逆関数の微分
区間上に定義された狭義単調関数\begin{equation*}
f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられた場合、その終集合を値域\(f\left(I\right) \)に制限して、\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow f\left( I\right)
\end{equation*}とすれば全単射になるため、その逆関数\begin{equation*}
f^{-1}:f\left( I\right) \rightarrow I
\end{equation*}が存在することを保証できます。逆関数の定義より、点\(\left( x,y\right)\in I\times f\left( I\right) \)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}y=f\left( x\right) \Leftrightarrow x=f^{-1}\left( y\right)
\end{equation*}が成り立ちます。さらに、関数\(f\)が区間\(I\)上で連続である場合には逆関数\(f^{-1}\)の定義域\(f\left( I\right) \)もまた区間になるとともに、逆関数\(f^{-1}\)は区間\(f\left( I\right) \)上において連続になります。
逆関数\(f^{-1}\)が定義域上の点\(b\in f\left( I\right) \)の周辺の任意の点において定義されており、関数\(f\)が点\(f^{-1}\left( b\right) \in I\)の周辺の任意の点において定義されているものとします。さらに、関数\(f\)が点\(f^{-1}\left( b\right) \)において微分可能であり、そこでの微分係数が、\begin{equation*}\left. \frac{df\left( x\right) }{dx}\right\vert _{x=f^{-1}\left( b\right)
}\not=0
\end{equation*}を満たすものとします。以上の条件が満たされる場合には、逆関数\(f^{-1}\)は点\(b\)において微分可能であることが保証されるとともに、そこでの微分係数は、\begin{equation*}\frac{df^{-1}\left( b\right) }{dy}=\frac{1}{\left. \frac{df\left( x\right) }{dx}\right\vert _{x=f^{-1}\left( b\right) }}
\end{equation*}と定まります。
区間上に定義された関数\(f\)が定義域である区間の全体において狭義単調関数ではない場合には、そもそも逆関数\(f^{-1}\)が存在するとは限らないため、先と同様の議論は成立しません。ただ、関数\(f\)が一定の性質を満たす場合、その定義域を適切な形で制限することにより、関数\(f\)の局所的な逆関数\(f^{-1}\)の存在を保証できるとともに、\(f^{-1}\)が微分可能であることも保証できます。以下で順番に解説します。
逆関数定理
区間上に定義された関数\begin{equation*}
f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。この関数\(f\)は定義域である区間\(I\)の全体において狭義単調増加である必要はありません。ただし、\(f\)は定義域上で\(C^{1}\)級であるものとします。つまり、\(f\)は定義域\(I\)上で微分可能であるとともに、導関数\(f^{\prime }:I\rightarrow \mathbb{R} \)は定義域\(I\)上で連続であるということです（下図）。
関数\(f\)の定義域の内点\(a\in I^{i}\)を選んだとき、内点の定義より、十分小さい半径\(\varepsilon >0\)について、\begin{equation*}N_{\varepsilon }\left( a\right) =\left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right)
\subset I
\end{equation*}が成り立つため、\(f\)は開区間\(N_{\varepsilon }\left( a\right) \)上で定義されていることになります（上図の点\(a\)周辺のグレーの部分が\(N_{\varepsilon }\left( a\right) \)）。さらに、点\(a\)における微分係数が、\begin{equation*}\frac{df\left( a\right) }{dx}\not=0
\end{equation*}を満たすものとします。\(\frac{df\left( a\right) }{dx}>0\)であれば関数\(f\)は点\(a\)において狭義単調増加しており、\(\frac{df\left( a\right) }{dx}<0\)であれば関数\(f\)は点\(a\)において狭義単調減少しています。そこで、関数\(f\)の定義域を制限して\begin{equation*}f:N_{\varepsilon }\left( a\right) \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}とすると、以上の条件のもとでは\(f\)が単射になることが保証されるため、さらに終集合を値域に制限して、\begin{equation*}f:N_{\varepsilon }\left( a\right) \rightarrow f\left( N_{\varepsilon }\left(
a\right) \right)
\end{equation*}とすれば全単射になり、したがって逆関数\begin{equation*}
f^{-1}:f\left( N_{\varepsilon }\left( a\right) \right) \rightarrow
