双曲線正弦関数の微分
双曲線正弦関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとします。つまり、\(f\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\sinh \left( x\right)
\end{equation*}を定めるということです。
定義域上の点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)において微分可能であるとともに、そこでの微分係数は、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) =\cosh \left( a\right)
\end{equation*}となります。
命題（双曲線正弦関数の微分）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\sinh \left( x\right)
\end{equation*}を定めるものとする。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)において微分可能であるとともに、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) =\cosh \left( a\right)
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}を定めるものとする。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)において微分可能であるとともに、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) =\cosh \left( a\right)
\end{equation*}が成り立つ。
例（双曲線正弦関数の導関数）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\sinh \left( x\right)
\end{equation*}を定めるものとします。先の命題より、\(f\)は\(\mathbb{R} \)上において微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( x\right) =\cosh \left( x\right)
\end{equation*}を定めます。つまり、双曲線正弦関数の導関数は双曲線余弦関数と一致します。
\end{equation*}を定めるものとします。先の命題より、\(f\)は\(\mathbb{R} \)上において微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( x\right) =\cosh \left( x\right)
\end{equation*}を定めます。つまり、双曲線正弦関数の導関数は双曲線余弦関数と一致します。
例（双曲線正弦関数の微分）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{2}\sinh \left( x\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&\frac{d}{dx}\left[ x^{2}\sinh \left( x\right) \right] \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\sinh \left( x\right) \frac{d}{dx}x^{2}+x^{2}\frac{d}{dx}\sinh \left(
x\right) \quad \because \text{関数の積の微分} \\
&=&2x\sinh \left( x\right) +x^{2}\cosh \left( x\right)
\end{eqnarray*}を定めます。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&\frac{d}{dx}\left[ x^{2}\sinh \left( x\right) \right] \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\sinh \left( x\right) \frac{d}{dx}x^{2}+x^{2}\frac{d}{dx}\sinh \left(
x\right) \quad \because \text{関数の積の微分} \\
&=&2x\sinh \left( x\right) +x^{2}\cosh \left( x\right)
\end{eqnarray*}を定めます。
例（双曲線正弦関数の微分）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{\sinh \left( x\right) }{x^{2}+1}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&\frac{d}{dx}\frac{\sinh \left( x\right) }{x^{2}+1}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\frac{\left( x^{2}+1\right) \frac{d}{dx}\sinh \left( x\right) -\sinh
\left( x\right) \frac{d}{dx}\left( x^{2}+1\right) }{\left( x^{2}+1\right)
^{2}}\quad \because \text{関数の商の微分} \\
&=&\frac{\left( x^{2}+1\right) \cosh \left( x\right) -2x\sinh \left(
x\right) }{\left( x^{2}+1\right) ^{2}} \\
&=&\frac{x^{2}\cosh \left( x\right) +\cosh \left( x\right) -2x\sinh \left(
x\right) }{\left( x^{2}+1\right) ^{2}}
\end{eqnarray*}を定めます。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&\frac{d}{dx}\frac{\sinh \left( x\right) }{x^{2}+1}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\frac{\left( x^{2}+1\right) \frac{d}{dx}\sinh \left( x\right) -\sinh
\left( x\right) \frac{d}{dx}\left( x^{2}+1\right) }{\left( x^{2}+1\right)
^{2}}\quad \because \text{関数の商の微分} \\
&=&\frac{\left( x^{2}+1\right) \cosh \left( x\right) -2x\sinh \left(
x\right) }{\left( x^{2}+1\right) ^{2}} \\
&=&\frac{x^{2}\cosh \left( x\right) +\cosh \left( x\right) -2x\sinh \left(
x\right) }{\left( x^{2}+1\right) ^{2}}
\end{eqnarray*}を定めます。
例（双曲線正弦関数の微分）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\sinh \left( x^{3}-3\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&\frac{d}{dx}\sinh \left( x^{3}-3\right) \quad
\because f\text{の定義} \\
&=&\left. \frac{d}{dy}\sinh \left( y\right) \right\vert _{y=x^{3}-3}\cdot
\frac{d}{dx}\left( x^{3}-3\right) \quad \because \text{合成関数の微分} \\
&=&\left. \cosh \left( y\right) \right\vert _{y=x^{3}-3}\cdot 3x^{2} \\
&=&3x^{2}\cosh \left( x^{3}-3\right)
\end{eqnarray*}を定めます。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&\frac{d}{dx}\sinh \left( x^{3}-3\right) \quad
\because f\text{の定義} \\
&=&\left. \frac{d}{dy}\sinh \left( y\right) \right\vert _{y=x^{3}-3}\cdot
\frac{d}{dx}\left( x^{3}-3\right) \quad \because \text{合成関数の微分} \\
&=&\left. \cosh \left( y\right) \right\vert _{y=x^{3}-3}\cdot 3x^{2} \\
&=&3x^{2}\cosh \left( x^{3}-3\right)
\end{eqnarray*}を定めます。
例（双曲線正弦関数の微分）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\sinh \left( \frac{1}{x^{2}+1}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&\frac{d}{dx}\sinh \left( \frac{1}{x^{2}+1}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left. \frac{d}{dy}\sinh \left( y\right) \right\vert _{y=\frac{1}{x^{2}+1}}\cdot \frac{d}{dx}\frac{1}{x^{2}+1}\quad \because \text{合成関数の微分} \\
