自然数ベキ関数の微分

自然数ベキ関数は任意の点において微分可能であることを示すとともに、その導関数を特定します。また、自然数ベキ関数と微分可能な関数の合成関数について、その導関数を特定します。

自然数ベキ関数 微分

自然数ベキ関数

復習になりますが、関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R}\)に対して定める値が、自然数\(n\in \mathbb{N}\)を用いて、\begin{equation*}
f\left( x\right) =x^{n}
\end{equation*}という形で表されるならば、\(f\)を自然数ベキ関数と呼びます。

自然数ベキ関数\(x^{n}\)は\(\mathbb{R} \)上のそれぞれの点\(a\)において\(a^{n}\)へ収束するとともに、\(\mathbb{R} \)上で連続です。

自然数ベキ関数について復習する
例(自然数ベキ関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R}\)に対して定める値が、\begin{equation*}
f\left( x\right) =x^{4}
\end{equation*}であるならば、この\(f\)は自然数ベキ関数です。点\(a\in \mathbb{R}\)を任意にとると、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =\lim_{x\rightarrow
a}x^{4}=a^{4}=f\left( a\right)
\end{equation*}が成り立つため、\(f\)は\(a\)において収束するだけでなく、連続です。

 

自然数ベキ関数の微分

自然数ベキ関数\(x^{n}\)は\(n\)個の恒等関数\(x\)の積として表されますが、すでに明らかにしたように、恒等関数は任意の点\(a\in \mathbb{R}\)において微分可能です。また、一般に、関数\(f,g\)が点\(a\)において微分可能である場合には関数\(f\cdot g\)もまた点\(a\)において微分可能であり、それらの微分係数の間には、\begin{equation*}
\left( f\cdot g\right) ^{\prime }\left( a\right) =f^{\prime }\left( a\right)
\cdot g\left( a\right) +f\left( a\right) \cdot g^{\prime }\left( a\right)
\end{equation*}という関係が成立します。以上の事実を利用すると、自然数ベキ関数の微分可能性に関する以下の命題が得られます。

恒等関数の微分可能性について復習する 微分可能な関数の積について復習する
命題(自然数ベキ関数の微分)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\)は自然数ベキ関数であるものとする。すなわち、それぞれの\(x\in \mathbb{R}\)に対して\(f\)が定める値は、自然数\(n\)を用いて、\begin{equation*}
f\left( x\right) =x^{n}
\end{equation*}という形で表すことができるものとする。この\(f\)は\(\mathbb{R} \)上で微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R}\)に対して、\begin{equation*}
f^{\prime }\left( x\right) =nx^{n-1}
\end{equation*}を定める。
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例(自然数ベキ関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R}\)に対して定める値が、\begin{equation*}
f\left( x\right) =x^{5}
\end{equation*}であるならば、\(f\)は自然数ベキ関数であるため\(\mathbb{R} \)上で微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R}\)に対して、\begin{equation*}
f^{\prime }\left( x\right) =5x^{4}
\end{equation*}を定めます。

 

自然数ベキ関数との合成

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\)を任意に選びます。また、\(g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\)を自然数ベキ関数とします。つまり、\(g\left( x\right) =x^{n}\)です。\(f\)の値域\(f\left( \mathbb{R}\right) \)は\(g\)の定義域\(\mathbb{R} \)の部分集合であるため、合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\)が定義可能です。この合成関数\(g\circ f\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R}\)に対して、\begin{eqnarray*}
\left( g\circ f\right) \left( x\right) &=&g\left( f\left( x\right) \right)
\quad \because g\circ f\text{の定義} \\
&=&\left[ f\left( x\right) \right] ^{n}\quad \because g\text{の定義}
\end{eqnarray*}を値として定めます。ただし、\(n\)は自然数です。

合成関数について復習する

関数\(f\)が点\(a\)において微分可能であるものとします。自然数ベキ関数\(g\)は\(\mathbb{R} \)上で微分可能であるため、点\(f\left( a\right) \)においても微分可能です。したがって、合成関数の微分に関する命題より、合成関数\(g\circ f\)もまた点\(a\)において微分可能であり、そこでの微分係数は、\begin{eqnarray*}
\left( g\circ f\right) ^{\prime }\left( a\right) &=&g^{\prime }\left(
f\left( a\right) \right) \cdot f^{\prime }\left( a\right) \quad \because
\text{合成関数の微分} \\
&=&n\cdot \left[ f\left( a\right) \right] ^{n-1}\cdot f^{\prime }\left(
a\right) \quad \because \text{自然数ベキ関数の微分}
\end{eqnarray*}となります。

