高階微分や漸近展開を用いた1変数関数の極値判定

漸近展開を用いた1変数関数の極大値判定

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の定義域上の点\(a\in X\)が最大点であることは、変数\(x\)が定義域\(X\)上の点をとり得る状況において、その中でも点\(a\in X\)において\(f\left( x\right) \)の値が最大化されること、すなわち、\begin{equation*}\exists a\in X,\ \forall x\in X:f\left( a\right) \geq f\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。関数\(f\)の最大点を特定する問題を最大化問題と呼び、これを、

$$\begin{array}{cl}
\max & f\left( x\right) \\
s.t. & x\in X
\end{array}$$

で表記します。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の定義域上の点\(a\in X\)が極大点であることとは、変数\(x\)がとり得る値の範囲を点\(a\)を中心とする何らかの近傍に制限した場合には点\(a\)が最大点になること、すなわち、\begin{equation*}\exists \varepsilon >0,\ \forall x\in N_{\varepsilon }\left( a\right) \cap
X:f\left( a\right) \geq f\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。ただし、\(N_{\varepsilon }\left( a\right) \)は点\(a\)を中心とする半径\(\varepsilon \)の近傍であり、\begin{equation*}N_{\varepsilon }\left( a\right) =\left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right)
\end{equation*}です。

関数\(f\)の定義域上の点\(a\)が最大点である場合、その点\(a\)は極大点でもあります。つまり、極大点だけが最大点の候補となり得るため、すべての極大点を特定した上で、その中でも\(f\left( x\right) \)の値を最大化するものを特定すれば、それは最大点になります。したがって、最大化問題を解く準備として極大点をすべて特定する必要があります。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の定義域の内点\(a\in X^{i}\)を任意に選んだとき、\(f\)が点\(a\)を中心とする近傍において\(C^{2}\)級であるとともに、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ f^{\prime }\left( a\right) =0 \\
&&\left( b\right) \ f^{\prime \prime }\left( a\right) <0
\end{eqnarray*}がともに成り立つならば、点\(a\)は\(f\)の極大点です。この命題は以下の形で一般化が可能です。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)および定義域の内点\(a\in X^{i}\)が与えられた状況において、\(f\)を点\(a\)の周りにおいて漸近展開した結果、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ f^{\prime }\left( a\right) =f^{\prime \prime }\left(
a\right) =\cdots f^{\left( n-1\right) }\left( a\right) =0\wedge f^{\left(
n\right) }\left( a\right) \not=0 \\
&&\left( b\right) \ n\text{は偶数}
\end{eqnarray*}が成り立つことを確認できた状況を想定します。つまり、\(f\)を漸近展開したとき、係数が\(0\)にならない最小の次数\(n\)が偶数であるということです。加えて、\(f\)は\(C^{n}\)級であるものとします。その上で、\begin{equation*}\left( c\right) \ f^{\left( n\right) }<0
\end{equation*}であるならば、先の命題より、\(f\)の点\(a\)において極大値をとります。

漸近展開を用いた1変数関数の極小値判定

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の定義域上の点\(a\in X\)が最大点であることは、変数\(x\)が定義域\(X\)上の点をとり得る状況において、その中でも点\(a\in X\)において\(f\left( x\right) \)の値が最小化されること、すなわち、\begin{equation*}\exists a\in X,\ \forall x\in X:f\left( a\right) \leq f\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。関数\(f\)の最小点を特定する問題を最小化問題と呼び、これを、

$$\begin{array}{cl}
\min & f\left( x\right) \\
s.t. & x\in X
\end{array}$$

で表記します。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の定義域上の点\(a\in X\)が極小点であることとは、変数\(x\)がとり得る値の範囲を点\(a\)を中心とする何らかの近傍に制限した場合には点\(a\)が極小点になること、すなわち、\begin{equation*}\exists \varepsilon >0,\ \forall x\in N_{\varepsilon }\left( a\right) \cap
X:f\left( a\right) \leq f\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。ただし、\(N_{\varepsilon }\left( a\right) \)は点\(a\)を中心とする半径\(\varepsilon \)の近傍であり、\begin{equation*}N_{\varepsilon }\left( a\right) =\left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right)
\end{equation*}です。

