マクローリンの定理を用いて近似値を求める
区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)の定義域\(I\)が点\(0\)を内点として含むとともに、\(f\)が区間\(I\)において\(n\)階微分可能である場合には、マクローリンの定理より、点\(0\)とは異なる定義域上の点\(x\in I\backslash \left\{ 0\right\} \)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{eqnarray*}f\left( x\right) &=&P_{n-1,0}\left( x\right) +R_{n,0}\left( x\right) \\
&=&\sum_{k=0}^{n-1}\frac{f^{\left( k\right) }\left( 0\right) }{k!}\cdot
x^{k}+\frac{f^{\left( n\right) }\left( \theta x\right) }{n!}x^{n}
\end{eqnarray*}を満たす実数\(\theta \in \left(0,1\right) \)が存在することが保証されます。つまり、関数\(f\)が定める値と近似多項式\(P\)が定める値の間には近似関係\begin{eqnarray*}f\left( x\right) &\approx &P_{n-1,0}\left( x\right) \\
&=&\sum_{k=0}^{n-1}\frac{f^{\left( k\right) }\left( 0\right) }{k!}\cdot x^{k}
\end{eqnarray*}が成立するとともに、両者の誤差が剰余項\begin{eqnarray*}
R_{n,0}\left( x\right) &=&f\left( x\right) -P_{n-1,0}\left( x\right) \\
&=&\frac{f^{\left( n\right) }\left( \theta x\right) }{n!}x^{n}
\end{eqnarray*}として評価されます。\(n\)が大きくなるほど剰余項は小さくなり、したがって近似の精度は高くなります。
以上の議論において\(x\)の値を具体的に指定することにより、\(f\left(x\right) \)の近似値を求めることができます。以下が具体例です。
例（ネイピア数の近似）
自然指数関数\(e^{x}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)に関するマクローリンの定理より、点\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}e^{x} &=&P_{n-1,0}\left( x\right) +R_{n,0}\left( x\right) \\
&=&\sum_{k=0}^{n-1}\frac{x^{k}}{k!}+\frac{e^{\theta x}}{n!}x^{n}
\end{eqnarray*}を満たす\(\theta \in \left( 0,1\right) \)が存在します。\(1\not=0\)であるため、\(x=1\)とすることにより、\begin{eqnarray*}e &=&P_{n-1,0}\left( 1\right) +R_{n,0}\left( 1\right) \\
&=&\sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{k!}+\frac{e^{\theta }}{n!}
\end{eqnarray*}を得ます。したがって、\(n=2\)を採用する場合には、\begin{eqnarray*}e &=&P_{1,0}\left( 1\right) +R_{2,0}\left( 1\right) \\
&=&\sum_{k=0}^{1}\frac{1}{k!}+\frac{e^{\theta }}{2!} \\
&=&\left( 1+1\right) +\frac{e^{\theta }}{2!} \\
&=&2+\frac{e^{\theta }}{2}
\end{eqnarray*}となります。つまり、\(e\)の近似値は\(2\)であり、両者の誤差が\(\frac{e^{\theta }}{2}\)であるということです。\(0<\theta <1\)であるとともに\(e\)の定義より\(2\leq e\leq 3\)であるため、誤差の上限について、\begin{eqnarray*}0 &<&\frac{e^{\theta }}{2} \\
&<&\frac{e}{2}\quad \because \theta <1 \\
&\leq &\frac{3}{2}\quad \because 2\leq e\leq 3 \\
&=&1.5
\end{eqnarray*}を得ます。したがって、\(n=2\)を採用した場合に\(e\)の真の値が収まる範囲は、\begin{equation*}2<e<2+1.5
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
2<e<3.5
\end{equation*}であることが明らかになりました。近似の精度を高めるために\(n=3\)を採用する場合には、\begin{eqnarray*}e &=&P_{2,0}\left( 1\right) +R_{3,0}\left( 1\right) \\
&=&\sum_{k=0}^{2}\frac{1}{k!}+\frac{e^{\theta }}{3!} \\
&=&\left( 1+1+\frac{1}{2}\right) +\frac{e^{\theta }}{6} \\
&=&\frac{5}{2}+\frac{e^{\theta }}{6}
\end{eqnarray*}となります。つまり、\(e\)の近似値は\(\frac{5}{2}\)であり、両者の誤差が\(\frac{e^{\theta }}{6}\)であるということです。\(0<\theta <1\)であるとともに\(e\)の定義より\(2\leq e\leq 3\)であるため、誤差の上限について、\begin{eqnarray*}0 &<&\frac{e^{\theta }}{6} \\
