多項式関数の微分

多項式関数は任意の点において微分可能であることを示すとともに、多項式関数の導関数を特定します。
多項式関数 微分
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多項式関数

復習になりますが、関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値\(f\left( x\right) \in \mathbb{R} \)が単項式の和として表されるならば、つまり、自然数\(n\)と実数\(c_{k}\ \left( k=0,1,\cdots ,n\right) \)を用いて、\begin{eqnarray*}
f\left( x\right) &=&\sum_{k=0}^{n}c_{k}x^{k} \\
&=&c_{0}x^{0}+c_{1}x^{1}+c_{2}x^{2}+\cdots +c_{n}x^{n} \\
&=&c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+\cdots +c_{n}x^{n}
\end{eqnarray*}という形で表すことができる場合には、\(f\)を多項式関数と呼びます。

多項式関数\(f\left( x\right) =\sum_{k=0}^{n}c_{k}x^{k}\)は定義域\(\mathbb{R} \)上のそれぞれの点\(a\)において\(\sum_{k=0}^{n}c_{k}a^{k}\)へ収束するとともに、\(\mathbb{R} \)上で連続です。

多項式関数について復習する
例(多項式関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、\begin{equation*}
f\left( x\right) =8x^{3}+2x^{2}-x+1
\end{equation*}であるならば、任意の点\(a\in \mathbb{R} \)において、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow a}\left(
8x^{3}+2x^{2}-x+1\right) \\
&=&8a^{3}+2a^{2}-a+1 \\
&=&f\left( a\right)
\end{eqnarray*}となるため、\(f\)は\(\mathbb{R} \)上で連続です。

 

多項式関数の微分

多項式関数は単項式関数の和として表されますが、すでに明らかにしたように、単項式関数は任意の点\(\alpha \in \mathbb{R} \)において微分可能です。また、一般に、関数\(f,g\)が点\(\alpha \)において微分可能である場合には関数\(f+g\)もまた点\(\alpha \)において微分可能であり、それらの微分係数の間には、\begin{equation*}
\left( f+g\right) ^{\prime }\left( a\right) =f^{\prime }\left( a\right)
+g^{\prime }\left( a\right)
\end{equation*}という関係が成立します。以上の事実を利用すると、多項式関数の微分可能性に関する以下の命題を証明できます。

単項式関数の微分可能性について復習する 微分可能な関数の和について復習する
命題(多項式関数の微分)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が多項式関数であるものとする。すなわち、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して\(f\)が定める値は、自然数\(n\)と実数\(c_{k} \ \left( k=0,1,\cdots ,n\right) \)を用いて、\begin{eqnarray*}
f\left( x\right) &=&\sum_{k=0}^{n}c_{k}x^{k} \\
&=&c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+\cdots +c_{n}x^{n}
\end{eqnarray*}という形で表すことができるものとする。この\(f\)は\(\mathbb{R} \)上で微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}
f^{\prime }\left( x\right) &=&\sum_{k=0}^{n}kc_{k}x^{k-1} \\
&=&c_{1}+2c_{2}x+3c_{3}x^{2}+\cdots +nc_{n}x^{n-1}
\end{eqnarray*}を定める。
証明を見る(プレミアム会員限定)
例(多項式関数の微分)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、\begin{equation*}
f\left( x\right) =8x^{3}+2x^{2}-x+1
\end{equation*}であるならば、この\(f\)は多項式関数です。したがって、\(f\)は\(\mathbb{R} \)上で微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}
f^{\prime }\left( x\right) &=&3\cdot 8x^{2}+2\cdot 2x-1\cdot x^{0} \\
&=&24x^{2}+4x-1
\end{eqnarray*}を定めます。
例(多項式関数の微分)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、\begin{equation*}
f\left( x\right) =\sqrt{2}x^{2}-\frac{1}{2}x+\pi
\end{equation*}であるならば、この\(f\)は多項式関数です。したがって、\(f\)は\(\mathbb{R} \)上で微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}
f^{\prime }\left( x\right) &=&2\sqrt{2}x^{1}-1\cdot \frac{1}{2}x^{0} \\
&=&2\sqrt{2}x-\frac{1}{2}
\end{eqnarray*}を定めます。

次回は有理関数の微分について学びます。

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