微分可能な関数の定数倍、微分可能な関数どうしの和・差・積・商はいずれも微分可能です。
微分可能性 定数倍 和 差 積 商
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微分可能な関数の定数倍

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R}\)と実数\(c\in \mathbb{R}\)が与えられたとき、この関数が\(x\in X\)に対して定める値\(f\left( x\right) \)を\(c\)倍して得られる値\(c\cdot f\left( x\right) \)を\(x\)の像とする新たな関数\(c\cdot f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R}\)を構成できます。この関数\(c\cdot f\)の微分可能性に関して以下が成り立ちます。

命題(微分可能な関数の定数倍の微分)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R}\)と実数\(c\in \mathbb{R}\)がそれぞれ任意に与えられたとき、\(f\)が内点\(a\in X^{i}\)において微分可能ならば関数\(c\cdot f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R}\)もまた点\(a\)において微分可能であり、そこでの微分係数は、\begin{equation*}
(c\cdot f)^{\prime }\left( a\right) =c\cdot f^{\prime }\left( a\right)
\end{equation*}を満たす。
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片側微分可能性に関しても同様の命題が成り立ちます。

命題(片側微分可能な関数の定数倍の片側微分)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R}\)と実数\(c\in \mathbb{R}\)がそれぞれ任意に与えられたとき、\(f\)が点\(a\in X\)において片側微分可能ならば関数\(c\cdot f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R}\)もまた点\(a\)において片側微分可能であり、そこでの片側微分係数は、\begin{eqnarray*}
(c\cdot f)^{\prime }\left( a+0\right) &=&c\cdot f^{\prime }\left( a+0\right) \\
(c\cdot f)^{\prime }\left( a-0\right) &=&c\cdot f^{\prime }\left( a-0\right)
\end{eqnarray*}などを満たす。
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以上の事実を踏まえると、微分可能な関数の定数倍に関する以下の命題が得られます。

系(微分可能な関数の定数倍の微分)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R}\)と実数\(c\in \mathbb{R}\)がそれぞれ任意に与えられたとき、\(f\)が定義域\(X\)上で微分可能ならば関数\(c\cdot f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R}\)もまた\(X\)上で微分可能であり、その導関数\(\left( c\cdot f\right) ^{\prime }:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R}\)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}
(c\cdot f)^{\prime }\left( x\right) =c\cdot f^{\prime }\left( x\right)
\end{equation*}を定める。
例(微分可能な関数の定数倍の微分)
変数\(x\in \mathbb{R}\)に関する関数\(f\left( x\right) =x^{2}\)は任意の点\(a\in \mathbb{R}\)において微分可能であり、そこでの微分係数は、\begin{eqnarray*}
f^{\prime }\left( a\right) &=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\left( a+h\right) ^{2}-a^{2}}{h} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\left( 2a+h\right) \\
&=&2a
\end{eqnarray*}となります。上の命題より、変数\(x\in \mathbb{R}\)に関する関数\(g\left( x\right) =3\cdot f\left( x\right) =3x^{2}\)もまた任意の点\(a\in \mathbb{R}\)において微分可能であり、そこでの微分係数は、\begin{eqnarray*}
g^{\prime }\left( a\right) &=&3\cdot f^{\prime }\left( a\right) \\
&=&3\cdot 2a \\
&=&6a
\end{eqnarray*}となります。また、やはり上の命題より、変数\(x\in \mathbb{R}\)に関する関数\(h\left( x\right) =-\frac{1}{2}\cdot f\left( x\right) =-\frac{1}{2}x^{2}\)もまた任意の点\(a\in \mathbb{R}\)において微分可能であり、そこでの微分係数は、\begin{eqnarray*}
h^{\prime }\left( a\right) &=&-\frac{1}{2}\cdot f^{\prime }\left( a\right) \\
&=&-\frac{1}{2}\cdot 2a \\
&=&-a
\end{eqnarray*}となります。

 