N_{\varepsilon }\left( a\right)
\end{equation*}が存在することを保証できます（上図の点\(f\left( a\right) \)周辺のグレーの部分が\(f\left( N_{\varepsilon }\left( a\right)\right) \)）。
仮定より関数\(f\)は区間\(I\)上で\(C^{1}\)級であるため、その部分集合である区間\(N_{\varepsilon }\left( a\right) \)上においても連続です。したがって、逆関数\(f^{-1}\)の定義域\(f\left( N_{\varepsilon }\left(a\right) \right) \)もまた区間になるとともに、\(f^{-1}\)は\(f\left(N_{\varepsilon }\left( a\right) \right) \)上で連続になることを保証できます。
加えて、以上の条件のもとでは、逆関数\(f^{-1}\)が定義域である区間\(f\left( N_{\varepsilon }\left( a\right) \right) \)上で微分可能であることを保証できます。したがって、その導関数を逆関数の微分によって求めることができます。さらに、その導関数は連続です。つまり、逆関数\(f^{-1}\)もまた定義域上で\(C^{1}\)級になります。以上の主張を逆関数定理（inverse function theorem）と呼びます。証明ではロルの定理などを利用します。
\end{equation*}を満たすものとする。この場合、十分小さい\(\varepsilon >0\)のもとで関数\(f:N_{\varepsilon }\left( a\right) \rightarrow f\left(N_{\varepsilon }\left( a\right) \right) \)は全単射になるため、その逆関数\(f^{-1}:f\left( N_{\varepsilon }\left( a\right) \right)\rightarrow N_{\varepsilon }\left( a\right) \)が存在する。しかも、\(f^{-1}\)もまた定義域上で\(C^{1}\)級であり、導関数\(\left( f^{-1}\right)^{\prime }:f\left( N_{\varepsilon }\left( a\right) \right) \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(y\in f\left(N_{\varepsilon }\left( a\right) \right) \)に対して、\begin{equation*}\frac{df^{-1}\left( y\right) }{dy}=\frac{1}{\left. \frac{df\left( x\right) }{dx}\right\vert _{x=f^{-1}\left( y\right) }}
\end{equation*}を定める。
\sin :\mathbb{R} \rightarrow \left[ -1,1\right] \end{equation*}が与えられているものとします。正弦関数は\(\mathbb{R} \)上では単射ではないため逆関数\(\sin ^{-1}:\left[ -1,1\right]\rightarrow \mathbb{R} \)は存在しません。その一方で、正弦関数は\(\mathbb{R} \)上で\(C^{1}\)級であり、導関数\(\frac{d}{dx}\sin :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}\frac{d}{dx}\sin \left( x\right) =\cos \left( x\right)
\end{equation*}を定めます。例えば、点\(0\in \mathbb{R} \)において、\begin{eqnarray*}\frac{d}{dx}\sin \left( 0\right) &=&\cos \left( 0\right) \\
&=&1 \\
&\not=&0
\end{eqnarray*}が成り立つため、逆関数定理より、十分小さい\(\varepsilon >0\)について関数\(\sin :N_{\varepsilon }\left( 0\right) \rightarrow \sin\left( N_{\varepsilon }\left( 0\right) \right) \)の逆関数\(\sin ^{-1}:\sin \left( N_{\varepsilon }\left( 0\right) \right)\rightarrow N_{\varepsilon }\left( 0\right) \)が存在し、これもまた\(C^{1}\)級になります。さらに、逆関数の導関数\(\frac{d}{dx}\sin^{-1}:\sin \left( N_{\varepsilon }\left( 0\right) \right) \rightarrow N_{\varepsilon }\left( 0\right) \)はそれぞれの\(y\in \sin \left( N_{\varepsilon }\left( 0\right) \right) \)に対して、\begin{eqnarray*}\frac{d\sin ^{-1}\left( y\right) }{dy} &=&\frac{1}{\left. \frac{d\sin \left(
x\right) }{dx}\right\vert _{x=\sin ^{-1}\left( y\right) }} \\
&=&\frac{1}{\left. \cos \left( x\right) \right\vert _{x=\sin ^{-1}\left(
y\right) }} \\
&=&\frac{1}{\cos \left( \sin ^{-1}\left( y\right) \right) }
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