&<&\frac{e}{6}\quad \because \theta <1 \\
&\leq &\frac{3}{6}\quad \because 2\leq e\leq 3 \\
&=&\frac{1}{2}
\end{eqnarray*}を得ます。したがって、\(n=3\)を採用した場合に\(e\)の真の値が収まる範囲は、\begin{equation*}\frac{5}{2}<e<\frac{5}{2}+\frac{1}{2}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\frac{5}{2}<e<3
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
2.5<e<3
\end{equation*}であることが明らかになりました。さらに近似の精度を高めるために\(n=4\)を採用する場合には、\begin{eqnarray*}e &=&P_{3,0}\left( 1\right) +R_{4,0}\left( 1\right) \\
&=&\sum_{k=0}^{3}\frac{1}{k!}+\frac{e^{\theta }}{4!} \\
&=&\left( 1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}\right) +\frac{e^{\theta }}{24} \\
&=&\frac{8}{3}+\frac{e^{\theta }}{24}
\end{eqnarray*}となります。つまり、\(e\)の近似値は\(\frac{8}{3}\)であり、両者の誤差が\(\frac{e^{\theta }}{24}\)であるということです。\(0<\theta <1\)であるとともに\(e\)の定義より\(2\leq e\leq 3\)であるため、誤差の上限について、\begin{eqnarray*}0 &<&\frac{e^{\theta }}{24} \\
&<&\frac{e}{24}\quad \because \theta <1 \\
&\leq &\frac{3}{24}\quad \because 2\leq e\leq 3 \\
&=&\frac{1}{8}
\end{eqnarray*}を得ます。したがって、\(n=4\)を採用した場合に\(e\)の真の値が収まる範囲は、\begin{equation*}\frac{8}{3}<e<\frac{8}{3}+\frac{1}{8}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\frac{8}{3}<e<\frac{67}{24}
\end{equation*}であることが明らかになりました。ただし、\begin{eqnarray*}
\frac{8}{3} &=&2.6666\cdots >2.665 \\
\frac{67}{24} &=&2.7916\cdots <2.7917
\end{eqnarray*}であることを踏まえると、\begin{equation*}
2.665<e<2.7917
\end{equation*}が成り立ちます。この段階において、\(e\)の整数部分が\(2\)であることが確定します。さらに近似の精度を高めるために\(n=5\)を採用する場合には、\begin{eqnarray*}e &=&P_{5,0}\left( 1\right) +R_{5,0}\left( 1\right) \\
&=&\sum_{k=0}^{4}\frac{1}{k!}+\frac{e^{\theta }}{5!} \\
&=&\left( 1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}\right) +\frac{e^{\theta }}{120} \\
&=&\frac{65}{24}+\frac{e^{\theta }}{120}
\end{eqnarray*}となります。つまり、\(e\)の近似値は\(\frac{65}{24}\)であり、両者の誤差が\(\frac{e^{\theta }}{120}\)であるということです。\(0<\theta <1\)であるとともに\(e\)の定義より\(2\leq e\leq 3\)であるため、誤差の上限について、\begin{eqnarray*}0 &<&\frac{e^{\theta }}{120} \\
&<&\frac{e}{120}\quad \because \theta <1 \\
&\leq &\frac{3}{120}\quad \because 2\leq e\leq 3 \\
&=&\frac{1}{40}
\end{eqnarray*}を得ます。したがって、\(n=5\)を採用した場合に\(e\)の真の値が収まる範囲は、\begin{equation*}\frac{65}{24}<e<\frac{65}{24}+\frac{1}{40}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\frac{65}{24}<e<\frac{41}{15}
\end{equation*}であることが明らかになりました。ただし、\begin{eqnarray*}
\frac{8}{3} &=&2.7083\cdots >2.7082 \\
\frac{41}{15} &=&2.7333\cdots <2.7334
\end{eqnarray*}であることを踏まえると、\begin{equation*}
2.7082<e<2.7334
\end{equation*}が成り立ちます。この段階において、\(e\)の小数第1位が\(7\)であることが確定します。以降も同様です。
&=&\sum_{k=0}^{n-1}\frac{x^{k}}{k!}+\frac{e^{\theta x}}{n!}x^{n}
