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DIFFERENTIATION OF FUNCTIONS

自然数ベキ関数の微分

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自然数ベキ関数の微分

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が自然数ベキ関数であるものとします。つまり、\(f\)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値が自然数\(n\in \mathbb{N} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{n}
\end{equation*}と表すことができるということです。\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)の周辺の任意の点において定義されているとき、\(f\)が点\(a\)において微分可能であるかを検討できますが、自然数ベキ関数は特別な多項式関数であるため、\(f\)は点\(a\)において微分可能であることが予想されます。実際、これは正しい主張です。

命題(自然数ベキ関数の微分)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値が、自然数\(n\in \mathbb{N} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{n}
\end{equation*}と表されるものとする。\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)の周辺の任意の点において定義されているとき、\(f\)は点\(a\)において微分可能であるとともに、そこでの微分係数は、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) =na^{n-1}
\end{equation*}となる。

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例(自然数ベキ関数の微分)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、自然数\(n\in \mathbb{N} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{n}
\end{equation*}と表されるものとします。定義域\(\mathbb{R} \)は開集合であるため、\(\mathbb{R} \)の点を任意に選んだとき、\(f\)はその点の周辺の任意の点において定義されています。したがって、\(f\)は微分可能であるとともに、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( x\right) =nx^{n-1}
\end{equation*}を定めます。つまり、\(\mathbb{R} \)上に定義された自然数ベキ関数は\(\mathbb{R} \)上で微分可能であるということです。

片側微分についても同様の命題が成り立ちます。

命題(自然数ベキ関数の片側微分)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値が、自然数\(n\in \mathbb{N} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{n}
\end{equation*}と表されるものとする。\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)より大きい周辺の任意の点において定義されているならば\(f\)は点\(a\)において右側微分可能であり、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a+0\right) =na^{n-1}
\end{equation*}となる。また、\(f\)が点\(a\in X\)より小さい周辺の任意の点において定義されているならば\(f\)は点\(a\)において左側微分可能であり、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a-0\right) =na^{n-1}
\end{equation*}となる。

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例(自然数ベキ関数の片側微分)
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left[ 0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{4}
\end{equation*}を定めるものとします。定義域\(\left[ 0,1\right] \)の内部は\(\left( 0,1\right) \)です。内点\(a\in \left( 0,1\right) \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)の周辺の任意の点において定義されているため、自然数ベキ関数の微分より、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) =4a^{3}
\end{equation*}となります。一方、\(f\)は定義域の境界点である\(0\)や\(1\)において通常の意味で微分可能ではありません。\(f\)は\(0\)以上の周辺の任意の点において定義されているため、自然数ベキ関数の右側微分より、\begin{equation*}f^{\prime }\left( 0+0\right) =4\cdot 0^{3}=0
\end{equation*}となります。また、\(f\)は\(1\)以下の周辺の任意の点において定義されているため、自然数ベキ関数の左側微分より、\begin{equation*}f^{\prime }\left( 1-0\right) =4\cdot 1^{3}=4
\end{equation*}となります。したがって\(f\)は微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left[ 0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( x\right) =4a^{3}
\end{equation*}を定めることが明らかになりました。

 

自然数ベキ関数との合成関数の微分

自然数ベキ関数が微分可能であるという事実と合成関数の微分を利用すると、より広範な関数を微分できるようになります。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}g\left( x\right) =\left[ f\left( x\right) \right] ^{n}
\end{equation*}を定める新たな関数\(g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。ただし\(n\in \mathbb{N} \)です。これは関数\(y=f\left(x\right) \)と自然数ベキ関数\(y^{n}\)の合成関数である点に注意してください。\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)の周辺の任意の点において定義されているとき、\(f\)が点\(a\)において微分可能であるかどうか検討できます。仮に\(f\)が点\(a\)において微分可能であるならば、そこでの微分係数に相当する有限な実数\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) \in \mathbb{R} \end{equation*}が存在します。ここで注意したいことは、自然数ベキ関数は\(\mathbb{R} \)上で微分可能であるため点\(f\left( a\right) \in \mathbb{R} \)においても微分可能であるという点です。すると合成関数の微分より、\(g\)は点\(a\)において微分可能であることが保証されます。

命題(自然数ベキ関数との合成関数の微分)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}g\left( x\right) =\left[ f\left( x\right) \right] ^{n}
\end{equation*}を定める新たな関数\(g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。ただし\(n\in \mathbb{N} \)である。\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)において微分可能であるならば、\(g\)は点\(a\)において微分可能であるとともに、そこでの微分係数は、\begin{equation*}g^{\prime }\left( a\right) =n\cdot \left[ f\left( a\right) \right] ^{n-1}\cdot f^{\prime }\left( a\right)
\end{equation*}となる。

