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DIFFERENTIATION OF FUNCTIONS

恒等関数の微分

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恒等関数の微分

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)は恒等関数であるものとします。つまり、任意の\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x
\end{equation*}が成り立つということです。\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)の周辺の任意の値において定義されているとき、\(f\)が点\(a\)において微分可能であるか検討できますが、恒等関数\(f\)は点\(a\)において微分可能であり、そこでの微分係数が\(1\)になります。

命題(恒等関数の微分)

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x
\end{equation*}を定めるものとする。\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)の周辺の任意の値において定義されているならば、\(f\)は点\(a\)において微分可能であるとともに、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) =1
\end{equation*}となる。

証明

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例(恒等関数の微分)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x
\end{equation*}を定めるものとします。\(\mathbb{R} \)は開集合であるため、定義域上の点を任意に選んだとき、\(f\)はその点の周辺の任意の点において定義されています。すると先の命題より\(f\)は微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( x\right) =1
\end{equation*}を定めます。つまり、\(\mathbb{R} \)上に定義された恒等関数は微分可能であるということです。
例(恒等関数の微分)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
1 & \left( if\ x\leq 3\right) \\
x & \left( if\ x>3\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}であるものとします。\(a<3\)を満たす点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、その周辺の任意の点\(x\)において\(f\left( x\right) =1\)であるため、定数関数の微分より、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) =0
\end{equation*}となります。点\(3\)においては、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( 3-0\right) &=&\lim_{h\rightarrow 0-}\frac{f\left(
3+h\right) -f\left( 3\right) }{h}=\lim_{h\rightarrow 0-}\frac{1-1}{h}=\lim_{h\rightarrow 0-}0=0 \\
f^{\prime }\left( 3+0\right) &=&\lim_{h\rightarrow 0+}\frac{f\left(
3+h\right) -f\left( 3\right) }{h}=\lim_{h\rightarrow 0+}\frac{\left(
3+h\right) -3}{h}=\lim_{h\rightarrow 0+}1=1
\end{eqnarray*}となり両者は異なるため、\(f\)は点\(3\)において左右から微分可能である一方で微分可能ではありません。\(a>3\)を満たす点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、その周辺のに似の点\(x\)において\(f\left( x\right) =x\)であるため、恒等関数の微分より、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) =1
\end{equation*}となります。以上より、\(f\)の導関数\(f^{\prime }\)の定義域は\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 3\right\} \)であり、これはそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 3\right\} \)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ x<3\right) \\
1 & \left( if\ x>3\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めることが明らかになりました。

 

恒等関数の片側微分

片側微分可能性に関しても同様の命題が成り立ちます。

命題(恒等関数の片側微分)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x
\end{equation*}を定めるものとする。\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)以上の周辺の任意の点において定義されているならば、\(f\)は点\(a\)において右側微分可能であり、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a+0\right) =1
\end{equation*}となる。また、\(f\)が点\(a\)以下の周辺の任意の点において定義されているならば\(f\)は点\(a\)において左側微分可能であり、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a-0\right) =1
\end{equation*}となる。

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例(恒等関数の片側微分可能性)
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left[ 0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x
\end{equation*}を定めるものとします。定義域\(\left[ 0,1\right] \)の内点\(a\in \left( 0,1\right) \)を任意に選んだとき、その周辺の任意の点\(x\)において\(f\left( x\right) =x\)であるため、恒等関数の微分より、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) =1
\end{equation*}となります。一方、\(f\)は定義域の境界点である\(0\)や\(1\)において通常の意味で微分可能ではありません。点\(0\)以上の周辺の任意の点\(x\)において\(f\left( x\right) =x\)であるため、恒等関数の右側微分より、\begin{equation*}f^{\prime }\left( 0+0\right) =1
\end{equation*}となります。また、点\(1\)以下の周辺の任意の点\(x\)において\(f\left( x\right) =x\)であるため、恒等関数の左側微分より、\begin{equation*}f^{\prime }\left( 1-0\right) =1
\end{equation*}となります。

 

演習問題

問題(恒等関数の微分)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{ll}
1 & \left( if\ x\leq 1\right) \\
x & \left( if\ 1<x<2\right) \\
2 & \left( if\ 2\leq x\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)の導関数\(f^{\prime }\)を求めてください。
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問題(恒等関数の微分)
関数\(f:\mathbb{R} \supset (-\infty ,1]\cup (2,+\infty )\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in (-\infty ,1]\cup(2,+\infty )\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
x & \left( if\ x\leq 1\right) \\
2 & \left( if\ x>2\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)の導関数\(f^{\prime }\)を求めてください。
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次回は微分可能な関数の定数倍として定義される関数もまた微分可能であることを示します。

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関連知識

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恒等関数

入力した値に等しい値を返す関数を恒等関数と呼びます。恒等関数は狭義単調増加関数であるとともに、定義域と値域は一致します。したがって、全区間上に定義された恒等関数は逆関数を持ち、それもまた恒等関数になります。また、恒等関数と任意の関数の合成関数もまた恒等関数になります。

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DISCUSSION

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