関数が点において微分可能ならば、変数の値が微量変化したときの関数の値の変化量は微分と呼ばれる概念によって近似できます。また、微分係数は変数の微分と関数の値の微分の商として表現可能です。その意味において微分係数を微分商と呼ぶこともできます。

2019年3月15日:公開

微分

区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R}\)が内点\(a\in I^{i}\)において微分可能である場合には、微分係数に相当する以下の極限\begin{equation}
f^{\prime }\left( a\right) =\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f\left( a+\Delta x\right) -f\left( a\right) }{\Delta x} \tag{1}
\end{equation}が存在します。ここで、平均変化率と微分係数の差を、\begin{equation}
\varepsilon = \frac{f\left( a+\Delta x\right) -f\left( a\right) }{\Delta x} – f^{\prime }\left( a\right) \tag{2}
\end{equation}とおくと、\begin{align*}
\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\varepsilon & =\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\left( \frac{f\left( a+\Delta x\right) -f\left( a\right) }{\Delta x}-f^{\prime }\left( a\right) \right) \quad \because \left( 2\right) \\
& =\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f\left( a+\Delta x\right) -f\left( a\right) }{\Delta x}-\lim_{\Delta x\rightarrow 0}f^{\prime }\left( a\right) \\
& =f^{\prime }\left( a\right) -f^{\prime }\left( a\right) \quad \because \left( 1\right) \\
& =0
\end{align*}すなわち、\begin{equation}
\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\varepsilon =0 \tag{3}
\end{equation}を得ます。また\(\left( 2\right) \)より、\begin{equation}
f\left( a+\Delta x\right) -f\left( a\right) =f^{\prime }\left( a\right) \cdot \Delta x+\varepsilon \cdot \Delta x \tag{4}
\end{equation}を得ます。

変数\(\Delta x\)に関する2つの関数\(\varepsilon \cdot \Delta x,\ \Delta x\)に対して、\begin{eqnarray*}
\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\varepsilon \cdot \Delta x &=&0 \\
\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\Delta x &=&0
\end{eqnarray*}が成り立つため、これらはともに\(0\)における無限小です。さらに、\begin{align*}
\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\varepsilon \cdot \Delta x}{\Delta x}& =\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\varepsilon \quad \because \Delta x\rightarrow 0 \\
& =0\quad \because \left( 3\right) \
\end{align*}が成り立つため、\(\varepsilon \cdot \Delta x\)は点\(0\)において\(\Delta x\)よりも高次の無限小です。つまり、\begin{equation*}
\varepsilon \cdot \Delta x=o(\Delta x)\quad \left( \Delta x\rightarrow 0\right)
\end{equation*}が成り立つということです。これと\(\left( 4\right) \)より、\begin{equation}
f\left( a+\Delta x\right) -f\left( a\right) =f^{\prime }\left( a\right) \cdot \Delta x+o(\Delta x)\quad \left( \Delta x\rightarrow 0\right) \tag{5}
\end{equation}を得ます。

高位の無限小の定義より、\(\Delta x\rightarrow 0\)のときに\(o\left( \Delta x\right) \)は\(\Delta x\)よりも速く\(0\)へ収束します。ゆえに\(\left( 5\right) \)より、\(\Delta x\)が\(0\)に十分近い場合には、\begin{equation*}
f\left( a+\Delta x\right) -f\left( a\right) \approx f^{\prime }\left( a\right) \cdot \Delta x
\end{equation*}という近似関係が成立します。そこで、\(f^{\prime }\left( a\right) \cdot \Delta x\)を\(f\left( a+\Delta x\right) -f\left( a\right) \)の主要部分(main part)や\(f\)の\(a\)における微分(differential at \(a\))と呼び、これを、\begin{equation}
df=f^{\prime }\left( a\right) \cdot \Delta x \tag{5}
\end{equation}で表します。

例(微分)
区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R}\)が、\begin{equation*}
f\left( x\right) =3x^{2}-5x+4
\end{equation*}で与えられているものとします。内点\(a\in I^{i}\)と\(h\not=0\)について、\begin{eqnarray*}
\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h} &=&\frac{3\left( a+h\right) ^{2}-5\left( a+h\right) +4-\left( 3a^{2}-5a+4\right) }{h} \\
&=&\frac{3a^{2}+6ah+3h^{2}-5a-5h+4-3a^{2}+5a-4}{h} \\
&=&\frac{6ah+3h^{2}-5h}{h} \\
&=&6a+3h-5
\end{eqnarray*}となるため、\begin{eqnarray*}
f^{\prime }\left( a\right) &=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\left( 6a+3h-5\right) \\
&=&6a-5
\end{eqnarray*}となります。したがって、\(f\)の\(a\)における微分は、\begin{equation*}
df=f^{\prime }\left( a\right) \cdot \Delta x=\left( 6a-5\right) \cdot \Delta x
\end{equation*}です。
例(微分)
区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R}\)が、\begin{equation*}
f\left( x\right) =x
\end{equation*}で与えられているものとします。内点\(a\in I^{i}\)と\(h\not=0\)について、\begin{equation*}
\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}=\frac{\left( a+h\right) -a}{h}=1
\end{equation*}となるため、\begin{eqnarray*}
f^{\prime }\left( a\right) &=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}1 \\
&=&1
\end{eqnarray*}となります。したがって、\(f\)の\(a\)における微分は、\begin{equation*}
df=f^{\prime }\left( a\right) \cdot \Delta x=1\cdot \Delta x=\Delta x
\end{equation*}となります。言い換えると、変数\(x\)に関する関数\(x\)に関しては、内点\(a\)における微分商が、\begin{equation*}
dx=\Delta x
\end{equation*}になるということです。

 

微分商

繰り返しになりますが、区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R}\)が内点\(a\in I^{i}\)において微分可能である場合には、\(f\)の\(a\)における微分は、\begin{equation}
df=f^{\prime }\left( a\right) \cdot \Delta x \tag{1}
\end{equation}となります。

また、先の例で確認したように、変数\(x\)に関する関数\(x\)は任意の内点\(a\)において微分であるとともに、そこでの微分は、\begin{equation}
dx=\Delta x \tag{2}
\end{equation}となります。

\(\left( 2\right) \)を使って\(\left( 1\right) \)を書き換えると、\begin{equation*}
df=f^{\prime }\left( a\right) \cdot dx
\end{equation*}という関係が成り立ちますが、\(dx=\Delta x\not=0\)ゆえに両辺を\(dx\)で割ると、\begin{equation*}
\frac{df}{dx}=f^{\prime }\left( a\right)
\end{equation*}を得ます。

つまり、関数\(f\)が点\(a\)において微分可能であるとき、微分係数\(f^{\prime }\left( a\right) \)は関数\(f\)の点\(a\)における微分\(df\)と関数\(x\)の点\(a\)における微分\(dx\)の商として表現できるということです。このような事実を踏まえた上で、微分係数\(f^{\prime }\left( a\right) \)を微分商(differential quotient)と呼ぶ場合があります。

次回からは片側微分と呼ばれる概念について学びます。
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