微分可能な関数の和

関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R}\)が与えられたとき、これらの関数が\(x\in X\)に対して定める値\(f\left( x\right) ,g\left( x\right) \)の和\(f\left( x\right) +g\left( x\right) \)を\(x\)の像とする新たな関数\(f+g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R}\)を構成できます。この関数\(f+g\)の微分可能性に関して以下が成り立ちます。

命題(微分可能な関数の和の微分)
関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R}\)がそれぞれ任意に与えられたとき、これらがともに内点\(a\in X^{i}\)において微分可能ならば関数\(f+g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R}\)もまた点\(a\)において微分可能であり、そこでの微分係数は、\begin{equation*}
(f+g)^{\prime }\left( a\right) =f^{\prime }\left( a\right) +g^{\prime }\left( a\right)
\end{equation*}を満たす。
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片側微分可能性に関しても同様の命題が成り立ちます。

命題(片側微分可能な関数の和の片側微分)
関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R}\)がそれぞれ任意に与えられたとき、これらがともに点\(a\in X\)において片側微分可能ならば関数\(f+g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R}\)もまた点\(a\)において片側微分可能であり、そこでの片側微分係数は、\begin{eqnarray*}
(f+g)^{\prime }\left( a+0\right) &=&f^{\prime }\left( a+0\right) +g^{\prime }\left( a+0\right) \\
(f+g)^{\prime }\left( a-0\right) &=&f^{\prime }\left( a-0\right) +g^{\prime }\left( a-0\right)
\end{eqnarray*}などを満たす。
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以上の事実を踏まえると、微分可能な関数の和に関する以下の命題が得られます。

系(微分可能な関数の和の微分)
関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R}\)がそれぞれ任意に与えられたとき、これらがともに定義域\(X\)上で微分可能ならば関数\(f+g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R}\)もまた\(X\)上で微分可能であり、その導関数\(\left( f+g\right) ^{\prime }:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R}\)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}
(f+g)^{\prime }\left( x\right) =f^{\prime }\left( x\right) +g^{\prime }\left( x\right)
\end{equation*}を定める。
例(微分可能な関数の和の微分)
変数\(x\in \mathbb{R}\)に関する関数\(f\left( x\right) =x^{2},\ g\left( x\right) =2x\)はともに任意の点\(a\in \mathbb{R}\)において微分可能であり、そこでの微分係数は、\begin{eqnarray*}
f^{\prime }\left( a\right) &=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\left( a+h\right) ^{2}-a^{2}}{h}=\lim_{h\rightarrow 0}\left( 2a+h\right) =2a \\
g^{\prime }\left( a\right) &=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{g\left( a+h\right) -g\left( a\right) }{h}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{2\left( a+h\right) -2a}{h}=\lim_{h\rightarrow 0}2=2
\end{eqnarray*}となります。上の命題より、変数\(x\in \mathbb{R}\)に関する関数\(h\left( x\right) =f\left( x\right) +g\left( x\right) =x^{2}+2x\)もまた任意の点\(a\in \mathbb{R}\)において微分可能であり、そこでの微分係数は、\begin{equation*}
h^{\prime }\left( a\right) =f^{\prime }\left( a\right) +g^{\prime }\left( a\right) =2a+2
\end{equation*}となります。

 

微分可能な関数の差

関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R}\)が与えられたとき、これらの関数が\(x\in X\)に対して定める値\(f\left( x\right) ,g\left( x\right) \)の差\(f\left( x\right) -g\left( x\right) \)を\(x\)の像とする新たな関数\(f-g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R}\)を構成できます。この関数\(f-g\)の微分可能性に関して以下が成り立ちます。

命題(微分可能な関数の差の微分)
関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R}\)がそれぞれ任意に与えられたとき、これらがともに内点\(a\in X^{i}\)において微分可能ならば関数\(f-g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R}\)もまた点\(a\)において微分可能であり、そこでの微分係数は、\begin{equation*}
(f-g)^{\prime }\left( a\right) =f^{\prime }\left( a\right) -g^{\prime }\left( a\right)
\end{equation*}を満たす。
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片側微分可能性に関しても同様の命題が成り立ちます。

