高階微分可能な関数の差
定義域を共有する2つの関数\begin{eqnarray*}
f &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \\
g &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}が与えられたとき、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( f-g\right) \left( x\right) =f\left( x\right) -g\left( x\right)
\end{equation*}を値として定める新たな関数\begin{equation*}
f-g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。
関数\(f,g\)がともに定義域の内点\(a\in X^{i}\)において\(n\)階微分可能ならば、\(f-g\)もまた点\(a\)において\(n\)階微分可能であることが保証されるとともに、これらの関数の\(n\)階微分係数の間には以下の関係\begin{equation*}(f-g)^{\left( n\right) }\left( a\right) =f^{\left( n\right) }\left( a\right)
-g^{\left( n\right) }\left( a\right)
\end{equation*}が成立します。
したがって、何らかの関数\(f,g\)の差の形をしている関数\(f-g\)の高階微分可能性を検討する際には、高階微分の定義にさかのぼって考える前に、まずは\(f\)と\(g\)を分けた上で、それぞれが高階微分可能であることを確認すればよいということになります。さらに、関数\(f,g\)がともに高階微分可能である場合、\(f\)と\(g\)の高階微分係数どうしの差をとれば関数\(f-g\)の高階微分係数が得られます。
命題（高階微分可能な関数の差）
関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから関数\(f-g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(f\)と\(g\)がともに定義域の内点\(a\in X^{i}\)において\(n\)階微分可能であるならば、\(f-g\)もまた点\(a\)において\(n\)階微分可能であり、そこでの\(n\)階微分係数は、\begin{equation*}(f-g)^{\left( n\right) }\left( a\right) =f^{\left( n\right) }\left( a\right)
-g^{\left( n\right) }\left( a\right)
\end{equation*}を満たす。
-g^{\left( n\right) }\left( a\right)
\end{equation*}を満たす。
例（高階微分可能な関数の差）
関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから関数\(f-g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義します。\(f\)が定義域\(X\)上の任意の点において\(n\)階微分可能であるものとします。すると先の命題より\(f-g\)もまた\(X\)上の任意の点において\(n\)階微分可能であるとともに、\(n\)階導関数\(\left( f-g\right) ^{\left( n\right) }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}\left( f-g\right) ^{\left( n\right) }\left( x\right) =f^{\left( n\right)
}\left( x\right) -g^{\left( n\right) }\left( x\right)
\end{equation*}を定めます。ただし、\(f^{\left( n\right) },g^{\left( n\right) }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は\(f,g\)の\(n\)階導関数です。
}\left( x\right) -g^{\left( n\right) }\left( x\right)
\end{equation*}を定めます。ただし、\(f^{\left( n\right) },g^{\left( n\right) }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は\(f,g\)の\(n\)階導関数です。
例（高階微分可能な関数の差）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\sin \left( x\right) -\cos \left( x\right)
\end{equation*}を定めるものとします。正弦関数に関しては、\begin{eqnarray*}
\frac{d}{dx}\sin \left( x\right) &=&\cos \left( x\right) \\
\frac{d^{2}}{dx^{2}}\sin \left( x\right) &=&\frac{d}{dx}\cos \left(
x\right) =-\sin \left( x\right) \\
\frac{d^{3}}{dx^{3}}\sin \left( x\right) &=&\frac{d}{dx}\left[ -\sin \left(
x\right) \right] =-\cos \left( x\right) \\
\frac{d^{4}}{dx^{4}}\sin \left( x\right) &=&\frac{d}{dx}\left[ -\cos \left(
x\right) \right] =\sin \left( x\right) \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}となるため、\(m\in \mathbb{Z} _{+}\)について、\begin{equation}\frac{d^{n}}{dx^{n}}\sin \left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\sin \left( x\right) & \left( if\ n=4m\right) \\
\cos \left( x\right) & \left( if\ n=4m+1\right) \\
-\sin \left( x\right) & \left( if\ n=4m+2\right) \\
-\cos \left( x\right) & \left( if\ n=4m+3\right)
\end{array}\right. \quad \cdots (1)
\end{equation}を得ます。余弦関数に関しては、\begin{eqnarray*}
\frac{d}{dx}\cos \left( x\right) &=&-\sin \left( x\right) \\
\frac{d^{2}}{dx^{2}}\cos \left( x\right) &=&\frac{d}{dx}\left[ -\sin \left(
x\right) \right] =-\cos \left( x\right) \\
\frac{d^{3}}{dx^{3}}\cos \left( x\right) &=&\frac{d}{dx}\left[ -\cos \left(
x\right) \right] =\sin \left( x\right) \\
\frac{d^{4}}{dx^{4}}\cos \left( x\right) &=&\frac{d}{dx}\sin \left(
x\right) =\cos \left( x\right) \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}となるため、\(m\in \mathbb{Z} _{+}\)について、\begin{equation}\frac{d^{n}}{dx^{n}}\cos \left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\cos \left( x\right) & \left( if\ n=4m\right) \\
-\sin \left( x\right) & \left( if\ n=4m+1\right) \\
-\cos \left( x\right) & \left( if\ n=4m+2\right) \\
\sin \left( x\right) & \left( if\ n=4m+3\right)
