単項式関数の微分

単項式関数は任意の点において微分可能であることを示すとともに、単項式関数の導関数を特定します。
単項式関数 微分
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単項式関数

復習になりますが、関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値\(f\left( x\right) \in \mathbb{R}\)が、自然数\(n\in \mathbb{N} \)と実数\(c\in \mathbb{R}\)を用いて、\begin{equation*}
f\left( x\right) =cx^{n}
\end{equation*}という形で表すことができる場合には、\(f\)を単項式関数と呼びます。

恒等関数\(f\left( x\right) =cx^{n}\)は定義域\(\mathbb{R}\)上のそれぞれの点\(a\)において\(ca^{n}\)へ収束するとともに、\(\mathbb{R}\)上で連続です。

単項式関数について復習する
例(単項式関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R}\)に対して定める値が、\begin{equation*}
f\left( x\right) =3x^{2}
\end{equation*}であるならば、任意の点\(a\in \mathbb{R}\)において、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =\lim_{x\rightarrow a}\left(
3x^{2}\right) =3a^{2}=f\left( a\right)
\end{equation*}となるため、\(f\)は\(\mathbb{R}\)上で連続です。

 

単項式関数の微分

単項式関数\(cx^{n}\)は定数関数\(c\)と\(n\)個の恒等関数\(x\)の積として表されます。すでに明らかにしたように、定数関数と恒等関数はともに任意の点\(a\in \mathbb{R}\)において微分可能です。また、一般に、関数\(f,g\)が点\(a\)において微分可能である場合には関数\(f\cdot g\)もまた点\(a\)において微分可能であり、それらの微分係数の間には、\begin{equation*}
\left( f\cdot g\right) ^{\prime }\left( a\right) =f^{\prime }\left( a\right)
\cdot g\left( a\right) +f\left( a\right) \cdot g^{\prime }\left( a\right)
\end{equation*}という関係が成立します。以上の事実を利用すると、単項式関数の微分可能性に関する以下の命題が得られます。

命題(単項式関数の微分)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\)が単項式関数であるものとする。すなわち、それぞれの\(x\in \mathbb{R}\)に対して\(f\)が定める値は、自然数\(n\)と実数\(c\)を用いて、\begin{equation*}
f\left( x\right) =cx^{n}
\end{equation*}という形で表すことができるものとする。この\(f\)は\(\mathbb{R}\)上で微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R}\)に対して、\begin{equation*}
f^{\prime }\left( x\right) =cnx^{n-1}
\end{equation*}を定める。
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例(単項式関数の微分)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R}\)に対して定める値が、\begin{equation*}
f\left( x\right) =-\frac{1}{2}x^{3}
\end{equation*}であるならば、この\(f\)は単項式関数です。したがって、\(f\)は\(\mathbb{R}\)上で微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R}\)に対して、\begin{equation*}
f^{\prime }\left( x\right) =\left( -\frac{1}{2}\right) 3x^{2}=-\frac{3}{2}x^{2}
\end{equation*}を定めます。
例(単項式関数の微分)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R}\)に対して定める値が、\begin{equation*}
f\left( x\right) =\sqrt{2}x
\end{equation*}であるならば、この\(f\)は単項式関数です。したがって、\(f\)は\(\mathbb{R}\)上で微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R}\)に対して、\begin{equation*}
f^{\prime }\left( x\right) =\sqrt{2}\cdot 1x^{0}=\sqrt{2}
\end{equation*}を定めます。

次回は多項式関数の微分について学びます。

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