命題(片側微分可能な関数の差の片側微分)
関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R}\)がそれぞれ任意に与えられたとき、これらがともに点\(a\in X\)において片側微分可能ならば関数\(f-g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R}\)もまた点\(a\)において片側微分可能であり、そこでの片側微分係数は、\begin{eqnarray*}
(f-g)^{\prime }\left( a+0\right) &=&f^{\prime }\left( a+0\right) -g^{\prime }\left( a+0\right) \\
(f-g)^{\prime }\left( a-0\right) &=&f^{\prime }\left( a-0\right) -g^{\prime }\left( a-0\right)
\end{eqnarray*}などを満たす。
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以上の事実を踏まえると、微分可能な関数の差に関する以下の命題が得られます。

系(微分可能な関数の差の微分)
関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R}\)がそれぞれ任意に与えられたとき、これらがともに定義域\(X\)上で微分可能ならば関数\(f-g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R}\)もまた\(X\)上で微分可能であり、その導関数\(\left( f-g\right) ^{\prime }:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R}\)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}
(f-g)^{\prime }\left( x\right) =f^{\prime }\left( x\right) -g^{\prime }\left( x\right)
\end{equation*}を定める。
例(微分可能な関数の差の微分)
変数\(x\in \mathbb{R}\)に関する関数\(f\left( x\right) =\frac{x^{2}}{2},\ g\left( x\right) =2x\)はともに任意の点\(a\in \mathbb{R}\)において微分可能であり、そこでの微分係数は、\begin{eqnarray*}
f^{\prime }\left( a\right) &=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}=\lim_{h\rightarrow 0}\left[ \frac{\left( a+h\right) ^{2}}{2}-\frac{a^{2}}{2}\right] \frac{1}{h}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{2a+h}{2}=a \\
g^{\prime }\left( a\right) &=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{g\left( a+h\right) -g\left( a\right) }{h}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{2\left( a+h\right) -2a}{h}=\lim_{h\rightarrow 0}2=2
\end{eqnarray*}となります。上の命題より、変数\(x\in \mathbb{R}\)に関する関数\(h\left( x\right) =f\left( x\right) -g\left( x\right) =\frac{x^{2}}{2}-2x\)もまた任意の点\(a\in \mathbb{R}\)において微分可能であり、そこでの微分係数は、\begin{equation*}
h^{\prime }\left( a\right) =f^{\prime }\left( a\right) +g^{\prime }\left( a\right) =a-2
\end{equation*}となります。

 

微分可能な関数の積

関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R}\)が与えられたとき、これらの関数が\(x\in X\)に対して定める値\(f\left( x\right) ,g\left( x\right) \)の積\(f\left( x\right) \cdot g\left( x\right) \)を\(x\)の像とする新たな関数\(f\cdot g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R}\)を構成できます。この関数\(f\cdot g\)の微分可能性に関して以下が成り立ちます。

命題(微分可能な関数の積の微分)
関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R}\)がそれぞれ任意に与えられたとき、これらがともに内点\(a\in X^{i}\)において微分可能ならば関数\(f\cdot g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R}\)もまた点\(a\)において微分可能であり、そこでの微分係数は、\begin{equation*}
(f\cdot g)^{\prime }\left( a\right) =f^{\prime }\left( a\right) \cdot g\left( a\right) +f\left( a\right) \cdot g^{\prime }\left( a\right)
\end{equation*}を満たす。
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片側微分可能性に関しても同様の命題が成り立ちます。

命題(片側微分可能な関数の積の片側微分)
関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R}\)がそれぞれ任意に与えられたとき、これらがともに点\(a\in X\)において片側微分可能ならば関数\(f\cdot g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R}\)もまた点\(a\)において片側微分可能であり、そこでの片側微分係数は、\begin{eqnarray*}
(f\cdot g)^{\prime }\left( a+0\right) &=&f^{\prime }\left( a+0\right) \cdot g\left( a\right) +f\left( a\right) \cdot g^{\prime }\left( a+0\right) \\
(f\cdot g)^{\prime }\left( a-0\right) &=&f^{\prime }\left( a-0\right) \cdot g\left( a\right) +f\left( a\right) \cdot g^{\prime }\left( a-0\right)
\end{eqnarray*}などを満たす。
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以上の事実を踏まえると、微分可能な関数の積に関する以下の命題が得られます。

