無理関数はゼロとは異なる定義域上の任意の点において微分可能であることを示すとともに、その導関数を特定します。また、無理関数と微分可能な関数の合成関数について、その導関数を特定します。

無理関数 微分

無理関数

復習になりますが、関数\(f:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{+}\)に対して定める値が、自然数\(n\)を用いて、\begin{equation*}
f\left( x\right) =x^{\frac{1}{n}}
\end{equation*}として表される場合には、\(f\)を無理関数と呼びます。

無理関数の逆関数\(f^{-1}:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)は自然数ベキ関数であり、それぞれの\(y\in \mathbb{R} _{+}\)に対して\(f^{-1}\left( y\right) =y^{n}\)を定めます。さらに、それぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{+}\times \mathbb{R} _{+}\)に対して、\begin{equation*}
y=x^{\frac{1}{n}}\Leftrightarrow x=y^{n}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。

無理関数\(f\left( x\right) =x^{\frac{1}{n}}\)は定義域\(\mathbb{R} _{+}\)上の任意の点\(a\)において\(a^{\frac{1}{n}}\)に収束し、\(\mathbb{R} _{+}\)上で連続です。

無理関数について復習する
例(無理関数)
関数\(f:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、\begin{equation*}
f\left( x\right) =x^{\frac{1}{3}}
\end{equation*}であるならば、この\(f\)は無理関数です。\(f\left( \mathbb{R} _{+}\right) =\mathbb{R} _{+}\)であり、その逆関数\(f^{-1}:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)はそれぞれの\(y\in \mathbb{R} _{+}\)に対して\(f^{-1}\left( y\right) =y^{3}\)を定めます。

 

無理関数の微分可能性

無理関数\(f\left( x\right) =x^{\frac{1}{n}}\)が与えられたとき、点\(a>0\)を任意に選びます。無理関数は\(\mathbb{R} _{+}\)上で連続であるため、\(f\)は\(a\)において連続です。\(f\)の逆関数\(f^{-1}\)は自然数ベキ関数\(f^{-1}\left( y\right) =y^{n}\)ですが、これは定義域\(\mathbb{R} _{+}\)上の任意の点において微分可能であるため、点\(f\left( a\right) =a^{\frac{1}{n}}\)においても微分可能であり、そこでの微分係数は、\begin{eqnarray*}
\left( f^{-1}\right) ^{\prime }\left( f\left( a\right) \right) &=&n\left[
f\left( a\right) \right] ^{n-1} \\
&=&n\left( a^{\frac{1}{n}}\right) ^{n-1} \\
&=&na^{\frac{n-1}{n}}
\end{eqnarray*}となります。\(a>0\)より上の微分係数は非ゼロです。したがって、逆関数の微分公式より、\(f\)は\(a\)において微分可能であり、そこでの微分係数は、\begin{eqnarray*}
f^{\prime }\left( a\right) &=&\frac{1}{\left( f^{-1}\right) ^{\prime
}\left( f\left( a\right) \right) } \\
&=&\frac{1}{na^{\frac{n-1}{n}}} \\
&=&\frac{1}{na^{1-\frac{1}{n}}} \\
&=&\frac{1}{n}a^{\frac{1}{n}-1}
\end{eqnarray*}となります。したがって、無理関数の微分可能性に関する以下の命題が得られます。

自然数ベキ関数の微分可能性について復習する 逆関数の微分について復習する
命題(無理関数の微分)
関数\(f:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)は無理関数であるものとする。すなわち、それぞれの\(x\in \mathbb{R} _{+}\)に対して\(f\)が定める値は、自然数\(n\)を用いて、\begin{equation*}
f\left( x\right) =x^{\frac{1}{n}}
\end{equation*}という形で表すことができるものとする。この\(f\)は\(\mathbb{R} _{++}\)上で微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}
f^{\prime }\left( x\right) =\frac{1}{n}x^{\frac{1}{n}-1}
\end{equation*}を定める。
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例(無理関数の微分)
関数\(f:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{+}\)に対して定める値が、\begin{equation*}
f\left( x\right) =x^{\frac{1}{3}}
\end{equation*}であるならば、\(f\)は\(\mathbb{R} _{++}\)上で微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}
f^{\prime }\left( x\right) =\frac{1}{3}x^{\frac{1}{3}-1}=\frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}
\end{equation*}を定めます。

 

無理関数との合成関数

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を任意に選びます。ただし、\(X=\{x\in X\ |\ f\left( x\right) >0\}\)です。また、\(g:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)を無理関数とします。つまり、\(g\left( x\right) =x^{\frac{1}{n}}\)です。\(f\)の値域\(f\left( X\right) \)は\(g\)の定義域\(\mathbb{R} _{+}\)の部分集合であるため、合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。この合成関数\(g\circ f\)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{eqnarray*}
\left( g\circ f\right) \left( x\right) &=&g\left( f\left( x\right) \right)
\quad \because g\circ f\text{の定義} \\
&=&\left[ f\left( x\right) \right] ^{\frac{1}{n}}\quad \because g\text{の定義}
\end{eqnarray*}を値として定めます。ただし、\(n\)は正の整数です。