合成関数の微分について復習する
命題(自然数ベキ関数との合成関数の微分)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\)を任意に選んだ上で、それぞれの\(x\in \mathbb{R}\)に対して、\begin{equation*}
g\left( x\right) =\left[ f\left( x\right) \right] ^{n}
\end{equation*}を定める関数\(g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\)を考える。ただし、\(n\)は自然数である。\(f\)が点\(\alpha \in \mathbb{R}\)において微分可能するならば\(g\)もまた\(\alpha \)において微分可能であり、そこでの微分係数は、\begin{equation*}
g^{\prime }\left( a\right) =n\cdot \left[ f\left( a\right) \right] ^{n-1}\cdot f^{\prime }\left( a\right)
\end{equation*}となる。
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例(単項式関数との合成)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R}\)に対して\(f\)が定める値は、自然数\(m,n\)と実数\(c\)を用いて、\begin{equation*}
f\left( x\right) =\left( cx^{n}\right) ^{m}
\end{equation*}という形で表すことができるものとします。これは単項式関数\(cx^{n}\)と自然数ベキ関数\(x^{m}\)の合成関数です。単項式関数は\(\mathbb{R} \)上で微分可能であるため、上の命題より、この関数\(f\)もまた\(\mathbb{R} \)上で微分可能です。さらにその導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R}\)に対して、\begin{eqnarray*}
f^{\prime }\left( x\right) &=&m\cdot \left( cx^{n}\right) ^{m-1}\cdot
\left( cx^{n}\right) ^{\prime } \\
&=&m\cdot \left( cx^{n}\right) ^{m-1}\cdot ncx^{n-1}
\end{eqnarray*}を定めます。
単項式関数の微分可能性について復習する
例(多項式関数との合成)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R}\)に対して\(f\)が定める値は、自然数\(m,n\)と実数\(c_{k}\ \left( k=0,1,\cdots ,n\right) \)を用いて、\begin{eqnarray*}
f\left( x\right) &=&\left( \sum_{k=0}^{n}c_{k}x^{k}\right) ^{m} \\
&=&\left( c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+\cdots +c_{n}x^{n}\right) ^{m}
\end{eqnarray*}という形で表すことができるものとします。これは多項式関数\(\sum_{k=0}^{n}c_{k}x^{k}\)と自然数ベキ関数\(x^{m}\)の合成関数です。多項式関数は\(\mathbb{R} \)上の任意の点において微分可能であるため、上の命題より、この関数\(f\)もまた\(\mathbb{R}\)上で微分可能です。さらにその導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R}\)に対して、\begin{eqnarray*}
f^{\prime }\left( x\right) &=&m\left( \sum_{k=0}^{n}c_{k}x^{k}\right)
^{m-1}\left( \sum_{k=0}^{n}c_{k}x^{k}\right) ^{\prime } \\
&=&m\left( \sum_{k=0}^{n}c_{k}x^{k}\right) ^{m-1}\left(
\sum_{k=0}^{n}c_{k}kx^{k-1}\right)
\end{eqnarray*}を定めます。
多項式関数の微分可能性について復習する
例(有理関数との合成)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R}\)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R}\)に対して\(f\)が定める値は、自然数\(n\)と多項式関数\(g,h:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\)を用いて、\begin{equation*}
f\left( x\right) =\left[ \frac{g\left( x\right) }{h\left( x\right) }\right] ^{n}
\end{equation*}という形で表すことができるものとします。ただし、\begin{equation*}
X=\{x\in \mathbb{R}\ |\ h\left( x\right) \not=0\}
\end{equation*}です。これは有理関数\(\frac{g\left( x\right) }{h\left( x\right) }\)と自然数ベキ関数\(x^{n}\)の合成関数です。有理関数は定義域\(X\)上で微分可能であるため、上の命題より、この関数\(f\)もまた\(X\)上で微分可能です。さらにその導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R}\)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{eqnarray*}
f^{\prime }\left( x\right) &=&n\left[ \frac{g\left( x\right) }{h\left(
x\right) }\right] ^{n-1}\left[ \frac{g\left( x\right) }{h\left( x\right) }\right] ^{\prime } \\
&=&n\left[ \frac{g\left( x\right) }{h\left( x\right) }\right] ^{n-1}\frac{g^{\prime }\left( x\right) \cdot h\left( x\right) -g\left( x\right) \cdot
h^{\prime }\left( x\right) }{\left[ h\left( x\right) \right] ^{2}}
\end{eqnarray*}を定めます。
有理関数の微分可能性について復習する

次回は整数ベキ関数の微分について学びます。

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