微分可能な関数は連続
実数空間\(\mathbb{R} \)もしくはその部分集合\(X\)を定義域とし、値として実数をとる1変数関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。関数\(f\)の定義域の内点\(a\in X^{i}\)において微分可能であることとは、そこでの微分係数\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) =\lim_{x\rightarrow a}\frac{f\left( x\right)
-f\left( a\right) }{x-a}
\end{equation*}が有限な実数として定まることを意味します。
一方、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域の内点\(a\in X^{i}\)において連続であることとは、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =f\left( a\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。
関数\(f\)が定義域の内点\(a\)において微分可能である場合、\(f\)は点\(a\)において連続であることが保証されます。
X &=&\left( a,+\infty \right) \\
X &=&\left( -\infty ,b\right) \\
X &=&\left( -\infty ,+\infty \right) =\mathbb{R} \end{eqnarray*}などと表される場合、これらはいずれも\(X\)上の開集合であるため、同様の議論が成立します。
\end{equation*}を定めるものとします。関数\(f\)の定義域\(\mathbb{R} \)は開集合です。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( a\right) &=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a+h\right)
-f\left( a\right) }{h}\quad \because \text{微分の定義} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\left( a+h\right) ^{2}-a^{2}}{h}\quad \because
f\text{の定義} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{2ah+h^{2}}{h} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\left( 2a+h\right) \quad \because h\not=0 \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}2a+\lim_{h\rightarrow 0}h \\
&=&2a+0 \\
&=&2a \\
&\in &\mathbb{R} \quad \because a\in \mathbb{R} \end{eqnarray*}となるため、\(f\)は点\(a\)において微分可能です。任意の点\(a\in \mathbb{R} \)において同様であるため、\(f\)は\(\mathbb{R} \)上で微分可能です。したがって、先の命題より\(f\)は\(\mathbb{R} \)上において連続であるはずです。実際、点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow a}x^{2}\quad
\because f\text{の定義} \\
&=&a^{2} \\
&=&f\left( a\right) \quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}となるため、\(f\)は点\(a\)において連続です。任意の点\(a\in \mathbb{R} \)において同様であるため、\(f\)は\(\mathbb{R} \)上で連続です。この結果は先の命題の主張と整合的です。
\end{equation*}を定めるものとします。関数\(f\)の定義域\(\mathbb{R} _{++}\)は開集合です。点\(a\in \mathbb{R} _{++}\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( a\right) &=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a+h\right)
-f\left( a\right) }{h}\quad \because \text{微分の定義} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{1}{h}\left( \frac{1}{a+h}-\frac{1}{a}\right)
\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{1}{h}\left[ \frac{a-\left( a+h\right) }{\left(
a+h\right) a}\right] \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\left[ -\frac{1}{a\left( a+h\right) }\right] \\
&=&-\lim_{h\rightarrow 0}\frac{1}{a\left( a+h\right) } \\
&=&-\frac{1}{a^{2}} \\
&\in &\mathbb{R} \quad \because a\in \mathbb{R} _{++}
\end{eqnarray*}となるため、\(f\)は点\(a\)において微分可能です。任意の点\(a\in \mathbb{R} _{++}\)において同様であるため、\(f\)は\(\mathbb{R} _{++}\)上で微分可能です。したがって、先の命題より\(f\)は\(\mathbb{R} _{++}\)上において連続であるはずです。実際、点\(a\in \mathbb{R} _{++}\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow a}\frac{1}{x}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\frac{1}{a} \\
&=&f\left( a\right) \quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}となるため、\(f\)は点\(a\)において連続です。任意の点\(a\in \mathbb{R} _{++}\)において同様であるため、\(f\)は\(\mathbb{R} _{++}\)上で連続です。この結果は先の命題の主張と整合的です。
連続関数は微分可能であるとは限らない
関数は微分可能な点において連続であることが明らかになりましたが、その逆は成り立つとは限りません。つまり、関数は連続な点において微分可能であるとは限りません。以下の例より明らかです。
\end{equation*}を定めるものとします。点\(0\)は定義域\(\mathbb{R} \)の内点です。この関数\(f\)は点\(0\)において連続である一方で、点\(0\)において微分可能ではありません（演習問題）。
関数が微分可能ではないことの証明
