実数ベキ関数（実数指数の累乗関数）の微分

関数\(f:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して定める値が、\(p\not=0\)を満たす定数\(p\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{p}
\end{equation*}と表されるものとする。点\(a\in \mathbb{R} _{++}\)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)において微分可能であるとともに、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) =pa^{p-1}
\end{equation*}が成り立つ。したがって導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、それぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( x\right) =px^{p-1}
\end{equation*}を定める。

関数\(f:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{\sqrt{2}}
\end{equation*}を定めるものとします。先の命題より\(f\)は微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( x\right) =\sqrt{2}x^{\sqrt{2}-1}
\end{equation*}を定めます。

関数\(f:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{-\sqrt{2}}
\end{equation*}を定めるものとします。先の命題より\(f\)は微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( x\right) =-\sqrt{2}x^{-\sqrt{2}-1}
\end{equation*}を定めます。

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( x^{4}+x^{2}+1\right) ^{\pi }
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は多項式関数\(x^{4}+x^{2}+1\)と実数ベキ関数\(x^{\pi }\)の合成関数であるため微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&\frac{d}{dx}\left( x^{4}+x^{2}+1\right) ^{\pi
}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left. \frac{d}{dy}y^{\pi }\right\vert _{y=x^{4}+x^{2}+1}\cdot \frac{d}{dx}\left( x^{4}+x^{2}+1\right) \quad \because \text{合成関数の微分} \\
&=&\left. \pi y^{\pi -1}\right\vert _{y=x^{4}+x^{2}+1}\cdot \left(
4x^{3}+2x\right) \\
&=&\pi \left( x^{4}+x^{2}+1\right) ^{\pi -1}\cdot \left( 4x^{3}+2x\right)
\end{eqnarray*}を定めます。

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( \frac{x+1}{x^{2}+1}\right) ^{\sqrt{2}}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は有理関数\(\frac{x+1}{x^{2}+1}\)と実数ベキ関数\(x^{\sqrt{2}}\)の合成関数であるため微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&\frac{d}{dx}\left( \frac{x+1}{x^{2}+1}\right)
^{\sqrt{2}}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left. \frac{d}{dy}y^{\sqrt{2}}\right\vert _{y=\frac{x+1}{x^{2}+1}}\cdot
\frac{d}{dx}\frac{x+1}{x^{2}+1}\quad \because \text{合成関数の微分} \\
&=&\left. \sqrt{2}y^{\sqrt{2}-1}\right\vert _{y=\frac{x+1}{x^{2}+1}}\cdot
\frac{\left( x^{2}+1\right) -\left( x+1\right) \left( 2x\right) }{\left(
x^{2}+1\right) ^{2}} \\
&=&\sqrt{2}\left( \frac{x+1}{x^{2}+1}\right) ^{\sqrt{2}-1}\cdot \frac{\left(
x^{2}+1\right) -\left( x+1\right) \left( 2x\right) }{\left( x^{2}+1\right)
^{2}}
\end{eqnarray*}を定めます。

関数\(f:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して定める値が、\(p\not=0\)を満たす定数\(p\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{p}
\end{equation*}と表されるものとする。以下が成り立つ。

1. 点\(a\in \mathbb{R} _{++}\)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)において右側微分可能であるとともに、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a+0\right) =pa^{p-1}\end{equation*}が成り立つ。したがって右側導関数\(f_{+}^{\prime }:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、それぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}f_{+}^{\prime }\left( x\right) =px^{p-1}
   \end{equation*}を定める。
2. 点\(a\in \mathbb{R} _{++}\)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)において左側微分可能であるとともに、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a-0\right) =pa^{p-1}\end{equation*}が成り立つ。したがって左側導関数\(f_{+}^{\prime }:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、それぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}f_{-}^{\prime }\left( x\right) =px^{p-1}
   \end{equation*}を定める。

あるセンサーは入力量\(x\geq 0\)が\(1\)未満の場合には反応せず、\(1\)以上の場合には反応するものとし、具体的には、センサーの反応量が、\begin{equation*}S\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ 0<x<1\right) \\
x^{\sqrt{2}} & \left( if\ x\geq 1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}であるものとします。点\(1\)において、\begin{eqnarray*}S_{+}^{\prime }\left( 1\right) &=&\left. \frac{d^{+}}{dx}S\left( s\right)
\right\vert _{s=1} \\
&=&\left. \frac{d^{+}}{dx}x^{\sqrt{2}}\right\vert _{s=1} \\
&=&\left. \sqrt{2}x^{\sqrt{2}-1}\right\vert _{s=1} \\
&=&\sqrt{2}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。つまり、入力量が\(1\)である場合、そこから入力量を増やした場合の反応量の増加速度は\(\sqrt{2}\)です。

関数\(f:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\exp \left( x^{\pi }\right)
\end{equation*}を定めるものとします。導関数を求めてください。

関数\(f:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\ln \left( x^{\sqrt{3}}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。導関数を求めてください。

関数\(f:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{+}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( \sqrt{x}+1\right) ^{\sqrt{3}}
\end{equation*}を定めるものとします。導関数を求めてください。

関数\(f:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{\sqrt{2}}
\end{equation*}を定めるものとします。以下の問いに答えてください。

1. \(x=1\)における\(f\left( x\right) \)の1次の線型近似式を求めてください。
2. 問1の結果を踏まえた上で、以下の値\begin{equation*}1.1^{\sqrt{2}}
   \end{equation*}の近似値を求めてください。