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1変数関数の微分

自然数ベキ関数の微分

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自然数ベキ関数の微分

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)は自然数ベキ関数であるものとします。つまり、\(f\)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値は、自然数\(n\in \mathbb{N} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{n}
\end{equation*}と表されるということです。自然数ベキ関数\(x^{n}\)は特別な多項式関数であるため、\(x^{n}\)が定義域上の点\(a\in X\)の周辺の点において定義されている場合には点\(a\)において微分可能です。微分係数は以下の通りです。

命題(自然数ベキ関数の微分)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値が、自然数\(n\in \mathbb{N} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{n}
\end{equation*}と表されるものとする。\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)の周辺の任意の点において定義されているならば、\(f\)は点\(a\)において微分可能であるとともに、そこでの微分係数は、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) =na^{n-1}
\end{equation*}となる。

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例(自然数ベキ関数の微分)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、自然数\(n\in \mathbb{N} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{n}
\end{equation*}と表されるものとします。\(\mathbb{R} \)は開集合であるため、\(\mathbb{R} \)の点を任意に選んだとき、\(f\)はその点の周辺の任意の点において定義されています。したがって、先の命題より、\(f\)は\(\mathbb{R} \)上で微分可能であるとともに、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( x\right) =nx^{n-1}
\end{equation*}を定めます。つまり、\(\mathbb{R} \)上に定義された自然数ベキ関数は\(\mathbb{R} \)上で微分可能であるということです。
例(自然数ベキ関数の微分)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( 3x^{3}-2x^{2}+x+1\right) ^{3}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は多項式関数\(3x^{3}-2x^{2}+x+1\)と自然数ベキ関数\(x^{3}\)の合成関数であることに注意してください。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、多項式関数の微分より\(3x^{3}-2x^{2}+x+1\)は点\(a\)において微分可能であり、自然数ベキ関数の微分より\(x^{3}\)は点\(3a^{3}-2a^{2}+a+1\)において微分可能であるため、合成関数の微分より\(f\)は点\(a\)において微分可能です。\(\mathbb{R} \)上の任意の点において同様であるため、\(f\)は\(\mathbb{R} \)上で微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&\frac{d}{dx}\left( 3x^{3}-2x^{2}+x+1\right)
^{3}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left. \frac{d}{dy}\left( y^{3}\right) \right\vert
_{y=3x^{3}-2x^{2}+x+1}\cdot \frac{d}{dx}\left( 3x^{3}-2x^{2}+x+1\right)
\quad \because \text{合成関数の微分} \\
&=&\left. 3y^{2}\right\vert _{y=3x^{3}-2x^{2}+x+1}\cdot \left(
9x^{2}-4x+1\right) \quad \because \text{多項式関数と自然数ベキ関数の微分} \\
&=&3\left( 3x^{3}-2x^{2}+x+1\right) ^{2}\left( 9x^{2}-4x+1\right)
\end{eqnarray*}を定めます。

例(自然数ベキ関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 1\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 1\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left[ \frac{2x+1}{\left( 1-x\right) ^{3}}\right] ^{4}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は有理関数\(\frac{2x+1}{\left( 1-x\right) ^{3}}\)と自然数ベキ関数\(x^{4}\)の合成関数であることに注意してください。点\(a\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 1\right\} \)を任意に選んだとき、有理関数の微分より\(\frac{2x+1}{\left( 1-x\right) ^{3}}\)は点\(a\)において微分可能であり、自然数ベキ関数の微分より\(x^{4}\)は点\(\frac{2a+1}{\left( 1-a\right) ^{3}}\)において微分可能であるため、合成関数の微分より\(f\)は点\(a\)において微分可能です。\(\mathbb{R} \)上の任意の点において同様であるため、\(f\)は\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 1\right\} \)上で微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \backslash \left\{ 1\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 1\right\} \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&\frac{d}{dx}\left[ \frac{2x+1}{\left(
1-x\right) ^{3}}\right] ^{4}\quad \because f\text{の定義}
\\
&=&\left. \frac{d}{dy}\left( y^{4}\right) \right\vert _{y=\frac{2x+1}{\left(
1-x\right) ^{3}}}\cdot \frac{d}{dx}\left[ \frac{2x+1}{\left( 1-x\right) ^{3}}\right] \quad \because \text{合成関数の微分} \\
&=&\left. 4y^{3}\right\vert _{y=\frac{2x+1}{\left( 1-x\right) ^{3}}}\cdot
\frac{2\left( 1-x\right) ^{3}-\left( 2x+1\right) 3\left( 1-x\right)
^{2}\left( -1\right) }{\left( 1-x\right) ^{6}}\quad \because \text{有理関数と自然数ベキ関数の微分} \\
&=&4\left[ \frac{2x+1}{\left( 1-x\right) ^{3}}\right] ^{3}\cdot \frac{4x+5}{\left( x-1\right) ^{4}} \\
&=&-\frac{4\left( 2x+1\right) ^{3}\left( 4x+5\right) }{\left( x-1\right)
^{13}}
\end{eqnarray*}を定めます。

