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DIFFERENTIATION OF FUNCTIONS

微分可能性と連続性

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微分可能な関数は連続

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の定義域の点\(a\in X\)を任意に選びます。ただし、\(f\)は点\(a\)の周辺の任意の点において定義されているならば、\(f\)が点\(a\)において微分可能であるか、また連続であるかが検討可能です。その上で\(f\)が点\(a\)において微分可能である場合、\(f\)は点\(a\)において連続であることが保証されます。

命題(微分可能性は連続性を含意する)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上の点\(a\in X\)において微分可能であるならば、\(f\)は点\(a\)において連続である。
証明
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上の命題の逆は成立するとは限りません。つまり、関数\(f\)が定義域上の点\(a\)において連続であるとき、\(f\)は点\(a\)において微分可能であるとは限りません。以下の例から明らかです。

例(微分可能性と連続性)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\vert x\right\vert
\end{equation*}を定めるものとします。点\(0\in \mathbb{R} \)における左右の微分係数は、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( 0+0\right) &=&\lim_{h\rightarrow 0+}\frac{f\left(
0+h\right) -f\left( 0\right) }{h}=\lim_{h\rightarrow 0+}\frac{\left\vert
h\right\vert -\left\vert 0\right\vert }{h}=1 \\
f^{\prime }\left( 0-0\right) &=&\lim_{h\rightarrow 0-}\frac{f\left(
0+h\right) -f\left( 0\right) }{h}=\lim_{h\rightarrow 0-}\frac{\left\vert
h\right\vert -\left\vert 0\right\vert }{h}=-1
\end{eqnarray*}となりますが、両者は異なるため\(f\)は\(0\)において微分可能ではありません。一方、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0+}\left\vert
x\right\vert =0 \\
\lim_{x\rightarrow 0-}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0-}\left\vert
x\right\vert =0
\end{eqnarray*}となりますが、両者は一致するため、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0}f\left( x\right) =0
\end{equation*}が成り立ちます。さらに、\begin{equation*}
f\left( 0\right) =\left\vert 0\right\vert =0
\end{equation*}であることを踏まえると、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0}f\left( x\right) =f\left( 0\right)
\end{equation*}が成り立つため、\(f\)は\(0\)において連続であることが明らかになりました。

 

関数が微分可能でないことの証明

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上の点\(a\in X\)において微分可能であるならば、\(f\)は点\(a\)において連続であることが明らかになりました。対偶より、\(f\)が点\(a\)において連続でない場合、\(f\)は点\(a\)において微分可能ではありません。つまり、\(f\)が点\(a\)において微分可能でないことを示すために、\(f\)が点\(a\)において連続でないことを示すという手法が有効であるということです。

例(関数が微分可能でないことの証明)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ x<0\right) \\
1 & \left( if\ x\geq 0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}\(\mathbb{R} \)を定めるものとします。この関数は定義域上の点\(0\)において微分可能でしょうか。\(f\)は点\(0\)を含めその周辺の任意の点において定義されているとともに、そこでの片側極限は、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) &=&1 \\
\lim_{x\rightarrow 0-}f\left( x\right) &=&0
\end{eqnarray*}となり、両者は一致しません。つまり、\(x\rightarrow 0\)のときに\(f\)は有限な実数へ収束しないため、\(f\)は点\(0\)において連続ではありません。したがって、\(f\)は点\(0\)において微分可能でないことが示されました。

 

片側微分可能な関数は片側連続

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、定義域上の点\(a\in X\)を任意に選びます。ただし、\(f\)は\(a\)に十分近い\(a\)以上の任意の点において定義されているものとします。その上で、\(f\)が\(a\)において右側微分可能であるならば、\(f\)は\(a\)において右側連続であることが保証されます。左側微分可能性と左側連続性の間にも同様の関係が成り立ちます。つまり、関数\(f\)が定義域上の点\(a\)に十分近い\(a\)以下の任意の点において定義されているとともに\(a\)において左側微分可能である場合、\(f\)は\(a\)において左側連続であることが保証されます。

命題(片側微分可能性は片側連続性を含意する)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)は点\(a\in X\)の周辺にある\(a\)以上の任意の点において定義されているとき、\(f\)が\(a\)において右側微分可能であるならば、\(f\)は\(a\)において右側連続である。また、\(f\)は\(a\)の周辺にある\(a\)以下の任意の点において定義されているとき、\(f\)が\(a\)において左側微分可能であるならば、\(f\)は\(a\)において左側連続である。
証明
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上の命題の逆は成立するとは限りません。つまり、関数\(f\)が定義域の点\(a\)において右側連続であるとき、\(f\)は点\(a\)において右側微分可能であるとは限りません。同様に、\(f\)が点\(a\)において左側連続であるとき、\(f\)は点\(a\)において左側微分可能であるとは限りません。以下の例から明らかです。

