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DIFFERENTIATION OF FUNCTIONS

恒等関数の微分

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恒等関数の微分可能性

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)は恒等関数であるものとします。つまり、\(f\)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}
f\left( x\right) =x
\end{equation*}を定めるということです。\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)の周辺の任意の値において定義されているとき、\(f\)が\(a\)において微分可能であるか否かを検討できますが、\(f\)は\(a\)において微分可能です。証明は以下の通りです。

恒等関数の定義より任意の\(x\in X\)に対して\(f\left( x\right) =x\)であることを踏まえると、\begin{eqnarray*}
\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\left( a+h\right) -a}{h}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{h}{h} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}1 \\
&=&1\quad \because \text{定数関数の極限}
\end{eqnarray*}となりますがこれは有限な実数であるため\(f\)は\(a\)において微分可能であるとともに、\begin{equation*}
f^{\prime }\left( a\right) =1
\end{equation*}であることが示されました。

命題(恒等関数の微分可能性)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}
f\left( x\right) =x
\end{equation*}を定めるものとする。\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)の周辺の任意の値において定義されているならば、\(f\)は\(a\)において微分可能であるとともに、\begin{equation*}
f^{\prime }\left( a\right) =1
\end{equation*}となる。
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例(恒等関数の微分可能性)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、\begin{equation*}
f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
1 & \left( if\ x\leq 3\right) \\
x & \left( if\ x>3\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}であるものとします。\(a<3\)を満たす任意の点\(a\in \mathbb{R} \)については、\begin{eqnarray*}
f^{\prime }\left( a\right) &=&\left. \frac{d}{dx}f\left( x\right)
\right\vert _{x=a} \\
&=&\left. \frac{d}{dx}1\right\vert _{x=a}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left. 0\right\vert _{x=a}\quad \because \text{定数関数の微分} \\
&=&0
\end{eqnarray*}となります。点\(3\)においては、\begin{eqnarray*}
f^{\prime }\left( 3-0\right) &=&\lim_{h\rightarrow 0-}\frac{f\left(
3+h\right) -f\left( 3\right) }{h}=\lim_{h\rightarrow 0-}\frac{1-1}{h}=\lim_{h\rightarrow 0-}0=0 \\
f^{\prime }\left( 3+0\right) &=&\lim_{h\rightarrow 0+}\frac{f\left(
3+h\right) -f\left( 3\right) }{h}=\lim_{h\rightarrow 0+}\frac{\left(
3+h\right) -3}{h}=\lim_{h\rightarrow 0+}1=1
\end{eqnarray*}となり両者は異なるため、\(f\)は点\(3\)において左右から微分可能である一方で微分可能ではありません。\(a>3\)を満たす任意の点\(a\in \mathbb{R} \)については、\begin{eqnarray*}
f^{\prime }\left( a\right) &=&\left. \frac{d}{dx}f\left( x\right)
\right\vert _{x=a} \\
&=&\left. \frac{d}{dx}x\right\vert _{x=a}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left. 1\right\vert _{x=a}\quad \because \text{恒等関数の微分} \\
&=&1
\end{eqnarray*}となります。以上より、\(f\)の導関数\(f^{\prime }\)の定義域は\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 3\right\} \)であり、これはそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 3\right\} \)に対して、\begin{equation*}
f^{\prime }\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ x<3\right) \\
1 & \left( if\ x>3\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めることが明らかになりました。

 

恒等関数の片側微分可能性

片側微分可能性に関しても同様の命題が成り立ちます(証明は演習問題にします)。

命題(恒等関数の片側微分可能性)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}
f\left( x\right) =x
\end{equation*}を定めるものとする。\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)より大きい任意の点において定義されているならば\(f\)は\(a\)において右側微分可能であり、\begin{equation*}
f^{\prime }\left( a+0\right) =1
\end{equation*}となる。また、\(f\)が\(a\)より小さい任意の点において定義されているならば\(f\)は\(a\)において左側微分可能であり、\begin{equation*}
f^{\prime }\left( a-0\right) =1
\end{equation*}となる。
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例(恒等関数の片側微分可能性)
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \left[ 0,1\right] \)に対して定める値が、\begin{equation*}
f\left( x\right) =x
\end{equation*}であるものとします。\(f\)は恒等関数であるため、定義域の端点である\(0\)と\(1\)において、\begin{eqnarray*}
f^{\prime }\left( 0+0\right) &=&1 \\
f^{\prime }\left( 0-0\right) &=&1
\end{eqnarray*}が成り立つとともに、\(0<a<1\)を満たす任意の点\(a\in \mathbb{R} \)において、\begin{equation*}
f^{\prime }\left( a\right) =1
\end{equation*}が成り立ちます。以上より、\(f\)は微分可能であり、その導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left[ 0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}
f^{\prime }\left( x\right) =1
\end{equation*}を定めることが明らかになりました。

