逆正弦関数（arcsin関数）の微分

関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ -1,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left[ -1,1\right] \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\arcsin \left( x\right)
\end{equation*}を定めるものとする。点\(a\in \left( -1,1\right) \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)において微分可能であるとともに、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) =\frac{1}{\sqrt{1-a^{2}}}
\end{equation*}が成り立つ。

関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ -1,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left[ -1,1\right] \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\arcsin \left( x\right)
\end{equation*}を定めるものとします。先の命題より、\(f\)は\(\left( -1,1\right) \)上で微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \supset \left( -1,1\right) \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left( -1,1\right) \)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( x\right) =\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}
\end{equation*}を定めます。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\arcsin \left( x+1\right)
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(f\)の定義域は、\begin{eqnarray*}X &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ x+1\in \left[ -1,1\right] \right\} \\
&=&\left[ -2,0\right] \end{eqnarray*}です。関数\(f\)は多項式関数\(x+1\)と逆正弦関数\(\arcsin \left( x\right) \)の合成関数であるため\(\left( -2,0\right) \)上で微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \supset \left( -2,0\right) \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left( -2,0\right) \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&\left[ \arcsin \left( x+1\right) \right] ^{\prime }\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left. \left[ \arcsin \left( y\right) \right] ^{\prime }\right\vert
_{y=x+1}\cdot \left( x+1\right) ^{\prime }\quad \because \text{合成関数の微分} \\
&=&\left. \frac{1}{\sqrt{1-y^{2}}}\right\vert _{y=x+1}\cdot 1\quad \because
\text{逆正接関数・多項式関数の微分} \\
&=&\frac{1}{\sqrt{1-\left( x+1\right) ^{2}}} \\
&=&\frac{1}{\sqrt{-x^{2}-2x}}
\end{eqnarray*}を定めます。

関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ -1,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left[ -1,1\right] \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\arcsin \left( x\right)
\end{equation*}を定めるものとする。点\(a\in \left( -1,1\right) \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)において右側微分可能であるとともに、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a+0\right) =\frac{1}{\sqrt{1-a^{2}}}
\end{equation*}が成り立つとともに、\(f\)は点\(a\)において左側微分可能であるとともに、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a-0\right) =\frac{1}{\sqrt{1-a^{2}}}
\end{equation*}が成り立つ。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\arcsin \left( x-1\right)
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(f\)の定義域は、\begin{eqnarray*}X &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ x-1\in \left[ -1,1\right] \right\} \\
&=&\left[ 0,2\right] \end{eqnarray*}です。\(f\)の導関数を求めてください。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\arcsin \left( \frac{1-x^{2}}{1+x^{2}}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(f\)の定義域は、\begin{eqnarray*}X &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ \frac{1-x^{2}}{1+x^{2}}\in \left[ -1,1\right] \right\} \\
&=&\mathbb{R} \end{eqnarray*}です。\(f\)の導関数を求めてください。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\arcsin \left( \sqrt{1-x^{2}}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(f\)の定義域は、\begin{eqnarray*}X &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ \sqrt{1-x^{2}}\in \left[ -1,1\right] \wedge 1-x^{2}\geq 0\right\} \\
&=&\left[ -1,1\right] \end{eqnarray*}です。\(f\)の導関数を求めてください。