系(微分可能な関数の積の微分)
関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R}\)がそれぞれ任意に与えられたとき、これらがともに定義域\(X\)上で微分可能ならば関数\(f\cdot g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R}\)もまた\(X\)上で微分可能であり、その導関数\(\left( f\cdot g\right) ^{\prime }:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R}\)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}
(f\cdot g)^{\prime }\left( x\right) =f^{\prime }\left( x\right) \cdot g\left( x\right) +f\left( x\right) \cdot g^{\prime }\left( x\right)
\end{equation*}を定める。
例(微分可能な関数の積の微分)
変数\(x\in \mathbb{R}\)に関する関数\(f\left( x\right) =x^{2}+1,\ g\left( x\right) =2x-1\)はともに任意の点\(a\in \mathbb{R}\)において微分可能であり、そこでの微分係数は、\begin{eqnarray*}
f^{\prime }\left( a\right) &=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\left[ \left( a+h\right) ^{2}+1\right] -\left[ a^{2}+1\right] }{h}=\lim_{h\rightarrow 0}\left( 2a+h\right) =2a \\
g^{\prime }\left( a\right) &=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{g\left( a+h\right) -g\left( a\right) }{h}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\left[ 2\left( a+h\right) -1\right] -\left[ 2a-1\right] }{h}=\lim_{h\rightarrow 0}2=2
\end{eqnarray*}となります。上の命題より、変数\(x\in \mathbb{R}\)に関する関数\(h\left( x\right) =f\left( x\right) \cdot g\left( x\right) =\left( x^{2}+1\right) \left( 2x-1\right) \)もまた任意の点\(a\in \mathbb{R}\)において微分可能であり、そこでの微分係数は、\begin{eqnarray*}
h^{\prime }\left( a\right) &=&f^{\prime }\left( a\right) \cdot g\left( a\right) +f\left( a\right) \cdot g^{\prime }\left( a\right) \\
&=&2a\left( 2a-1\right) +\left( a^{2}+1\right) 2 \\
&=&6a^{2}-2a+2
\end{eqnarray*}となります。

 

微分可能な関数の商

関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R}\)が与えられたとき、これらの関数が\(g\left( x\right) \not=0\)を満たす\(x\in X\)に対して定める値\(f\left( x\right) ,g\left( x\right) \)の商\(\frac{f\left( x\right) }{g\left( x\right) }\)を\(x\)の像とする新たな関数\(\frac{f}{g}:\mathbb{R} \supset X^{\prime }\rightarrow \mathbb{R}\)を構成できます。ただし、\(X^{\prime }=\{x\in X\ |\ g\left( x\right) \not=0\}\)です。この関数\(\frac{f}{g}\)の微分可能性に関して以下が成り立ちます。

命題(微分可能な関数の商の微分)
関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R}\)がそれぞれ任意に与えられたとき、これらがともに内点\(a\in X^{i}\)において微分可能であるとともに\(g\left( a\right) \not=0\)であるならば、関数\(\frac{f}{g}:\mathbb{R} \supset X^{\prime }\rightarrow \mathbb{R}\)もまた点\(a\)において微分可能であり、そこでの微分係数は、\begin{equation*}
\left( \frac{f}{g}\right) ^{\prime }\left( a\right) =\frac{f^{\prime }\left( a\right) \cdot g\left( a\right) -f\left( a\right) \cdot g^{\prime }\left( a\right) }{\left[ g\left( a\right) \right] ^{2}}
\end{equation*}を満たす。ただし、\(X^{\prime }=\{x\in X\ |\ g\left( x\right) \not=0\}\)である。
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片側微分可能性に関しても同様の命題が成り立ちます。

