無理関数の微分

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値が、自然数\(n\in \mathbb{N} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{\frac{1}{n}}
\end{equation*}と表されるものとする。ただし、\begin{equation*}
X=\left\{
\begin{array}{cc}\mathbb{R} & \left( if\ n\text{は奇数}\right) \\ \mathbb{R} _{+} & \left( if\ n\text{は偶数}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}である。以下が成り立つ。

1. \(n\)が奇数であるものとする。点\(a\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)において微分可能であるとともに、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) =\frac{1}{n}a^{\frac{1}{n}-1}\end{equation*}が成り立つ。したがって導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( x\right) =\frac{1}{n}x^{\frac{1}{n}-1}
   \end{equation*}を定める。
2. \(n\)が偶数であるものとする。点\(a\in \mathbb{R} _{++}\)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)において微分可能であるとともに、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) =\frac{1}{n}a^{\frac{1}{n}-1}\end{equation*}が成り立つ。したがって導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、それぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( x\right) =\frac{1}{n}x^{\frac{1}{n}-1}
   \end{equation*}を定める。

関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ \frac{4}{3},+\infty \right) \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left[ \frac{4}{3},+\infty \right) \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( 3x-4\right) ^{\frac{1}{2}}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は多項式関数\(3x-4\)と無理関数\(x^{\frac{1}{2}}\)の合成関数です。定義域の内点\(a\in \left( \frac{4}{3},+\infty \right) \)を任意に選んだとき、\(3a-4>0\)であるため、点\(3a-4\)は\(x^{\frac{1}{2}}\)の定義域\(\mathbb{R} _{+}\)の内点であるため、\(f\)は点\(a\)において微分可能です。\(\left( \frac{4}{3},+\infty \right) \)上の任意の点において同様であるため、\(f\)は\(\left( \frac{4}{3},+\infty \right) \)上で微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\left( \frac{4}{3},+\infty \right) \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left( \frac{4}{3},+\infty \right) \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&\frac{d}{dx}\left( 3x-4\right) ^{\frac{1}{2}}
\\
&=&\left. \frac{d}{dy}\left( y^{\frac{1}{2}}\right) \right\vert
_{y=3x-4}\cdot \frac{d}{dx}\left( 3x-4\right) \quad \because \text{合成関数の微分} \\
&=&\left. \frac{1}{2}y^{\frac{1}{2}-1}\right\vert _{y=3x-4}\cdot 3 \\
&=&\frac{1}{2}\left( 3x-4\right) ^{-\frac{1}{2}}\cdot 3 \\
&=&\frac{3}{2\left( 3x-4\right) ^{\frac{1}{2}}}
\end{eqnarray*}を定めます。

関数\(f:\mathbb{R} \supset \left( -3,+\infty \right) \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left( -3,+\infty\right) \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( \frac{4}{x+3}\right) ^{\frac{1}{2}}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は有理関数\(\frac{4}{x+3}\)と無理関数\(x^{\frac{1}{2}}\)の合成関数であることに注意してください。点\(a\in \left( -3,+\infty \right) \)を任意に選んだとき、\(\frac{4}{a+3}>0\)であるため、点\(\frac{4}{a+3}\)は\(x^{\frac{1}{2}}\)の定義域\(\mathbb{R} _{+}\)の内点であるため、\(f\)は点\(a\)において微分可能です。\(\left( -3,+\infty \right) \)上の任意の点において同様であるため、\(f\)は\(\left( -3,+\infty \right) \)上で微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\left(-3,+\infty \right) \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left( -3,+\infty\right) \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&\frac{d}{dx}\left( \frac{4}{x+3}\right) ^{\frac{1}{2}} \\
&=&\left. \frac{d}{dy}\left( y^{\frac{1}{2}}\right) \right\vert _{y=\frac{4}{x+3}}\cdot \frac{d}{dx}\left( \frac{4}{x+3}\right) \quad \because \text{合成関数の微分} \\
&=&\left. \frac{1}{2}y^{\frac{1}{2}-1}\right\vert _{y=\frac{4}{x+3}}\cdot
\frac{-4}{\left( x+3\right) ^{2}} \\
&=&-\left( \frac{1}{x+3}\right) ^{\frac{3}{2}}
\end{eqnarray*}を定めます。