関数\(f\)の定義域上の点\(a\)が最小点である場合、その点\(a\)は極小点でもあります。つまり、極小点だけが最小点の候補となり得るため、すべての極小点を特定した上で、その中でも\(f\left( x\right) \)の値を最小化するものを特定すれば、それは最小点になります。したがって、最小化問題を解く準備として極小点をすべて特定する必要があります。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の定義域の内点\(a\in X^{i}\)を任意に選んだとき、\(f\)が点\(a\)を中心とする近傍において\(C^{2}\)級であるとともに、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ f^{\prime }\left( a\right) =0 \\
&&\left( b\right) \ f^{\prime \prime }\left( a\right) >0
\end{eqnarray*}がともに成り立つならば、点\(a\)は\(f\)の極小点です。この命題は以下の形で一般化が可能です。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)および定義域の内点\(a\in X^{i}\)が与えられた状況において、\(f\)を点\(a\)の周りにおいて漸近展開した結果、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ f^{\prime }\left( a\right) =f^{\prime \prime }\left(
a\right) =\cdots f^{\left( n-1\right) }\left( a\right) =0\wedge f^{\left(
n\right) }\left( a\right) \not=0 \\
&&\left( b\right) \ n\text{は偶数}
\end{eqnarray*}が成り立つことを確認できた状況を想定します。つまり、\(f\)を漸近展開したとき、係数が\(0\)にならない最小の次数\(n\)が偶数であるということです。加えて、\(f\)は\(C^{n}\)級であるものとします。その上で、\begin{equation*}\left( c\right) \ f^{\left( n\right) }>0
\end{equation*}であるならば、先の命題より、\(f\)の点\(a\)において極小値をとります。

漸近展開を用いた1変数関数の非極値判定

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の定義域の内点\(a\in X^{i}\)を任意に選んだとき、\(f\)が点\(a\)を中心とする近傍において\(C^{n}\)級であるとともに、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ f^{\prime }\left( a\right) =f^{\prime \prime }\left(
a\right) =\cdots f^{\left( n-1\right) }\left( a\right) =0\wedge f^{\left(
n\right) }\left( a\right) \not=0 \\
&&\left( b\right) \ n\text{が偶数}
\end{eqnarray*}がともに成り立つ場合には、\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{l}
n\text{が偶数かつ}f^{\left( n\right) }\left(
a\right) <0\Rightarrow a\text{は}f\text{の極大点} \\
n\text{が偶数かつ}f^{\left( n\right) }\left(
a\right) >0\Rightarrow a\text{は}f\text{の極小点}\end{array}\right.
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。残された可能性は\(n\)が奇数の場合ですが、この場合には点\(a\)は\(f\)の極大値と極小値のどちらでもないことが保証されます。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)および定義域の内点\(a\in X^{i}\)が与えられた状況において、\(f\)を点\(a\)の周りにおいて漸近展開した結果、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) =f^{\prime \prime }\left( a\right) =\cdots
f^{\left( n-1\right) }\left( a\right) =0
\end{equation*}であるとともに、奇数\(n\)について、\begin{equation*}f^{\left( n\right) }\left( a\right) \not=0
\end{equation*}であることを確認できた状況を想定します。つまり、\(f\)を漸近展開したとき、係数が\(0\)にならない最小の次数が奇数\(n\)であるということです。加えて、\(f\)は\(C^{n}\)級であるものとします。この場合、先の命題より、点\(a\)は\(f\)の極大値や極小値ではありません。

まとめ：漸近展開を用いた極値判定

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の定義域の内点\(a\in X^{i}\)を任意に選んだとき、\(f\)が点\(a\)を中心とする近傍において\(C^{n}\)級であるとともに、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) =f^{\prime \prime }\left( a\right) =\cdots
f^{\left( n-1\right) }\left( a\right) =0\wedge f^{\left( n\right) }\left(
a\right) \not=0
\end{equation*}が成り立つものとします。このとき、\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{l}
n\text{が偶数かつ}f^{\left( n\right) }\left(
a\right) <0\Rightarrow a\text{は}f\text{の極大点} \\
n\text{が偶数かつ}f^{\left( n\right) }\left(
a\right) >0\Rightarrow a\text{は}f\text{の極小点} \\
n\text{が奇数}\Rightarrow a\text{は}f\text{の極大点や極小点ではない}\end{array}\right.
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。