\end{eqnarray*}を満たす\(\theta \in \left( 0,1\right) \)が存在します。\(1\not=0\)であるため、\(x=1\)とすることにより、\begin{eqnarray*}e &=&P_{n-1,0}\left( 1\right) +R_{n,0}\left( 1\right) \\
&=&\sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{k!}+\frac{e^{\theta }}{n!}
\end{eqnarray*}を得ます。したがって、\(n=2\)を採用する場合には、\begin{eqnarray*}e &=&P_{1,0}\left( 1\right) +R_{2,0}\left( 1\right) \\
&=&\sum_{k=0}^{1}\frac{1}{k!}+\frac{e^{\theta }}{2!} \\
&=&\left( 1+1\right) +\frac{e^{\theta }}{2!} \\
&=&2+\frac{e^{\theta }}{2}
\end{eqnarray*}となります。つまり、\(e\)の近似値は\(2\)であり、両者の誤差が\(\frac{e^{\theta }}{2}\)であるということです。\(0<\theta <1\)であるとともに\(e\)の定義より\(2\leq e\leq 3\)であるため、誤差の上限について、\begin{eqnarray*}0 &<&\frac{e^{\theta }}{2} \\
&<&\frac{e}{2}\quad \because \theta <1 \\
&\leq &\frac{3}{2}\quad \because 2\leq e\leq 3 \\
&=&1.5
\end{eqnarray*}を得ます。したがって、\(n=2\)を採用した場合に\(e\)の真の値が収まる範囲は、\begin{equation*}2<e<2+1.5
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
2<e<3.5
\end{equation*}であることが明らかになりました。近似の精度を高めるために\(n=3\)を採用する場合には、\begin{eqnarray*}e &=&P_{2,0}\left( 1\right) +R_{3,0}\left( 1\right) \\
&=&\sum_{k=0}^{2}\frac{1}{k!}+\frac{e^{\theta }}{3!} \\
&=&\left( 1+1+\frac{1}{2}\right) +\frac{e^{\theta }}{6} \\
&=&\frac{5}{2}+\frac{e^{\theta }}{6}
\end{eqnarray*}となります。つまり、\(e\)の近似値は\(\frac{5}{2}\)であり、両者の誤差が\(\frac{e^{\theta }}{6}\)であるということです。\(0<\theta <1\)であるとともに\(e\)の定義より\(2\leq e\leq 3\)であるため、誤差の上限について、\begin{eqnarray*}0 &<&\frac{e^{\theta }}{6} \\
&<&\frac{e}{6}\quad \because \theta <1 \\
&\leq &\frac{3}{6}\quad \because 2\leq e\leq 3 \\
&=&\frac{1}{2}
\end{eqnarray*}を得ます。したがって、\(n=3\)を採用した場合に\(e\)の真の値が収まる範囲は、\begin{equation*}\frac{5}{2}<e<\frac{5}{2}+\frac{1}{2}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\frac{5}{2}<e<3
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
2.5<e<3
\end{equation*}であることが明らかになりました。さらに近似の精度を高めるために\(n=4\)を採用する場合には、\begin{eqnarray*}e &=&P_{3,0}\left( 1\right) +R_{4,0}\left( 1\right) \\
&=&\sum_{k=0}^{3}\frac{1}{k!}+\frac{e^{\theta }}{4!} \\
&=&\left( 1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}\right) +\frac{e^{\theta }}{24} \\
&=&\frac{8}{3}+\frac{e^{\theta }}{24}
\end{eqnarray*}となります。つまり、\(e\)の近似値は\(\frac{8}{3}\)であり、両者の誤差が\(\frac{e^{\theta }}{24}\)であるということです。\(0<\theta <1\)であるとともに\(e\)の定義より\(2\leq e\leq 3\)であるため、誤差の上限について、\begin{eqnarray*}0 &<&\frac{e^{\theta }}{24} \\
&<&\frac{e}{24}\quad \because \theta <1 \\
&\leq &\frac{3}{24}\quad \because 2\leq e\leq 3 \\
&=&\frac{1}{8}
\end{eqnarray*}を得ます。したがって、\(n=4\)を採用した場合に\(e\)の真の値が収まる範囲は、\begin{equation*}\frac{8}{3}<e<\frac{8}{3}+\frac{1}{8}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\frac{8}{3}<e<\frac{67}{24}
\end{equation*}であることが明らかになりました。ただし、\begin{eqnarray*}
\frac{8}{3} &=&2.6666\cdots >2.665 \\
\frac{67}{24} &=&2.7916\cdots <2.7917
\end{eqnarray*}であることを踏まえると、\begin{equation*}