\frac{d\sin ^{-1}\left( y\right) }{dy}=\frac{1}{\cos \left( \sin ^{-1}\left(
y\right) \right) } \quad \cdots (1)
\end{equation}を定めます。そこで、\begin{equation}
x=\sin ^{-1}\left( y\right) \quad \cdots (2)
\end{equation}とおくと、逆関数の定義より、\begin{equation}
y=\sin \left( x\right) \quad \cdots (3)
\end{equation}が成り立つため、\begin{eqnarray*}
\cos \left( \sin ^{-1}\left( y\right) \right) &=&\cos \left( x\right) \quad
\because \left( 2\right) \\
&=&\sqrt{1-\sin ^{2}\left( x\right) }\quad \because \sin ^{2}\left( x\right)
+\cos ^{2}\left( x\right) =1 \\
&=&\sqrt{1-y^{2}}\quad \because \left( 3\right)
\end{eqnarray*}となるため、これと\(\left( 1\right) \)より、\begin{equation*}\frac{d\sin ^{-1}\left( y\right) }{dy}=\frac{1}{\sqrt{1-y^{2}}}
\end{equation*}を得ます。
逆関数定理が要求する条件の吟味
区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)が\(C^{1}\)級ではない場合、逆関数定理の主張は成り立つとは限りません。以下の例より明らかです。
\begin{array}{cl}
x^{2}\sin \left( \frac{1}{x}\right) & \left( if\ x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \right) \\
0 & \left( if\ x=0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)は点\(0\)において微分可能である一方、導関数\(f^{\prime }\)は点\(0\)において連続ではなく、したがって関数\(f\)は点\(0\)において\(C^{1}\)級ではありません。したがって、点\(0\)に注目した場合、この関数\(f\)は逆関数定理が要求する条件を満たしません。実際、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0+}\frac{1}{x} &=&+\infty \\
\lim_{x\rightarrow 0-}\frac{1}{x} &=&-\infty
\end{eqnarray*}がともに成り立つため、限りなく小さい\(\varepsilon >0\)を任意に選んだとき、関数\(\sin \left( \frac{1}{x}\right) \)は\(\left( -\varepsilon ,0\right) \)上において正の値をとり、\(\left(0,\varepsilon \right) \)上においても正の値をとります。したがって、関数\(x^{2}\sin\left( \frac{1}{x}\right) \)すなわち\(f\)もまた\(\left( -\varepsilon ,0\right) \)上において正の値をとり、\(\left( 0,\varepsilon \right) \)上においても正の値をとります。その一方で\(f\left( 0\right) =0\)であるため、\(f\)は\(\left( -\varepsilon,\varepsilon \right) \)上において狭義単調関数ではなく、したがって逆関数\(f^{-1}\)が定義不可能です。
区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)が\(C^{1}\)級である一方で、内点\(a\in I^{i}\)において、\begin{equation*}\frac{df\left( a\right) }{dx}\not=0
\end{equation*}を満たさない場合、逆関数定理の主張は成り立つとは限りません。以下の例より明らかです。
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)は\(C^{1}\)級である一方で、点\(0\)において、\begin{equation*}\frac{df\left( 0\right) }{dx}=0
\end{equation*}したがって、点\(0\)に注目した場合、この関数\(f\)は逆関数定理が要求する条件を満たしません。実際、限りなく小さい\(\varepsilon >0\)を任意に選んだとき、関数\(f\)は\(\left( -\varepsilon ,\varepsilon \right) \)上において定数関数であるため逆関数\(f^{-1}\)が定義不可能です。
演習問題
\cos :\mathbb{R} \rightarrow \left[ -1,1\right] \end{equation*}が与えられているものとします。余弦関数は\(\mathbb{R} \)上では単射ではないため逆関数\(\cos ^{-1}:\left[ -1,1\right]\rightarrow \mathbb{R} \)は存在しません。逆関数定理を用いることにより、点\(\frac{\pi }{2}\)の周辺において逆関数\(\cos ^{-1}\)が存在することを示すとともに、その導関数を求めてください。
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