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DIFFERENTIATION OF FUNCTIONS

多項式関数の微分

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多項式関数の微分

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が多項式関数であるものとします。つまり、\(f\)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値が非負の整数\(n\in \mathbb{Z} _{+}\)と実数\(c_{k}\ \left( k=0,1,\cdots ,n\right) \)を用いて、\begin{eqnarray*}f\left( x\right) &=&\sum_{k=0}^{n}c_{k}x^{k} \\
&=&c_{0}x^{0}+c_{1}x^{1}+c_{2}x^{2}+\cdots +c_{n}x^{n} \\
&=&c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+\cdots +c_{n}x^{n}
\end{eqnarray*}と表すことができるということです。\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)の周辺の任意の点において定義されているとき、\(f\)が点\(a\)において微分可能であるか否かを検討できますが、\(f\)は有限個の恒等関数の積の定数倍\(c_{k}x^{k}\)の和であることを踏まえると、\(f\)は点\(a\)において微分可能であることが予想されます。実際、これは正しい主張です。

命題(多項式関数の微分)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値が、非負の整数\(n\in \mathbb{Z} _{+}\)と実数\(c_{k}\ \left( k=0,1,\cdots ,n\right) \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =\sum_{k=0}^{n}c_{k}x^{k}
\end{equation*}と表されるものとする。\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)の周辺の任意の点において定義されているとき、\(f\)は点\(a\)において微分可能であるとともに、そこでの微分係数は、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) =\sum_{k=0}^{n}kc_{k}a^{k-1}
\end{equation*}となる。
証明

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例(多項式関数の微分)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、非負の整数\(n\in \mathbb{Z} _{+}\)と実数\(c_{k}\ \left( k=0,1,\cdots ,n\right) \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =\sum_{k=0}^{n}c_{k}x^{k}
\end{equation*}と表されるものとします。定義域\(\mathbb{R} \)は開集合であるため、定義域上の点を任意に選んだとき、\(f\)はその周辺の任意の点において定義されています。したがって上の命題より\(f\)は微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( x\right) =\sum_{k=0}^{n}kc_{k}x^{k-1}
\end{equation*}を定めます。つまり、\(\mathbb{R} \)上に定義された多項式関数は\(\mathbb{R} \)上で微分可能であるということです。
例(多項式関数の微分)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{\sqrt{2}}{5}x^{5}
\end{equation*}を定めるものとします。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)において微分可能でしょうか。\(f\)は点\(a\)の周辺の任意の値において定義されているため、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( a\right) &=&\left. \left( \frac{\sqrt{2}}{5}x^{5}\right)
^{\prime }\right\vert _{x=a} \\
&=&\left. 5\cdot \frac{\sqrt{2}}{5}x^{4}\right\vert _{x=a}\quad \because
\text{多項式関数の微分} \\
&=&\sqrt{2}a^{4}
\end{eqnarray*}となります。任意の\(a\in \mathbb{R} \)について同様であるため、導関数\(f^{\prime }\)の定義域は\(\mathbb{R} \)であり、これはそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( x\right) =\sqrt{2}x^{4}
\end{equation*}を定めることが明らかになりました。
例(多項式関数の微分)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =8x^{3}+2x^{2}-x+1
\end{equation*}を定めるものとします。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)において微分可能でしょうか。\(f\)は点\(a\)の周辺の任意の値において定義されているため、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( a\right) &=&\left. \left( 8x^{3}+2x^{2}-x+1\right)
^{\prime }\right\vert _{x=a} \\
&=&\left. 3\cdot 8x^{2}+2\cdot 2x-1\cdot x^{0}+0\right\vert _{x=a}\quad
\because \text{多項式関数の微分} \\
&=&24a^{2}+4a-1
\end{eqnarray*}となります。任意の\(a\in \mathbb{R} \)について同様であるため、導関数\(f^{\prime }\)の定義域は\(\mathbb{R} \)であり、これはそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( x\right) =24x^{2}+4x-1
\end{equation*}を定めることが明らかになりました。

 

多項式関数の片側微分

片側微分に関しても同様の命題が成り立ちます。

命題(多項式関数の片側微分)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値が、非負の整数\(n\in \mathbb{Z} _{+}\)と実数\(c_{k}\ \left( k=0,1,\cdots ,n\right) \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =\sum_{k=0}^{n}c_{k}x^{k}
\end{equation*}と表されるものとする。\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)より大きい周辺の任意の点において定義されているならば、\(f\)は点\(a\)において右側微分可能であり、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a+0\right) =\sum_{k=0}^{n}kc_{k}a^{k-1}
\end{equation*}となる。また、\(f\)が点\(a\in X\)より小さい周辺の任意の点において定義されているならば、\(f\)は点\(a\)において左側微分可能であり、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a-0\right) =\sum_{k=0}^{n}kc_{k}a^{k-1}
\end{equation*}となる。
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例(多項式関数の片側微分)
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left[ 0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =-x^{3}-1
\end{equation*}を定めるものとします。定義域\(\left[ 0,1\right] \)の内部は\(\left( 0,1\right) \)です。内点\(a\in \left( 0,1\right) \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)の周辺の任意の点において定義されているため、\(f\)は点\(a\)において微分可能であり、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( a\right) &=&\left. \left( -x^{3}-1\right) ^{\prime
}\right\vert _{x=a} \\
&=&\left. -3x^{2}\right\vert _{x=a}\quad \because \text{多項式関数の微分} \\
&=&-3a^{2}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。一方、\(f\)は定義域の境界点である\(0\)や\(1\)において通常の意味で微分可能ではありません。\(f\)は点\(0\)より大きい周辺の任意の点において定義されているため、\(f\)は点\(0\)において右側微分可能であり、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( 0+0\right) &=&\left. \left( -x^{3}-1\right) _{+}^{\prime
}\right\vert _{x=0} \\
&=&\left. -3x^{2}\right\vert _{x=0}\quad \because \text{多項式関数の右側微分} \\
&=&0
\end{eqnarray*}となります。また、\(f\)は点\(1\)より小さい周辺の任意の点において定義されているため、\(f\)は点\(1\)において左側微分可能であり、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( 1-0\right) &=&\left. \left( -x^{3}-1\right) _{-}^{\prime
}\right\vert _{x=1} \\
&=&\left. -3x^{2}\right\vert _{x=1}\quad \because \text{多項式関数の左側微分} \\
&=&-3
\end{eqnarray*}となります。したがって導関数\(f^{\prime }\)の定義域は\(\left[ 0,1\right] \)であり、これはそれぞれの\(x\in \left[ 0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( x\right) =-3x^{2}
\end{equation*}を定めます。

 

演習問題

問題(多項式関数の微分)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\sqrt{2}x^{2}-\frac{1}{2}x+\pi
\end{equation*}を定めるものとします。導関数を求めてください。
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問題(多項式関数の微分)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{ll}
-x^{2}+1 & \left( if\ x\leq 1\right) \\
0 & \left( if\ 1<x<2\right) \\
x^{2} & \left( if\ 2\leq x\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。導関数を求めてください。
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次回は有理関数の微分について学びます。

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