&=&\left. \cosh \left( y\right) \right\vert _{y=\frac{1}{x^{2}+1}}\cdot
\frac{\left( x^{2}+1\right) \frac{d}{dx}1-1\frac{d}{dx}\left( x^{2}+1\right)
}{\left( x^{2}+1\right) ^{2}} \\
&=&-\frac{2x}{\left( x^{2}+1\right) ^{2}}\cosh \left( \frac{1}{x^{2}+1}\right)
\end{eqnarray*}を定めます。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&\frac{d}{dx}\sinh \left( \frac{1}{x^{2}+1}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left. \frac{d}{dy}\sinh \left( y\right) \right\vert _{y=\frac{1}{x^{2}+1}}\cdot \frac{d}{dx}\frac{1}{x^{2}+1}\quad \because \text{合成関数の微分} \\
&=&\left. \cosh \left( y\right) \right\vert _{y=\frac{1}{x^{2}+1}}\cdot
\frac{\left( x^{2}+1\right) \frac{d}{dx}1-1\frac{d}{dx}\left( x^{2}+1\right)
}{\left( x^{2}+1\right) ^{2}} \\
&=&-\frac{2x}{\left( x^{2}+1\right) ^{2}}\cosh \left( \frac{1}{x^{2}+1}\right)
\end{eqnarray*}を定めます。
例（双曲線正弦関数の微分）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\sinh \left( e^{x}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&\frac{d}{dx}\sinh \left( e^{x}\right) \quad
\because f\text{の定義} \\
&=&\left. \frac{d}{dy}\sinh \left( y\right) \right\vert _{y=e^{x}}\cdot
\frac{d}{dx}e^{x}\quad \because \text{合成関数の微分} \\
&=&\left. \cosh \left( y\right) \right\vert _{y=e^{x}}\cdot e^{x} \\
&=&e^{x}\cosh \left( e^{x}\right)
\end{eqnarray*}を定めます。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&\frac{d}{dx}\sinh \left( e^{x}\right) \quad
\because f\text{の定義} \\
&=&\left. \frac{d}{dy}\sinh \left( y\right) \right\vert _{y=e^{x}}\cdot
\frac{d}{dx}e^{x}\quad \because \text{合成関数の微分} \\
&=&\left. \cosh \left( y\right) \right\vert _{y=e^{x}}\cdot e^{x} \\
&=&e^{x}\cosh \left( e^{x}\right)
\end{eqnarray*}を定めます。
双曲線正弦関数の片側微分
片側微分についても同様の命題が成り立ちます。
命題（双曲線正弦関数の片側微分）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\sinh \left( x\right)
\end{equation*}を定めるものとする。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)において右側微分可能であるとともに、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a+0\right) =\cosh \left( a\right)
\end{equation*}が成り立つとともに、\(f\)は点\(a\)において左側微分可能であるとともに、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a-0\right) =\cosh \left( a\right)
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}を定めるものとする。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)において右側微分可能であるとともに、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a+0\right) =\cosh \left( a\right)
\end{equation*}が成り立つとともに、\(f\)は点\(a\)において左側微分可能であるとともに、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a-0\right) =\cosh \left( a\right)
\end{equation*}が成り立つ。
例（双曲線正弦関数の片側微分）
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ 0,\pi \right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left[ 0,\pi \right] \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =2\sinh \left( x\right) +1
\end{equation*}を定めるものとします。定義域の内点\(a\in \left(0,\pi \right) \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)において微分可能であり、微分係数は、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( a\right) &=&\left. \frac{d}{dx}\left[ 2\sinh \left(
x\right) +1\right] \right\vert _{x=a}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left. 2\cdot \frac{d}{dx}\sinh \left( x\right) +\frac{d}{dx}1\right\vert
_{x=a} \\
&=&\left. 2\cosh \left( x\right) \right\vert _{x=a} \\
&=&2\cosh \left( a\right)
\end{eqnarray*}となります。\(f\)は定義域の左側の端点\(0\)において右側微分可能であり、右側微分係数は、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( 0+0\right) &=&\left. \frac{d^{+}}{dx}\left[ 2\sin \left(
x\right) +1\right] \right\vert _{x=0}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left. 2\cdot \frac{d^{+}}{dx}\sinh \left( x\right) +\frac{d^{+}}{dx}1\right\vert _{x=0} \\
&=&\left. 2\cosh \left( x\right) \right\vert _{x=0} \\
&=&2\cosh \left( 0\right) \\
&=&2\cdot \frac{e^{0}+e^{-0}}{2} \\
&=&2\cdot \frac{1+1}{2} \\
&=&2\cdot 1 \\
&=&2
\end{eqnarray*}となります。\(f\)は定義域の右側の端点\(\pi \)において左側微分可能であり、左側微分係数は、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( \pi -0\right) &=&\left. \frac{d^{-}}{dx}\left[ 2\sin
\left( x\right) +1\right] \right\vert _{x=\pi }\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left. 2\cdot \frac{d^{-}}{dx}\sinh \left( x\right) +\frac{d^{-}}{dx}1\right\vert _{x=\pi } \\
&=&\left. 2\cosh \left( x\right) \right\vert _{x=\pi } \\
&=&2\cosh \left( \pi \right) \\
&=&2\cdot \frac{e^{\pi }+e^{-\pi }}{2} \\
&=&e^{\pi }+e^{-\pi }