関数\(f\)が点\(a\)において微分可能であるものとします。無理関数\(g\)は\(\mathbb{R} _{++}\)上で微分可能であるため、点\(f\left( a\right) \)においても微分可能です。したがって、合成関数の微分に関する命題より、合成関数\(g\circ f\)もまた点\(a\)において微分可能であり、そこでの微分係数は、\begin{eqnarray*}
\left( g\circ f\right) ^{\prime }\left( a\right) &=&g^{\prime }\left(
f\left( a\right) \right) \cdot f^{\prime }\left( a\right) \quad \because
\text{合成関数の微分} \\
&=&\frac{1}{n}\cdot f\left( a\right) ^{\frac{1}{n}-1}\cdot f^{\prime }\left(
a\right) \quad \because \text{無理関数の微分}
\end{eqnarray*}となります。

合成関数の微分について復習する
命題(無理関数との合成関数の微分)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を任意に選ぶ。\(X=\{x\in X\ |\ f\left( x\right) >0\}\)である。このとき、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}
g\left( x\right) =\left[ f\left( x\right) \right] ^{\frac{1}{n}}
\end{equation*}を定める関数\(g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を考える。ただし、\(n\)は自然数である。\(f\)が点\(a\in X\)において微分可能ならば\(g\)もまた\(a\)において微分可能であり、そこでの微分係数は、\begin{equation*}
g^{\prime }\left( a\right) =\frac{1}{n}\cdot f\left( a\right) ^{\frac{1}{n}-1}\cdot f^{\prime }\left( a\right)
\end{equation*}となる。
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例(単項式関数との合成)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in X\)に対して\(f\)が定める値は、自然数\(m,n\)と実数\(c\)を用いて、\begin{equation*}
f\left( x\right) =\left( cx^{n}\right) ^{\frac{1}{m}}
\end{equation*}という形で表すことができるものとします。ただし、\begin{equation*}
X=\{x\in
\mathbb{R} \ |\ cx^{n}>0\}
\end{equation*}です。これは単項式関数\(cx^{n}\)と無理関数\(x^{\frac{1}{m}}\)の合成関数です。単項式関数は\(\mathbb{R} \)上の任意の点において微分可能であるため、上の命題より、この関数\(f\)は\(X\)上の任意の点において微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{eqnarray*}
f^{\prime }\left( x\right) &=&\frac{1}{m}\cdot \left( cx^{n}\right) ^{\frac{1}{m}-1}\cdot \left( cx^{n}\right) ^{\prime } \\
&=&\frac{1}{m}\cdot \left( cx^{n}\right) ^{\frac{1}{m}-1}\cdot \left(
ncx^{n-1}\right)
\end{eqnarray*}を定めます。
例(多項式関数との合成)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in X\)に対して\(f\)が定める値は、自然数\(m,n\)と実数\(c_{k}\ \left( k=0,1,\cdots ,n\right) \)を用いて、\begin{eqnarray*}
f\left( x\right) &=&\left( \sum_{k=0}^{n}c_{k}x^{k}\right) ^{\frac{1}{m}} \\
&=&\left( c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+\cdots +c_{n}x^{n}\right) ^{\frac{1}{m}}
\end{eqnarray*}という形で表すことができるものとします。ただし、\begin{equation*}
X=\left\{ x\in
\mathbb{R} \ |\ \sum_{k=0}^{n}c_{k}x^{k}>0\right\}
\end{equation*}です。これは多項式関数\(\sum_{k=0}^{n}c_{k}x^{k}\)と無理関数\(x^{\frac{1}{m}}\)の合成関数です。多項式関数は\(\mathbb{R} \)上の任意の点において微分可能であるため、上の命題より、この関数\(f\)は\(X\)上の任意の点において微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{eqnarray*}
f^{\prime }\left( x\right) &=&\frac{1}{m}\cdot \left(
\sum_{k=0}^{n}c_{k}x^{k}\right) ^{\frac{1}{m}-1}\left(
\sum_{k=0}^{n}c_{k}x^{k}\right) ^{\prime } \\
&=&\frac{1}{m}\cdot \left( \sum_{k=0}^{n}c_{k}x^{k}\right) ^{\frac{1}{m}-1}\left( \sum_{k=0}^{n}c_{k}kx^{k-1}\right)
\end{eqnarray*}を定めます。
例(有理関数との合成)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して\(f\)が定める値は、自然数\(n\)と多項式関数\(g,h:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}
f\left( x\right) =\left[ \frac{g\left( x\right) }{h\left( x\right) }\right] ^{\frac{1}{n}}
\end{equation*}という形で表すことができるものとします。ただし、\begin{equation*}
X=\left\{ x\in
\mathbb{R} \ |\ \frac{g\left( x\right) }{h\left( x\right) }>0\right\}
\end{equation*}です。これは有理関数\(\frac{g\left( x\right) }{h\left( x\right) }\)と無理関数\(x^{\frac{1}{n}}\)の合成関数です。有理関数は定義域\(X\)上の任意の点において微分可能であるため、上の命題より、この関数\(f\)もまた\(X\)上の任意の点において微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{eqnarray*}
f^{\prime }\left( x\right) &=&\frac{1}{n}\cdot \left[ \frac{g\left(
x\right) }{h\left( x\right) }\right] ^{\frac{1}{n}-1}\left( \frac{g\left(
x\right) }{h\left( x\right) }\right) ^{\prime } \\
&=&\frac{1}{n}\cdot \left[ \frac{g\left( x\right) }{h\left( x\right) }\right] ^{\frac{1}{n}-1}\frac{g^{\prime }\left( x\right) h\left( x\right) -g\left(
x\right) h^{\prime }\left( x\right) }{\left[ h\left( x\right) \right] ^{2}}
\end{eqnarray*}を定めます。

次回は有理ベキ関数の微分について学びます。

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