命題(片側微分可能な関数の商の片側微分)
関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R}\)がそれぞれ任意に与えられたとき、これらがともに点\(a\in X\)において片側微分可能であるとともに\(g\left( a\right) \not=0\)であるならば、\(\frac{f}{g}:\mathbb{R} \supset X^{\prime }\rightarrow \mathbb{R}\)もまた点\(a\)において片側微分可能であり、そこでの片側微分係数は、\begin{eqnarray*}
\left( \frac{f}{g}\right) ^{\prime }\left( a+0\right) &=&\frac{f^{\prime }\left( a+0\right) \cdot g\left( a\right) -f\left( a\right) \cdot g^{\prime }\left( a+0\right) }{\left[ g\left( a\right) \right] ^{2}} \\
\left( \frac{f}{g}\right) ^{\prime }\left( a-0\right) &=&\frac{f^{\prime }\left( a-0\right) \cdot g\left( a\right) -f\left( a\right) \cdot g^{\prime }\left( a-0\right) }{\left[ g\left( a\right) \right] ^{2}}
\end{eqnarray*}などを満たす。ただし、\(X^{\prime }=\{x\in X\ |\ g\left( x\right) \not=0\}\)である。
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以上の事実を踏まえると、微分可能な関数の商に関する以下の命題が得られます。

系(微分可能な関数の商の微分)
関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R}\)がそれぞれ任意に与えられたとき、これらがともに定義域\(X\)上で微分可能ならば関数\(\frac{f}{g}:\mathbb{R} \supset X^{\prime }\rightarrow \mathbb{R}\)もまた\(X\)上で微分可能であり、その導関数\(\left( \frac{f}{g}\right) ^{\prime }:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R}\)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}
\left( \frac{f}{g}\right) ^{\prime }\left( x\right) =\frac{f^{\prime }\left( x\right) \cdot g\left( x\right) -f\left( x\right) \cdot g^{\prime }\left( x\right) }{\left[ g\left( x\right) \right] ^{2}}
\end{equation*}を定める。ただし、\(X^{\prime }=\{x\in X\ |\ g\left( x\right) \not=0\}\)である。
例(微分可能な関数の商の微分)
変数\(x\in \mathbb{R}\)に関する関数\(f\left( x\right) =x^{2}+1,\ g\left( x\right) =2x-1\)はともに任意の点\(a\in \mathbb{R}\)において微分可能であり、そこでの微分係数は、\begin{eqnarray*}
f^{\prime }\left( a\right) &=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\left[ \left( a+h\right) ^{2}+1\right] -\left[ a^{2}+1\right] }{h}=\lim_{h\rightarrow 0}\left( 2a+h\right) =2a \\
g^{\prime }\left( a\right) &=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{g\left( a+h\right) -g\left( a\right) }{h}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\left[ 2\left( a+h\right) -1\right] -\left[ 2a-1\right] }{h}=\lim_{h\rightarrow 0}2=2
\end{eqnarray*}となります。上の命題より、変数\(x\in \mathbb{R}\)に関する関数\(h\left( x\right) =\frac{f\left( x\right) }{g\left( x\right) }=\frac{x^{2}+1}{2x-1}\)もまた\(\frac{1}{2}\)とは異なる任意の点\(a\in \mathbb{R}\)において微分可能であり、そこでの微分係数は、\begin{eqnarray*}
h^{\prime }\left( a\right) &=&\frac{f^{\prime }\left( a\right) \cdot g\left( a\right) -f\left( a\right) \cdot g^{\prime }\left( a\right) }{\left[ g\left( a\right) \right] ^{2}} \\
&=&\frac{2a\left( 2a-1\right) -\left( a^{2}+1\right) 2}{\left( 2a-1\right) ^{2}} \\
&=&\frac{2\left( a^{2}-a-1\right) }{\left( 2a-1\right) ^{2}}
\end{eqnarray*}となります。

次回は合成関数の微分について学びます。
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