\end{eqnarray*}となります。以上より、\(f\)は微分可能であり、導関数\(f^{\prime }\supset \left[ 0,\pi \right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left[ 0,\pi \right] \)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( x\right) =2\cosh \left( \pi \right)
\end{equation*}を定めることが明らかになりました。
\end{equation*}を定めるものとします。定義域の内点\(a\in \left(0,\pi \right) \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)において微分可能であり、微分係数は、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( a\right) &=&\left. \frac{d}{dx}\left[ 2\sinh \left(
x\right) +1\right] \right\vert _{x=a}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left. 2\cdot \frac{d}{dx}\sinh \left( x\right) +\frac{d}{dx}1\right\vert
_{x=a} \\
&=&\left. 2\cosh \left( x\right) \right\vert _{x=a} \\
&=&2\cosh \left( a\right)
\end{eqnarray*}となります。\(f\)は定義域の左側の端点\(0\)において右側微分可能であり、右側微分係数は、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( 0+0\right) &=&\left. \frac{d^{+}}{dx}\left[ 2\sin \left(
x\right) +1\right] \right\vert _{x=0}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left. 2\cdot \frac{d^{+}}{dx}\sinh \left( x\right) +\frac{d^{+}}{dx}1\right\vert _{x=0} \\
&=&\left. 2\cosh \left( x\right) \right\vert _{x=0} \\
&=&2\cosh \left( 0\right) \\
&=&2\cdot \frac{e^{0}+e^{-0}}{2} \\
&=&2\cdot \frac{1+1}{2} \\
&=&2\cdot 1 \\
&=&2
\end{eqnarray*}となります。\(f\)は定義域の右側の端点\(\pi \)において左側微分可能であり、左側微分係数は、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( \pi -0\right) &=&\left. \frac{d^{-}}{dx}\left[ 2\sin
\left( x\right) +1\right] \right\vert _{x=\pi }\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left. 2\cdot \frac{d^{-}}{dx}\sinh \left( x\right) +\frac{d^{-}}{dx}1\right\vert _{x=\pi } \\
&=&\left. 2\cosh \left( x\right) \right\vert _{x=\pi } \\
&=&2\cosh \left( \pi \right) \\
&=&2\cdot \frac{e^{\pi }+e^{-\pi }}{2} \\
&=&e^{\pi }+e^{-\pi }
\end{eqnarray*}となります。以上より、\(f\)は微分可能であり、導関数\(f^{\prime }\supset \left[ 0,\pi \right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left[ 0,\pi \right] \)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( x\right) =2\cosh \left( \pi \right)
\end{equation*}を定めることが明らかになりました。
演習問題
問題（双曲線正弦関数の微分）
関数\(f:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{+}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\sqrt{x}\sinh \left( x\right)
\end{equation*}を定めるものとします。導関数を求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。導関数を求めてください。
問題（双曲線正弦関数の微分）
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{1}{\sinh \left( x\right) }
\end{equation*}を定めるものとします。導関数を求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。導関数を求めてください。
問題（双曲線正弦関数の微分）
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{x^{2}+x}{\sinh \left( x\right) }
\end{equation*}を定めるものとします。導関数を求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。導関数を求めてください。
問題（双曲線正弦関数の微分）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\sinh \left( x^{2}+3\right)
\end{equation*}を定めるものとします。導関数を求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。導関数を求めてください。
問題（双曲線正弦関数の微分）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\sinh ^{3}\left( 2x\right)
\end{equation*}を定めるものとします。導関数を求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。導関数を求めてください。
問題（双曲線正弦関数の微分）
関数\(f:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{+}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\sinh ^{2}\left( \sqrt{x}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。導関数を求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。導関数を求めてください。
問題（双曲線正弦関数の微分）
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\sqrt{1-\sinh ^{2}\left( x\right) }
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{equation*}
X=\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ \sinh ^{2}\left( x\right) \not=1\right\}
\end{equation*}です。導関数を求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{equation*}
X=\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ \sinh ^{2}\left( x\right) \not=1\right\}
\end{equation*}です。導関数を求めてください。
問題（双曲線正弦関数の微分）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =e^{\sinh \left( x\right) }
\end{equation*}を定めるものとします。導関数を求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。導関数を求めてください。
問題（双曲線正弦関数の微分）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =3\sinh ^{3}\left( 2x^{4}+1\right)
\end{equation*}を定めるものとします。導関数を求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。導関数を求めてください。
問題（双曲線正弦関数の微分）
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{2\sinh \left( 3x\right) }{x}
\end{equation*}を定めるものとします。導関数を求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。導関数を求めてください。
プレミアム会員専用コンテンツです
【ログイン】【会員登録】