例(片側微分可能性と片側連続性)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
2 & \left( if\quad x\geq 1\right) \\
1 & \left( if\quad x<1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。点\(1\)における右側微分係数は、\begin{equation*}f^{\prime }\left( 1+0\right) =\lim_{h\rightarrow 0+}\frac{f\left( 1+h\right)
-f\left( 1\right) }{h}=\lim_{h\rightarrow 0+}\frac{2-1}{h}=+\infty
\end{equation*}となるため、\(f\)は点\(1\)において右側微分可能ではありません。他方で、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 1+}f\left( x\right) =\lim_{x\rightarrow 1+}2=2
\end{equation*}となりますが、さらに、\begin{equation*}
f\left( 1\right) =2
\end{equation*}であることを踏まえると、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 1+}f\left( x\right) =f\left( 1\right)
\end{equation*}が成り立つため、\(f\)は点\(1\)において右側連続であることが明らかになりました。

 

関数が片側微分可能でないことの証明

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上の点\(a\in X\)において右側微分可能であるならば、\(f\)は点\(a\)において右側連続であることが明らかになりました。対偶より、\(f\)が点\(a\)において右側連続でない場合、\(f\)は点\(a\)において右側微分可能ではありません。つまり、\(f\)が点\(a\)において右側微分可能でないことを示すために、\(f\)が点\(a\)において右側連続でないことを示すという手法が有効であるということです。同様に、\(f\)が点\(a\)において左側微分可能でないことを示すために、\(f\)が点\(a\)において左側連続でないことを示す方法が有効です。

例(関数が片側微分可能でないことの証明)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
x+1 & \left( if\ x\leq 2\right) \\
x+3 & \left( if\ x>2\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は定義域上の点\(2\)において右側微分可能でしょうか。一般項が\begin{equation*}x_{n}=2+\frac{1}{n}
\end{equation*}で与えられる数列\(\{x_{n}\}\)に注目します。この数列の任意の項は\(2\)以上の実数であり、なおかつこの数列は\(2\)へ収束します。さて、任意の\(n\in \mathbb{N} \)について\(x_{n}>2\)であるため、数列\(\{f\left( x_{n}\right) \}\)の一般項は、\begin{equation*}f\left( x_{n}\right) =\left( 2+\frac{1}{n}\right) +3=5+\frac{1}{n}
\end{equation*}となり、その極限は、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow +\infty }f\left( x_{n}\right) &=&\lim_{n\rightarrow
+\infty }\left( 5+\frac{1}{n}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&5 \\
&\not=&3 \\
&=&f\left( 2\right) \quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}となります。つまり、\(f\)は点\(2\)において右側連続でないため、右側微分可能でもありません。

 

微分可能な関数は連続

以上の諸命題より、微分可能な関数は連続であることが明らかになりました。

命題(微分可能な関数は連続)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が微分可能であるならば、\(f\)は連続である。

上の命題の逆は成立するとは限りません。つまり、関数が連続(もしくは右側連続・左側連続)であるとき、その関数は微分可能(もしくは右側微分可能・左側微分可能)であるとは限りません。これは先に提示した例からも明らかです。

 

演習問題

問題(微分可能性と連続性)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
x & \left( if\quad x\leq 0\right) \\
x+1 & \left( if\quad x>0\right)\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。以下の主張は正しいでしょうか。理由とともに答えてください。
  1. \(f\)は点\(0\)において右側微分可能かつ右側連続。
  2. \(f\)は点\(0\)において左側微分可能かつ左側連続。
  3. \(f\)は点\(0\)において微分可能でも連続でもない。
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問題(微分可能性と連続性)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
1 & \left( if\quad x\not=0\right) \\
2 & \left( if\quad x=0\right)\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。以下の主張は正しいでしょうか。理由とともに答えてください。
  1. \(f\)は点\(0\)において右側微分可能かつ右側連続。
  2. \(f\)は点\(0\)において左側微分可能かつ左側連続。
  3. \(f\)は点\(0\)において微分可能でも連続でもない。
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次回は定数関数の微分可能性について議論します。

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