定数関数は任意の点において微分可能であり、微分係数は常にゼロになります。

定数関数 微分

定数関数

復習になりますが、関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値\(f\left( x\right) \in \mathbb{R} \)が、実数\(c\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}
f\left( x\right) =c
\end{equation*}という形で表すことができる場合には、\(f\)を定数関数と呼びます。

定数関数\(f\left( x\right) =c\)は定義域\(\mathbb{R} \)上の任意の点において\(c\)へ収束するとともに、\(\mathbb{R} \)上で連続です。

定数関数について復習する
例(定数関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が\(f\left( x\right) =5\)であるならば、この\(f\)は定数関数です。点\(\alpha \in \mathbb{R} \)を任意にとると、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow \alpha }f\left( x\right) =\lim_{x\rightarrow \alpha
}5=5=f\left( \alpha \right)
\end{equation*}が成り立つため、\(f\)は\(\alpha \)において収束するだけでなく、連続です。

 

定数関数の微分

定数関数\(f\left( x\right) =c\)が与えられたとき、点\(a\in \mathbb{R} \)を任意にとると、\begin{eqnarray*}
\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{c-c}{h}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}0 \\
&=&0
\end{eqnarray*}となるため、\(f\)は\(a\)において微分可能であり、そこでの微分係数は\(0\)となります。

命題(定数関数の微分)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が定数関数であるものとする。すなわち、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して\(f\)が定める値は、実数\(c\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}
f\left( x\right) =c
\end{equation*}と表されるものとする。この\(f\)は\(\mathbb{R} \)上で微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}
f^{\prime }\left( x\right) =0
\end{equation*}を定める。
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例(定数関数の微分)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が\(f\left( x\right) =5\)であるならば、この\(f\)は定数関数です。したがって、\(f\)は\(\mathbb{R} \)上で微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して\(f^{\prime }\left( x\right) =0\)を定めます。

次回は恒等関数の微分について学びます。

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