関数が点において微分可能ならば、変数の値が微量変化したときの関数の値の変化量は微分と呼ばれる概念によって近似できます。また、微分係数は変数の微分と関数の値の微分の商として表現可能です。その意味において微分係数を微分商と呼ぶこともできます。

微分

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R}\)が内点\(a\in X^{i}\)において微分可能である場合には、微分係数に相当する以下の極限\begin{equation}
f^{\prime }\left( a\right) =\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f\left( a+\Delta x\right) -f\left( a\right) }{\Delta x} \tag{1}
\end{equation}が存在します。ここで、平均変化率\(\frac{f\left( a+\Delta x\right) -f\left( a\right) }{\Delta x}\)と微分係数\(f^{\prime }\left( a\right) \)の差を、\begin{equation}
\varepsilon =\frac{f\left( a+\Delta x\right) -f\left( a\right) }{\Delta x}-f^{\prime }\left( a\right) \tag{2}
\end{equation}とおくと、\begin{align*}
\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\varepsilon & =\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\left( \frac{f\left( a+\Delta x\right) -f\left( a\right) }{\Delta x}-f^{\prime }\left( a\right) \right) \quad \because \left( 2\right) \\
& =\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f\left( a+\Delta x\right) -f\left( a\right) }{\Delta x}-\lim_{\Delta x\rightarrow 0}f^{\prime }\left( a\right) \\
& =f^{\prime }\left( a\right) -f^{\prime }\left( a\right) \quad \because \left( 1\right) \\
& =0
\end{align*}すなわち、\begin{equation}
\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\varepsilon =0 \tag{3}
\end{equation}を得ます。また\(\left( 2\right) \)より、\begin{equation}
f\left( a+\Delta x\right) -f\left( a\right) =f^{\prime }\left( a\right) \cdot \Delta x+\varepsilon \cdot \Delta x \tag{4}
\end{equation}を得ます。

変数\(\Delta x\)に関する2つの関数\(\varepsilon \cdot \Delta x,\ \Delta x\)に対して、\begin{eqnarray*}
\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\varepsilon \cdot \Delta x &=&0 \\
\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\Delta x &=&0
\end{eqnarray*}が成り立つため、これらはともに\(0\)における無限小です。さらに、\begin{align*}
\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\varepsilon \cdot \Delta x}{\Delta x}& =\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\varepsilon \quad \because \Delta x\rightarrow 0 \\
& =0\quad \because \left( 3\right)
\end{align*}が成り立つため、\(\varepsilon \cdot \Delta x\)は点\(0\)において\(\Delta x\)よりも高次の無限小です。つまり、\begin{equation*}
\varepsilon \cdot \Delta x=o(\Delta x)\quad \left( \Delta x\rightarrow 0\right)
\end{equation*}が成り立つということです。これと\(\left( 4\right) \)より、\begin{equation}
f\left( a+\Delta x\right) -f\left( a\right) =f^{\prime }\left( a\right) \cdot \Delta x+o(\Delta x)\quad \left( \Delta x\rightarrow 0\right) \tag{5}
\end{equation}を得ます。

高位の無限小の定義より、\(\Delta x\rightarrow 0\)のときに\(o\left( \Delta x\right) \)は\(\Delta x\)よりも速く\(0\)へ収束します。ゆえに\(\left( 5\right) \)より、\(\Delta x\)が\(0\)に十分近い場合には、\begin{equation*}
f\left( a+\Delta x\right) -f\left( a\right) \approx f^{\prime }\left( a\right) \cdot \Delta x
\end{equation*}という近似関係が成立します。つまり、\(\Delta x\)が\(0\)に十分近い場合には、\(f\left( x\right) \)の増分は微分係数\(f^{\prime }\left( a\right) \)と\(x\)の増分\(\Delta x\)の積として近似できるということです。そこで、\(f^{\prime }\left( a\right) \cdot \Delta x\)を\(f\left( a+\Delta x\right) -f\left( a\right) \)の主要部分(main part)や\(f\)\(a\)における微分(differential at \(a\))と呼び、これを、\begin{equation*}
df=f^{\prime }\left( a\right) \cdot \Delta x
\end{equation*}で表します。\(\Delta x\)が\(0\)に十分近い場合には、\begin{equation*}
f\left( a+\Delta x\right) -f\left( a\right) \approx df
\end{equation*}となります。