 

自然数ベキ関数の片側微分

片側微分についても同様の命題が成り立ちます。

命題(自然数ベキ関数の片側微分)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値が、自然数\(n\in \mathbb{N} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{n}
\end{equation*}と表されるものとする。\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)以上の周辺の任意の点において定義されているならば、\(f\)は点\(a\)において右側微分可能であるとともに、そこでの右側微分係数は、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a+0\right) =na^{n-1}
\end{equation*}となる。また、\(f\)が点\(a\in X\)以下の周辺の任意の点において定義されているならば、\(f\)は点\(a\)において左側微分可能であるとともに、そこでの左側微分係数は、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a-0\right) =na^{n-1}
\end{equation*}となる。

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例(自然数ベキ関数の微分)
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left[ 0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{4}
\end{equation*}を定めるものとします。定義域の内点\(a\in \left(0,1\right) \)を任意に選んだとき、自然数ベキ関数の微分より、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) =4a^{3}
\end{equation*}となります。定義域の端点\(0\)に注目したとき、自然数ベキ関数の右側微分より、\begin{equation*}f^{\prime }\left( 0+0\right) =4\cdot 0^{3}=0
\end{equation*}となります。定義域の端点\(1\)に注目したとき、自然数ベキ関数の左側微分より、\begin{equation*}f^{\prime }\left( 1-0\right) =4\cdot 1^{3}=4
\end{equation*}となります。以上より、\(f\)は\(\left[ 0,1\right] \)上で微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left[ 0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( x\right) =4x^{3}
\end{equation*}を定めることが明らかになりました。

例(自然数ベキ関数の微分)
一辺の長さが\(x\in \mathbb{R} _{+}\)の正方形の面積は、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{2}
\end{equation*}となります。この関数\(f:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)は自然数ベキ関数であるため、定義域の内点\(a\in \mathbb{R} _{++}\)を任意に選んだときに、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) =2a
\end{equation*}が成り立ち、定義域の端点\(0\)において、\begin{equation*}f^{\prime }\left( 0+0\right) =2\cdot 0=0
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{+}\)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( x\right) =2x
\end{equation*}を定めます。つまり、正方形の一辺の長さが\(x\)であるとき、そこから一辺の長さを微量\(\varepsilon \)だけ伸ばすと、正方形の面積は\(2x\varepsilon \)だけ大きくなります。
例(自然数ベキ関数の微分)
一辺の長さが\(x\in \mathbb{R} _{+}\)の立方体の体積は、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{3}
\end{equation*}となります。この関数\(f:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)は自然数ベキ関数であるため、定義域の内点\(a\in \mathbb{R} _{++}\)を任意に選んだときに、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) =3a^{2}
\end{equation*}が成り立ち、定義域の端点\(0\)において、\begin{equation*}f^{\prime }\left( 0+0\right) =3\cdot 0^{2}=0
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{+}\)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( x\right) =3x^{2}
\end{equation*}を定めます。つまり、立方体の一辺の長さが\(x\)であるとき、そこから一辺の長さを微量\(\varepsilon \)だけ伸ばすと、立方体の体積は\(3x^{2}\varepsilon \)だけ大きくなります。
例(自然数ベキ関数の微分)
物体を初速度\(0\)で自由落下させます。経過時間(秒)が\(x\in \mathbb{R} _{+}\)であるときの物体の移動距離(メートル)は、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{1}{2}gx^{2}
\end{equation*}となります。ただし、\(g\)は重力加速度を表す定数であり、地球上の場所によってわずかに異なりますが、ほぼ\(9.8\)です。この関数\(f:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)は自然数ベキ関数\(x^{2}\)の定数倍(\(\frac{1}{2}g\)倍)であるため、定義域の内点\(a\in \mathbb{R} _{++}\)を任意に選んだときに、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) =ga
\end{equation*}が成り立ち、定義域の端点\(0\)において、\begin{equation*}f^{\prime }\left( 0+0\right) =g\cdot 0^{2}=0
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{+}\)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( x\right) =gx
\end{equation*}を定めます。つまり、経過時間が\(x\)の時点における物体の移動速度は\(gx\)です。

 

演習問題

問題(自然数ベキ関数との合成関数の微分)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( -7x^{3}\right) ^{5}
\end{equation*}を定めるものとします。導関数を求めてください。

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問題(自然数ベキ関数との合成関数の微分)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( 2x^{2}-\sqrt{3}x+1\right) ^{5}
\end{equation*}を定めるものとします。導関数を求めてくだ