 

恒等関数の微分可能性

以上の2つの命題より恒等関数は微分可能であることが明らかになりました。

命題(恒等関数は微分可能)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値が、\begin{equation*}
f\left( x\right) =x
\end{equation*}であるものとする。\(f\)は微分可能であり、その導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}
f^{\prime }\left( x\right) =1
\end{equation*}を定める。
証明を見る(プレミアム会員限定)
例(恒等関数は微分可能)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、\begin{equation*}
f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{ll}
1 & \left( if\ x\leq 1\right) \\
x & \left( if\ 1<x<2\right) \\
2 & \left( if\ 2\leq x\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(a<1\)を満たす任意の点\(a\in \mathbb{R} \)については、\begin{eqnarray*}
f^{\prime }\left( a\right) &=&\left. \frac{d}{dx}f\left( x\right)
\right\vert _{x=a} \\
&=&\left. \frac{d}{dx}1\right\vert _{x=a}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left. 0\right\vert _{x=a}\quad \because \text{定数関数の微分} \\
&=&0
\end{eqnarray*}となります。点\(1\)においては、\begin{eqnarray*}
f^{\prime }\left( 1-0\right) &=&\lim_{h\rightarrow 0-}\frac{f\left(
1+h\right) -f\left( 1\right) }{h}=\lim_{h\rightarrow 0-}\frac{1-1}{h}=\lim_{h\rightarrow 0-}0=0 \\
f^{\prime }\left( 1+0\right) &=&\lim_{h\rightarrow 0+}\frac{f\left(
1+h\right) -f\left( 1\right) }{h}=\lim_{h\rightarrow 0+}\frac{\left(
1+h\right) -1}{h}=\lim_{h\rightarrow 0+}1=1
\end{eqnarray*}となり両者は異なるため、\(f\)は点\(1\)において左右から微分可能である一方で微分可能ではありません。\(1<a<1\)を満たす任意の点\(a\in \mathbb{R} \)については、\begin{eqnarray*}
f^{\prime }\left( a\right) &=&\left. \frac{d}{dx}f\left( x\right)
\right\vert _{x=a} \\
&=&\left. \frac{d}{dx}x\right\vert _{x=a}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left. 1\right\vert _{x=a}\quad \because \text{恒等関数の微分} \\
&=&1
\end{eqnarray*}となります。点\(2\)においては、\begin{eqnarray*}
f^{\prime }\left( 2-0\right) &=&\lim_{h\rightarrow 0-}\frac{f\left(
2+h\right) -f\left( 2\right) }{h}=\lim_{h\rightarrow 0-}\frac{\left(
2+h\right) -2}{h}=\lim_{h\rightarrow 0-}1=1 \\
f^{\prime }\left( 2+0\right) &=&\lim_{h\rightarrow 0+}\frac{f\left(
2+h\right) -f\left( 2\right) }{h}=\lim_{h\rightarrow 0+}\frac{2-2}{h}=\lim_{h\rightarrow 0+}0=0
\end{eqnarray*}となり両者は異なるため、\(f\)は点\(2\)において左右から微分可能である一方で微分可能ではありません。\(a>2\)を満たす任意の点\(a\in \mathbb{R} \)については、\begin{eqnarray*}
f^{\prime }\left( a\right) &=&\left. \frac{d}{dx}f\left( x\right)
\right\vert _{x=a} \\
&=&\left. \frac{d}{dx}2\right\vert _{x=a}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left. 0\right\vert _{x=a}\quad \because \text{定数関数の微分} \\
&=&0
\end{eqnarray*}となります。以上より、\(f\)の導関数\(f^{\prime }\)の定義域は\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 1,2\right\} \)であり、これはそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 1,2\right\} \)に対して、\begin{equation*}
f^{\prime }\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{ll}
0 & \left( if\ x<1\right) \\
1 & \left( if\ 1<x<2\right) \\
0 & \left( if\ x>2\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めることが明らかになりました。

次回は微分可能な関数の定数倍として定義される関数もまた微分可能であることを示します。

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