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1変数関数の微分

無理関数の微分

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無理関数の微分

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が無理関数であるものとします。つまり、\(f\)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値は、自然数\(n\in \mathbb{N} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{\frac{1}{n}}
\end{equation*}と表すことができるということです。関数\(x^{\frac{1}{n}}\)がゼロとは異なる定義域上の点\(a\in X\backslash \left\{ 0\right\} \)の周辺の任意の点において定義されている場合には点\(a\)において微分可能です。微分係数は以下の通りです。

命題(無理関数の微分)

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値が、自然数\(n\in \mathbb{N} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{\frac{1}{n}}
\end{equation*}と表されるものとする。\(f\)がゼロとは異なる定義域上の点\(a\in X\backslash\left\{ 0\right\} \)の周辺の任意の点において定義されているならば、\(f\)は点\(a\)において微分可能であるとともに、そこでの微分係数は、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) =\frac{1}{n}a^{\frac{1}{n}-1}
\end{equation*}となる。

証明

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上の命題では無理関数\(f\left( x\right) =x^{\frac{1}{n}}\)が微分可能な点の候補から点\(0\)を除いています。実際、無理関数は点\(0\)において微分可能ではありません。\(n\)が奇数である場合、無理関数の定義域は\(\mathbb{R} \)であるため点\(0\)における微分可能性を検討できます。具体的には、\begin{eqnarray*}\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( 0+h\right) -f\left( 0\right) }{h}
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\left( 0+h\right) ^{\frac{1}{n}}-0^{\frac{1}{n}}}{h}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\left( \frac{h^{\frac{1}{n}}}{h}\right) \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}h^{\frac{1-n}{n}} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{1}{h^{\frac{n-1}{n}}} \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}となるため、\(f\)は点\(0\)において微分可能ではありません。一方、\(n\)が偶数である場合、無理関数の定義域は\(\mathbb{R} _{+}\)ですが、この場合には無理関数が点\(0\)において右側微分可能でないことが同様にして示されます。

例(無理関数の微分)
\(n\)が奇数である場合、無理関数\(x^{\frac{1}{n}}\)の定義域と値域はともに\(\mathbb{R} \)であるため、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{\frac{1}{n}}
\end{equation*}を定める無理関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。ゼロとは異なる点\(a\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)の周辺の任意の点において定義されているため、先の命題より\(f\)は点\(a\)において微分可能です。\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)上の任意の点において同様であるため、\(f\)は\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)上で微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( x\right) =\frac{1}{n}x^{\frac{1}{n}-1}
\end{equation*}を定めます。つまり、\(n\)が奇数である場合の無理関数\(x^{\frac{1}{n}}\)は\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)上で微分可能であるということです。
例(無理関数の微分)
\(n\)が偶数である場合、無理関数\(x^{\frac{1}{n}}\)の定義域と値域はともに\(\mathbb{R} _{+}\)であるため、それぞれの\(x\in \mathbb{R} _{+}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{\frac{1}{n}}
\end{equation*}を定める無理関数\(f:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)が定義可能です。ゼロとは異なる点\(a\in \mathbb{R} _{++}\)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)の周辺の任意の点において定義されているため、先の命題より\(f\)は点\(a\)において微分可能です。\(\mathbb{R} _{++}\)上の任意の点において同様であるため、\(f\)は\(\mathbb{R} _{++}\)上で微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( x\right) =\frac{1}{n}x^{\frac{1}{n}-1}
\end{equation*}を定めます。つまり、\(n\)が偶数である場合の無理関数\(x^{\frac{1}{n}}\)は\(\mathbb{R} _{++}\)上で微分可能であるということです。
例(無理関数の微分)
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ \frac{4}{3},+\infty \right) \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left[ \frac{4}{3},+\infty \right) \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( 3x-4\right) ^{\frac{1}{2}}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は多項式関数\(3x-4\)と無理関数\(x^{\frac{1}{2}}\)の合成関数であることに注意してください。点\(a\in \left( \frac{4}{3},+\infty \right) \)を任意に選んだとき、多項式関数の微分より\(3x-4\)は点\(a\)において微分可能です。無理関数\(x^{\frac{1}{2}}\)の定義域は\(\mathbb{R} _{+}\)であり、なおかつ\(3a-4>0\)であるため、無理関数の微分より、\(x^{\frac{1}{2}}\)は点\(a\)において微分可能です。すると、合成関数の微分より\(f\)は点\(a\)において微分可能です。\(\left( \frac{4}{3},+\infty \right) \)上の任意の点において同様であるため、\(f\)は\(\left( \frac{4}{3},+\infty \right) \)上で微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\left( \frac{4}{3},+\infty \right) \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left( \frac{4}{3},+\infty \right) \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&\frac{d}{dx}\left( 3x-4\right) ^{\frac{1}{2}}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left. \frac{d}{dy}\left( y^{\frac{1}{2}}\right) \right\vert
_{y=3x-4}\cdot \frac{d}{dx}\left( 3x-4\right) \quad \because \text{合成関数の微分} \\
&=&\left. \frac{1}{2}y^{\frac{1}{2}-1}\right\vert _{y=3x-4}\cdot 3\quad
\because \text{多項式関数と無理関数の微分} \\
&=&\frac{1}{2}\left( 3x-4\right) ^{-\frac{1}{2}}\cdot 3 \\
&=&\frac{3}{2\left( 3x-4\right) ^{\frac{1}{2}}}
\end{eqnarray*}を定めます。ちなみに、\(f\)は定義域の端点\(\frac{4}{3}\)において微分可能ではありません。無理関数\(x^{\frac{1}{2}}\)は点\(3\cdot \frac{4}{3}-4=0\)において微分可能ではないからです。
例(無理関数の微分)
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left( -3,+\infty \right) \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left( -3,+\infty\right) \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( \frac{4}{x+3}\right) ^{\frac{1}{2}}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は有理関数\(\frac{4}{x+3}\)と無理関数\(x^{\frac{1}{2}}\)の合成関数であることに注意してください。点\(a\in \left( -3,+\infty \right) \)を任意に選んだとき、有理関数の微分より\(\frac{4}{x+3}\)は点\(a\)において微分可能です。無理関数\(x^{\frac{1}{2}}\)の定義域は\(\mathbb{R} _{+}\)であり、なおかつ\(\frac{4}{x+3}>0\)であるため、無理関数の微分より、\(x^{\frac{1}{2}}\)は点\(a\)において微分可能です。すると、合成関数の微分より\(f\)は点\(a\)において微分可能です。\(\left( -3,+\infty \right) \)上の任意の点において同様であるため、\(f\)は\(\left(-3,+\infty \right) \)上で微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\left(-3,+\infty \right) \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left( -3,+\infty\right) \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&\frac{d}{dx}\left( \frac{4}{x+3}\right) ^{\frac{1}{2}}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left. \frac{d}{dy}\left( y^{\frac{1}{2}}\right) \right\vert _{y=\frac{4}{x+3}}\cdot \frac{d}{dx}\left( \frac{4}{x+3}\right) \quad \because \text{合成関数の微分} \\
&=&\left. \frac{1}{2}y^{\frac{1}{2}-1}\right\vert _{y=\frac{4}{x+3}}\cdot
\frac{-4}{\left( x+3\right) ^{2}}\quad \because \text{有理関数と無理関数の微分} \\
&=&-\left( \frac{1}{x+3}\right) ^{\frac{3}{2}}
\end{eqnarray*}を定めます。

