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DIFFERENTIATION OF FUNCTIONS

無理関数の微分

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無理関数の微分

関数\(f:\mathbb{R} _{+}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が無理関数であるものとします。つまり、\(f\)がそれぞれの非負の実数\(x\in X\)に対して定める値が自然数\(n\in \mathbb{N} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{\frac{1}{n}}
\end{equation*}と表すことができるということです。

無理関数\(f:\mathbb{R} _{+}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上の点\(a\in X\)の周辺の任意の点において定義されているとき、\(f\)が点\(a\)において微分可能であるかを検討できます。無理関数は自然数ベキ関数の逆関数であり、自然数ベキ関数は微分可能であることを踏まえると、逆関数の微分より、無理関数\(f\)は点\(a\)において微分可能であることが予想されます。実際、これは正しい主張です。

命題(無理関数の微分)

関数\(f:\mathbb{R} _{+}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値が、自然数\(n\in \mathbb{N} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{\frac{1}{n}}
\end{equation*}と表されるものとする。\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)の周辺の任意の点において定義されているとき、\(f\)は点\(a\)において微分可能であるとともに、そこでの微分係数は、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) =\frac{1}{n}a^{\frac{1}{n}-1}
\end{equation*}となる。

証明

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例(無理関数の微分)
関数\(f:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{+}\)に対して定める値が、自然数\(n\in \mathbb{N} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{\frac{1}{n}}
\end{equation*}と表されるものとします。定義域の部分集合\(\mathbb{R} _{++}\)は\(\mathbb{R} \)上の開集合であるため、\(\mathbb{R} _{++}\)の点を任意に選んだとき、\(f\)はその点の周辺の任意の点において定義されています。したがって上の命題より\(f\)は微分可能であるとともに、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( x\right) =\frac{1}{n}x^{\frac{1}{n}-1}
\end{equation*}を定めます。つまり、\(\mathbb{R} _{+}\)上に定義された無理関数は\(\mathbb{R} _{++}\)上で微分可能であるということです。定義域上の残された点\(0\)についてはどうでしょうか。\(f\)は点\(0\)以上の周辺の点において定義されているため、点\(0\)における右側微分可能性を検討することはできますが、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( 0+0\right) &=&\lim_{h\rightarrow 0+}\frac{f\left(
0+h\right) -f\left( 0\right) }{h} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0+}\frac{h^{\frac{1}{n}}-0^{\frac{1}{n}}}{h} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0+}h^{\frac{1-n}{n}} \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}となるため(演習問題にします)、\(f\)は点\(0\)において右側微分可能ではありません。したがって\(f\)は点\(0\)において微分可能ではありません。

 

無理関数との合成関数

無理関数が微分可能であるという事実と合成関数の微分を利用すると、より広範な関数を微分できるようになります。

正の実数を値としてとる関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} _{++}\)が与えられたとき、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}g\left( x\right) =\left[ f\left( x\right) \right] ^{\frac{1}{n}}
\end{equation*}を定める新たな関数\(g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。ただし\(n\in \mathbb{N} \)です。これは関数\(y=f\left(x\right) \)と無理関数\(y^{\frac{1}{n}}\)の合成関数である点に注意してください。\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)の周辺の任意の点において定義されているとき、\(f\)が点\(a\)において微分可能であるかどうか検討できます。仮に\(f\)が点\(a\)において微分可能であるならば、そこでの微分係数に相当する有限な実数\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) \in \mathbb{R} \end{equation*}が存在します。ここで注意したいことは、無理関数は\(\mathbb{R} _{++}\)上の任意の点において微分可能であるため点\(f\left( a\right) \in \mathbb{R} _{++}\)において微分可能であるということです。すると合成関数の微分より、\(g\)は点\(a\)において微分可能であることが保証されます。

命題(無理関数との合成関数の微分)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} _{++}\)が与えられたとき、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}g\left( x\right) =\left[ f\left( x\right) \right] ^{\frac{1}{n}}
\end{equation*}を定める新たな関数\(g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。ただし\(n\in \mathbb{N} \)である。\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)において微分可能であるならば、\(g\)は点\(a\)において微分可能であるとともに、そこでの微分係数は、\begin{equation*}g^{\prime }\left( a\right) =\frac{1}{n}\left[ f\left( a\right) \right] ^{\frac{1}{n}-1}\cdot f^{\prime }\left( a\right)
\end{equation*}となる。

証明

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上の命題中の関数\(f\)が定義域上で微分可能であるならば、無理関数との合成関数の導関数に関する以下の命題を得ます。

命題(無理関数との合成関数の微分)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} _{++}\)が与えられたとき、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}g\left( x\right) =\left[ f\left( x\right) \right] ^{\frac{1}{n}}
\end{equation*}を定める新たな関数\(g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。ただし\(n\in \mathbb{N} \)である。\(f\)が微分可能であるならば、\(g\)は微分可能であるとともに、その導関数\(g^{\prime }:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}g^{\prime }\left( a\right) =\frac{1}{n}\left[ f\left( x\right) \right] ^{\frac{1}{n}-1}\cdot f^{\prime }\left( x\right)
\end{equation*}を定める。

