テイラー展開を用いた不定形の極限の解消
与えられた関数の極限が不定形である場合でも、その関数を構成する関数の中にテイラー展開（マクローリン展開）可能であるものが存在する場合、テイラー展開した上で極限をとれば、不定形を解消できることがあります。
例（テイラー展開を用いた不定形の極限の解消）
以下の極限\begin{equation}
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{x}-1}{x} \quad \cdots (1)
\end{equation}について考えます。分子と分母について、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 0}\left( e^{x}-1\right) &=&0 \\
\lim_{x\rightarrow 0}x &=&0
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(\left(1\right) \)は\(\frac{0}{0}\)型の不定形です。まずはロピタルの定理の利用を検討します。点\(0\)の周辺の任意の点\(x\)において、\begin{eqnarray*}\frac{d}{dx}x &=&1 \\
&\not=&0
\end{eqnarray*}が成り立つとともに、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\frac{d}{dx}\left( e^{x}-1\right) }{\frac{d}{dx}x}
&=&\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{x}}{1} \\
&=&\lim_{x\rightarrow 0}e^{x} \\
&=&1
\end{eqnarray*}が成り立つため、ロピタルの定理より、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{x}-1}{x}=1
\end{equation*}であることが明らかになりました。続いて、マクローリン展開の利用を検討します。マクローリン展開より、任意の点\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)について、\begin{equation}e^{x}=1+x+\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3!}+\cdots \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立つことを踏まえると、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{x}-1}{x} &=&\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{x}\left[ \left( 1+x+\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3!}+\cdots \right) -1\right] \quad \because \left( 2\right) \\
&=&\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{x}\left( x+\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3!}+\cdots \right) \\
&=&\lim_{x\rightarrow 0}\left( 1+\frac{x}{2}+\frac{x^{2}}{3!}+\cdots \right)
\\
&=&1
\end{eqnarray*}となり、先と同様の結果が得られました。
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{x}-1}{x} \quad \cdots (1)
\end{equation}について考えます。分子と分母について、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 0}\left( e^{x}-1\right) &=&0 \\
\lim_{x\rightarrow 0}x &=&0
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(\left(1\right) \)は\(\frac{0}{0}\)型の不定形です。まずはロピタルの定理の利用を検討します。点\(0\)の周辺の任意の点\(x\)において、\begin{eqnarray*}\frac{d}{dx}x &=&1 \\
&\not=&0
\end{eqnarray*}が成り立つとともに、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\frac{d}{dx}\left( e^{x}-1\right) }{\frac{d}{dx}x}
&=&\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{x}}{1} \\
&=&\lim_{x\rightarrow 0}e^{x} \\
&=&1
\end{eqnarray*}が成り立つため、ロピタルの定理より、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{x}-1}{x}=1
\end{equation*}であることが明らかになりました。続いて、マクローリン展開の利用を検討します。マクローリン展開より、任意の点\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)について、\begin{equation}e^{x}=1+x+\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3!}+\cdots \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立つことを踏まえると、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{x}-1}{x} &=&\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{x}\left[ \left( 1+x+\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3!}+\cdots \right) -1\right] \quad \because \left( 2\right) \\
&=&\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{x}\left( x+\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3!}+\cdots \right) \\
&=&\lim_{x\rightarrow 0}\left( 1+\frac{x}{2}+\frac{x^{2}}{3!}+\cdots \right)
\\
&=&1
\end{eqnarray*}となり、先と同様の結果が得られました。
漸近展開を用いた不定形の極限の解消
テイラー展開（マクローリン展開）は無限個の項からなるため、関数をテイラー展開してから極限をとる操作は煩雑になりがちです。そのような場合には、テイラー展開の代わりに漸近展開を利用すれば計算の見通しがつきやすくなります。その際には、ランダウ記号に関する演算規則\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall n,m\in \mathbb{N} :o\left( x^{n}\right) o\left( x^{m}\right) =o\left( x^{n+m}\right) \quad
\left( x\rightarrow 0\right) \\
&&\left( b\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :x^{n}o\left( x^{m}\right) =o\left( x^{n+m}\right) \quad \left( x\rightarrow
0\right) \\
&&\left( c\right) \ \forall n,m\in \mathbb{N} :m\geq n\Rightarrow o\left( x^{n}\right) \pm o\left( x^{m}\right) =o\left(
x^{n}\right) \quad \left( x\rightarrow 0\right) \\
&&\left( d\right) \ \forall c\in \mathbb{R} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :co\left( x^{n}\right) =o\left( x^{n}\right) \quad \left( x\rightarrow