2.665<e<2.7917
\end{equation*}が成り立ちます。この段階において、\(e\)の整数部分が\(2\)であることが確定します。さらに近似の精度を高めるために\(n=5\)を採用する場合には、\begin{eqnarray*}e &=&P_{5,0}\left( 1\right) +R_{5,0}\left( 1\right) \\
&=&\sum_{k=0}^{4}\frac{1}{k!}+\frac{e^{\theta }}{5!} \\
&=&\left( 1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}\right) +\frac{e^{\theta }}{120} \\
&=&\frac{65}{24}+\frac{e^{\theta }}{120}
\end{eqnarray*}となります。つまり、\(e\)の近似値は\(\frac{65}{24}\)であり、両者の誤差が\(\frac{e^{\theta }}{120}\)であるということです。\(0<\theta <1\)であるとともに\(e\)の定義より\(2\leq e\leq 3\)であるため、誤差の上限について、\begin{eqnarray*}0 &<&\frac{e^{\theta }}{120} \\
&<&\frac{e}{120}\quad \because \theta <1 \\
&\leq &\frac{3}{120}\quad \because 2\leq e\leq 3 \\
&=&\frac{1}{40}
\end{eqnarray*}を得ます。したがって、\(n=5\)を採用した場合に\(e\)の真の値が収まる範囲は、\begin{equation*}\frac{65}{24}<e<\frac{65}{24}+\frac{1}{40}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\frac{65}{24}<e<\frac{41}{15}
\end{equation*}であることが明らかになりました。ただし、\begin{eqnarray*}
\frac{8}{3} &=&2.7083\cdots >2.7082 \\
\frac{41}{15} &=&2.7333\cdots <2.7334
\end{eqnarray*}であることを踏まえると、\begin{equation*}
2.7082<e<2.7334
\end{equation*}が成り立ちます。この段階において、\(e\)の小数第1位が\(7\)であることが確定します。以降も同様です。
近似の精度を要求された場合の対応
近似の精度を高めるためには\(n\)の値を大きくすれば良いのですが、\(n\)を大きくするほど計算が面倒になります。与えられた近似の精度と剰余項\begin{equation*}\frac{f^{\left( n\right) }\left( \theta x\right) }{n!}x^{n}
\end{equation*}を観察しながら、適切な\(n\)の値を選択する必要があります。
例（ネイピア数の近似）
自然指数関数\(e^{x}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)に関するマクローリンの定理より、点\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}e^{x} &=&P_{n-1,0}\left( x\right) +R_{n,0}\left( x\right) \\
&=&\sum_{k=0}^{n-1}\frac{x^{k}}{k!}+\frac{e^{\theta x}}{n!}x^{n}
\end{eqnarray*}を満たす\(\theta \in \left( 0,1\right) \)が存在します。\(1\not=0\)であるため、\(x=1\)とすることにより、\begin{eqnarray*}e &=&P_{n-1,0}\left( 1\right) +R_{n,0}\left( 1\right) \\
&=&\sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{k!}+\frac{e^{\theta }}{n!}
\end{eqnarray*}を得ます。では、\(e\)の小数第3位までの正確な値を特定するためには\(n\)の値として何を採用すべきでしょうか。誤差が小数第4位に収まれば目標は達成されます。\(0<\theta <1\)であるとともに\(e\)の定義より\(2\leq e\leq 3\)であるため、誤差の上限について、\begin{eqnarray*}0 &<&\frac{e^{\theta }}{n!} \\
&<&\frac{e}{n!}\quad \because \theta <1 \\
&\leq &\frac{3}{n!}\quad \because 2\leq e\leq 3
\end{eqnarray*}が成り立ちます。さらに、\begin{eqnarray*}
\frac{3}{6!} &=&\frac{1}{240} \\
\frac{3}{7!} &=&\frac{1}{1680}
\end{eqnarray*}であるため、\(n=7\)が適切であるという推測が立ちます。具体的には、\begin{eqnarray*}e &=&P_{6,0}\left( 1\right) +R_{7,0}\left( 1\right) \\
&=&\sum_{k=0}^{6}\frac{1}{k!}+\frac{e^{\theta }}{7!} \\
&=&\left( 1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}+\frac{1}{120}+\frac{1}{720}\right) +\frac{e^{\theta }}{5040} \\
&=&\frac{1957}{720}+\frac{e^{\theta }}{5040}
