微分作用素（微分演算子）

単純微分作用素

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域の内点\(a\in X^{i}\)および周辺の任意の点において\(n\)階微分可能であるものとします。\(m\leq n\)を満たす自然数\(m\)を任意に選びます。この場合、点\(a\)における\(m\)階微分係数\(f^{\left( m\right)}\left( a\right) \)が存在しますが、これを、\begin{equation*}D^{m}f\left( a\right) ,\quad \left( \frac{d}{dx}\right) ^{m}f\left( a\right)
,\quad \frac{d^{m}f\left( a\right) }{dx^{m}}
\end{equation*}などで表記できるものと定めます。また、関数\(f\)が定義域\(X\)上で\(n\)階微分可能である場合には、\(m\leq n\)を満たす自然数\(m\)を任意に選んだとき\(m\)階偏導関数\(f^{\left( m\right) }\left( x\right) \)が存在しますが、これを、\begin{equation*}D^{m}f,\quad \left( \frac{d}{dx}\right) ^{m}f,\quad \frac{d^{m}f}{dx^{m}}
\end{equation*}などで表記できるものと定めます。以上を踏まえた上で、関数\(f\)を\(m\)回微分するという操作そのものを、\begin{equation*}D^{m},\quad \left( \frac{d}{dx}\right) ^{m},\quad \frac{d^{m}}{dx^{m}}
\end{equation*}などで表記し、これを単純微分作用素（simple differential operator）や単純微分演算子などと呼びます。また、\(f\)を微分する合計回数\begin{equation*}m
\end{equation*}を単純微分作用素の次数（order）と呼びます。

関数\(f\)が\(n\)階微分可能である場合、\(f\)に対して\(n\)以下の任意の次数を持つ単純微分作用素を作用させることができます。

単純微分作用素の定数倍

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域の内点\(a\in X^{i}\)および周辺の任意の点において\(n\)階微分可能であるものとします。さらに、\(n\)次以下の単純微分作用素\begin{equation*}D^{m}\quad \left( m\leq n\right)
\end{equation*}と実数\(c\in \mathbb{R} \)をそれぞれ任意に選びます。\(f\)に\(D^{m}\)を作用させれば\(m\)階微分係数\(D^{m}f\left( a\right) \)が得られますが、さらにその値を\(c\)倍すれば以下の値\begin{equation*}cD^{m}f\left( a\right)
\end{equation*}が得られます。また、関数\(f\)が定義域\(X\)上で\(n\)階微分可能である場合、\(f\)に\(D^{m}\)を作用させれば\(m\)階導関数\(D^{m}f\)が得られますが、さらにその関数を\(c\)倍すれば以下の関数\begin{equation*}cD^{m}f
\end{equation*}が得られます。以上を踏まえた上で、関数\(f\)に\(D^{m}\)を作用させた結果を\(c\)倍するという操作に相当する作用素を、\begin{equation}cD^{m} \quad \cdots (1)
\end{equation}で表記します。つまり、\begin{equation*}
\left( cD^{m}\right) f=c\left( D^{m}f\right)
\end{equation*}を満たすものとして作用素\(\left( 1\right) \)を定義するということです。

単純微分作用素の和

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域の内点\(a\in X^{i}\)および周辺の任意の点において\(n\)階微分可能であるものとします。さらに、\(n\)次以下の2つの単純微分作用素\begin{eqnarray*}&&D^{p}\quad \left( p\leq n\right) \\
&&D^{q}\quad \left( q\leq n\right)
\end{eqnarray*}をそれぞれ任意に選びます。点\(a\)において\(f\)に\(D^{p}\)を作用させれば\(p\)階微分係数\(D^{p}f\left( a\right) \)が得られ、\(D^{q}\)を作用させれば\(q\)階微分係数\(D^{q}f\left( a\right) \)が得られますが、それらの値の和をとれば以下の値\begin{equation*}D^{p}f\left( a\right) +D^{q}f\left( a\right)
\end{equation*}が得られます。また、関数\(f\)が定義域\(X\)上で\(n\)階微分可能である場合、\(f\)に\(D^{p}\)を作用させれば\(p\)階導関数\(D^{p}f\)が得られ、\(D^{q}\)を作用させれば\(q\)階導関数\(D^{q}f\)が得られますが、それらの値の和をとれば以下の関数\begin{equation*}D^{p}f+D^{q}f
\end{equation*}が得られます。以上を踏まえた上で、関数\(f\)に\(D^{p}\)を作用させた結果と\(D^{q}\)を作用させた結果の和をとるという操作に相当する作用素を、\begin{equation}D^{p}+D^{q} \quad \cdots (1)
\end{equation}で表記します。つまり、\begin{equation*}
\left( D^{p}+D^{q}\right) f=D^{p}f+D^{q}f
\end{equation*}を満たすものとして作用素\(\left( 1\right) \)を定義するということです。

微分作用素

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域の内点\(a\in X^{i}\)および周辺の任意の点において\(n\)階微分可能であるものとします。\(n\)次以下の2つの単純偏微分作用素\begin{eqnarray*}&&D^{p}\quad \left( p\leq n\right) \\
&&D^{q}\quad \left( q\leq n\right)
\end{eqnarray*}と2つの実数\begin{eqnarray*}
c_{p} &\in &\mathbb{R} \\
c_{q} &\in &\mathbb{R} \end{eqnarray*}をそれぞれ任意に選んだとき、これまでの議論より、新たな作用素\begin{equation*}
E=c_{p}D^{p}+c_{q}D^{q}
\end{equation*}が定義可能です。これを微分作用素（differential operator）や微分演算子などと呼びます。点\(a\)において微分作用素\(E\)を\(f\)に対して作用させれば以下の値\begin{eqnarray*}Ef\left( a\right) &=&\left( c_{p}D^{p}+c_{q}D^{q}\right) f\left( a\right)
\\
&=&\left( c_{p}D^{p}\right) f\left( a\right) +\left( c_{q}D^{q}\right)
f\left( a\right) \\
&=&c_{p}\left( D^{p}\right) f\left( a\right) +c_{q}\left( D^{q}\right)
f\left( a\right)
\end{eqnarray*}を得ます。また、関数\(f\)が定義域\(X\)上で\(n\)階微分可能である場合、偏微分作用素\(E\)を\(f\)に対して作用させれば以下の関数\begin{eqnarray*}Ef &=&\left( c_{p}D^{p}+c_{q}D^{q}\right) f \\
&=&\left( c_{p}D^{p}\right) f+\left( c_{q}D^{q}\right) f \\
&=&c_{p}\left( D^{p}\right) f+c_{q}\left( D^{q}\right) f
\end{eqnarray*}を得ます。

3個以上の微分作用素の定数倍の和から微分作用素を生成することもできます。つまり、関数\(f\)が\(n\)階微分可能である場合、微分作用素とは\(n\)次以下の単純微分作用素\(D^{m}\ \left( m\leq n\right) \)の定数\(c_{m}\)倍どうしの和\begin{equation*}E=\sum c_{m}D^{m}
\end{equation*}として定義されます。

関数\(f\)が\(C^{\infty }\)級である場合など、\(n\)が十分大きい場合には、関数\(f\)に対して同一の微分作用素\(E\)を繰り返し作用させることができます。微分作用素\(E\)を\(r\)回作用させることを、\begin{equation*}E^{r}
\end{equation*}で表記します。

演習問題