例(多項式関数と無理関数の合成関数の微分)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値が、自然数\(m\in \mathbb{N} \)と非負の整数\(n\in \mathbb{Z} _{+}\)と実数\(c_{k}\ \left( k=0,1,\cdots ,n\right) \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( \sum_{k=0}^{n}c_{k}x^{k}\right) ^{\frac{1}{m}}
\end{equation*}という形で表すことができるものとします。ただし、\begin{equation*}
X=\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ \sum_{k=0}^{n}c_{k}x^{k}>0\right\}
\end{equation*}です。この関数\(f\)は多項式関数\(y=\sum_{k=0}^{n}c_{k}x^{k}\)と無理関数\(y^{\frac{1}{m}}\)の合成関数です。多項式関数は\(X\)上で微分可能であり、その導関数が、\begin{equation}\left( \sum_{k=0}^{n}c_{k}x^{k}\right) ^{\prime }=\sum_{k=0}^{n}kc_{k}x^{k-1}
\quad \cdots (1)
\end{equation}であることを踏まえると、上の命題より\(f\)もまた\(X\)上で微分可能であり、その導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&-\frac{1}{m}\cdot \left(
\sum_{k=0}^{n}c_{k}x^{k}\right) ^{\frac{1}{m}-1}\left(
\sum_{k=0}^{n}c_{k}x^{k}\right) ^{\prime } \\
&=&-\frac{1}{m}\cdot \left( \sum_{k=0}^{n}c_{k}x^{k}\right) ^{\frac{1}{m}-1}\sum_{k=0}^{n}kc_{k}x^{k-1}\quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}を定めます。

例(有理関数と無理関数の合成関数の微分)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値が、自然数\(n\in \mathbb{N} \)と多項式関数である\(g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と\(h:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left[ \frac{g\left( x\right) }{h\left( x\right) }\right] ^{\frac{1}{n}}
\end{equation*}という形で表すことができるものとします。ただし、\begin{equation*}
X=\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ \frac{g\left( x\right) }{h\left( x\right) }>0\right\}
\end{equation*}です。この関数\(f\)は有理関数\(y=\frac{g\left( x\right) }{h\left( x\right) }\)と無理関数\(y^{\frac{1}{n}}\)の合成関数です。有理関数は\(X\)上で微分可能であり、その導関数が、\begin{equation}\left[ \frac{g\left( x\right) }{h\left( x\right) }\right] ^{\prime }=\frac{g^{\prime }\left( x\right) \cdot h\left( x\right) -g\left( x\right) \cdot
h^{\prime }\left( x\right) }{\left[ h\left( x\right) \right] ^{2}} \quad \cdots (1)
\end{equation}であることを踏まえると、上の命題より\(f\)もまた\(X\)上で微分可能であり、その導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&\frac{1}{n}\cdot \left[ \frac{g\left(
x\right) }{h\left( x\right) }\right] ^{\frac{1}{n}-1}\left[ \frac{g\left(
x\right) }{h\left( x\right) }\right] ^{\prime } \\
&=&\frac{1}{n}\cdot \left[ \frac{g\left( x\right) }{h\left( x\right) }\right] ^{\frac{1}{n}-1}\left[ \frac{g^{\prime }\left( x\right) \cdot h\left(
x\right) -g\left( x\right) \cdot h^{\prime }\left( x\right) }{\left[ h\left(
x\right) \right] ^{2}}\right] \quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}を定めます。

 

演習問題

問題(無理関数との合成関数の微分)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( 7x^{2}+1\right) ^{\frac{1}{3}}
\end{equation*}を定めるものとします。ただし\(X\)は\(f\)の定義域です。\(X\)となり得る最大の集合を特定した上で、\(f\)の導関数を求めてください。
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問題(無理関数との合成関数の微分)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( x^{2}-1\right) ^{\frac{1}{6}}
\end{equation*}を定めるものとします。ただし\(X\)は\(f\)の定義域です。\(X\)となり得る最大の集合を特定した上で、さらに\(f\)の導関数を求めてください。
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問題(無理関数との合成関数の微分)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( \frac{x^{2}-7}{x-5}\right) ^{\frac{1}{6}}
\end{equation*}を定めるものとします。ただし\(X\)は\(f\)の定義域です。\(X\)となり得る最大の集合を特定した上で、さらに\(f\)の導関数を求めてください。
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次回は有理数ベキ関数の微分について学びます。

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指数が自然数の逆数であるようなベキ関数を無理関数と呼びます。無理関数は非負の実数上に定義可能であり、非負の実数を値としてとる狭義単調増加関数です。

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