半径\(r>0\)の球の体積は、\begin{equation*}V=\frac{4}{3}\pi r^{3}
\end{equation*}です。この式を\(r\)について解くと、\begin{equation*}r=\left( \frac{3}{4\pi }V\right) ^{\frac{1}{3}}
\end{equation*}となります。つまり、体積が\(V>0\)であるような球の半径は、\begin{equation*}r\left( V\right) =\left( \frac{3}{4\pi }V\right) ^{\frac{1}{3}}
\end{equation*}です。\(r\)は微分可能であり、導関数\(r^{\prime }\)はそれぞれの\(V>0\)に対して、\begin{eqnarray*}r^{\prime }\left( V\right) &=&\frac{d}{dV}\left( \frac{3}{4\pi }V\right) ^{\frac{1}{3}} \\
&=&\frac{1}{3}\left( \frac{3}{4\pi }V\right) ^{-\frac{2}{3}}\left( \frac{3}{4\pi }\right) \\
&=&\frac{1}{3}\left( \frac{3}{4\pi }\right) ^{\frac{1}{3}}V^{-\frac{2}{3}}
\end{eqnarray*}を定めます。これは減少関数ですが、以上の事実は、体積が大きいほど、そこから体積を増やした場合の半径の増加率は小さくなることを意味します。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値が、自然数\(n\in \mathbb{N} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{\frac{1}{n}}
\end{equation*}と表されるものとする。ただし、\begin{equation*}
X=\left\{
\begin{array}{cc}\mathbb{R} & \left( if\ n\text{は奇数}\right) \\ \mathbb{R} _{+} & \left( if\ n\text{は偶数}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}である。以下が成り立つ。

1. \(n\)が奇数であるものとする。点\(a\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)において右側微分可能であるとともに、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a+0\right) =\frac{1}{n}a^{\frac{1}{n}-1}\end{equation*}が成り立つ。したがって右側導関数\(f_{+}^{\prime }:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f_{+}^{\prime }\left( x\right) =\frac{1}{n}x^{\frac{1}{n}-1}
   \end{equation*}を定める。
2. \(n\)が奇数であるものとする。点\(a\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)において左側微分可能であるとともに、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a-0\right) =\frac{1}{n}a^{\frac{1}{n}-1}\end{equation*}が成り立つ。したがって左側導関数\(f_{-}^{\prime }:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f_{-}^{\prime }\left( x\right) =\frac{1}{n}x^{\frac{1}{n}-1}
   \end{equation*}を定める。
3. \(n\)が偶数であるものとする。点\(a\in \mathbb{R} _{++}\)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)において右側微分可能であるとともに、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a+0\right) =\frac{1}{n}a^{\frac{1}{n}-1}\end{equation*}が成り立つ。したがって右側導関数\(f_{+}^{\prime }:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、それぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}f_{+}^{\prime }\left( x\right) =\frac{1}{n}x^{\frac{1}{n}-1}
   \end{equation*}を定める。
4. \(n\)が偶数であるものとする。点\(a\in \mathbb{R} _{++}\)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)において左側微分可能であるとともに、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a-0\right) =\frac{1}{n}a^{\frac{1}{n}-1}\end{equation*}が成り立つ。したがって左側導関数\(f_{-}^{\prime }:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、それぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}f_{-}^{\prime }\left( x\right) =\frac{1}{n}x^{\frac{1}{n}-1}
   \end{equation*}を定める。

半径\(r>0\)の球の体積は、\begin{equation*}V=\frac{4}{3}\pi r^{3}
\end{equation*}です。この式を\(r\)について解くと、\begin{equation*}r=\left( \frac{3}{4\pi }V\right) ^{\frac{1}{3}}
\end{equation*}となります。つまり、体積が\(V>0\)であるような球の半径は、\begin{equation*}r\left( V\right) =\left( \frac{3}{4\pi }V\right) ^{\frac{1}{3}}
\end{equation*}です。\(V=\overline{V}>0\)における右側微分係数は、\begin{eqnarray*}r_{+}^{\prime }\left( \overline{V}\right) &=&\left. \frac{d^{+}}{dV}\left(
\frac{3}{4\pi }V\right) ^{\frac{1}{3}}\right\vert _{V=\overline{V}} \\
&=&\left. \left[ \frac{1}{3}\left( \frac{3}{4\pi }V\right) ^{-\frac{2}{3}}\left( \frac{3}{4\pi }\right) \right] \right\vert _{V=\overline{V}} \\
&=&\left. \left[ \frac{1}{3}\left( \frac{3}{4\pi }\right) ^{\frac{1}{3}}V^{-\frac{2}{3}}\right] \right\vert _{V=\overline{V}} \\
&=&\frac{1}{3}\left( \frac{3}{4\pi }\right) ^{\frac{1}{3}}\overline{V}^{-\frac{2}{3}}
\end{eqnarray*}ですが、以上の事実は、球の体積を\(\overline{V}\)から増やした場合、半径の増加率が\(\frac{1}{3}\left( \frac{3}{4\pi }\right) ^{\frac{1}{3}}\overline{V}^{-\frac{2}{3}}\)であることを意味します。

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( x^{2}-3x+1\right) ^{\frac{1}{3}}
\end{equation*}を定めるものとします。導関数を求めてください。

関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 1,-1\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 1,-1\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left[ \frac{x+1}{\left( 1-x\right) ^{3}}\right] ^{\frac{1}{3}}
\end{equation*}を定めるものとします。導関数を求めてください。