 

無理関数の片側微分

片側微分についても同様の命題が成り立ちます。

命題(無理関数の片側微分)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値が、自然数\(n\in \mathbb{N} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{\frac{1}{n}}
\end{equation*}と表されるものとする。\(f\)がゼロとは異なる定義域上の点\(a\in X\backslash\left\{ 0\right\} \)以上の周辺の任意の点において定義されているならば、\(f\)は点\(a\)において右側微分可能であるとともに、そこでの右側微分係数は、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a+0\right) =\frac{1}{n}a^{\frac{1}{n}-1}
\end{equation*}となる。また、\(f\)がゼロとは異なる定義域上の点\(a\in X\backslash \left\{ 0\right\} \)以下の周辺の任意の点において定義されているならば、\(f\)は点\(a\)において左側微分可能であるとともに、そこでの左側微分係数は、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a-0\right) =\frac{1}{n}a^{\frac{1}{n}-1}
\end{equation*}となる。

例(無理関数の微分)
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ 1,2\right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left[ 1,2\right] \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{\frac{1}{n}}
\end{equation*}を定めるものとします。\(n\in \mathbb{N} \)です。定義域の内点\(a\in \left( 1,2\right) \)を任意に選んだとき、無理関数の微分より、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) =\frac{1}{n}a^{\frac{1}{n}-1}
\end{equation*}が成り立ちます。定義域の端点\(1\)に注目したとき、無理関数の右側微分より、\begin{equation*}f^{\prime }\left( 1+0\right) =\frac{1}{n}\cdot 1^{\frac{1}{n}-1}=\frac{1}{n}
\end{equation*}が成り立ちます。定義域の端点\(2\)に注目したとき、無理関数の左側微分より、\begin{equation*}f^{\prime }\left( 2-0\right) =\frac{1}{n}\cdot 2^{\frac{1}{n}-1}
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、\(f\)は\(\left[ 1,2\right] \)上で微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \supset \left[ 1,2\right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left[ 1,2\right] \)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( x\right) =\frac{1}{n}x^{\frac{1}{n}-1}
\end{equation*}を定めます。

 

演習問題

問題(無理関数の微分)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( x^{2}-3x+1\right) ^{\frac{1}{3}}
\end{equation*}を定めるものとします。導関数を求めてください。

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問題(無理関数の微分)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 1,-1\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 1,-1\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left[ \frac{x+1}{\left( 1-x\right) ^{3}}\right] ^{\frac{1}{3}}
\end{equation*}を定めるものとします。導関数を求めてください。

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