証明

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上の命題中の関数\(f\)が定義域上で微分可能であるならば、自然数ベキ関数との合成関数の導関数に関する以下の命題を得ます。

命題(自然数ベキ関数との合成関数の微分)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}g\left( x\right) =\left[ f\left( x\right) \right] ^{n}
\end{equation*}を定める新たな関数\(g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。ただし\(n\in \mathbb{N} \)である。\(f\)が微分可能であるならば、\(g\)は微分可能であるとともに、その導関数\(g^{\prime }:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}g^{\prime }\left( x\right) =n\cdot \left[ f\left( x\right) \right] ^{n-1}\cdot f^{\prime }\left( x\right)
\end{equation*}を定める。

例(多項式関数と自然数ベキ関数の合成関数の微分)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、自然数\(m\in \mathbb{N} \)と非負の整数\(n\in \mathbb{Z} _{+}\)と実数\(c_{k}\ \left( k=0,1,\cdots ,n\right) \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( \sum_{k=0}^{n}c_{k}x^{k}\right) ^{m}
\end{equation*}という形で表すことができるものとします。これは多項式関数\(y=\sum_{k=0}^{n}c_{k}x^{k}\)と自然数ベキ関数\(y^{m}\)の合成関数です。多項式関数は\(\mathbb{R} \)上で微分可能であり、その導関数が、\begin{equation}\left( \sum_{k=0}^{n}c_{k}x^{k}\right) ^{\prime }=\sum_{k=0}^{n}kc_{k}x^{k-1}
\quad \cdots (1)
\end{equation}であることを踏まえると、上の命題より\(f\)もまた\(\mathbb{R} \)上で微分可能であり、その導関数は\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&m\cdot \left( \sum_{k=0}^{n}c_{k}x^{k}\right)
^{m-1}\left( \sum_{k=0}^{n}c_{k}x^{k}\right) ^{\prime } \\
&=&m\cdot \left( \sum_{k=0}^{n}c_{k}x^{k}\right)
^{m-1}\sum_{k=0}^{n}kc_{k}x^{k-1}\quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}を定めます。

例(有理関数と自然数ベキ関数の合成関数の微分)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、自然数\(n\in \mathbb{N} \)と多項式関数\(g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)および\(h:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left[ \frac{g\left( x\right) }{h\left( x\right) }\right] ^{n}
\end{equation*}という形で表すことができるものとします。これは有理関数\(y=\frac{g\left( x\right) }{h\left( x\right) }\)と自然数ベキ関数\(y^{m}\)の合成関数です。有理関数は\(\mathbb{R} \)上で微分可能であり、その導関数が、\begin{equation}\left[ \frac{g\left( x\right) }{h\left( x\right) }\right] ^{\prime }=\frac{g^{\prime }\left( x\right) \cdot h\left( x\right) -g\left( x\right) \cdot
h^{\prime }\left( x\right) }{\left[ h\left( x\right) \right] ^{2}} \quad \cdots (1)
\end{equation}であることを踏まえると、上の命題より\(f\)もまた\(\mathbb{R} \)上で微分可能であり、その導関数は\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&n\cdot \left[ \frac{g\left( x\right) }{h\left( x\right) }\right] ^{n-1}\left[ \frac{g\left( x\right) }{h\left(
x\right) }\right] ^{\prime } \\
&=&n\cdot \left[ \frac{g\left( x\right) }{h\left( x\right) }\right] ^{n-1}\left[ \frac{g^{\prime }\left( x\right) \cdot h\left( x\right) -g\left(
x\right) \cdot h^{\prime }\left( x\right) }{\left[ h\left( x\right) \right] ^{2}}\right] \quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}を定めます。

 

演習問題

問題(自然数ベキ関数との合成関数の微分)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( -7x^{3}\right) ^{5}
\end{equation*}を定めるものとします。導関数を求めてください。

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問題(自然数ベキ関数との合成関数の微分)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( 2x^{2}-\sqrt{3}x+1\right) ^{5}
\end{equation*}を定めるものとします。導関数を求めてください。

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問題(自然数ベキ関数との合成関数の微分)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 5\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 5\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( \frac{2x^{2}-7}{x-5}\right) ^{5}
\end{equation*}を定めるものとします。導関数を求めてください。

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次回は整数ベキ関数の微分について学びます。

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