関数は微分可能な点において連続であることが明らかになりました。対偶より、関数は連続ではない点において微分可能ではありません。したがって、関数が何らかの点において微分可能ではないことを示すために、その点において連続ではないことを示す手法が有効です。
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ x<0\right) \\
1 & \left( if\ x\geq 0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}\(\mathbb{R} \)を定めるものとします。この関数は定義域上の点\(0\)において微分可能でしょうか。点\(0\)より大きい周辺の任意の点\(x\)において\(f\left(x\right) =1\)であるため、点\(0\)における右側極限は、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0+}1\quad
\because f\left( x\right) =1 \\
&=&1\quad \because \text{定数関数の右側極限}
\end{eqnarray*}です。点\(0\)より小さい周辺の任意の点\(x\)において\(f\left( x\right) =0\)であるため、点\(0\)における左側極限は、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0-}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0-}0\quad
\because f\left( x\right) =0 \\
&=&0\quad \because \text{定数関数の左側極限}
\end{eqnarray*}です。以上より、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) \not=\lim_{x\rightarrow 0-}f\left(
x\right)
\end{equation*}であることが示されました。したがって\(f\)は\(x\rightarrow 0\)の場合に有限な実数へ収束せず、したがって点\(0\)において連続ではありません。ゆえに先の命題より、\(f\)は点\(0\)において微分可能ではありません。
片側微分可能な関数は片側連続
実数空間\(\mathbb{R} \)もしくはその部分集合\(X\)を定義域とし、値として実数をとる1変数関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。関数\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)以上の周辺の任意の点において定義されている場合、\(f\)が点\(a\)において右側微分可能であることとは、そこでの右側微分係数\begin{equation*}f^{\prime }\left( a+0\right) =\lim_{x\rightarrow a+}\frac{f\left( x\right)
-f\left( a\right) }{x-a}
\end{equation*}が有限な実数として定まることを意味します。
一方、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が点\(a\in X\)において右側連続であることとは、\(f\)が点\(a\)以上の周辺の任意の点において定義されているとともに、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) =f\left( a\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。
関数\(f\)が定義域上の点\(a\)において右側微分可能である場合、\(f\)は点\(a\)において右側連続であることが保証されます。
\end{equation*}を定めるものとします。点\(0\)について、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( 0+0\right) &=&\lim_{h\rightarrow 0+}\frac{f\left(
0+h\right) -f\left( 0\right) }{h}\quad \because \text{右側微分の定義} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0+}\frac{\left\vert 0+h\right\vert -\left\vert
0\right\vert }{h}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0+}\frac{0+h-0}{h}\quad \because h>0 \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0+}1 \\
&=&1 \\
&\in &\mathbb{R} \end{eqnarray*}となるため、\(f\)は点\(0\)において右側微分可能です。したがって、先の命題より\(f\)は点\(0\)において右側連続であるはずです。実際、点\(0\)において、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0+}\left\vert
x\right\vert \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{x\rightarrow 0+}x\quad \because x>0 \\
&=&0 \\
&=&f\left( 0\right) \quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}となるため、\(f\)は点\(0\)において右側連続です。以上の結果は先の命題の主張と整合的です。
左側微分可能性と左側連続性の間にも同様の関係が成り立ちます。具体的には以下の通りです。
実数空間\(\mathbb{R} \)もしくはその部分集合\(X\)を定義域とし、値として実数をとる1変数関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。関数\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)以下の周辺の任意の点において定義されている場合、\(f\)が点\(a\)において左側微分可能であることとは、そこでの左側微分係数\begin{equation*}f^{\prime }\left( a-0\right) =\lim_{x\rightarrow a-}\frac{f\left( x\right)
-f\left( a\right) }{x-a}
\end{equation*}が有限な実数として定まることを意味します。
一方、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が点\(a\in X\)において左側連続であることとは、\(f\)が点\(a\)以下の周辺の任意の点において定義されているとともに、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a-}f\left( x\right) =f\left( a\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。
関数\(f\)が定義域上の点\(a\)において左側微分可能である場合、\(f\)は点\(a\)において左側連続であることが保証されます。