0\right)
\end{eqnarray*}を利用することになります。
例（テイラー展開を用いた不定形の極限の解消）
以下の極限\begin{equation}
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\left[ x-\sin \left( x\right) \right] ^{2}}{\left[
1-\cos \left( x\right) \right] ^{2}} \quad \cdots (1)
\end{equation}について考えます。分子と分母について、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 0}\left[ x-\sin \left( x\right) \right] ^{2} &=&0 \\
\lim_{x\rightarrow 0}\left[ 1-\cos \left( x\right) \right] ^{2} &=&0
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(\left(1\right) \)は\(\frac{0}{0}\)型の不定形です。まずは、マクローリン展開の利用を検討します。マクローリン展開より、任意の点\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)について、\begin{eqnarray}\sin \left( x\right) &=&x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}-\cdots
\quad \cdots (2) \\
\cos \left( x\right) &=&1-\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}-\cdots
\quad \cdots (3)
\end{eqnarray}が成り立つことを踏まえると、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\left[ x-\sin \left( x\right) \right] ^{2}}{\left[
1-\cos \left( x\right) \right] ^{2}} &=&\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\left[
x-\left( x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}-\cdots \right) \right] ^{2}}{\left[ 1-\left( 1-\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}-\cdots \right) \right] ^{2}}\quad \because \left( 2\right) ,\left( 3\right) \\
&=&\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\left( \frac{x^{3}}{3!}-\frac{x^{5}}{5!}+\cdots \right) ^{2}}{\left( \frac{x^{2}}{2!}-\frac{x^{4}}{4!}+\cdots
\right) ^{2}}
\end{eqnarray*}となりますが、ここから先の計算は面倒です。続いて、漸近展開の利用を検討します。漸近展開より、任意の点\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)について、\begin{eqnarray}\sin \left( x\right) &=&x-\frac{x^{3}}{3!}+o\left( x^{3}\right) \quad \cdots (4)
\\
\cos \left( x\right) &=&1-\frac{x^{2}}{2!}+o\left( x^{2}\right) \quad \cdots (5)
\end{eqnarray}が成り立つことを踏まえると、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\left[ x-\sin \left( x\right) \right] ^{2}}{\left[
1-\cos \left( x\right) \right] ^{2}} &=&\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\left\{ x-\left[ x-\frac{x^{3}}{3!}+o\left( x^{3}\right) \right] \right\} ^{2}}{\left\{ 1-\left[ 1-\frac{x^{2}}{2!}+o\left( x^{2}\right) \right] \right\}
^{2}}\quad \because \left( 4\right) ,\left( 5\right) \\
&=&\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\left[ \frac{x^{3}}{6}-o\left( x^{3}\right) \right] ^{2}}{\left[ \frac{x^{2}}{2}-o\left( x^{2}\right) \right] ^{2}} \\
&=&\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\frac{x^{6}}{36}-\frac{x^{3}}{3}o\left(
x^{3}\right) +\left[ o\left( x^{3}\right) \right] ^{2}}{\frac{x^{4}}{4}-x^{2}o\left( x^{2}\right) +\left[ o\left( x^{2}\right) \right] ^{2}} \\
&=&\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\frac{x^{6}}{36}+o\left( x^{6}\right) +o\left(
x^{6}\right) }{\frac{x^{4}}{4}+o\left( x^{4}\right) +o\left( x^{4}\right) }
\\
&=&\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\frac{x^{6}}{36}+o\left( x^{6}\right) }{\frac{x^{4}}{4}+o\left( x^{4}\right) } \\
&=&\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\frac{x^{2}}{36}+\frac{o\left( x^{6}\right) }{x^{6}}\cdot x^{2}}{\frac{1}{4}+\frac{o\left( x^{4}\right) }{x^{4}}} \\
&=&\frac{0+0\cdot 0}{\frac{1}{4}+0} \\
&=&0
\end{eqnarray*}を得ます。
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\left[ x-\sin \left( x\right) \right] ^{2}}{\left[
1-\cos \left( x\right) \right] ^{2}} \quad \cdots (1)
\end{equation}について考えます。分子と分母について、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 0}\left[ x-\sin \left( x\right) \right] ^{2} &=&0 \\
\lim_{x\rightarrow 0}\left[ 1-\cos \left( x\right) \right] ^{2} &=&0
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(\left(1\right) \)は\(\frac{0}{0}\)型の不定形です。まずは、マクローリン展開の利用を検討します。マクローリン展開より、任意の点\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)について、\begin{eqnarray}\sin \left( x\right) &=&x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}-\cdots
\quad \cdots (2) \\
\cos \left( x\right) &=&1-\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}-\cdots
\quad \cdots (3)
