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DIFFERENTIATION OF FUNCTIONS

瞬間変化率としての微分

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平均変化率と微分係数の解釈

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と定義域上の点\(a\in X\)が与えられたとき、変数\(x\)の値を点\(a\)から微小量\(h\not=0\)だけ変化させると、それに応じて\(f\left( x\right) \)の値は\(f\left( a\right) \)から\(f\left( a+h\right) \)まで変化します。そこで、\(f\left( x\right) \)の変化量と\(x\)の変化量の比\begin{equation*}\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}
\end{equation*}をとり、これを関数\(f\)の点\(a\)における平均変化率と呼びました。\(x\)の値が\(a\)から\(h\)だけ変化していくという全体のプロセスの中の異なる複数の瞬間に注目したとき、それらの瞬間における\(f\left(x\right) \)の変化量は同じであるとは限りません。\(f\left( x\right) \)の値は同じペースで変化し続けているとは限らないからです。ただ、平均変化率について考える際には、それぞれの瞬間における\(f\left( x\right) \)の変化量の違いを無視し、プロセス全体において平均でどれくらいのペースで\(f\left(x\right) \)が変化したかに注目します。このような意味において、この指標は「平均変化率」と呼ばれます。一方、関数\(f\)の点\(a\)における微分係数は、\begin{equation*}\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}
\end{equation*}と定義されますが、これは\(x\)の値が\(a\)と一致する瞬間における\(f\left( x\right) \)の値の変化を表します。このような意味において、微分係数は「瞬間変化率(instantaneous rate of change)」とも呼ばれます。両者の違いをより深く理解するためいくつか例を挙げます。

例(平均変化率と微分係数の違い)
ある地点から車を走らせ、経過時間(秒)と走行距離(メートル)の関係を観察した上で、両者の関係を関数\(f\)として整理しました。つまり、計測を始めた時点から\(x\)秒後における車の走行距離は\(f\left( x\right) \)メートルであるということです。このとき、平均変化率\begin{equation*}\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}
\end{equation*}はどのような意味を持つ指標でしょうか。計測を始めた時点から\(a\)秒後を新たな出発点としたとき、そこからの\(h\)秒間で車は\(f\left( a+h\right) -f\left( a\right) \)メートルだけ走行します。この走行距離\(f\left( a+h\right) -f\left(a\right) \)をかかった時間\(h\)で割ったものが上の平均変化率です。この\(h\)秒間の間、車の移動速度は一定であったとは限りません。ただ、そのような違いを無視した上で、この\(h\)秒の間に車が平均でどれくらいのペースで走ったかを表す指標が上の平均変化率です。つまり、平均変化率は平均速度(average speed)に相当する概念です。ここで、かかった時間\(h\)を短くすれば、より短い経過時間の中での平均速度が得られます。最終的に\(h\)を\(0\)に限りなく近付ければ、すなわち、微分係数\begin{equation*}\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}
\end{equation*}をとれば、それは計測を始めた時点から\(a\)秒後の時点における瞬間的な速度が得られます。つまり、微分係数は瞬間速度(instantaneous speed)に相当する概念です。
例(平均変化率と微分係数の違い)
ある商品を生産している工場において、その商品の生産量(個)と総生産費用(円)の関係を計測した上で、両者の関係を関数\(f\)として整理しました。つまり、その商品を\(x\)個生産するためには\(f\left( x\right) \)円の総費用がかかるということです。このとき、平均変化率\begin{equation*}\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}
\end{equation*}はどのような意味を持つ指標でしょうか。その商品を\(a\)個生産した時点を新たな出発点としたとき、そこから追加的に\(h\)個の商品を生産するためには\(f\left( a+h\right) -f\left( a\right) \)円の追加費用が必要です。この追加費用\(f\left( a+h\right)-f\left( a\right) \)を追加的な生産量\(h\)で割ったものが上の平均変化率です。この\(h\)個の商品を生産する間、個々の商品の生産費用は一定であったとは限りません(機械の故障などアクシデントが起こる可能性)。ただ、そのような違いを無視した上で、\(h\)個の商品を生産する間の商品1個あたりの平均費用を表す指標が上の平均変化率です。つまり、平均変化率は平均費用に相当する概念です。ここで、商品の個数\(h\)を少なくすれば、より少ない商品を生産する上での平均費用が得られます。最終的に\(h\)を\(0\)に限りなく近付ければ、すなわち、微分係数\begin{equation*}\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}
\end{equation*}をとれば、それは\(a\)個目の商品を生産した直後に追加的に商品を生産する際に必要な限界的な費用が得られます。つまり、微分係数は限界費用に相当する概念です。

 

演習問題

問題(微分の応用)
時間\(t\)は任意の非負の実数を値としてとるものとします。動いている物体を観察した上で、経過時間と(スタート地点から測った)移動距離の関係を関数\(f\)として整理しました。具体的には、時点\(t\)における移動距離が、\begin{equation*}f\left( t\right) =\frac{t+1}{t+4}
\end{equation*}で与えられています。このとき以下の問いに答えてください。
  1. 時点\(t=s\)におけるこの物体の速度(瞬間速度)を求めてください。
  2. この物体が移動を止める時点は存在しますか?存在する場合にはその時点を明らかにし、存在しない場合にはその理由を説明してください。
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問題(微分の応用)
時間\(t\)は任意の非負の実数を値としてとるものとします。プールの中の水の量を観察した上で、経過時点と水の量の関係を関数\(f\)として整理しました。具体的には、時点\(t=0\)から時点\(t=6\)まで連続的に観測したところ、各時点\(t\)においてプールに入っている水の量は、\begin{equation*}f\left( t\right) =10+5t-t^{2}
\end{equation*}であることが明らかになりました。このとき以下の問いに答えてください。
  1. 時点\(t=0\)において、プールの水は増えていますか、それとも減っていますか。理由とともに答えてください。
  2. 時点\(t=6\)において、プールの水は増えていますか、それとも減っていますか。理由とともに答えてください。
  3. プールの水の量が変化しない時点は存在しますか?存在する場合にはその時点を明らかにし、存在しない場合にはその理由を説明してください。
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関数を微分することとは、その関数をシンプルな1次式で近似する(線型近似)ことを意味しますが、次回はその意味を解説します。

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DISCUSSION

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