\end{equation*}を定めるものとします。点\(0\)について、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( 0-0\right) &=&\lim_{h\rightarrow 0-}\frac{f\left(
0+h\right) -f\left( 0\right) }{h}\quad \because \text{左側微分の定義} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0-}\frac{\left\vert 0+h\right\vert -\left\vert
0\right\vert }{h}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0-}\frac{-h-0}{h}\quad \because h<0 \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0-}\left( -1\right) \\
&=&-1 \\
&\in &\mathbb{R} \end{eqnarray*}となるため、\(f\)は点\(0\)において左側微分可能です。したがって、先の命題より\(f\)は点\(0\)において左側連続であるはずです。実際、点\(0\)において、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0-}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0-}\left\vert
x\right\vert \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{x\rightarrow 0-}x\quad \because x<0 \\
&=&0 \\
&=&f\left( 0\right) \quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}となるため、\(f\)は点\(0\)において左側連続です。以上の結果は先の命題の主張と整合的です。
片側連続関数は片側微分可能であるとは限らない
関数は右側微分可能な点において右側連続であることが明らかになりましたが、その逆は成り立つとは限りません。つまり、関数は右側連続な点において右側微分可能であるとは限りません。同様に、関数は左側連続な点において左側微分可能であるとは限りません。以下の例より明らかです。
\begin{array}{cc}
x\sin \left( \frac{1}{x}\right) & \left( if\ x\not=0\right) \\
0 & \left( if\ x=0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。この関数は点\(0\)において右側連続である一方で右側微分可能ではなく、同じく点\(0\)において左側連続である一方で左側微分可能ではありません（演習問題）。
関数が片側微分可能ではないことの証明
関数は右側微分可能な点において右側連続であることが明らかになりました。対偶より、関数は右側連続ではない点において右側微分可能ではありません。したがって、関数が何らかの点において右側微分可能ではないことを示すために、その点において右側連続ではないことを示す手法が有効です。同様に、関数が何らかの点において左側微分可能ではないことを示すために、その点において左側連続ではないことを示す手法が有効です。
\begin{array}{cc}
x+1 & \left( if\ x\leq 2\right) \\
x+3 & \left( if\ x>2\right)\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は定義域上の点\(2 \)において右側微分可能でしょうか。一般項が\begin{equation*}x_{n}=2+\frac{1}{n}
\end{equation*}で与えられる数列\(\{x_{n}\}\)に注目します。この数列の任意の項は\(2\)より大きく、なおかつこの数列は\(2\)へ収束します。さて、任意の\(n\in \mathbb{N} \)について\(x_{n}>2\)であるため、数列\(\{f\left( x_{n}\right) \}\)の一般項は、\begin{equation*}f\left( x_{n}\right) =\left( 2+\frac{1}{n}\right) +3=5+\frac{1}{n}
\end{equation*}であり、その極限は、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow +\infty }f\left( x_{n}\right) &=&\lim_{n\rightarrow
+\infty }\left( 5+\frac{1}{n}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&5 \\
&\not=&3 \\
&=&f\left( 2\right) \quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}となります。このような数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が存在することは、関数\(f\)が点\(2\)において右側連続ではないことを意味します。したがって先の命題より、\(f\)は点\(2\)において右側微分可能ではありません。
演習問題
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)は点\(0\)において連続である一方で、点\(0\)において微分可能ではないことを示してください。
\begin{array}{cc}
x & \left( if\quad x\leq 0\right) \\
x+1 & \left( if\quad x>0\right)\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。以下の主張は正しいでしょうか。理由とともに答えてください。
- \(f\)は点\(0\)において右側微分可能かつ右側連続。
- \(f\)は点\(0\)において左側微分可能かつ左側連続。
- \(f\)は点\(0\)において微分可能でも連続でもない。
\begin{array}{cc}
1 & \left( if\quad x\not=0\right) \\
2 & \left( if\quad x=0\right)\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。以下の主張は正しいでしょうか。理由とともに答えてください。
- \(f\)は点\(0\)において右側微分可能かつ右側連続。
- \(f\)は点\(0\)において左側微分可能かつ左側連続。
- \(f\)は点\(0\)において微分可能でも連続でもない。
\begin{array}{cc}
x\sin \left( \frac{1}{x}\right) & \left( if\ x\not=0\right) \\
0 & \left( if\ x=0\right)\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。この関数は点\(0\)において右側連続である一方で右側微分可能ではないこと、また、点\(0\)において左側連続である一方で左側微分可能ではないことをそれぞれ示してください。
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