多項式関数の微分

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値が、非負の整数\(n\in \mathbb{Z} _{+}\)と実数\(c_{k}\ \left( k=0,1,\cdots ,n\right) \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+\cdots +c_{n}x^{n}
\end{equation*}と表されるものとする。\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)および周辺の任意の点において定義されているならば\(f\)は点\(a\)において微分可能であるとともに、そこでの微分係数は、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) =c_{1}+2c_{2}x+\cdots +nc_{n}x^{n-1}
\end{equation*}となる。

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =8x^{3}+2x^{2}-x+1
\end{equation*}を定めるものとします。\(\mathbb{R} \)は開集合であるため、定義域上の点を任意に選んだとき、\(f\)はその点の周辺の任意の点において定義されています。また、\(f\)は多項式関数です。すると先の命題より\(f\)は微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&\left( 8x^{3}+2x^{2}-x+1\right) ^{\prime
}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&3\cdot 8x^{2}+2\cdot 2x-1\quad \because \text{多項式関数の微分} \\
&=&24x^{2}+4x-1
\end{eqnarray*}を定めます。

関数\(f:\mathbb{R} \supset \left( 0,1\right) \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left( 0,1\right) \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{\sqrt{2}}{5}x^{5}
\end{equation*}を定めるものとします。\(\left( 0,1\right) \)は開集合であるため、定義域上の点を任意に選んだとき、\(f\)はその点の周辺の任意の点において定義されています。また、\(f\)は多項式関数です。すると先の命題より\(f\)は微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \supset \left( 0,1\right) \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left( 0,1\right) \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&\left( \frac{\sqrt{2}}{5}x^{5}\right)
^{\prime }\quad \because f\text{の定義} \\
&=&5\cdot \frac{\sqrt{2}}{5}x^{4}\quad \because \text{多項式関数の微分} \\
&=&\sqrt{2}x^{4}
\end{eqnarray*}を定めます。

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、非負の整数\(n\in \mathbb{Z} _{+}\)と実数\(c_{k}\ \left( k=0,1,\cdots ,n\right) \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+\cdots +c_{n}x^{n}
\end{equation*}と表されるものとします。定義域\(\mathbb{R} \)は開集合であるため、定義域上の点を任意に選んだとき、\(f\)はその周辺の任意の点において定義されています。したがって上の命題より\(f\)は微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( x\right) =c_{1}+2c_{2}x+\cdots +nc_{n}x^{n-1}
\end{equation*}を定めます。つまり、\(\mathbb{R} \)上に定義された多項式関数は\(\mathbb{R} \)上で微分可能であるということです。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値が、非負の整数\(n\in \mathbb{Z} _{+}\)と実数\(c_{k}\ \left( k=0,1,\cdots ,n\right) \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =\sum_{k=0}^{n}c_{k}x^{k}
\end{equation*}と表されるものとする。\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)以上の周辺の任意の点において定義されているならば、\(f\)は点\(a\)において右側微分可能であり、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a+0\right) =\sum_{k=0}^{n}kc_{k}a^{k-1}
\end{equation*}となる。また、\(f\)が点\(a\in X\)以下の周辺の任意の点において定義されているならば、\(f\)は点\(a\)において左側微分可能であり、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a-0\right) =\sum_{k=0}^{n}kc_{k}a^{k-1}
\end{equation*}となる。

関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left[ 0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =-x^{3}-1
\end{equation*}を定めるものとします。定義域の内点\(a\in \left(0,1\right) \)を任意に選んだとき、その周辺の任意の点\(x\)において\(f\left( x\right)=-x^{3}-1\)であるため、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( a\right) &=&\left. \left( -x^{3}-1\right) ^{\prime
}\right\vert _{x=a}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left. -3x^{2}\right\vert _{x=a}\quad \because \text{多項式関数の微分} \\
&=&-3a^{2}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。一方、\(f\)は定義域の境界点である\(0\)や\(1\)において通常の意味で微分可能ではありません。点\(0\)以上の周辺の任意の点において\(f\left( x\right)=-x^{3}-1\)であるため、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( 0+0\right) &=&\left. \left( -x^{3}-1\right) _{+}^{\prime
}\right\vert _{x=0}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left. -3x^{2}\right\vert _{x=0}\quad \because \text{多項式関数の右側微分} \\
&=&0
\end{eqnarray*}となります。また、点\(1\)以下の周辺の任意の点において\(f\left( x\right) =-x^{3}-1\)であるため、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( 1-0\right) &=&\left. \left( -x^{3}-1\right) _{-}^{\prime
}\right\vert _{x=1}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left. -3x^{2}\right\vert _{x=1}\quad \because \text{多項式関数の左側微分} \\
&=&-3
\end{eqnarray*}となります。以上より、導関数\(f^{\prime }\)の定義域は\(\left[ 0,1\right] \)であり、これはそれぞれの\(x\in \left[ 0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( x\right) =-3x^{2}
\end{equation*}を定めることが明らかになりました。

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =5x^{3}
\end{equation*}を定めるものとします。導関数を求めてください。

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(t\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( t\right) =t^{5}
\end{equation*}を定めるものとします。導関数を求めてください。

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =6x^{3}-12x
\end{equation*}を定めるものとします。導関数を求めてください。

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(t\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( t\right) =1-t
\end{equation*}を定めるものとします。導関数を求めてください。

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\sqrt{2}x^{2}-\frac{1}{2}x+\pi
\end{equation*}を定めるものとします。導関数を求めてください。

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\sqrt{2}x^{2}-\frac{1}{2}x+\pi
\end{equation*}を定めるものとします。導関数を求めてください。

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{ll}
-x^{2}+1 & \left( if\ x\leq 1\right) \\
0 & \left( if\ 1<x<2\right) \\
x^{2} & \left( if\ 2\leq x\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。導関数を求めてください。