\end{eqnarray*}となります。つまり、\(e\)の近似値は\(\frac{1957}{720}\)であり、両者の誤差が\(\frac{e^{\theta }}{5040}\)であるということです。\(0<\theta <1\)であるとともに\(e\)の定義より\(2\leq e\leq 3\)であるため、誤差の上限について、\begin{eqnarray*}0 &<&\frac{e^{\theta }}{5040} \\
&<&\frac{e}{5040}\quad \because \theta <1 \\
&\leq &\frac{3}{5040}\quad \because 2\leq e\leq 3 \\
&=&\frac{1}{1680}
\end{eqnarray*}を得ます。したがって、\(n=7\)を採用した場合に\(e\)の真の値が収まる範囲は、\begin{equation*}\frac{1957}{720}<e<\frac{1957}{720}+\frac{1}{1680}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\frac{1957}{720}<e<\frac{6851}{2520}
\end{equation*}であることが明らかになりました。ただし、\begin{eqnarray*}
\frac{1957}{720} &=&2.71805\cdots >2.71804 \\
\frac{6851}{2520} &=&2.71865\cdots <2.71866
\end{eqnarray*}であることを踏まえると、\begin{equation*}
2.71804<e<2.71866
\end{equation*}が成り立ちます。この段階において、\(e\)の小数第3位までの値が\(2.718\)であることが確定します。
&=&\sum_{k=0}^{n-1}\frac{x^{k}}{k!}+\frac{e^{\theta x}}{n!}x^{n}
\end{eqnarray*}を満たす\(\theta \in \left( 0,1\right) \)が存在します。\(1\not=0\)であるため、\(x=1\)とすることにより、\begin{eqnarray*}e &=&P_{n-1,0}\left( 1\right) +R_{n,0}\left( 1\right) \\
&=&\sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{k!}+\frac{e^{\theta }}{n!}
\end{eqnarray*}を得ます。では、\(e\)の小数第3位までの正確な値を特定するためには\(n\)の値として何を採用すべきでしょうか。誤差が小数第4位に収まれば目標は達成されます。\(0<\theta <1\)であるとともに\(e\)の定義より\(2\leq e\leq 3\)であるため、誤差の上限について、\begin{eqnarray*}0 &<&\frac{e^{\theta }}{n!} \\
&<&\frac{e}{n!}\quad \because \theta <1 \\
&\leq &\frac{3}{n!}\quad \because 2\leq e\leq 3
\end{eqnarray*}が成り立ちます。さらに、\begin{eqnarray*}
\frac{3}{6!} &=&\frac{1}{240} \\
\frac{3}{7!} &=&\frac{1}{1680}
\end{eqnarray*}であるため、\(n=7\)が適切であるという推測が立ちます。具体的には、\begin{eqnarray*}e &=&P_{6,0}\left( 1\right) +R_{7,0}\left( 1\right) \\
&=&\sum_{k=0}^{6}\frac{1}{k!}+\frac{e^{\theta }}{7!} \\
&=&\left( 1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}+\frac{1}{120}+\frac{1}{720}\right) +\frac{e^{\theta }}{5040} \\
&=&\frac{1957}{720}+\frac{e^{\theta }}{5040}
\end{eqnarray*}となります。つまり、\(e\)の近似値は\(\frac{1957}{720}\)であり、両者の誤差が\(\frac{e^{\theta }}{5040}\)であるということです。\(0<\theta <1\)であるとともに\(e\)の定義より\(2\leq e\leq 3\)であるため、誤差の上限について、\begin{eqnarray*}0 &<&\frac{e^{\theta }}{5040} \\
&<&\frac{e}{5040}\quad \because \theta <1 \\
&\leq &\frac{3}{5040}\quad \because 2\leq e\leq 3 \\
&=&\frac{1}{1680}
\end{eqnarray*}を得ます。したがって、\(n=7\)を採用した場合に\(e\)の真の値が収まる範囲は、\begin{equation*}\frac{1957}{720}<e<\frac{1957}{720}+\frac{1}{1680}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\frac{1957}{720}<e<\frac{6851}{2520}
\end{equation*}であることが明らかになりました。ただし、\begin{eqnarray*}
\frac{1957}{720} &=&2.71805\cdots >2.71804 \\
\frac{6851}{2520} &=&2.71865\cdots <2.71866
\end{eqnarray*}であることを踏まえると、\begin{equation*}
2.71804<e<2.71866
\end{equation*}が成り立ちます。この段階において、\(e\)の小数第3位までの値が\(2.718\)であることが確定します。
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