恒等関数は任意の点において微分可能であり、微分係数は常に1になります。
恒等関数 微分
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恒等関数

復習になりますが、関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R}\)に対して定める値が、\begin{equation*}
f\left( x\right) =x
\end{equation*}であるならば、\(f\)を恒等関数と呼びます。

恒等関数\(f\left( x\right) =x\)は定義域\(\mathbb{R}\)上のそれぞれの点\(\alpha \)において\(\alpha \)へ収束するとともに、\(\mathbb{R}\)上で連続です。

恒等関数について復習する

 

恒等関数の微分

恒等関数\(f\left( x\right) =x\)が与えられたとき、点\(a\in \mathbb{R}\)を任意にとると、\begin{eqnarray*}
\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\left( a+h\right) -a}{h}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{h}{h} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}1 \\
&=&1
\end{eqnarray*}となるため、\(f\)は\(a\)において微分可能であり、そこでの微分係数は\(1\)となります。

命題(恒等関数の微分)
関数\(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\)が恒等関数であるものとする。すなわち、それぞれの\(x\in \mathbb{R}\)に対して\(f\)が定める値は、\begin{equation*}
f\left( x\right) =x
\end{equation*}であるものとする。この\(f\)は\(\mathbb{R}\)上で微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R}\)に対して、\begin{equation*}
f^{\prime }\left( x\right) =1
\end{equation*}を定める。
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次回は単項式関数の微分について学びます。

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