例(微分)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\)が、\begin{equation*}
f\left( x\right) =3x^{2}-5x+4
\end{equation*}で与えられているものとします。内点\(a\in \mathbb{R}\)と\(h\not=0\)について、\begin{eqnarray*}
\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h} &=&\frac{3\left( a+h\right) ^{2}-5\left( a+h\right) +4-\left( 3a^{2}-5a+4\right) }{h} \\
&=&\frac{3a^{2}+6ah+3h^{2}-5a-5h+4-3a^{2}+5a-4}{h} \\
&=&\frac{6ah+3h^{2}-5h}{h} \\
&=&6a+3h-5
\end{eqnarray*}となるため、\begin{eqnarray*}
f^{\prime }\left( a\right) &=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\left( 6a+3h-5\right) \\
&=&6a-5
\end{eqnarray*}となります。したがって、\(f\)の\(a\)における微分は、\begin{equation*}
df=f^{\prime }\left( a\right) \cdot \Delta x=\left( 6a-5\right) \cdot \Delta x
\end{equation*}です。
例(微分)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\)が、\begin{equation*}
f\left( x\right) =x
\end{equation*}で与えられているものとします。内点\(a\in \mathbb{R}\)と\(h\not=0\)について、\begin{equation*}
\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}=\frac{\left( a+h\right) -a}{h}=1
\end{equation*}となるため、\begin{eqnarray*}
f^{\prime }\left( a\right) &=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}1 \\
&=&1
\end{eqnarray*}となります。したがって、\(f\)の\(a\)における微分は、\begin{equation*}
df=f^{\prime }\left( a\right) \cdot \Delta x=1\cdot \Delta x=\Delta x
\end{equation*}となります。言い換えると、変数\(x\)に関する関数\(x\)に関しては、内点\(a\)における微分商が、\begin{equation*}
dx=\Delta x
\end{equation*}になるということです。

 

微分商

繰り返しになりますが、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R}\)が内点\(a\in X^{i}\)において微分可能である場合、\(f\)の\(a\)における微分は、\begin{equation}
df=f^{\prime }\left( a\right) \cdot \Delta x \tag{1}
\end{equation}となります。また、先に例で確認したように、変数\(x\)に関する関数\(x\)は任意の内点\(a\)において微分であるとともに、そこでの微分は、\begin{equation}
dx=\Delta x \tag{2}
\end{equation}となります。\(\left( 2\right) \)を使って\(\left( 1\right) \)を書き換えると、\begin{equation*}
df=f^{\prime }\left( a\right) \cdot dx
\end{equation*}という関係が成り立ちますが、\(dx=\Delta x\not=0\)ゆえに両辺を\(dx\)で割ると、\begin{equation*}
\frac{df}{dx}=f^{\prime }\left( a\right)
\end{equation*}を得ます。

つまり、関数\(f\)が点\(a\)において微分可能である場合には、微分係数\(f^{\prime }\left( a\right) \)は関数\(f\)の点\(a\)における微分\(df\)と関数\(x\)の点\(a\)における微分\(dx\)の商として表現できるということです。このような事実を踏まえた上で、微分係数\(f^{\prime }\left( a\right) \)を微分商(differential quotient)と呼ぶ場合があります。

次回からは片側微分と呼ばれる概念について学びます。
次へ進む 質問・コメントを投稿する 演習問題(プレミアム会員限定)

Share on facebook
Facebook
Share on twitter
Twitter
Share on email
Email

ワイズをさらに活用するための会員サービス

ユーザー名とメールアドレスを入力して一般会員に無料登録すれば、質問やコメントを投稿できるようになります。さらに、有料(500円/月)のプレミアム会員へアップグレードすることにより、プレミアムコンテンツ(命題の証明や演習問題、解答など)にアクセスできます。
会員サービス

ディスカッションに参加しますか?

質問やコメントを投稿するにはログインが必要です。
ログイン

アカウント
ログイン