\end{array}\right. \quad \cdots (1)
\end{equation}を得ます。したがって、\(f\)は\(\mathbb{R} \)上で微分可能であり、\(n\)階導関数\(f^{\left( n\right) }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\left( n\right) }\left( x\right) &=&\frac{d^{n}}{dx^{n}}\left[ \sin
\left( x\right) -\cos \left( x\right) \right] \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\frac{d^{n}}{dx^{n}}\sin \left( x\right) -\frac{d^{n}}{dx^{n}}\cos \left(
x\right) \quad \because \text{和の法則} \\
&=&\left\{
\begin{array}{cl}
\sin \left( x\right) -\cos \left( x\right) & \left( if\ n=4m\right) \\
\cos \left( x\right) +\sin \left( x\right) & \left( if\ n=4m+1\right) \\
-\sin \left( x\right) +\cos \left( x\right) & \left( if\ n=4m+2\right) \\
-\cos \left( x\right) -\sin \left( x\right) & \left( if\ n=4m+3\right)
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}を定めます。
\end{equation*}を定めるものとします。正弦関数に関しては、\begin{eqnarray*}
\frac{d}{dx}\sin \left( x\right) &=&\cos \left( x\right) \\
\frac{d^{2}}{dx^{2}}\sin \left( x\right) &=&\frac{d}{dx}\cos \left(
x\right) =-\sin \left( x\right) \\
\frac{d^{3}}{dx^{3}}\sin \left( x\right) &=&\frac{d}{dx}\left[ -\sin \left(
x\right) \right] =-\cos \left( x\right) \\
\frac{d^{4}}{dx^{4}}\sin \left( x\right) &=&\frac{d}{dx}\left[ -\cos \left(
x\right) \right] =\sin \left( x\right) \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}となるため、\(m\in \mathbb{Z} _{+}\)について、\begin{equation}\frac{d^{n}}{dx^{n}}\sin \left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\sin \left( x\right) & \left( if\ n=4m\right) \\
\cos \left( x\right) & \left( if\ n=4m+1\right) \\
-\sin \left( x\right) & \left( if\ n=4m+2\right) \\
-\cos \left( x\right) & \left( if\ n=4m+3\right)
\end{array}\right. \quad \cdots (1)
\end{equation}を得ます。余弦関数に関しては、\begin{eqnarray*}
\frac{d}{dx}\cos \left( x\right) &=&-\sin \left( x\right) \\
\frac{d^{2}}{dx^{2}}\cos \left( x\right) &=&\frac{d}{dx}\left[ -\sin \left(
x\right) \right] =-\cos \left( x\right) \\
\frac{d^{3}}{dx^{3}}\cos \left( x\right) &=&\frac{d}{dx}\left[ -\cos \left(
x\right) \right] =\sin \left( x\right) \\
\frac{d^{4}}{dx^{4}}\cos \left( x\right) &=&\frac{d}{dx}\sin \left(
x\right) =\cos \left( x\right) \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}となるため、\(m\in \mathbb{Z} _{+}\)について、\begin{equation}\frac{d^{n}}{dx^{n}}\cos \left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\cos \left( x\right) & \left( if\ n=4m\right) \\
-\sin \left( x\right) & \left( if\ n=4m+1\right) \\
-\cos \left( x\right) & \left( if\ n=4m+2\right) \\
\sin \left( x\right) & \left( if\ n=4m+3\right)
\end{array}\right. \quad \cdots (1)
\end{equation}を得ます。したがって、\(f\)は\(\mathbb{R} \)上で微分可能であり、\(n\)階導関数\(f^{\left( n\right) }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\left( n\right) }\left( x\right) &=&\frac{d^{n}}{dx^{n}}\left[ \sin
\left( x\right) -\cos \left( x\right) \right] \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\frac{d^{n}}{dx^{n}}\sin \left( x\right) -\frac{d^{n}}{dx^{n}}\cos \left(
x\right) \quad \because \text{和の法則} \\
&=&\left\{
\begin{array}{cl}
\sin \left( x\right) -\cos \left( x\right) & \left( if\ n=4m\right) \\
\cos \left( x\right) +\sin \left( x\right) & \left( if\ n=4m+1\right) \\
-\sin \left( x\right) +\cos \left( x\right) & \left( if\ n=4m+2\right) \\
-\cos \left( x\right) -\sin \left( x\right) & \left( if\ n=4m+3\right)
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}を定めます。
演習問題
問題（関数の差の高階微分）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =e^{x}-\sin \left( x\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の\(n\)階導関数を求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の\(n\)階導関数を求めてください。
問題（関数の差の高階微分）
関数\(f:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{2}-\ln \left( x\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の\(n\ \left( =1,2,3,4\right) \)階の導関数を求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の\(n\ \left( =1,2,3,4\right) \)階の導関数を求めてください。
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