関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、自然数\(n\in \mathbb{N} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{n}
\end{equation*}と表されるものとする。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)において微分可能であるとともに、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) =na^{n-1}
\end{equation*}が成り立つ。したがって導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( x\right) =nx^{n-1}
\end{equation*}を定める。

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( 3x^{3}-2x^{2}+x+1\right) ^{3}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は多項式関数\(3x^{3}-2x^{2}+x+1\)と自然数ベキ関数\(x^{3}\)の合成関数であるため\(\mathbb{R} \)上で微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&\frac{d}{dx}\left( 3x^{3}-2x^{2}+x+1\right)
^{3}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left. \frac{d}{dy}\left( y^{3}\right) \right\vert
_{y=3x^{3}-2x^{2}+x+1}\cdot \frac{d}{dx}\left( 3x^{3}-2x^{2}+x+1\right)
\quad \because \text{合成関数の微分} \\
&=&\left. 3y^{2}\right\vert _{y=3x^{3}-2x^{2}+x+1}\cdot \left(
9x^{2}-4x+1\right) \\
&=&3\left( 3x^{3}-2x^{2}+x+1\right) ^{2}\left( 9x^{2}-4x+1\right)
\end{eqnarray*}を定めます。

関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 1\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 1\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left[ \frac{2x+1}{\left( 1-x\right) ^{3}}\right] ^{4}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は有理関数\(\frac{2x+1}{\left( 1-x\right) ^{3}}\)と自然数ベキ関数\(x^{4}\)の合成関数であるため\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 1\right\} \)上で微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \backslash \left\{ 1\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 1\right\} \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&\frac{d}{dx}\left[ \frac{2x+1}{\left(
1-x\right) ^{3}}\right] ^{4}\quad \because f\text{の定義}
\\
&=&\left. \frac{d}{dy}\left( y^{4}\right) \right\vert _{y=\frac{2x+1}{\left(
1-x\right) ^{3}}}\cdot \frac{d}{dx}\left[ \frac{2x+1}{\left( 1-x\right) ^{3}}\right] \quad \because \text{合成関数の微分} \\
&=&\left. 4y^{3}\right\vert _{y=\frac{2x+1}{\left( 1-x\right) ^{3}}}\cdot
\frac{2\left( 1-x\right) ^{3}-\left( 2x+1\right) 3\left( 1-x\right)
^{2}\left( -1\right) }{\left( 1-x\right) ^{6}} \\
&=&4\left[ \frac{2x+1}{\left( 1-x\right) ^{3}}\right] ^{3}\cdot \frac{4x+5}{\left( x-1\right) ^{4}} \\
&=&-\frac{4\left( 2x+1\right) ^{3}\left( 4x+5\right) }{\left( x-1\right)
^{13}}
\end{eqnarray*}を定めます。

物体を初速度\(0\)で自由落下させます。経過時間（秒）が\(t\in \mathbb{R} _{+}\)であるときの物体の移動距離（メートル）は、\begin{equation*}f\left( t\right) =\frac{1}{2}gt^{2}
\end{equation*}です。ただし、\(g\)は重力加速度を表す定数であり、地球上の場所によってわずかに異なりますが、ほぼ\(9.8\)です。初期時点\(t=0\)の移動距離に関して、\begin{eqnarray*}f\left( 0\right) &=&\frac{1}{2}g\cdot 0^{2} \\
&=&0
\end{eqnarray*}がたしかに成立しています。\(f\)は微分可能であり、導関数\(f^{\prime }\)はそれぞれの\(t>0\)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( t\right) =gt
\end{equation*}を定めます。これは増加関数ですが、以上の事実は物体が加速することを意味します。

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、自然数\(n\in \mathbb{N} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{n}
\end{equation*}と表されるものとする。以下が成り立つ。

1. 点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)において右側微分可能であるとともに、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a+0\right) =na^{n-1}\end{equation*}が成り立つ。したがって、右側導関数\(f_{+}^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f_{+}^{\prime }\left( x\right) =nx^{n-1}
   \end{equation*}を定める。
2. 点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)において左側微分可能であるとともに、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a-0\right) =na^{n-1}\end{equation*}が成り立つ。したがって、左側導関数\(f_{-}^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f_{-}^{\prime }\left( x\right) =nx^{n-1}
   \end{equation*}を定める。

物体を初速度\(0\)で自由落下させます。経過時間（秒）が\(t\in \mathbb{R} _{+}\)であるときの物体の移動距離（メートル）は、\begin{equation*}f\left( t\right) =\frac{1}{2}gt^{2}
\end{equation*}です。ただし、\(g\)は重力加速度を表す定数であり、地球上の場所によってわずかに異なりますが、ほぼ\(9.8\)です。初期時点\(t=0\)における速度、すなわち初速度は、\begin{eqnarray*}f_{+}^{\prime }\left( 0\right) &=&\left. \frac{d^{+}}{dt}f\left( t\right)
\right\vert _{t=0} \\
&=&\left. \frac{d^{+}}{dt}\frac{1}{2}gt^{2}\right\vert _{t=0} \\
&=&\left. gt\right\vert _{t=0} \\
&=&0
\end{eqnarray*}ですが、これは想定と整合的です。

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( -7x^{3}\right) ^{5}
\end{equation*}を定めるものとします。導関数を求めてください。

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( 2x^{2}-\sqrt{3}x+1\right) ^{5}
\end{equation*}を定めるものとします。導関数を求めてください。

関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 5\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 5\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( \frac{2x^{2}-7}{x-5}\right) ^{5}
\end{equation*}を定めるものとします。導関数を求めてください。

一辺の長さが\(x\in \mathbb{R} _{+}\)の正方形の面積は、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{2}
\end{equation*}となります。正方形の一辺の長さが\(x\)であるとき、そこから一辺の長さを微量\(\varepsilon >0\)だけ伸ばすと、正方形の面積がどれだけ大きくなるか答えてください。

一辺の長さが\(x\in \mathbb{R} _{+}\)の立方体の体積は、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{3}
\end{equation*}となります。立方体の一辺の長さが\(x\)であるとき、そこから一辺の長さを微量\(\varepsilon >0\)だけ伸ばすと、立方体の体積がどれだけ大きくなるか答えてください。