実数ベキ関数（実数指数の累乗関数）の微分

関数\(f:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して定める値が、\(p\not=0\)を満たす定数\(p\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{p}
\end{equation*}と表されるものとする。点\(a\in \mathbb{R} _{++}\)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)において微分可能であるとともに、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) =pa^{p-1}
\end{equation*}が成り立つ。

関数\(f:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して定める値が、\(p\not=0\)を満たす定数\(p\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{p}
\end{equation*}と表されるものとします。先の命題より\(f\)は微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( x\right) =px^{p-1}
\end{equation*}を定めます。

関数\(f:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{\sqrt{2}}
\end{equation*}を定めるものとします。先の命題より\(f\)は微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( x\right) =\sqrt{2}x^{\sqrt{2}-1}
\end{equation*}を定めます。

関数\(f:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{-\sqrt{2}}
\end{equation*}を定めるものとします。先の命題より\(f\)は微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( x\right) =-\sqrt{2}x^{-\sqrt{2}-1}
\end{equation*}を定めます。

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( x^{4}+x^{2}+1\right) ^{\pi }
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は多項式関数\(x^{4}+x^{2}+1\)と実数ベキ関数\(x^{\pi }\)の合成関数であるため微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&\left[ \left( x^{4}+x^{2}+1\right) ^{\pi }\right] ^{\prime }\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left. \left( y^{\pi }\right) ^{\prime }\right\vert
_{y=x^{4}+x^{2}+1}\cdot \left( x^{4}+x^{2}+1\right) ^{\prime }\quad \because
\text{合成関数の微分} \\
&=&\left. \pi y^{\pi -1}\right\vert _{y=x^{4}+x^{2}+1}\cdot \left(
4x^{3}+2x\right) \\
&=&\pi \left( x^{4}+x^{2}+1\right) ^{\pi -1}\cdot \left( 4x^{3}+2x\right)
\end{eqnarray*}を定めます。

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( \frac{x+1}{x^{2}+1}\right) ^{\sqrt{2}}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は有理関数\(\frac{x+1}{x^{2}+1}\)と実数ベキ関数\(x^{\sqrt{2}}\)の合成関数であるため微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&\left[ \left( \frac{x+1}{x^{2}+1}\right) ^{\sqrt{2}}\right] ^{\prime }\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left. \left( y^{\sqrt{2}}\right) ^{\prime }\right\vert _{y=\frac{x+1}{x^{2}+1}}\cdot \left( \frac{x+1}{x^{2}+1}\right) ^{\prime }\quad \because
\text{合成関数の微分} \\
&=&\left. \sqrt{2}y^{\sqrt{2}-1}\right\vert _{y=\frac{x+1}{x^{2}+1}}\cdot
\frac{\left( x+1\right) ^{\prime }\left( x^{2}+1\right) -\left( x+1\right)
\left( x^{2}+1\right) ^{\prime }}{\left( x^{2}+1\right) ^{2}} \\
&=&\sqrt{2}\left( \frac{x+1}{x^{2}+1}\right) ^{\sqrt{2}-1}\cdot \frac{\left(
x^{2}+1\right) -\left( x+1\right) \left( 2x\right) }{\left( x^{2}+1\right)
^{2}}
\end{eqnarray*}を定めます。

関数\(f:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して定める値が、\(p\not=0\)を満たす定数\(p\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{p}
\end{equation*}と表されるものとする。点\(a\in \mathbb{R} _{++}\)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)において右側微分可能であるとともに、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a+0\right) =pa^{p-1}
\end{equation*}が成り立つとともに、\(f\)は点\(a\)において左側微分可能であるとともに、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a-0\right) =pa^{p-1}
\end{equation*}が成り立つ。

関数\(f:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{+}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( x^{3}+1\right) ^{\sqrt{3}}
\end{equation*}を定めるものとします。定義域の内点\(x\in \mathbb{R} _{++}\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&\left[ \left( x^{3}+1\right) ^{\sqrt{3}}\right] ^{\prime }\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left. \left( y^{\sqrt{3}}\right) ^{\prime }\right\vert _{y=x^{3}+1}\cdot
\left( x^{3}+1\right) ^{\prime }\quad \because \text{合成関数の微分} \\
&=&\left. \sqrt{3}y^{\sqrt{3}-1}\right\vert _{y=x^{3}+1}\cdot 3x^{2} \\
&=&\sqrt{3}\left( x^{3}+1\right) ^{\sqrt{3}-1}\cdot 3x^{2} \\
&=&3\sqrt{3}x^{2}\left( x^{3}+1\right) ^{\sqrt{3}-1}
\end{eqnarray*}となります。定義域の端点\(0\)については、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( 0+0\right) &=&\lim_{h\rightarrow 0+}\frac{f\left(
h\right) -f\left( 0\right) }{h} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0+}\frac{\left( h^{3}+1\right) ^{\sqrt{3}}-1}{h} \\
&=&0
\end{eqnarray*}となります。したがって、\(f\)は\(\mathbb{R} _{+}\)上で微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{+}\)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( x\right) =3\sqrt{3}x^{2}\left( x^{3}+1\right) ^{\sqrt{3}-1}
\end{equation*}を定めます。

関数\(f:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\exp \left( x^{\pi }\right)
\end{equation*}を定めるものとします。導関数を求めてください。

関数\(f:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\ln \left( x^{\sqrt{3}}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。導関数を求めてください。

関数\(f:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{+}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( \sqrt{x}+1\right) ^{\sqrt{3}}
\end{equation*}を定めるものとします。導関数を求めてください。