\end{eqnarray}が成り立つことを踏まえると、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\left[ x-\sin \left( x\right) \right] ^{2}}{\left[
1-\cos \left( x\right) \right] ^{2}} &=&\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\left[
x-\left( x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}-\cdots \right) \right] ^{2}}{\left[ 1-\left( 1-\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}-\cdots \right) \right] ^{2}}\quad \because \left( 2\right) ,\left( 3\right) \\
&=&\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\left( \frac{x^{3}}{3!}-\frac{x^{5}}{5!}+\cdots \right) ^{2}}{\left( \frac{x^{2}}{2!}-\frac{x^{4}}{4!}+\cdots
\right) ^{2}}
\end{eqnarray*}となりますが、ここから先の計算は面倒です。続いて、漸近展開の利用を検討します。漸近展開より、任意の点\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)について、\begin{eqnarray}\sin \left( x\right) &=&x-\frac{x^{3}}{3!}+o\left( x^{3}\right) \quad \cdots (4)
\\
\cos \left( x\right) &=&1-\frac{x^{2}}{2!}+o\left( x^{2}\right) \quad \cdots (5)
\end{eqnarray}が成り立つことを踏まえると、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\left[ x-\sin \left( x\right) \right] ^{2}}{\left[
1-\cos \left( x\right) \right] ^{2}} &=&\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\left\{ x-\left[ x-\frac{x^{3}}{3!}+o\left( x^{3}\right) \right] \right\} ^{2}}{\left\{ 1-\left[ 1-\frac{x^{2}}{2!}+o\left( x^{2}\right) \right] \right\}
^{2}}\quad \because \left( 4\right) ,\left( 5\right) \\
&=&\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\left[ \frac{x^{3}}{6}-o\left( x^{3}\right) \right] ^{2}}{\left[ \frac{x^{2}}{2}-o\left( x^{2}\right) \right] ^{2}} \\
&=&\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\frac{x^{6}}{36}-\frac{x^{3}}{3}o\left(
x^{3}\right) +\left[ o\left( x^{3}\right) \right] ^{2}}{\frac{x^{4}}{4}-x^{2}o\left( x^{2}\right) +\left[ o\left( x^{2}\right) \right] ^{2}} \\
&=&\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\frac{x^{6}}{36}+o\left( x^{6}\right) +o\left(
x^{6}\right) }{\frac{x^{4}}{4}+o\left( x^{4}\right) +o\left( x^{4}\right) }
\\
&=&\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\frac{x^{6}}{36}+o\left( x^{6}\right) }{\frac{x^{4}}{4}+o\left( x^{4}\right) } \\
&=&\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\frac{x^{2}}{36}+\frac{o\left( x^{6}\right) }{x^{6}}\cdot x^{2}}{\frac{1}{4}+\frac{o\left( x^{4}\right) }{x^{4}}} \\
&=&\frac{0+0\cdot 0}{\frac{1}{4}+0} \\
&=&0
\end{eqnarray*}を得ます。
演習問題
問題（不定形の極限の解消）
以下の極限\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x-\sin \left( x\right) }{x^{3}}
\end{equation*}が不定形であることを確認した上で、極限を具体的に特定してください。
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x-\sin \left( x\right) }{x^{3}}
\end{equation*}が不定形であることを確認した上で、極限を具体的に特定してください。
問題（不定形の極限の解消）
以下の極限\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{x}-1-x}{x^{2}+x^{3}}
\end{equation*}が不定形であることを確認した上で、極限を具体的に特定してください。
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{x}-1-x}{x^{2}+x^{3}}
\end{equation*}が不定形であることを確認した上で、極限を具体的に特定してください。
問題（不定形の極限の解消）
以下の極限\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\ln \left( x+1\right) -x}{x^{2}}
\end{equation*}が不定形であることを確認した上で、極限を具体的に特定してください。
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\ln \left( x+1\right) -x}{x^{2}}
\end{equation*}が不定形であることを確認した上で、極限を具体的に特定してください。
問題（不定形の極限の解消）
以下の極限\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 1}\frac{2e^{x}-ex^{2}-e}{\left( x-1\right) ^{2}}
\end{equation*}が不定形であることを確認した上で、極限を具体的に特定してください。
\lim_{x\rightarrow 1}\frac{2e^{x}-ex^{2}-e}{\left( x-1\right) ^{2}}
\end{equation*}が不定形であることを確認した上で、極限を具体的に特定してください。
問題（不定形の極限の解消）
以下の極限\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\left[ e^{x}-1-\sin \left( x\right) \right] \left[
x-\sin \left( x\right) \right] }{x\left[ 1-\cos \left( x\right) \right] ^{2}}
\end{equation*}が不定形であることを確認した上で、極限を具体的に特定してください。
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\left[ e^{x}-1-\sin \left( x\right) \right] \left[
x-\sin \left( x\right) \right] }{x\left[ 1-\cos \left( x\right) \right] ^{2}}
\end{equation*}が不定形であることを確認した上で、極限を具体的に特定してください。
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