在します。この場合、\(c\cdot f\)もまた点\(a\)において微分可能であることが保証されるとともに、そこでの微分係数が、\begin{equation*}(c\cdot f)^{\prime }\left( a\right) =c\cdot f^{\prime }\left( a\right) \in \mathbb{R} \end{equation*}として定まることが保証されます。

命題(微分可能な関数の定数倍)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と実数\(c\in \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから関数\(c\cdot f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)において微分可能であるならば、\(c\cdot f\)もまた点\(a\)において微分可能であり、そこでの微分係数は、\begin{equation*}(c\cdot f)^{\prime }\left( a\right) =c\cdot f^{\prime }\left( a\right)
\end{equation*}を満たす。

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つまり、点\(a\)において微分可能な関数\(f\)の定数倍の形をしている関数\(c\cdot f\)が与えられたとき、\(c\cdot f\)もまた点\(a\)において微分可能であることが保証されるとともに、点\(a\)における\(f\)の微分係数を\(c\)倍すれば、点\(a\)における\(c\cdot f\)の微分係数が得られることを上の命題は保証しています。したがって、何らかの関数\(f\)の定数倍の形をしている関数\(c\cdot f\)の微分可能性を検討する際には、微分の定義にさかのぼって考える前に、まずは\(c\)と\(f \)を分けた上で、\(f\)が微分可能であることを確認すればよいということになります。

例(微分可能な関数の定数倍の微分)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =-x
\end{equation*}を定めるものとします。\(\mathbb{R} \)は開集合であるため、定義域上の点を任意に選んだとき、\(f\)はその点の周辺の任意の点において定義されています。また、\(f\)は恒等関数\(x\)の定数倍(\(-1\)倍)として定義されています。すると先の命題より\(f\)は微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&\left( -x\right) ^{\prime }\quad \because f\text{の定義} \\
&=&-\left( x\right) ^{\prime }\quad \because \text{微分可能な関数の定数倍の微分} \\
&=&-1\quad \because \text{恒等関数の微分}
\end{eqnarray*}を定めます。

 

片側微分可能な関数の定数倍

片側微分可能性に関しても同様の命題が成り立ちます。

命題(片側微分可能な関数の定数倍)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と実数\(c\in \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから関数\(c\cdot f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)において右側微分可能であるならば、\(c\cdot f\)もまた点\(a\)において右側微分可能であり、そこでの右側微分係数は、\begin{equation*}(c\cdot f)^{\prime }\left( a+0\right) =c\cdot f^{\prime }\left( a+0\right)
\end{equation*}を満たす。また、\(f\)が点\(a\in X\)において左側微分可能であるならば、\(c\cdot f\)もまた点\(a\)において左側微分可能であり、そこでの左側微分係数は、\begin{equation*}(c\cdot f)^{\prime }\left( a-0\right) =c\cdot f^{\prime }\left( a-0\right)
\end{equation*}を満たす。

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例(片側微分可能な関数の定数倍)
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left[ 0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =-\frac{x}{2}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は恒等関数\(x\)の定数倍(\(-\frac{1}{2}\)倍)であることに注意してください。定義域\(\left[ 0,1\right] \)の内点\(a\in \left( 0,1\right) \)を任意に選んだとき、その周辺の任意の点\(x\)において\(f\left( x\right) =-\frac{x}{2}\)であるため、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( a\right) &=&\left. \left( -\frac{x}{2}\right) ^{\prime
}\right\vert _{x=a}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&-\frac{1}{2}\left[ \left. \left( x\right) ^{\prime }\right\vert _{x=a}\right] \quad \because \text{微分可能な関数の定数倍} \\
&=&-\frac{1}{2}\cdot 1\quad \because \text{恒等関数の微分} \\
&=&-\frac{1}{2}
\end{eqnarray*}となります。一方、\(f\)は定義域の境界点である\(0\)や\(1\)において通常の意味で微分可能ではありません。点\(0\)以上の周辺の任意の点\(x\)において\(f\left( x\right) =-\frac{x}{2}\)であるため、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( 0+0\right) &=&\left. \left( -\frac{x}{2}\right)
_{+}^{\prime }\right\vert _{x=0}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&-\frac{1}{2}\left[ \left. \left( x\right) _{+}^{\prime }\right\vert _{x=0}\right] \quad \because \text{右側微分可能な関数の定数倍} \\
&=&-\frac{1}{2}\left[ \left. 1\right\vert _{x=0}\right] \quad \because \text{恒等関数の右側微分} \\
&=&-\frac{1}{2}\cdot 1\quad \\
&=&-\frac{1}{2}
\end{eqnarray*}となります。また、点\(1\)以下の周辺の任意の点において\(f\left( x\right) =-\frac{x}{2}\)であるため、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( 1-0\right) &=&\left. \left( -\frac{x}{2}\right)
_{-}^{\prime }\right\vert _{x=1}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&-\frac{1}{2}\left[ \left. \left( x\right) _{-}^{\prime }\right\vert _{x=1}\right] \quad \because \text{左側微分可能な関数の定数倍} \\
&=&-\frac{1}{2}\left[ \left. 1\right\vert _{x=1}\right] \quad \because \text{恒等関数の左側微分} \\
&=&-\frac{1}{2}\cdot 1 \\
&=&-\frac{1}{2}
\end{eqnarray*}となります。

 

演習問題

問題(関数の定数倍の微分)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{ll}
\frac{1}{2}x & \left( if\ x\leq 1\right) \\
x & \left( if\ 1<x<2\right) \\
-\frac{1}{2}x & \left( if\ 2\leq x\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)の導関数\(f^{\prime }\)を求めてください。
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問題(関数の定数倍の微分)
関数\(f:\mathbb{R} \supset (-\infty ,1]\cup (2,+\infty )\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in (-\infty ,1]\cup(2,+\infty )\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
-x & \left( if\ x\leq 1\right) \\
x & \left( if\ x>2\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)の導関数\(f^{\prime }\)を求めてください。
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次回は微分可能な関数どうしの和として定義される関数の微分可能性について解説します。

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